2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1.3函數(shù)的奇偶性第2課時(shí)學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊(cè)

3.1.3函數(shù)的奇偶性第2課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.駕馭函數(shù)奇偶性的簡潔應(yīng)用.2.了解函數(shù)圖像的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心滿意的條件.自主預(yù)習(xí)1.函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)(1)若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a,b](a<b)上為增函數(shù)(減函數(shù)),則f(x)在[-b,-a]上為(函數(shù)),即在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性.

(2)若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a,b](a<b)上為增函數(shù)(減函數(shù)),則f(x)在[-b,-a]上為(函數(shù)),即在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性.

2.奇偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)在公共定義域內(nèi):(1)兩個(gè)奇函數(shù)的和函數(shù)是函數(shù),積函數(shù)是函數(shù);

(2)兩個(gè)偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)都是函數(shù);

(3)一個(gè)奇函數(shù)、一個(gè)偶函數(shù)的積函數(shù)是函數(shù).

3.函數(shù)的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心(1)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,對(duì)?x∈D都有f(T+x)=f(T-x)(T為常數(shù)),則x=是f(x)的對(duì)稱軸.

(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,對(duì)?x∈D都有f(a+x)+f(a-x)=2b(a,b為常數(shù)),則是f(x)的對(duì)稱中心.

課堂探究題型一利用奇偶性求函數(shù)解析式例1(1)函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x(x-1),則當(dāng)x>0時(shí),f(x)=.

(2)函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-2x2+3x+1,則f(x)=.

【訓(xùn)練1】(1)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-x2-x,求函數(shù)f(x)的解析式;(2)已知f(x)是R上的偶函數(shù),當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=x2+x-1,當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),求f(x)的解析式.題型二利用奇偶性探討函數(shù)的性質(zhì)例2探討函數(shù)f(x)=x2-2|x|+1的單調(diào)性,并求出f(x)的最值.【訓(xùn)練2】探討函數(shù)f(x)=x+1x的單調(diào)性,并寫出函數(shù)的值域題型三證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性例3求證:二次函數(shù)f(x)=-x2-2x+1的圖像關(guān)于x=-1對(duì)稱.【訓(xùn)練3】證明函數(shù)f(x)=xx+1的圖像關(guān)于點(diǎn)(-1,1)課堂練習(xí)1.已知函數(shù)y=f(x)在R上為奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-2x,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)的解析式是()A.f(x)=-x(x+2) B.f(x)=x(x-2)C.f(x)=-x(x-2) D.f(x)=x(x+2)2.若函數(shù)f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)為偶函數(shù),則m的值是()A.1 B.2 C.3 D.43.設(shè)函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),若f(-3)+f(-1)-5=f(3)+f(1)+a,則a=.

4.若f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上為奇函數(shù),且在(0,+∞)上為增函數(shù),f(-2)=0,則不等式xf(x)<0的解集為.

5.證明函數(shù)f(x)=1x+1的圖像關(guān)于(-1,0)核心素養(yǎng)專練1.假如函數(shù)F(x)=2x-3,x>0,f(2.若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(-∞,0)上是減函數(shù),且f(2)=0,則使得f(x)<0的x的取值范圍是.

3.若函數(shù)f(x)=x2-2ax+3圖像的對(duì)稱軸為x=1,則當(dāng)x∈[-1,2]時(shí),f(x)的值域?yàn)?

