《高等數(shù)學(xué)》課件第1章

第1章函數(shù)、極限與連接1.1函數(shù)及其性質(zhì)1.2極限的概念1.3無窮小量與無窮大量1.4極限的四則運(yùn)算法則1.5兩個(gè)重要極限1.6無窮小量的比較1.7函數(shù)的連續(xù)性

1.1函數(shù)及其性質(zhì)一、函數(shù)的概念

1.區(qū)間與鄰域

1)區(qū)間數(shù)學(xué)中討論的量分為兩類：常量與變量.在給定的問題中，不變的、保持一定值的量叫做常量;由于某種緣故變化著的，取不同值的量叫變量.任何一個(gè)變量，都有確定的變化范圍，如果變量的變化范圍是連續(xù)的，常用一種特殊的數(shù)集——區(qū)間來表示，例如：點(diǎn)x0稱為鄰域的中心，δ稱為鄰域的半徑.

因?yàn)閨x－x0|＜δ相當(dāng)于－δ＜x－x0＜δ，即x0－

δ＜x＜x0+δ，所以在幾何上，鄰域U(x0，δ)表示以點(diǎn)x0為中心，長為2δ的開區(qū)間(x0－

δ，x0+δ)，如圖1-1所示.圖1-1或

2.函數(shù)的定義現(xiàn)實(shí)世界中各種變化著的量不是孤立的，而是相互聯(lián)系和相互制約的，這種變量間的相依關(guān)系反映到數(shù)學(xué)上就是函數(shù)，它描述了自然現(xiàn)象中量的變化規(guī)律.例1圓的面積公式：

S=πr2

式中r是圓的半徑，圓的半徑不同，圓的面積也就不同，而π在圓的面積計(jì)算中總是不變的，因此，在這個(gè)給定的問題中，π是常量，圓的半徑r和圓的面積S都是變量，當(dāng)圓的半徑r取定某一數(shù)值時(shí)，則圓的面積S

也隨之有一個(gè)確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，如r=1m時(shí)，S=3.14m2.圖1-2例3某種牌號(hào)語音機(jī)，當(dāng)單價(jià)為230元時(shí)，每月可銷售1500臺(tái)，如果單價(jià)每降低10元，則可多銷售25臺(tái)，單價(jià)不得低于160元.銷量Q與單價(jià)P有如下關(guān)系：當(dāng)P在允許的降價(jià)范圍內(nèi)變化時(shí)，銷售量Q也隨之有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng).綜合上述各例，就其所涉及的應(yīng)用領(lǐng)域而言，有幾何的、氣象的、經(jīng)濟(jì)的，但其共同本質(zhì)是參與給定問題的變量之間存在相互依賴的關(guān)系，當(dāng)其中一個(gè)變量在某一范圍內(nèi)每取一個(gè)數(shù)值時(shí)，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系(如公式、圖形和列表)，另一個(gè)變量就有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng).函數(shù)的一般概念正是這樣抽象出來的.定義1設(shè)x和y

是兩個(gè)變量，數(shù)集D是變量x的變化范圍，如果對(duì)于屬于D的每個(gè)數(shù)x，變量y按照一定的規(guī)律f總有確定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作

y=f(x),x∈D稱變量x是自變量，變量y是函數(shù)(或因變量),數(shù)集D是函數(shù)的定義域.若對(duì)于確定的x0∈D，通過對(duì)應(yīng)規(guī)律f，函數(shù)y有確定的值y0與之對(duì)應(yīng)，則稱y0為y=f(x)在x0處的函數(shù)值，記作

y0=y|x=x0=f(x0)全體函數(shù)值組成的集合，稱為函數(shù)的值域，記作M.為了理解這個(gè)定義，說明以下幾點(diǎn)：

(1)在函數(shù)定義中，僅要求對(duì)自變量x∈D，都有確定的y∈M與之對(duì)應(yīng)，因此，常量y=C也符合函數(shù)的定義，因?yàn)楫?dāng)x∈R時(shí)，所對(duì)應(yīng)的y

值都是確定的常數(shù)C，一般稱y=C為常函數(shù).

(2)若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的每一點(diǎn)都有定義，則稱這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上有定義.

(3)若對(duì)于D中的每個(gè)x的取值，y有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，稱這樣的函數(shù)為單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)，以后我們所涉及和討論的函數(shù)一般是指單值函數(shù).

(4)一般函數(shù)的對(duì)應(yīng)規(guī)律用字母“f”來表示，對(duì)不同的函數(shù)的對(duì)應(yīng)規(guī)律可以用不同的字母來表示.

(5)函數(shù)通常有三種表示法。公式法(或解析法)：用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法，如例1.圖形法：用幾何圖形表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法，如例2.列表法：用表格表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法，如例3.

(6)函數(shù)的定義中涉及定義域D、對(duì)應(yīng)規(guī)律f和值域M三個(gè)因素，顯然，給定D和f，M就被相應(yīng)確定了，D和f就是決定一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)要素，于是兩個(gè)函數(shù)相等的充要條件是定義域相同且對(duì)應(yīng)規(guī)律相同.例如y=x2，u=r2甚至x=y2都是同一個(gè)函數(shù)，因?yàn)樗鼈兊亩x域都是(－∞，+∞)，且對(duì)應(yīng)規(guī)律都是因變量等于自變量的平方，這也表明因變量、自變量與字母無關(guān).需要注意的是，同一問題中涉及多個(gè)函數(shù)時(shí)，則應(yīng)取不同的記號(hào)分別表示它們各自的對(duì)應(yīng)規(guī)律.

(7)確定用公式法表示的函數(shù)的定義域，應(yīng)考慮兩種情況，一是確定使該式子有意義的自變量的全體，二是對(duì)實(shí)際問題要根據(jù)變量的實(shí)際變化范圍來確定.一般地，應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：①分母不能為零;②偶次根號(hào)下非負(fù);圖1-3圖1-4圖1-5常用到.定義9由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的，并且可以由一個(gè)式子表示的函數(shù)，叫做初等函數(shù).了1.2極限的概念極限描述變量在某一過程中的變化趨勢(shì).極限方法是微積分研究采用的基本方法，微積分學(xué)中許多重要概念及其運(yùn)算都離不開極限的概念和運(yùn)算法則.用微積分研究實(shí)際問題，必須掌握極限的概念、性質(zhì)和計(jì)算.研究函數(shù)的極限，就是研究當(dāng)自變量在無限變化的狀態(tài)下函數(shù)的變化趨勢(shì).

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