2024年北京房山良鄉(xiāng)中學(xué)高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京房山良鄉(xiāng)中學(xué)高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)本試卷共8頁，滿分分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案填涂或書寫在答題卡上.考試結(jié)束后，將答題卡交回，第一頁選擇題不上交.第I卷（選擇題共40分）一、選擇題．本題共題每題分4，共計(jì)40分.在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1A=xx2=?2，則BA1.已知集合，（）?0,1?0D.11,0A.B.C.2.已知命題：?x∈R+，x＞0，那么命題pA.?x∈R+，x≤0為（）B.?x∈R+lnx＜0D.?x∈R+，lnx≤0C.?xR+，lnx＜0R，且ab，則3.設(shè)a,b11bcC.a2b2D.a3b3A.acB.ab4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（）y=xy=2xy=xsinxA.y5.設(shè)2B.C.D.a,bab0”是“ab為實(shí)數(shù)，則“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件x6.曲線y=在點(diǎn)處的切線方程為（）2x?1x?y?2=0x+y?2=0x+4y?5=0x?y?5=0bacA.B.C.=c=9，則，b，c的大小關(guān)系是（D.D.a=log3πb37.已知）A.abcB.acbbcaC.8.已知函數(shù)f(x)=2x?x?，則不等式f(x)0的解集是（1A.(?B.(?∞,?1)∪(1,+∞)D.(?∞,0)∪(1,+∞)C.x()（單位：）與聲音強(qiáng)度（單位：W/m2）滿足()=fxfx10x9.聲音的等級(jí).噴氣式飛機(jī)110起飛時(shí)，聲音的等級(jí)約為140dB；一般說話時(shí)，聲音的等級(jí)約為60dB，那么噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度的（）A.106倍10.函數(shù)B.108倍C.1010倍D.1012倍()個(gè)不同的數(shù)xy=()的圖象如圖所示，在區(qū)間afxnnnNx、、2上可找到、1()()()fnnfxfx=2=n，則的取值為（x1，使得）n122,3,4,54,54,52,3,4D.A.B.C.二、填空題．本題共5題每題分，共計(jì)25分.1x?1()=+函數(shù)fxlog2x的定義域?yàn)開__________.5(3?0+(3?π)2+4log23?+25=_______________12.計(jì)算：．21x?1“xx1，則x+”x13.能夠說明設(shè)是實(shí)數(shù)．若3是假命題的一個(gè)實(shí)數(shù)的值為________．1()fx()是定義在R上的偶函數(shù)，并滿足f(x+2)=fx，當(dāng)1x2時(shí)()=?，則fxx214.已知()等于f．______x?3xf(x)=15.設(shè)函數(shù).x+1,xa①若a=1f(x)的值域?yàn)開__________；②若f(x)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.三、解答題f(x)=x2+2(m?x+2.16.已知函數(shù)（1）若m=2，求x[2,3]時(shí)，函數(shù)f(x)的值域.+2(m?x+2的單調(diào)遞增區(qū)間為[4,+)，求實(shí)數(shù)m的值.f(x)=x222（2）若函數(shù)（3）若函球（4）若函數(shù)f(x)=xf(x)=x+2(m?x+2在區(qū)間[4,+)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.+2(m?x+2有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.17.如圖，四棱錐P?ABCD的底面是矩形，PD底面⊥ABCD，PD==1，AD=2為BC，M的中點(diǎn).（1）求證：⊥；（2）求平面PAM與平面所成的角的余弦值.1f(x)=x3?x?ax(aR)．218.已知函數(shù)3f(x)在x=?1時(shí)，有極值，求a的值；（1）若1（2）若a=1，求函數(shù)f(x)=x3?x?ax(aR)的單調(diào)區(qū)間．23f(x)（3）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．19.某產(chǎn)業(yè)園生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的成本為50/件銷售單價(jià)依產(chǎn)品的等級(jí)來確定，其中優(yōu)等品、一等品、二等品、普通品的銷售單價(jià)分別為80元、75元、元、60為了解各等級(jí)產(chǎn)品的比例，檢測(cè)員從流水線上隨機(jī)抽取200件產(chǎn)品進(jìn)行等級(jí)檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果如下表所示.