4.已知函數(shù)f(x)=x+ax(a>0)(1)推斷函數(shù)f(x)的奇偶性并證明.(2)若a=4,證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上是增函數(shù).5.設(shè)定義在[-2,2]上的奇函數(shù)f(x)=x5+x3+b.(1)求b值;(2)若f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,且f(m)+f(m-1)>0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究題型一利用奇偶性求函數(shù)解析式例1解析:(1)設(shè)x>0,則-x<0,所以f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為R上的偶函數(shù),故當(dāng)x>0時(shí),f(x)=f(-x)=x(x+1),即x>0時(shí),f(x)=x(x+1).(2)設(shè)x<0,則-x>0,所以f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是R上的奇函數(shù),故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,即當(dāng)x<0時(shí),f(x)=2x2+3x-1.因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù),故f(0)=0.綜上,f(x)的解析式為f(x)=-答案:(1)x(x+1)(2)-【訓(xùn)練1】解:(1)設(shè)x>0,則-x<0,∴f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2+x.又f(x)是R上的奇函數(shù),∴f(x)=-f(-x)=x2-x.又∵函數(shù)定義域?yàn)镽,∴f(0)=0,綜上可知f(x)=-(2)設(shè)x<0,則-x>0,∴f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1,又f(x)在R上為偶函數(shù),∴當(dāng)x<0時(shí),f(x)=f(-x)=x2-x-1,即x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=x2-x-1.題型二利用奇偶性探討函數(shù)的性質(zhì)例2解:f(x)的定義域?yàn)镽,f(-x)=(-x)2-2|-x|+1=x2-2|x|+1=f(x),∴f(x)為偶函數(shù),且f(x)=(當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=(x-1)2,由二次函數(shù)的性質(zhì)易得,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.∵f(x)為偶函數(shù),∴f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,0)上單調(diào)遞增,f(x)min=f(-1)=f(1)=0,f(x)max不存在.【訓(xùn)練2】解:f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-x-1x=-x+1x=-f(x),故f(當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),由均值不等式可知f(x)=x+1x≥2x·1當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立,即f(x)∈[2,+∞),同理可知當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)∈(-∞,-2].下面證明當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)單調(diào)遞減.任取x1,x2∈(0,1]且x1≠x2,則ΔfΔx==(x2-x1∵x1,x2∈(0,1]且x1≠x2,∴0<x1x2<1,∴1x1x2>1,1-1x1x2∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減.類似地,可以證明f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增.∵f(x)為奇函數(shù),∴f(x)在(-∞,-1]上單調(diào)遞增,在(-1,0)上單調(diào)遞減.綜上,f(x)在(-∞,-1]∪[1,+∞)上單調(diào)遞增,在[-1,0)∪(0,1]上單調(diào)遞減,f(x)的值域?yàn)?-∞,-2]∪[2,+∞).題型三證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性例3證明:任取x∈R,∵f(-1+x)=-(-1+x)2-2(-1+x)+1=-x2+2,f(-1-x)=-(-1-x)2-2(-1-x)+1=-x2+2,∴f(-1+x)=f(-1-x),∴f(x)的圖像關(guān)于x=-1對(duì)稱.【訓(xùn)練3】證明:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(-1,+∞).任取x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),∵f(-1+x)+f(-1-x)=-1+x=-1+xx+1+xx=-1x+1+即f(-1+x)+f(-1-x)=2,∴f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-1,1)對(duì)稱.課堂練習(xí)1.解析:設(shè)x<0,則-x>0,所以f(-x)=x2+2x,又f(x)為R上的奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x)=-x(x+2),故選A.答案:A2.解析:f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.答案:B3.解析:∵f(x)是偶函數(shù),∴f(-3)=f(3),f(-1)=f(1),故由題意知a=-5.答案:-54.解析:依據(jù)題意畫出f(x)的大致圖像:由圖像可知-2<x<0或0<x<2時(shí),xf(x)<0.答案:(-2,0)∪(0,2)5.證明:要證f(x)的圖像關(guān)于(-1,0)對(duì)稱,只需證明f(x)對(duì)隨意的x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),滿意f(-1+x)=-f(-1-x).∵f(-1+x)=1-1+x+1=1x,f(-1-x)∴f(-1+x)=-f(-1-x),故y=1x+1的圖像關(guān)于(-1,0)核心素養(yǎng)專練1.2x+32.(-2,2)3.[2,6]4.(1)解:函數(shù)f(x)為奇函數(shù).證明:函數(shù)f(x)=x+ax(a>0)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞)且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又因?yàn)閒(-x)=-x+a-x=-x+a所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).(2)證明:f(x)=x+4x(a>0設(shè)x1,x2是區(qū)間(2,+∞)上的隨意兩個(gè)實(shí)數(shù)且x1<x2,f(x1)-f(x2)=x1+4x1-x2+4x2=x1-x2+4x1-4x2因?yàn)閤1<x2,所以x1-x2<0.又因?yàn)閤1,x2∈(2,+∞),所以x1x2>4,∴x1x2-4>0,∴f(x1)-f(x2)<0,∴函數(shù)f(x)在(2,+∞)上為增函數(shù).5.解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在[-2,2]上的奇函數(shù),所以f(0)=0,解得b=0.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[0,2]上是增函數(shù),又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(x)在[-2,2]上是單調(diào)遞增的,因?yàn)閒(m)+f(m-1)>0,所以f(m-1)>-f(m)=f(-m),所以m-1>-m,①又須要不等式f(m)+f(m-1)>0,在函數(shù)f(x)定義域范圍內(nèi)有意義.所以-2≤m≤2,-2≤m-所以m的取值范圍為12學(xué)習(xí)目標(biāo)課標(biāo)要求1.駕馭函數(shù)奇偶性的簡潔應(yīng)用.2.了解函數(shù)圖像的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心滿意的條件.素養(yǎng)要求1.通過函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,使學(xué)生熟識(shí)轉(zhuǎn)化、對(duì)稱等思索方法,提升邏輯推理素養(yǎng).2.通過函數(shù)圖像的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心等條件,提升學(xué)生的直觀想象實(shí)力,培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)情境引入問題1圖(1)和圖(2)分別是偶函數(shù)和奇函數(shù)的一部分圖像,你能結(jié)合奇偶函數(shù)圖像的特征畫出相應(yīng)圖像的另一部分嗎?(1)(2)問題2就圖(1)而言,函數(shù)在區(qū)間(-∞,-2]與[2,+∞)上的單調(diào)性是否相同?就圖(2)而言,函數(shù)在區(qū)間-52,0新知梳理1.函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)(1)若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a,b](a<b)上為增函數(shù)(減函數(shù)),則f(x)在[-b,-a]上為(),即在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性.

