《機(jī)器人學(xué)簡明教程》課件第5章

第5章速度與靜力學(xué)關(guān)系5.1速度的符號表示5.2剛體的線速度和角速度5.3機(jī)器人連桿間速度傳遞5.4機(jī)器人雅可比矩陣5.5機(jī)器人靜力關(guān)系 5.1速度的符號表示

圖5－1給出了矢量Q在坐標(biāo)系{B}下的表示BQ，以{B}為參考系可以得到Q點相對{B}的速度矢量，即矢量Q的微分(5－1)假設(shè)Q點相對于坐標(biāo)系{B}固定，即不隨時間變化，則式（5－1）的微分結(jié)果為零，即使它相對其他坐標(biāo)系是變化的。速度矢量在坐標(biāo)系{A}下可表示為(5－2)圖5－1矢量表示因此，點的速度描述通常取決于兩個坐標(biāo)系:一個是進(jìn)行微分的坐標(biāo)系（物理學(xué)中的參考系），另一個是描述該速度矢量的坐標(biāo)系。若兩個坐標(biāo)系相同，如都是坐標(biāo)系{B}，則外層上標(biāo)可以省略。

經(jīng)常使用的情況是一個坐標(biāo)系原點相對固定的世界坐標(biāo)系{U}的速度，這種情況下定義縮寫符號vC=UVCO

（5－3）式（5－3）表示坐標(biāo)系{C}原點速度，參考系為{U}。采用該縮寫符號，則該速度在坐標(biāo)系{A}下表示為AvC，但需要說明的是，它是相對固定（世界）坐標(biāo)系{U}的速度。

圖5－2所示為角速度矢量表示。角速度矢量用Ω表示，描述剛體的旋轉(zhuǎn)運動。AΩB表示坐標(biāo)系{B}相對于{A}的旋轉(zhuǎn)角速度矢量，方向代表轉(zhuǎn)軸，大小表示轉(zhuǎn)動速度值。相對于固定參考系{U}的角速度可省略參考系符號，例如坐標(biāo)系{C}的角速度可以表示為（5－4）式中，ωC是角速度矢量在{A}下的表示，但角速度觀測是相對于{U}的。圖5－2角速度矢量表示 5.2剛體的線速度和角速度

1.線速度

如圖5－3所示，坐標(biāo)系{B}固連在剛體上，要求描述Q相對{A}的運動。已知坐標(biāo)系{B}相對坐標(biāo)系{A}的描述，并假設(shè)不隨時間變化,則(5－5)式（5－5）只適合坐標(biāo)系{B}相對{A}位姿不變，即剛體只做平移運動而沒有旋轉(zhuǎn)的情況。圖5－3

Q相對（A）的運動

2.角速度

當(dāng)AΩB≠0即剛體存在旋轉(zhuǎn)運動時，公式推導(dǎo)比較復(fù)雜。下面只給出結(jié)果：(5-6)

例5－1如圖5－4所示，機(jī)器人質(zhì)心沿XA軸以1m/s速度移動，同時繞質(zhì)心以1rad/s角速度轉(zhuǎn)動，半徑r=0.5m，求下邊緣點Q的速度。圖5－4圓盤機(jī)器人

解:在坐標(biāo)系{A}下機(jī)器人中心速度AVBO=1m/s，Q點相對坐標(biāo)系{B}靜止，所以BVQ=0，矢量AQ垂直向下。機(jī)器人轉(zhuǎn)動速度大小AΩB=1rad/s，方向沿ZA軸,代入到式（5－5）得Q點相對坐標(biāo)系{A}的速度結(jié)果與我們的直觀理解相同。

5.3機(jī)器人連桿間速度傳遞

一般選基座參考系{0}作為參考系,vi表示坐標(biāo)系{i}原點的線速度,ωi表示坐標(biāo)系{i}的角速度(都是相對參考系{0}的)。

機(jī)械手的各連桿的速度可以從基坐標(biāo)系{0}開始依次計算。如圖5－5所示,連桿速度用線速度vi和角速度ωi描述,矢量用{i}描述比較方便。圖5－5連桿速度表示同時，將相鄰連桿的速度矢量用同一坐標(biāo)系表示，則速度可以相加。連桿i+1的角速度等于i的角速度加上連桿i+1關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)引起的角速度（相對坐標(biāo)系{i}）。圖5－6所示為連桿間速度傳遞關(guān)系。圖5－6連桿間速度傳遞在坐標(biāo)系{i}下，連桿i+1的角速度表示為(5－7)在式（5－7）兩端同乘，得(5－8)由式（5－6）得連桿i+1的線速度(5－9)在坐標(biāo)系{i+1}下表示為(5－10)例5－2圖5－7所示為兩連桿機(jī)械臂，坐標(biāo)系{0}~{3}給定，計算各連桿速度。圖5－7兩連桿機(jī)械臂解:坐標(biāo)系間的旋轉(zhuǎn)矩陣為連桿1的速度為根據(jù)式（5－8），可以計算連桿2的角速度為根據(jù)式（5－10），可以計算連桿2的線速度為坐標(biāo)系{3}和{2}固連在一個連桿上，所以3ω3=2ω2。根據(jù)式（5－10），可以計算坐標(biāo)系{3}原點的線速度為坐標(biāo)系{3}原點的線速度在基坐標(biāo)系下表示為5.4機(jī)器人雅可比矩陣