產(chǎn)品等級(jí)優(yōu)等品一等品二等品普通品樣本數(shù)量（件）30506060（1）若從流水線上隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，估計(jì)該產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率；（2）從該流水線上隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，記其中單件產(chǎn)品利潤(rùn)大于20元的件數(shù)為X，用頻率估計(jì)概率，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;（3）為拓寬市場(chǎng)，產(chǎn)業(yè)園決定對(duì)抽取的200件樣本產(chǎn)品進(jìn)行讓利銷售，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格均降低了5元.設(shè)降價(jià)前后這200件樣本產(chǎn)品的利潤(rùn)的方差分別為s21,s22，比較s21,s22的大小.（請(qǐng)直接寫出結(jié)論）1f(x)=(x?x?ax2(aR).20.已知函數(shù)2（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f(x)在x=0處的切線方程；f(x)在2]（2）求函數(shù)上的最小值.2a,a滿足：，且=nn(=na1N*,124an121.已知數(shù)列.記集合n?2nn12*M=∣nN.na=21（1）若，寫出集合M的所有元素；（2）若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)；（3）求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值.參考答案第I卷（選擇題共40分）一、選擇題．本題共題每題分4，共計(jì)40分.在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】D【分析】先計(jì)算集合A，再與集合B進(jìn)行交集運(yùn)算即可得正確選項(xiàng).1=xx?10=x?1x1，A=xx22【詳解】因?yàn)锽=?2，AB=0，所以故選：D.2.【答案】A【分析】利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，故命題“p：x∈R+，lnx0”的否定p為：?x∈R+，x≤0.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，要注意兩個(gè)方面的變化：1.量詞，2.結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題.3.【答案】D【分析】y=x3取特殊值排除A，B，C，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出正確答案.【詳解】對(duì)A項(xiàng)，當(dāng)c0時(shí)，abacbc，故A錯(cuò)誤；111對(duì)B項(xiàng)，取a=?2，b=1時(shí)，?1，不滿足，故B錯(cuò)誤；2ab()2對(duì)C項(xiàng)，取a=?2，b=?1(?)2?1，不滿足a2b2，故C錯(cuò)誤；y=x3，則aba3b3對(duì)D項(xiàng)，函數(shù)故選：D在R上單調(diào)遞增，，故正確;D【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4.【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的定義及判斷方法判斷即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)是偶函數(shù)，在(0,+∞)遞減，不合題意；故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，函數(shù)是偶函數(shù)，在(0,+∞)遞增，合題意；故B正確，對(duì)于C，函數(shù)不是偶函數(shù)，不符合題意；故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，函數(shù)在(0,+∞)不是單調(diào)遞增，不符合題意；故D錯(cuò)誤.故選：B.5.【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)=x為單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)合充分條件和必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)f(x)=x為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)ab0時(shí)，可得f(a)fb()，即成立，ab當(dāng)ab，即()fb)時(shí)，可得faab，所以ab0不一定成立，所以“ab0”是“故選：A.ab”的充分而不必要條件.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及充分條件、必要條件的判定，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及熟練應(yīng)用充分條件和必要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于中檔題.6.