2024年北京東直門中學(xué)高二（上）10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京東直門中學(xué)高二10月月數(shù) 學(xué)2024.10考試時間：120分鐘總分150分第一部分（共12小題，每題4分）在如圖所示的空間直角坐標系中，ABCD是單位正方體，其中點A的坐標是（ ）A.1,

B.

C.

D.1,1,1在空間直角坐標系Oxyz中，與點1,2,1關(guān)于平面xOz對稱的點為（ ）A.1,2,1

B.1,2,1

C.1,2,

D.1,2,13.若ax,3，b2,y,6，且a//b，則（ ）A.x1，y2 B.x1，y2C.x1，y22

D.x1，y2ABCDABBCa2aAC的距離為D. A.3 2a B.2 2a C. 3aD. 2 3 2正方體ABCD的棱長為a，則棱到面的距離為（ ）C.2aD.2aA. 3C.2aD.2a3 2ABCD中，以頂點A1，且兩兩夾角為60，則與AC夾角的余弦值為（ ） 3646為了調(diào)查老師對微課堂的了解程度，某市擬采用分層抽樣的方法從ABC60進行調(diào)查，已知ABC180，270，90名教師，則從C學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為（ ）A.10 B.12 C.18 D.24“雙減”政策實施后，學(xué)生的課外閱讀增多.50名學(xué)生到圖書館借書數(shù)量統(tǒng)計如下：借書數(shù)量（單位：本）5678910頻數(shù)（單位：人）58131194則這50名學(xué)生的借書數(shù)量的上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）是（ ）A.8 B.8.5 C.9 D.10下列四個說法：①若向量abc是空間的一個基底，則ababc也是空間的一個基底；②空間的任意兩個向量都是共面向量；③若兩條不同直線l,m的方向向量分別是ab，則l//ma//b；④若兩個不同平面的法向量分別是uv且u22),244)，則//．其中正確的說法的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.410A2,10B0C2D2AB在向量CD上的投影向量的模為（ ）212A. B.1 C.2

D. 27537.3℃737.3℃人數(shù)的統(tǒng)計特征數(shù)中，能判定該公司沒有發(fā)生群體性發(fā)熱的為（）（1）中位數(shù)為3，眾數(shù)為2（2）均值小于1，中位數(shù)為12（3）34（4）2，標準差為2.（13） B.（（4） C.（（3） .（24）2ABCDPQ上的動點，則下列四個命題中正確命題的個數(shù)是（）①存在點Q，使得PQ//BD ②不存在點Q，使得PQ平面③三棱錐QAPD的體積是定值 ④不存在點Q，使得PQ與AD所成角為60A.0 B.1 C.2 D.3與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.第二部分（共6小題，每題5分）已知兩條異面直線,l2對應(yīng)的方向向量分別是a1,2，b0,11,5，則異面直線,l2的夾角為 ．某班級有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)測試平均成績是92分，如果30名男生的平均成績?yōu)?0分，那么20名女生的平均成績?yōu)?分.已知一組數(shù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)的方差為 .ABCDABAD2BAD120，60，則線段的長度是 .17.已知空間向量a(1,2,4),b(1,4,2),c(x,4,z),（1）若(a2b)c，且x4，則z；（2）若a,b,c共面，在以下三個條件中①x1，②x0，③x2選取一個作為已知，則z的值可以為 ．ABCDEPDCD向點C移動，對于下列三個結(jié)論：①存在點P，使得PA1PE；②△PA1E的面積越來越大；③四面體A1PB1E的體積不變．所有正確的結(jié)論的序號是 ．（共6小題，共72分）某市舉辦“強國有我，愛我中華”2000460x70，②70x80，③80x90，④90x100，并進行統(tǒng)計分析，公布了如圖所示的頻率分布直方圖．2000（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表；某同學(xué)獲知自己的成績進入本次競賽成績前20，估計該同學(xué)的成績不低于多少分？記ABCA、B、Ca，b，c，已知sinCB；

2cosB，a2b2c2

2ab.2若c2 時，求ABC的面積.2PABCDBC上一點，且CD2BDMAD的中點．以ABACAPPM；ABAC3AP4BACPAC60PMAC．POABCDEAB的中點，AA12,AB22.//PBC；求點OPBC的距離；APCB的余弦值.如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形， ADE是等邊三角形，平面平面ABCD，EF//AB,EF1,AB2，O是AD的中點.EOABCD；ABBCF所成的角的大小；EBCF的體積.nA1,2,...,n，若對任意i,,...,n均有i0i1，則稱An維T向量.nn對于兩個n維T向量A,B定義dA,Baibi.i1（1）若A1,0,1,0,1,B0,1,1,1,0,求dA,B的值；（2）現(xiàn)有一個5維TAAAAdAA