(2)若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a,b](a<b)上為增函數(shù)(減函數(shù)),則f(x)在[-b,-a]上為(),即在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性.

2.奇偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)在公共定義域內(nèi):(1)兩個(gè)奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù),積函數(shù)是偶函數(shù);(2)兩個(gè)偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)都是偶函數(shù);(3)一個(gè)奇函數(shù)、一個(gè)偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù).3.函數(shù)的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心(1)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,對(duì)?x∈D都有f(T+x)=f(T-x)(T為常數(shù)),則是f(x)的對(duì)稱軸.

(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,對(duì)?x∈D都有f(a+x)+f(a-x)=2b(a,b為常數(shù)),則是f(x)的對(duì)稱中心.

[自主推斷]1.若f(x)是偶函數(shù),則f(x)=f(-x)=f(|x|).()2.若對(duì)f(x)定義域內(nèi)隨意的x都有f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于x=a+b2對(duì)稱.[自主訓(xùn)練]已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x-x2,則當(dāng)x>0時(shí),f(x)=.

[思索]1.若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,則f(x),g(x)是偶函數(shù)嗎?2.函數(shù)y=xx-1的圖像有對(duì)稱中心嗎?若有課堂探究題型一利用奇偶性求函數(shù)解析式例1(1)函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x(x-1),則當(dāng)x>0時(shí),f(x)=.

(2)函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-2x2+3x+1,則f(x)=.

【訓(xùn)練1】(1)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-x2-x,求函數(shù)f(x)的解析式;(2)已知f(x)是R上的偶函數(shù),當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=x2+x-1,當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),求f(x)的解析式.題型二證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性例2求證:二次函數(shù)f(x)=-x2-2x+1的圖像關(guān)于x=-1對(duì)稱.【訓(xùn)練2】證明函數(shù)f(x)=xx+1的圖像關(guān)于點(diǎn)(-1,1)核心素養(yǎng)一、素養(yǎng)落地1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).2.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性.3.假如一個(gè)奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義,那么肯定有f(0)=0;假如函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.已知函數(shù)y=f(x)在R上為奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-2x,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)的解析式是()A.f(x)=-x(x+2) B.f(x)=x(x-2)C.f(x)=-x(x-2) D.f(x)=x(x+2)2.若函數(shù)f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)為偶函數(shù),則m的值是()A.1 B.2 C.3 D.43.證明函數(shù)f(x)=1x+1的圖像關(guān)于(-1,0)課堂練習(xí)1.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x,x≥0,g(x),x<0,且A.6 B.-6 C.2 D.-22.已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),其圖像與x軸有4個(gè)交點(diǎn),則方程f(x)=0的全部實(shí)根之和是()A.4 B.2 C.1 D.03.已知函數(shù)f(x)=(m-1)x2+2mx+3為偶函數(shù),則f(x)在區(qū)間(-5,-2)上是()A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.非單調(diào)函數(shù)D.可能是增函數(shù),也可能是減函數(shù)4.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2+1,則f(-2)+f(0)=.