【答案】B【分析】求導(dǎo)后由導(dǎo)數(shù)的意義求切線的斜率，再由點(diǎn)斜式得到直線方程即可；2x?1?2x12x1?)==y【詳解】求導(dǎo)可得，2(2x1?)2(所以切線的斜率為k=?1，y?1=?x?1()，即x+y?2=0，所以切線方程為故選：B.7.【答案】D【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到a=bc1，比較出大小.1【詳解】=====31,a3b3πc93ππ故bac故選：D8.【答案】Dy=2xy=x+1【分析】作出函數(shù)和的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閒(x)=2x?x?1，所以f(x)等價(jià)于02xx+1，y=2xy=x+1和的圖象如圖：在同一直角坐標(biāo)系中作出2)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，不等式2xx+1的解為x0或x1.所以不等式f(x)0的解集為：(?∞,0)∪(1,+∞).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了圖象法解不等式，屬于基礎(chǔ)題.9.【答案】B【分析】首先設(shè)噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度和一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度分別為x1，，根據(jù)題意得出x212f(1)=140，f(2)=，計(jì)算求的值．【詳解】設(shè)噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度和一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度分別為x1，x，21110f(1)=10lg=140x=102，則1，，?122110f(2)=10=60，則210?=6?1212=108所以，因此噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度的8倍．故選：B．10.【答案】A()()()fxnnf1f2===ky=kxy=f(x)n的圖象有個(gè)交點(diǎn)，【分析】設(shè)，可知直線與函數(shù)12n數(shù)形結(jié)合可得出的可能取值.()()?fxx?0()fxfx0y=f(x)上的點(diǎn)(x,fx()【詳解】，則代數(shù)式表示曲線與原點(diǎn)連線的斜率，xx()()()fxnnf1f22===k，設(shè)1()個(gè)交點(diǎn)，y=kxy=()fxnnnN可知直線作出函數(shù)與函數(shù)的圖象有y=fx()與直線y=kx的圖象如下圖所示：y=kxyfx35=()的圖象有2或或4或個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知，直線與函數(shù)2,3,4,5n因此，的可能取值的集合為.故選：A.()()()fxfxfx1=2=n=k，將問題轉(zhuǎn)化為直【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圖象的應(yīng)用，令12ny=kxy=()fx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題是解題的關(guān)鍵，在解題時(shí)應(yīng)充分理解一些代數(shù)式的幾何線與函數(shù)意義，充分利用數(shù)形結(jié)合思想來求解.二、填空題．本題共5題每題分，共計(jì)25分.()0,1【答案】x【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，分母不為零可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得原函數(shù)的定義域.x0()的定義域是()，解得：x0且x1，故函數(shù)fx0,1.【詳解】由題意得x?10故答案為：()0,1.12.【答案】8π+【分析】利用指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.552(3?0+(3?π)2+4log23?+25=13π22log2325+?++【詳解】225=1+π?3+2log92+25=π?2+9+1=π+8.故答案為：8+π.213.【答案】1x?11x?1【詳解】因?yàn)?>1，故x?10，x+=x?1++1等號(hào)成立的條件為1x?1x?1=x=2x=2，故當(dāng)時(shí)函數(shù)值等于3.此時(shí)不滿足題干．故答案為2．點(diǎn)睛：這個(gè)題目是考查的均值不等式的條件，首先均值不等式的條件是一正，二定，三相等，積是定值時(shí)，和有最小值，和是定值時(shí)，積有最大值；故首先要構(gòu)造出乘積的定值，最終確定等號(hào)能否取到．14.【答案】?1()fx(+)=fx2()為偶函數(shù)可得fxf(?x)=f(x)從而有【分析】由可得函數(shù)的周期為4，再由()=()=(?)=()代入可求f6.5f2.5f1.5f1.51()fx(+)=fx2【詳解】，1fx4(+)=(+)+=fx22fx=()，即函數(shù)的周期為4(+)fx2f?x=fx是定義在R上的偶函數(shù)，則有()()()=()=(?)