2,iN*，求證：1 2 3 1該序列中不存在5維T向量00.

i i11 2 (3)現(xiàn)有一個12維TAAA且滿足：1 2 d,

12m,mN*,i1,2,3,...，若存在正整數(shù)j使得Aj0,0,...,0,Aj為12維T向量序列中的12項，求出所有的m.參考答案第一部分（共12小題，每題4分）【答案】D【分析】根據(jù)空間直角坐標系的定義求出點的坐標.【詳解】點A的坐標為1,1,1.故選：D【答案】A【分析】根據(jù)空間直角坐標系的對稱點坐標特點直接求解即可.【詳解】解：因為點1,2,1，則其關(guān)于平面xOz對稱的點為1,2,1.故選：A.【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的共線條件，列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，向量ax,1,3，b2,y,6，a//b

x6230，可得163y

，即x10，解得x1,y2.y2故選：B.AD,ACAD,AC110101ADACa2cos1ADADACAAADABADAAABAAADADABADa22111110

，再計算距離得到答案.，AC1 AD1ACADACa22a5a

10，AC

sin

AC

5a31033a.10 2故選：A.【點睛】本題考查了利用空間向量計算距離，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.【答案】C【分析】連接A1C1,B1D1，它們交于點O，證明B1D1平面AA1C1C，得B1O的長即為棱BB1到面AA1C1C的距離，，它們交于點O，，AA1A1C1A1,AA1,A1C1平面AA1C1C，所以B1D1平面AA1C1C，

2a，2所以所求距離為2a．2故選：C．【答案】BAC ABaADbAC ACBD11，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.abca,ba,cb,c60ABaADbabca,ba,cb,c60AC 則AC2(ab)2a2b22ab112111AC 2

和 ，且 2，BD2(bca)2b2c2a22bc2ac2bc1112121212，1 2

2 2 2AC,BD1AC 1ACBD1322 6且ACBD1(ab)(bca)abacaAC,BD1AC 1ACBD1322 6所以cos

6.故選：B.【答案】A【分析】按照分層抽樣原則，每部分抽取的概率相等，按比例分配給每部分，即可求解.【詳解】A，B，C三所學(xué)校教師總和為540，從中抽取60人，則從C學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為90

60

10人.故選:A.【點睛】本題考查分層抽樣抽取方法，按比例分配是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.【答案】C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義，結(jié)合統(tǒng)計表求四分位數(shù).【詳解】由5075%37.5，故第75百分位數(shù)在借書數(shù)量從小到大排序后的第38人，又5813113738581311946，故四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）是9.故選：C【答案】Da,b,c是空間的一個基底，則ab,ab,c也是空間的一個基底，正確．②空間的任意兩個向量都是共面向量，正確．③若兩條不同直線l，m的方向向量分別是a,b，則l∥ma∥b，正確．α，β的法向量分別是uv2其中正確的說法的個數(shù)是4考點：空間向量的概念【答案】D

(2,4,4)，∵v2u，則∥．【分析】計算AB1,2,0，CD4,4,0，根據(jù)投影公式得到答案.42【詳解】根據(jù)題意：AB1,2,0，CD4,4,0，42

在CD上的投影向量的模為ABCDCD

48 4242 4

2.2故選：D.【答案】D【分析】將7個數(shù)據(jù)有小到大依次排列，舉出反例證明（1（3）不滿足，假設(shè)（2）不滿足，根據(jù)計算得2到平均數(shù)大于1，矛盾，假設(shè)（4）不滿足，計算標準差大于 ，矛盾，得到答案.27個數(shù)由小到大依次記為x1x2x3x4x5x6x7.對于（1）222、3、34、632（）選項不合乎要求；對于（2）選項，假設(shè)x76，即該公司發(fā)生了群體性發(fā)熱，因中位數(shù)為1，則x6x5x41，平均數(shù)77為 031116

（2）選項合xi1 17 7乎要求；對于（3）0、12444、643（3選項不合乎要求；對于（4）選項，假設(shè)x76，即該公司發(fā)生群體性發(fā)熱，若均值為2，則方差為7 22

