2024年北京清華附中高三（上）統(tǒng)練四數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京清華附中高三（上）統(tǒng)練四數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。9A=x13x，B=xZx1，則A（）1．已知集合(A．1,2B．{1，2}，則z的共軛復(fù)數(shù)zC．[1，2]D．{1}D．i1+2?i2．已知復(fù)數(shù)z==（）1A．?B．2+iC．-i23．已知ab，則（）?ae?()=?b(+)(+)．a(chǎn)abbab．Be．Ca1b1A．Dπ()=)4．已知fxsinx()=?=，則=0，fx1，f21，12（）14A．1B．2C．3D．45．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E滿足）BC=2BD，CA=CE．若=xAB+yAC（x，y∈Rx+y=（）113121A．?B．?C．D．2312π26．若是第二象限角，且tan(π?)=，則+=（）3355A．B．?C．D．?22557．已知數(shù)列a為無(wú)窮項(xiàng)等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，10，則“S存在最小項(xiàng)”是“S20”的nn（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件8．若過(guò)點(diǎn)（a，b）可以作曲線y=ex的兩條切線，則（）A．ebaeab0aebD．0beaB．C．9．血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度，藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時(shí)，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間．已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人使用該藥物的說(shuō)法中，不正確的是（．．．）A．首次服用該藥物110分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用B．每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒C．每間隔5.5小時(shí)服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D．首次服用該藥物13小時(shí)后，再次服用該藥物1單位，不會(huì)發(fā)生藥物中毒=1，4n1==n10．?dāng)?shù)列n滿足4n?31，a2na，該數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，則下列論斷中錯(cuò)誤的是．．n（）A．31=1B．2024=?1D．nNS=?2，都有非零常數(shù)T，nN*a=n*C．，使得n+Tn2二、填空題共5道小題，每小題5分，共25分．(+)．若x10，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______．212．已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)A（1，a）在角θ的終邊上，其中a為整數(shù)，且OA3，則tan的一個(gè)取值是______．()13．在矩形ABCD中，AB=2，=1，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，則+=______．x()=14．已知函數(shù)fx=()+(+)fn1（n=1，3a的nx．?dāng)?shù)列n滿足anfn2前100項(xiàng)和是______．15．已知平面內(nèi)點(diǎn)集A={P，P，…，P}（>1．A中任意兩個(gè)不同點(diǎn)之間的距離都不相等．12n設(shè)集合B=iPmjM=PPPB,i=．給出以下四個(gè)結(jié)論：iij①若n=2A=M：②若n為奇數(shù)，則A≠：③若n為偶數(shù)，則A=：④若PP,PP,B．則k5．i1ji2j其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．三、解答題共6道小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。=+=1614分）在等差數(shù)列n中，25，3620．（Ⅰ）求數(shù)列n的通項(xiàng)公式：1（Ⅱ）設(shè)b=a+，其中nN*，求數(shù)列b的前．Snnn2nnnπ6π6()=??2+()，其中a＞0．且fx的圖象與直線1714分）已知函數(shù)fxasin2x2xy=3的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于π．()（Ⅰ）求函數(shù)fx的解析式及最小正周期：()=（Ⅱ）若關(guān)于x的方程fx1在區(qū)間m上恰有兩個(gè)不同解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．1814分）在△ABC中，bsin2A=asinB．