=()=?f6.5f2.5f1.5f1.50.5，故答案為?【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的條件：1()fx(+)=?fx2fx+4=f(x)()可得即可得函數(shù)的周期，從而把所求的()利用周期和奇偶性轉(zhuǎn)f化到所給的區(qū)間，代入即可求解．(?+).15.【答案】①.【分析】①=1，直接求值域；y=?和yx1的圖像，分析a的取值范圍.=+3x1②在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出x?x13f(x)=【詳解】解：①若a=1，x+1,x1當(dāng)x≤1時(shí)，fx)=3x1∈(﹣1，2]，當(dāng)x>1f(x)=|x+1|>2，∴f(x)的值域?yàn)?﹣1，2]∪(2，+∞)=(﹣，+∞)；②在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=3x﹣1與y=|+1|的圖象如圖：?3xxaf(x)=由圖可知，要使函數(shù)在R上的增函數(shù)，只需-1≤a≤1，x+1,xa則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣1，1].(?+)；②故答案為：①.【點(diǎn)睛】由分段函數(shù)（數(shù)列）單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法：(1)分段函數(shù)的每一段都單調(diào)；(2)根據(jù)單調(diào)性比較端點(diǎn)函數(shù)值的大小.三、解答題16.1）（2）m=?3（3）m3（4）m1+2或m1?2=(+)2+1的單調(diào)性再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得到函數(shù)值域）先確定f(x)x1.（2）求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，則根據(jù)單調(diào)遞增區(qū)間為[4,+)m，可求的值；m（3）求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，則根據(jù)利用二次函數(shù)的圖象與開口方向可求的范圍；（4）根據(jù)函數(shù)f(x)=x【小問12+2(m?x+2有兩個(gè)零點(diǎn)得出方程判別式大于零，再解一元二次不等式即可.當(dāng)m=2時(shí)，f(x)=x2+2x+2=(x+)2+1，x[2,3]，??)?1,3上單調(diào)遞增，1函數(shù)在上單調(diào)遞減，在f(x)=f(=1?2+2=1f(x)=f3)=9+6+2=17，.的值域?yàn)?f(x)所以函數(shù)【小問2f(x)=x+2(m?x+2圖象開口向上，對(duì)稱軸為x=1?m.2根據(jù)函數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為[4,+)，所以1?m=4【小問3，所以m=?3.根據(jù)題意得函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸為x=1?m.函數(shù)在區(qū)間[4,+)上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以1?m4【小問4，所以m3.f(x)=x2+2(m?x+2有兩個(gè)零點(diǎn)，則x2+2(m?x+2=0有兩個(gè)根，函數(shù)所以=4(m?2?4120，化簡(jiǎn)得m?1解得+或m1?m122.17.1）證明見解析；6（2）.6）證明出AD平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；⊥（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、、DP所在直線分別為間向量法可求得平面PAM與平面所成的角的余弦值.【小問1x、yz、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空ABCD⊥，則，證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，則⊥CD，平面ABCD，AD平面AD平面，平面，故⊥.【小問2解：平面ABCD，⊥CD，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、、DP所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，⊥xyz、、則()、()、()，=(?0,1)，=(?0)，AMA0,0M0P0,1AP=()x,y,z，設(shè)平面的法向量為m+z=0mm)，則，取x=1，可得m=2?x+y=06=1,0,0)，,n=，易知平面的一個(gè)法向量為nmn666因此，平面PAM與平面所成的角的余弦值為.618.1）a1（2）單調(diào)遞增區(qū)間為(1=；,1,)，單調(diào)遞減區(qū)間為(3))(；13a?0a?（3）當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.3?=f(0）求定義域，求導(dǎo)，根據(jù)求出a=1，檢驗(yàn)后得到結(jié)果；（2）求定義域，求導(dǎo)，解不等式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；f(x)（3）求導(dǎo)后，根據(jù)根的判別式，判斷出【小問1的變號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到答案.