給定m個多元函數(shù)（其中x是t的函數(shù)）(5－11)計算函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)得(5－12)寫成向量形式(5－13)J(x)稱為雅可比矩陣，維數(shù)為m×n，一般情況下是時變的，其表達(dá)式如下:(5－14)將式（5－13）應(yīng)用于機(jī)械臂(5－15)式中，是笛卡爾速度矢量；θ是關(guān)節(jié)角。對于6關(guān)節(jié)機(jī)械臂(5－16)即笛卡爾速度矢量表示機(jī)械臂末端的線速度和角速度。式（5－15）通過雅可比矩陣建立了機(jī)械臂末端笛卡爾空間速度和關(guān)節(jié)空間速度之間的關(guān)系。假設(shè)雅可比矩陣J(θ)可逆，得(5－17)如果給定笛卡爾空間期望速度，則式（5－17）是關(guān)于關(guān)節(jié)角的常微分方程組。給定關(guān)節(jié)角的初值，式（5－17）的解即為期望的關(guān)節(jié)角軌跡。一般不能求出式（5－17）的解析解，可以采用數(shù)值方法獲得近似解。

例5－3圖5－7所示為兩連桿機(jī)械臂，建立機(jī)械臂末端速度與關(guān)節(jié)速度的關(guān)系，并計算末端沿X0軸以1m/s速度運動時兩個關(guān)節(jié)的速度。

解:采用幾何方法求解該問題。機(jī)械臂末端在固定坐標(biāo)系下的位置和速度為因此，根據(jù)式（5－14），可以計算出雅可比矩陣機(jī)械臂末端速度與關(guān)節(jié)速度的關(guān)系為該結(jié)果與前面直接的導(dǎo)數(shù)計算結(jié)果完全相同。因此，可以采用直接計算位置對時間導(dǎo)數(shù)的方法得到雅可比矩陣。下面根據(jù)式（5－15）,得出機(jī)械臂關(guān)節(jié)速度與末端速度的關(guān)系。首先計算雅可比矩陣行列式的值，然后采用伴隨矩陣計算雅可比矩陣的逆:因此，當(dāng)θ2→0時，關(guān)節(jié)角速度→∞。本例題表明，雅可比矩陣可能存在奇異問題，此時期望的末端速度無法實現(xiàn)，實際應(yīng)用中必須避免。 5.5機(jī)器人靜力關(guān)系

為了方便地得到機(jī)器人靜力關(guān)系，下面簡要介紹虛功原理以及相關(guān)的基本概念。

(1)約束:對質(zhì)點系位置或速度的限制條件稱為約束。

例如圖5－8（a）所示的單擺，剛性桿長為l。擺錘受到的限制條件為x2+y2=l2

（5－18）圖5－8（b）所示的純滾動輪子。輪心移動速度與輪子轉(zhuǎn)動角速度之間的限制條件為（5－19）圖5－8約束例子(2)約束力:由于約束而使物體受到的力。

例如圖5－8(a)所示的單擺擺錘受到的力F，圖5－8（b）所示的地面對輪子的支持力N，以及圖5－8(c)所示的鉸鏈對連桿的作用力F等。

(3)虛位移:質(zhì)點（質(zhì)點系）滿足約束的無限小位移，稱為虛位移。

例如圖5－8(c)所示的鉸鏈B的虛位移可以在兩個方向上，用δr表示。(4)虛功:力在相應(yīng)虛位移上做的功，稱為虛功。

w=F

r

（5－20）（5）理想約束:若質(zhì)點系約束力在任意虛位移上所做虛功之和為零，則稱質(zhì)點系受理想約束。（6）虛功原理:在理想約束條件下，質(zhì)點系平衡的充要條件是主動力在任意虛位移上所做虛功之和為零。虛功原理是質(zhì)點系靜力學(xué)平衡和動力學(xué)分析的理論基礎(chǔ)。

例5－4如圖5－9所示杠桿，桿端A受到力FA作用，忽略杠桿質(zhì)量和支點摩擦影響，用虛功原理確定杠桿在水平位置平衡時，桿端B需要施加的力FB。

解:杠桿受理想約束，主動力為FA和FB，根據(jù)虛功原理得FA

xA+FB

xB=0

xA=LA

q，

xB=LB

q

代入到虛功方程得(FA

LA

+FB

LB)

θ=0因為δθ是任意的,所以上式中括號內(nèi)的值必為零,因此式中負(fù)號表示實際方向與假設(shè)方向相反。顯然,虛功原理計算結(jié)果與直接用杠桿原理計算結(jié)果完全相同。圖5－9杠桿平衡圖5－10機(jī)械臂靜力學(xué)關(guān)系在推導(dǎo)過程中采用以下規(guī)定符號:

r=[r1,

r2,

,

rm]T

為m×1維手爪虛位移矢量；為n×1維關(guān)節(jié)虛位移矢量；F=[f1,f2,

,fm]T

為m×1維手爪受力矢量；t

=[t1,t2,

,tn]T

為n×1維關(guān)節(jié)驅(qū)動力矢量。圖5－10中手爪對環(huán)境的作用力F和環(huán)境對手爪的作用力F′是一對作用力和反作用力，所以，F(xiàn)′=-F。忽略機(jī)械臂重力和關(guān)節(jié)摩擦影響，由虛功原理得:tT

θ

+F′T

r=0（5－21）因此，tT

θ

-FT

r=0（5－22）根據(jù)雅可比矩陣的含義可得

r=J

θ（5－23）把式（5－23）代入到式（5－22）得（5－24）因為δθ是任意的，所以（5－25）最后，可以得到機(jī)械臂平衡時，關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩與末端手爪生成對環(huán)境作用力關(guān)系:（5－26）

例5－5如圖5－11所示2自由度機(jī)械臂，當(dāng)關(guān)節(jié)角θ1