（1）求∠；（2）若△ABC的面積為33，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．使△ABC存在且唯一確定，求a的值．277bc334217條件①：sinC=；條件②：=；條件③：cosC=．注：如果選擇的條件不符合要求．第（2）問(wèn)得0分：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答．按第一個(gè)解答計(jì)分．x+ax?11914分）已知函數(shù)fxex()=?．()（Ⅰ）求證：對(duì)?a∈Ryfx=()在點(diǎn)f(0)處的切線恒過(guò)定點(diǎn)；()（Ⅱ）當(dāng)a2時(shí)，判斷函數(shù)fx的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．1()=ax22a1xx14．其中a0．?(+)+(?)+2014分）設(shè)函數(shù)fx2()（Ⅰ）求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間；11（Ⅱ）當(dāng)a=時(shí)．對(duì)于xx,(m，不等式f(x)2f(x)?恒成立，求m的取值范圍．1221242115分）已知無(wú)窮數(shù)列n，n各項(xiàng)都是正整數(shù)，定義集合：D=nab,j=，ann+jD=nba,j=；bnn+j（Ⅰ）已知a=2n?1，b=n?2，直接寫出集合DD；abnn，求證：n中有無(wú)窮多個(gè)1；（Ⅱ）若ann1n?=(=，1=1，aabab（Ⅲ）若n，n均為等差數(shù)列，且DD均為無(wú)限集，求證：D=D．參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】B【分析】求出集合A中元素范圍，然后再求交集即可.9=0xA=13xB={xx【詳解】，又A}.則故選：B.2.【答案】C【分析】先進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念辨析即可.1++2i)(2+i)z====i，【詳解】2?i(2?i)(2+i)5則z的共軛復(fù)數(shù)z故選：C.=i.3.【答案】D【分析】根據(jù)反例可判斷AC，根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷BD.a=?b=0ab【詳解】對(duì)于A，若對(duì)于Bab，所以?a?b，又a=?b=0，顯然滿足，但不能得到a2b2，故A錯(cuò)誤，y=ex為單調(diào)遞增函數(shù)，所以e?ae?b，故B錯(cuò)誤，(+)=(+)==，故C錯(cuò)誤，對(duì)于C，若，顯然滿足aba12b1ln10，=?x2在(?)上單調(diào)遞增，所以對(duì)于D，若ab0，則aa，函數(shù)y,0aa=?a2bb=b2，當(dāng)0ab，則當(dāng)a0b，則aaaa=?a，函數(shù)y2在+)上單調(diào)遞增，所以aa=a2bb=b2，2bb=b2，綜上可知D正確，故選：D4.【答案】DTπππfx=sinx0【分析】根據(jù)()()的最值，得到x?x===，故，求出答案.1224fx=sinx0)的最大值為1，最小值為1，【詳解】()(?fx=sinx0設(shè)()()的最小正周期為T，πfx=?1f(x)=，?12又()1=，，0，124Tπππ1?2===.故，即，解得ω24故選：D.5.【答案】B【分析】1116=?AB+x=?,y=利用平面向量的線性運(yùn)算可得，再根據(jù)平面向量基本定理可得，從262而可得答案.22=AC?AB?BD=AC?AB?BC【詳解】因?yàn)镈E=AE?AD3322=AC?AB?(AC?AB)321=?AB+，26又DE=xAB+yAC，116x=?,y=所以，2111x+y=?+=?.所以263故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.6.【答案】Dtan【分析】通過(guò)誘導(dǎo)公式求出，化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求解即可.1【詳解】是第二象限角，且(?)=tanπ，1，?=?,sin?>0tan22212?π2sin+2tantan+125+=?sin=?=?=?=?，sin222251?+12故選：D.7.【答案】A【分析】分別從條件到結(jié)論、結(jié)論到條件兩個(gè)方面考慮是否可推出,對(duì)于不能推出的結(jié)論，可通過(guò)舉反例說(shuō)明即可.q【詳解】設(shè)數(shù)列{??}的公比為，a01存在最小項(xiàng)，則S?==n0由，因“”Sn1Snn1q，且其單調(diào)遞減或?yàn)槌?shù)列，nq1，于是S=a+q)0，即“存在最小項(xiàng)是SS“20”的充分條件；故得”21n12=q+0(a01=?q當(dāng)時(shí)，因，不妨取，1n則此時(shí)Sn1Snan1a?==?1的符號(hào)不能確定，2故無(wú)最小項(xiàng)，即“存在最小項(xiàng)不是S“2SS0”的必要條件.”nn綜上可知，“存在最小項(xiàng)”是“S02S”的充分不必要條件.n故選：A.8.