()定義域?yàn)?，f(x)=x?2x?a，fx2R?=f(0，即1+2?a=0，解得a=1，由題意得f(x)=x?2x?3=(x?3)(x+)，2當(dāng)a=1時(shí)，得f(x)0x3或x1，令f(x)01x3，得令故()在(?)()上單調(diào)遞增，在(?)上單調(diào)遞減，fx,1,3故x=?1為極大值點(diǎn)，滿足要求，故a=1；【小問21?3x，f(x)=xx22?2x?3=(x?3)(x+)，a=1時(shí)，f(x)=x3?3由（1）可知()的單調(diào)遞增區(qū)間為(?)()，單調(diào)遞減區(qū)間為(?)；,1,1,3fx【小問31f(x)=x3?x2?ax(aR)定義域?yàn)椋?=2?2x?a，=4+12a，f(x)x13當(dāng)=4+12a0，即a?時(shí)，()fx恒成立，此時(shí)在R上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；f(x)0故當(dāng)13a?f(x)時(shí)，有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，=4+12a0，即故()有2個(gè)極值點(diǎn)，fx11a?a?故當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為33319.1）65（2）分布列見解析，（3）12=s22）由數(shù)據(jù)計(jì)算頻率后估計(jì)概率（2）由二項(xiàng)分布概念公式求解（3）由方差計(jì)算公式判斷【小問13=抽取的200件產(chǎn)品中優(yōu)等品有30件，抽取優(yōu)等品的頻率是，3用樣本估計(jì)總體，從流水線上隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，估計(jì)是優(yōu)等品的概率為..【小問230+5025=.從流水線上隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，估計(jì)利潤(rùn)大于元的概率為X的可能取值為0，123.2003272354P(X=0)=C30()3=P(X==C31()1()=2，，521255512533628P(X=2)=C32()2()1=P(X==C33()3=，551255125分布列為X01238P543686X的數(shù)學(xué)期望E(X)0=++2+3=....1251251255【小問3s21=22設(shè)200件樣本利潤(rùn)分別為x,x,，平均數(shù)為x，12x?x?則降價(jià)后200件樣本利潤(rùn)分別為，平均數(shù)為x?5，12由方差計(jì)算公式可得12=s22y=120.1）（2）答案見解析）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程；(?a)f(x)=xexa0和a0兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，化簡(jiǎn)為，再討論再求函數(shù)的最值.【小問1當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=(x,()?xfx=xexf(0)f(0)=1.=所以y=f(x)在x=1處的切線方程為：y=1.所以曲線【小問2f(x)=xex?ax=xe(?a).x①當(dāng)a0時(shí)，ex?a0.x2]f(x)0.所以時(shí)，1f(x)在2]f(x)=f=?a所以上是增函數(shù).所以..2==lna,x2=0（舍）②當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0，解得x1，即0ae時(shí)，x2]時(shí)，f(x)01°當(dāng)a1.1f(x)在2]f(x)=f=?a所以2°當(dāng)1lna2，即eae2時(shí)，lna)a(lna,2)上是增函數(shù).所以2x()fx-0+()fx減函數(shù)極小值增函數(shù)1f(x)=f(lna)=?aln2a+a(lna?.所以23°當(dāng)lna2，即ae2時(shí)，x2]f(x)0.時(shí)，f(x)在2]f(x)=f(2)=e?2a.2所以上是減函數(shù).所以1aef(x)=?a綜上，當(dāng)時(shí)，；21當(dāng)eae2時(shí)，f(x)=?a2a+a(lna?.2f(x)=e2?2a.當(dāng)ae2時(shí)，8,1621.1）（2）見解析（35）根據(jù)遞推關(guān)系可求M的所有元素；（2）根據(jù)遞推關(guān)系結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法可得相應(yīng)的證明；（3）利用列舉法可求M的元素個(gè)數(shù)的最大值【小問1a=21a=2a=4a=2a=8a=2a=16若，則，，，213243a=2a?24=8中的項(xiàng)的大小從第項(xiàng)開始周期變化，且周期為a，故32.54nM=.故【小問2a=,mN*設(shè)若若故，kaaa12，則m=2a，因2,3互質(zhì)，故ak1為3的倍數(shù)；k1k112，則m=2a?24即2k1m24=3(m+8)=+，因2,3