22

，即s ，與（4）選項矛盾，故假設(shè)不成立，即該公司沒有發(fā)2s2i1 7 227 7 7（4）故選：D【答案】ABD//

PQP即可判斷；對于②，若Q為BC1中點，根據(jù)正方體、線面的性質(zhì)及判定即可判斷；對于③，只需求證BC1與面APD是否平行；對于④，利用空間向量求直線夾角的范圍即可判斷.ABCDBD//，而P為線段的中點，即為的中點，所以PQP，若存在點QBD//PQPQ，這與PQP矛盾，假設(shè)不成立，①錯；對于②，若QPQ//A1BPQ，ADADPQAD，ADAADPQ，所以存在QPQ，②錯；ABCDAB，而面APDA，故與面APD不平行，QQAPD故三棱錐QAPD的體積不是定值，③錯；DDADCxyz軸建立如下圖示空間直角坐標Dxyz，PQ 21a21a21a22DAPQDAPAA20P2Q2a2aPQ 21a21a21a22DAPQDAPA則cos

1，11a2a23a3a2a10，解得a12

5，合乎題意，所以，存在點QPQAD所成角為60，④錯故選：A.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.第二部分（共6小題，每題5分）π【答案】3【分析】利用直線的方向向量以及向量的夾角公式求解即可.【詳解】由已知cos由于異面直線夾角的取值范圍為0,π

1，a,ba,babab25516 2 所以異面直線llπ.12 3π故答案為：3【答案】95【分析】利用平均數(shù)的求法計算即可.【詳解】設(shè)所求平均成績?yōu)閤，由題意得5092309020x，∴x95.故答案為：95265【分析】先根據(jù)平均數(shù)計算出m的值，再根據(jù)方差的計算公式計算出這組數(shù)的方差.【 詳 解 】 依 題 意 12m67m45

.所 以 方 差 為1142242442642742194496.5 5 5故答案為26.5【點睛】本小題主要考查平均數(shù)和方差的有關(guān)計算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2【答案】2 .2【分析】先利用AC1ABADAA1，再應(yīng)用數(shù)量積及模長公式計算即可求解．AC ABADAA ABADAC ABADAA ABADAA 2ABAD2ABAA2ADAA211222211124442222cos120222cos608，所以2 ，22故答案為：2 .25【答案】 ①.2

②.22或12或8(只需寫出一個)【分析】(1)結(jié)合已知條件，利用垂直的空間向量的數(shù)量積為0和數(shù)量積的坐標運算即可求解；(2)利用空間向量的基本定理即可求解.【詳解】(1)當(dāng)x4時，c4,4,z，a4b2)，a6,8，因為(a2b)c，2所以a2bc14648z0，解得z5；2(2)因為a,b,c共面，ccab選①x1，則(1,4,z)(,2,4)(,4,2)(,24,42u)，1故244，解得z22；42z選②x0，則(0,4,z)(,2,4)(,4,2)(,24,42u)，0故244，解得z12；42z選③x2，則(2,4,z)(,2,4)(,4,2)(,24,42u)，2故244，解得z8；42zz的值可以為22或12或8.5故答案為：2

22或12或8.【答案】①③B2P,,0（0m2，列出方程，求mP距離，表達出進而判斷結(jié)論②；③把Ph，可以判斷結(jié)論③.【詳解】如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為2，則A12,0,2,E1,2,2，設(shè)P0,m,00m2，4m4m2

m28,PE ，1(m2)2m24mm28m21(m2)2m24m

PE，故①正確；4PE,AE22)0)15PE,AE22)0)15m4m92

114 51432m55m24m9PddPEsinPE,

m24m91132m25m24m9m28m365

PA1E

1 (m4)220，1AE1AEd1 m28m36212因為0m2，動點P沿著棱DC從點D向點C移動，m從0逐漸變到2m以Ph，DC//h故答案為：①③．【點睛】方法點睛：求點A到直線BC的距離，方法如下：BAsinBCBA 1cos2BC1SABC2BAsinBCBA 1cos2BC1d