【答案】D【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)(a,b)y=exx在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切解法二：畫出曲線線.()y=exPte,ty=exy=e，x【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得x+1?t)e，ty=exy?et=et(x?t)y=et所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為P，即由題意可知，點(diǎn)(a,b)在直線y=etx+1?t)e()=(?)t上，可得b=aet+1?t)et=(a+1?t)et，令ft)=(a+1?te)，則tftatet.ta()()ft，此時(shí)函數(shù)ft0當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增，()()taft0ft，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，()=fa=e()a，fty=by=()的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則bft)=eft，a由題意可知，直線與曲線當(dāng)ta+1時(shí)，f(t)0，當(dāng)ta+1時(shí)，ft()，作出函數(shù)()的圖象如下圖所示：0fty=by=f(t)由圖可知，當(dāng)0bea時(shí)，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線y=ex的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)(a,b)在曲線下方和x軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.由此可知0be.a故選：D.【點(diǎn)睛】解法一是嚴(yán)格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識(shí)范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)特性進(jìn)行估計(jì)，解法二是根據(jù)基于對(duì)指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，直觀解決問(wèn)題的有效方法.9.【答案】D【詳解】從圖象可以看出，首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用該藥物的血藥濃度應(yīng)大于最低有效濃度，藥物發(fā)揮治療作用，A正確；第一次服藥后3小時(shí)與第2次服藥1小時(shí)后，血藥濃度之和大于最低中毒濃度，因此一定會(huì)發(fā)生藥物中毒，B正確，D錯(cuò)誤；服藥5.5小時(shí)后，血藥濃度小于最低有效濃度，此時(shí)再服藥，血藥濃度增加，正好能發(fā)揮作用，C正確．故選．10.【答案】Ca31【分析】由已知可得A正確；由已知遞推關(guān)系化簡(jiǎn)可得B正確；由已知遞推關(guān)系總結(jié)數(shù)列的2024nn規(guī)律，再用反證法得到C錯(cuò)誤；由已知遞推關(guān)系找到前項(xiàng)和的規(guī)律再結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和可得D正確.aa31【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；4n1a4n3a=a，2nn對(duì)于B，a2024a所以，故B正確；aa1對(duì)于C，由可得，，4naa3由由而可得可得，4n1a=a2na=a=a=a=a=n124810a=a=a=a=a0，n，所以361224設(shè)存在非零常數(shù)T,nN*，使得n+Tn，=a=a=2aa=0則，矛盾，所以不存在非零常數(shù)T,nN*，使得n+Tn，故C錯(cuò)誤；S=S=a+a=?1+(?=?2T+TTTT=對(duì)于D，當(dāng)n=1時(shí)，，1212S=S=a+a+a+a=?1?1+1?1=?2當(dāng)n=2時(shí)，，2241234即n=2時(shí)，有相鄰兩項(xiàng)a+a3的和為零，4即有接下來(lái)2212個(gè)項(xiàng)和為零；?=當(dāng)n=3時(shí)，S=S=a+a+a+a+a+a+a+a=?1?1+1?1?1+1+1?1=?2，3812345678即n=3時(shí)，有相鄰兩項(xiàng)a+a3的和與相鄰四項(xiàng)a+a+a+a為零，56784即有接下來(lái)22131個(gè)項(xiàng)和零；當(dāng)n2時(shí)，a4n3，S=a+a+a+?2+0=?2，故D正確.所以2n123故選：C.S的意義，即表示數(shù)列中前兩項(xiàng)和2為外的3【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)關(guān)鍵在于能理解到4項(xiàng)，5到8項(xiàng)，9到16項(xiàng)和分別為零.2n二、填空題共5道小題，每小題5分，共25分．?x【答案】10【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性及定義域得到不等式，求出x的取值范圍.x+100x+11()1x0，【詳解】，解得2故實(shí)數(shù)x的取值范圍為1x0.