5.已知函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-2x+3.(1)試求f(x)在R上的解析式;(2)畫出函數(shù)的圖像,依據(jù)圖像寫出它的單調(diào)區(qū)間.核心素養(yǎng)專練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.f(x)=(m-1)x2+2mx+3為偶函數(shù),則f(x)在區(qū)間(2,5)上是()A.增函數(shù) B.減函數(shù)C.有增有減 D.增減性不確定2.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,f(-2)=10,則f(2)等于()A.-26 B.-18 C.-10 D.103.設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),且f(1)=0,則不等式f(x)-f(-xA.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)二、填空題4.已知y=f(x)+x2是奇函數(shù)且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,則g(-1)=.

三、解答題5.已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+ax是定義在[-3,a+1]上的奇函數(shù),求:(1)實(shí)數(shù)a,b的值;(2)求f(x)的值域.參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究題型一利用奇偶性求函數(shù)解析式例1解析:(1)設(shè)x>0,則-x<0,所以f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為R上的偶函數(shù),故當(dāng)x>0時(shí),f(x)=f(-x)=x(x+1),即x>0時(shí),f(x)=x(x+1).(2)設(shè)x<0,則-x>0,所以f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是R上的奇函數(shù),故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,即當(dāng)x<0時(shí),f(x)=2x2+3x-1.因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù),故f(0)=0.綜上,f(x)的解析式為f(x)=-答案:(1)x(x+1)(2)-【訓(xùn)練1】解:(1)設(shè)x>0,則-x<0,∴f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2+x.又f(x)是R上的奇函數(shù),∴f(x)=-f(-x)=x2-x.又∵函數(shù)定義域?yàn)镽,∴f(0)=0,綜上可知f(x)=-(2)設(shè)x<0,則-x>0,∴f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1.又f(x)在R上為偶函數(shù),∴當(dāng)x<0時(shí),f(x)=f(-x)=x2-x-1,即x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=x2-x-1.題型二證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性例2證明:任取x∈R,∵f(-1+x)=-(-1+x)2-2(-1+x)+1=-x2+2,f(-1-x)=-(-1-x)2-2(-1-x)+1=-x2+2,∴f(-1+x)=f(-1-x),∴f(x)的圖像關(guān)于x=-1對(duì)稱.【訓(xùn)練2】證明:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(-1,+∞).任取x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),∵f(-1+x)+f(-1-x)=-1+x=-1+xx+1+xx=-1x+1+即f(-1+x)+f(-1-x)=2,∴f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-1,1)對(duì)稱.核心素養(yǎng)素養(yǎng)訓(xùn)練1.解析:設(shè)x<0,則-x>0,所以f(-x)=x2+2x,又f(x)為R上的奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x)=-x(x+2).答案:A2.解析:f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.答案:B3.證明:要證f(x)的圖像關(guān)于(-1,0)對(duì)稱,只需證明f(x)對(duì)隨意的x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),滿意f(-1+x)=-f(-1-x).∵f(-1+x)=1-1+xf(-1-x)=1-1-∴f(-1+x)=-f(-1-x),故y=1x+1的圖像關(guān)于(-1,0)課堂練習(xí)1.解析:g(-2)=f(-2)=f(2)=22+2=6.答案:A2.解析:y=f(x)是偶函數(shù),所以y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,所以f(x)=0的全部實(shí)根之和為0.答案:D3.解析:∵f(x)為偶函數(shù),∴m=0,f(x)=-x2+3,∴f(x)的對(duì)稱軸為y軸,故f(x)在區(qū)間(-5,-2)上是增函數(shù).答案:A4.解析:由題意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0,∴f(-2)+f(0)=-5.答案:-55.解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以f(x)為奇函數(shù),則f(0)=0.設(shè)x<0,則-x>0,因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-2x+3.所以當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3)=-x2-2x-3.于是有f(x)=x(2)先畫出函數(shù)在y軸右側(cè)的圖像,再依據(jù)對(duì)稱性畫出y軸左側(cè)的圖像,如圖.由圖像可知函數(shù)f