可得出點A到直線BC的距離.（共6小題，共72分）19.【答案】（1）83.5（2）92分【分析】（1）由頻率分布直方圖求平均數(shù)，用每一組中點的橫坐標乘以頻率，再全部相加；（2）求成績前20%，根據(jù)求第百分位數(shù)的方法求解即可.【小問1詳解】x650.05750.3850.4950.2583.5，200083.5．【小問2詳解】因為90,100這組數(shù)據(jù)占總數(shù)的25%，該同學(xué)的成績進人本次競賽成績前20%，所以1001020%92．25%所以可以估計該同學(xué)的成績不低于92分．π（1）33（2）33（1）根據(jù)題意，由余弦定理求得CcosB1，即可求解.2

2，得到sinC2

2，再由sinC2

2cosB，求得3（2）由正弦定理，求得b23可求解.【小問1詳解】

，再由兩角和的正弦公式，求得sinA的值，結(jié)合三角形的面積公式，即因為a2b2c2 2ab，2ab21cos2C2a2b2ab21cos2C2由余弦定理得C ，則sinC ，2ab 2ab 2 2又因為sinC

2cosB，可得B 1，sinC2sinC2因為B(0,π)，所以Bπ.3【小問2詳解】由（1）sinC

Bπ，因為c2

2 32b，由正弦定理 2b

c ，可得bcsinB

22

3322 ，3sinB

sin

sinC 22又由sinAsin(BC)sinBCBsinC

3 21 2 6 2，2 2 2 2 4所以 ABC的面積為S1bcsinA12322

6 23 .32 2 43（1）PMAP1AB1AC；3 6（2）3.【分析】（1）直接利用向量的數(shù)乘運算及加減運算求解；（2）由向量的單項式乘多項式及向量的數(shù)量積運算求解．【小問1詳解】∵M為線段AD的中點，∴AM1AD，2∵CD2BD，∴BD1BC，3PA1AD∴PMPAPA1ADPAPA1(ABBD)PAPA1(AB1BC)PAPA1AB1(BAAC)23PAPA1(AB1AB1AC)2 3 3AP1AB1AC；3 6【小問2詳解】PMPMAC(AP1AB1AC)ACAPAC1ABAC1AC21AC1AC26AP

ACcosPAC1AB3

ACcosBAC43113311322 3 2 66333．2 2（1）證明見解析（2）233（3） 33（1）解：以點OPBC的法向量為n和A1E(1,1,2)，根據(jù)AEn0，得到AEn，進而證得AE//平面PBC；由（1）PBCn，且OB(020)，結(jié)合向量的距離公式，即可求解；利用線面垂直的判定定理，證得OBPACPAC的一個法向量為OB(020)，由（1）PBCn，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】解：以點O為坐標原點，以O(shè)A,OB,OP所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為AA12,AB22，則A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,1,0),P(0,0,2),B(0,2,0),C(2,0,0)，可得A1E(1,1,2),BC(2,2,0),PB(0,2,2)，nBC2x2y0設(shè)平面PBC的法向量為n(x,y,z)，則 ，nPB2y2z0z1xy1n，AEn0AEn，又因為AE平面PBC，所以AE//平面PBC.【小問2詳解】解：由（1）知，平面PBC的一個法向量為n(1,1,1)，且OB(0,2,0)，d

OBn

23 23 (1)21212 3233所以點O到平面PBC的距離為 233【小問3詳解】解：在正方形ABCD中，可得OBAC，因為OP平面ABCD，且OB平面ABCD，所以O(shè)BOP，又因為AC OPO，且AC,OP平面PAC，所以O(shè)B平面PAC，所以平面PAC的一個法向量為OB(0,2,0)，由（1）PBCn，APCB所成角的角為，且0π，2所以coscosOB,n

OB

2 ，3OBn3

23 3所以二面角APCB所成角的余弦值為 3.3（1）證明見解析π（2）3（3） 33【分析（1）由等邊 ADE中，證得EOAD，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，即可證得EO平面ABCD.以O(shè)AB020)BCF的一個法向量為n(0,3,1)，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；EBCFhEF0,10，利用向量的距離公式，求得h合棱錐的體積公式，即可求解.【小問1詳解】證明：因為 ADE是等邊三角形，O是AD的中點，所以EOAD，又因為平面平面ABCD，且平面ADE平面ABCDAD，所以EO平面ABCD.【小問2詳解】BC的中點為QABCD為正方形，且OAD的中點，所以O(shè)QAD，以O(shè)為坐標原點，以O(shè)QOEx,yz軸，建立空間直角坐標系，EF//ABEF