故答案：1x012.【答案】1（0，1，2均可）3求得a的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的定義進(jìn)而可得解.【分析】由3+2?【詳解】，即1a9，解得22a22，又aZ，故的值可為2、1、0、1、2，a??atan==atan01或2.或則，即的值可以是1故答案為：1（0，1，2均可）.13.【答案】2【分析】由平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解即可【詳解】如圖所示，因?yàn)榫匦蜛BCD中，E,F分別是BC,CD的中點(diǎn)，11BE=BC=ADDF=DC=AB，所以所以，2222()()()()AE+AFAC=AB+BE+AD+AD+=AB+AD+AD+ABAD+DC2232()===AD+ABAD+AB23(+AB)232152()22)+1=AD+AB+2ADAB=2．2故答案為：214.【答案】100【分析】nnn根據(jù)三角函數(shù)知識(shí)，利用為奇數(shù)時(shí)，f(n)=0f(n)=?nf(n)=n，，為奇數(shù)時(shí)時(shí)，，為偶數(shù)時(shí)，22a,a,a,a,可求出，再相加即可得到答案.1234x【詳解】因?yàn)閒(x)xcos，所以=f=f=f==98，=0，2f(2)=f(6)=f=f(4)=f=f=)=100，a=a=f(2)=?2a=a=f(4)=4a=a=f(6)=6a=a=f=8所以，，，，，1234567899==f=100，a+a+a+a+a+a+a+a+所以1234567800=f(2)+f(4)+f(6)+f+=2(?2+4?6+8?10+12?=2252=100故答案為：100.n【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的余弦函數(shù)值和誘導(dǎo)公式，考查了數(shù)列的前項(xiàng)和，考查了分組求和，屬于基礎(chǔ)題.15.【答案】①③④【分析】先證明AM，得到①③正確，②錯(cuò)誤，然后在=PP,PP,B和k6的情況下推i1ji2j導(dǎo)出矛盾，從而得到k5，即④正確.(?)nn1()j【詳解】由于A中任意兩個(gè)不同點(diǎn)之間的距離都不相等，故所有個(gè)向量PPij兩兩不相等.i2P,PAij()，PPB當(dāng)且僅當(dāng)ijmi)0PPPP，有.ijim這表明對(duì)任意的ijP,PAij()，PPBPPi將其轉(zhuǎn)換為更通俗的語(yǔ)言就是：對(duì)于點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)是集合A里除了以外的ijijjP點(diǎn)中到的距離最短的點(diǎn).iPAiPP，j所以，對(duì)每個(gè)，顯然存在另一個(gè)到距離取到最小值的點(diǎn)iPPBP，從而iM，這就直接說(shuō)明了A=M.則此時(shí)就有ij所以①③正確，②錯(cuò)誤；PP,PP,B，k6.對(duì)于④，假設(shè)i1ji2jPP,PP,B，由于i1ji2jP,P,...,P,Pm=2,...,kPPP外到距離最短的點(diǎn).i故兩兩不同，且對(duì)每個(gè)，點(diǎn)都是A中除i1i2ikjjimmPP,P,...,P各自的距離最短（不包括其本身）的點(diǎn).iii特別地，都是到j(luò)126不妨設(shè)(i,i,i,i,i,i=2,3,4,5,6)()，并記P為點(diǎn)O，j123456則O是到P,P,...,P各自的距離最短（不包括其本身）的點(diǎn).126的傾斜角為π).M,N對(duì)兩個(gè)不同點(diǎn)，記直線1u,v6uv()使得=OP假設(shè)存在，不妨設(shè)，vOPuuvPP=OP?OPOP，這與OPPv則是到的距離最短（不包括本身）的點(diǎn)矛盾.uvvuvv,,...,兩兩不相等，不妨設(shè)OP...OP.6所以由于126OP12PPPPPPOPOPPPOP，，故，，1122122112121211π=(++)OP2P+OP1P+)=2.所以222212333ππPOPP,POP,P,POP,POP.故，同理12233445566133而對(duì)l=2,3,4,5，有?OP=lOP或?OP=2π?POPπPOP，OPll1ll1l1lOPl1l1lπ故?l.l1355ππ，矛盾.OP()所以?OP=OP?OP6，這意味著161l1l33l1這表明假設(shè)不成立，所以k5，④正確.故答案為：①③④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)集合新定義的理解，以及三角形中邊長(zhǎng)的大小關(guān)系與角度的大小關(guān)系之間的對(duì)應(yīng)，即所謂的“大邊對(duì)大角”.三、解答題共6道小題，共85分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.a=2n+1n16.1）1n6n2+12n+1+4（2）Sn=6a=3d=2，從而可得數(shù)列{??}的通項(xiàng)公式；）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列式可解得，11b=2n+1+nn（2）求出，再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求得結(jié)果.n122【小問(wèn)1a+d=1設(shè)等差數(shù)列{??}的公差為d，則有21+7d=20.a=3d=2.解得，1a=a+n?1d=2n+1.()所以數(shù)列{??}的通項(xiàng)公式為【小問(wèn)2n1112n1b=a+=2n+1+.nn2n2111因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，822n1+4n1141?nn1141(+)86n2+12n+1?n2n44.所以=+Sn=nπ2+2n+?=121?6664()=??1π;.fx2sin2x17.1）64π7π,（2）33）根據(jù)二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得()的解析式，由已知條件求得函數(shù)()的最小值fxfx為?3，計(jì)算即可得解；π6sin2x?=1在區(qū)間m上有兩個(gè)不同解，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得解.（2）原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為【小問(wèn)1π6π6()=??22+fxasin2xx函數(shù)π6π=asin2x??cos2x+?13ππ=asin2x??sin?2x+?166π6=(+)a1sin2x??12π函數(shù)()的最小正周期為T==π，fx2因?yàn)?)的圖象與直線y=?3fxπ的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，所以函數(shù)()的最小值為?3，fx?(a+?1=?3=所以，解得a1，π6()=??1.fx2sin2x所以【小問(wèn)2π6π6fx=2sin2x?由()?1=1，知sin2x?=1，ππ6π，因?yàn)閤,[0]，所以2x??,2m?66π5π9π224π7π33由于f(x)=1m上有兩個(gè)不同解，所以2m?,m,在區(qū)間，即.6π18.1）6（2）選②或③，7）利用正弦定理：邊轉(zhuǎn)角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出結(jié)果；27（2）條件①，由sinC=，角C可以是銳角或鈍角，不滿足題設(shè)中的條件，故不選①；條件②，利用7cc條件建立，邊b與的方程組，求出b與，再利用余弦定理，即可求出結(jié)果；條件③，利用正弦定理，cc先把角轉(zhuǎn)邊，再結(jié)合條件建立，邊b與的方程組，求出b與，再利用余弦定理，即可求出結(jié)果；【小問(wèn)1因?yàn)閎sin2A=asinB，由正弦定理得，sinBsin2A=AsinB，Bπ()，所以sinB0，得到sin2A=A，A，又又sin2A=2sinAA，所以2sinAA=3Aπ)，所以sinA0(=又，得到A，2πA=.所以6【小問(wèn)2277選條件①：sinC=27πcsinCsinA477711，即ca，A====由（1）知，，根據(jù)正弦定理知，6a2所以角C有銳角或鈍角兩種情況，存在，但不唯一，故不選此條件.bc334=選條件②：11π1S=bcsinA=bcsin=bc=33，所以bc=123因?yàn)椋?264b334334334=，得到b=c，代入bc=123c2=123c=4，所以b=33，又，得到，解得c3由余弦定理得，a2=b2+c2?bcA3)=2+42?2334=27+16?36=7，2所以a=7.217選條件③：C=11π1S=bcsinA=bcsin=bc=33，所以bc=123因?yàn)椋?2642172127=，得到sinC=1?2C=1?=由C，497π又sinB=sin(π?A?C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，由(1)知A=，612127332114所以sinB=+=277232114sinC27bcsinB334334====c，又由正弦定理得，，得到b7332=123，解得c=4，所以b=33c，代入bc123，得到=43由余弦定理得，a2=b2+c2?bcA3)=2+42?2334=27+16?36=7，2所以a=7.19.1）證明見(jiàn)解析（2）2(?）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再證明其經(jīng)過(guò)定點(diǎn)即可；(?和+)（2）根據(jù)函數(shù)的定義域分兩種情況討論函數(shù)的零點(diǎn)情況，利用求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再借助于零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)即得.【小問(wèn)1x+ax?1?a?1a1(x?+()=fxex?f(x)=ex?=e+x由求導(dǎo)可得，，2(x?2=+=+，f(0)1a,f(0)2a依題意，(()處的切線為)f0y?+a)=(2+a)x，故曲線?=?(?)在點(diǎn)x+1=0x=?1y=?1(x+a+2x?y+1=0aR，解得即，因，故有，2x?y+1=0(?即切線恒過(guò)點(diǎn)，得證；【小問(wèn)2x+ax?1a1(x?+f(x)=ex?f(x)=e+x(?+)a2，，的定義域?yàn)?，由?）已得：2x(f(x)0()?fx(在①當(dāng)時(shí)，，則上單調(diào)遞增.1?a?211+f(0)=1+a0f(?a?=e?a1?=?由，而，+a1a2e11++f(?a??=0，因ea1a20a+2a+2(?a?0)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，f(0)f(?a?0即，由零點(diǎn)存在定理可得，?(?)在(?即?(?)在下證：ex上只有一個(gè)零點(diǎn)；x+1,(x.設(shè)g(x)=ex?(x+，則g(x)=e?10，xg(x)在+)上單調(diào)遞增，故g(x)g(0)=0，即xex+1,(x成立.即x+)f(x)0()(+)fx，則在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，33233=?a?3，因a2?a?3?5f()0，由f()e，則，而25=5，故e2=e3222a+1111f(aea1+=+?=ea1??+??=?2a22a又因即，aaaa1y=x?在(2,+)?(?+1)>??>2?=>0，113上單調(diào)遞增，故x?2233f()f(a+0(,a+，由零點(diǎn)存在定理可得，?(?)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),22+)即?(?)在上只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，a2時(shí)，()在20.1）fx(?+)上有兩個(gè)零點(diǎn).答案見(jiàn)解析；2）(2,5].[ax?(a+x?2)x?11a()=fx()=fxx=1+0或x=2，分【分析1）求導(dǎo)可得，令，可得0a1，a=1，a1討論可求單調(diào)區(qū)間；（2）由（）可得()在+)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由題意可得fx(2,3)1()f2()2f1min?m，進(jìn)而分類討論可求取值范圍．4【小問(wèn)11由?(?)=??2?(2?+1)?+ln(??1)+4(?>1)，21x?1ax?a+x+2a+2[ax?(a+x?2)2可得fxax2a1()=?(+)+==，x?1x?1[ax?(a+x?2)x?11a令()=，可得=0，解得x=1+或，x=2fx01當(dāng)0a1時(shí)，1+2，a若1x2，?′(?)>0，函數(shù)()在fx2)上單調(diào)遞增，11若若，?′(?)<0，函數(shù)()在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；2x1+fx(2,1+)aa11x1+，?′(?)>0，函數(shù)()在fx+,+)aa1()在+上單調(diào)遞增；當(dāng)a=1時(shí)，1+=2fx)，此時(shí)?′(?)≥0，函數(shù)a1a當(dāng)a1時(shí)，1+2，11()在+)上單調(diào)遞增，若1x1+fx，?′(?)>0，函數(shù)aa11()在+,2)上單調(diào)遞減，若1+x2fx，?′(?)<0，函數(shù)aa若x2，?′(?)>0，函數(shù)()在(2,+)上單調(diào)遞增；fx綜上所述：11當(dāng)0a1時(shí)，()在fx2)+,+)和(2,1+)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，aa當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)()在fx+)上單調(diào)遞增，11當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)()在+)(2,+)和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.fx+,2)aa【小問(wèn)21a=??=1?2?2?+ln??1+4(?>1)時(shí)，()當(dāng)()，24由（1）可知()在+)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，fx(2,3)1()fx==+，又()=f2f21，所以411,2(m，不等式()()?fx2f1因?yàn)閷?duì)于恒成立，2414()f2()2f1?所以，min11112(+2)?=2ln2f(2)2f?由成立，所以①成立，4441，不等式()()?故2m3時(shí)，可得對(duì)于1,2(mfx2fx恒成立，21414，不等式()()?當(dāng)m3時(shí)，對(duì)于1,2(mf22f1恒成立，f3fmf2若()()()時(shí)，也有①恒成立，滿足題設(shè)；以下討論m3且?(?)>?(2，1114m2?2m+(m?)+42(+2)?此時(shí)，只需，44115?2m+(m?)+?2ln20m2即，44115121m?1g(m)=m2?2m+(m?)+?2ln2g(m)=m?2+令令，所以，441111(m)=g(m)=m?2+(m)=?0，2，所以m?1