數(shù)學課堂探究：二項式定理（第2課時）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一與楊輝三角有關的問題解決與楊輝三角有關的問題的一般思路．【典型例題1】下列是楊輝三角的一部分．（1）你能發(fā)現(xiàn)組成它的相鄰兩行數(shù)有什么關系嗎？（2）從圖中的虛線上的數(shù)字你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？解：(1)楊輝三角的兩條腰都是由數(shù)字1組成的，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)之和．（2）設a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10,…，若令bn＝an＋1－an,則b1＝2，b2＝3，b3＝4，所以可得{bn｝是等差數(shù)列，從而得出其每一斜行數(shù)字的差組成一個等差數(shù)列．規(guī)律總結解決與楊輝三角有關的問題的一般思路是：通過觀察找出每一行數(shù)據(jù)間的相互聯(lián)系以及行與行間數(shù)據(jù)的相互聯(lián)系．然后將數(shù)據(jù)間的這種聯(lián)系用數(shù)學式子表達出來，使問題得解．探究二有關二項式系數(shù)的性質(zhì)的問題(1)求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大；當n為偶數(shù)時,中間一項的二項式系數(shù)最大．（2)求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需根據(jù)各項系數(shù)的正、負變化情況,一般采用列不等式組，解不等式組的方法求得．【典型例題2】(1＋2x)n的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項．思路分析：求（a＋bx)n的展開式中系數(shù)最大的項,通常用待定系數(shù)法，即先設展開式中的系數(shù)分別為A1，A2，…,An＋1，再設第k＋1項系數(shù)最大，則由不等式組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(Ak＋1≥Ak，，Ak＋1≥Ak＋2)）確定k的值．解：T6＝Ceq\o\al(5,n)·(2x)5，T7＝Ceq\o\al（6，n）·（2x）6，依題意有Ceq\o\al（5，n)·25＝Ceq\o\al（6,n）·26n＝8。∴(1＋2x）8的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為T5＝Ceq\o\al（4,8）·(2x）4＝1120x4.設第k＋1項系數(shù)最大,則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（C\o\al(k，8）·2k≥C\o\al（k－1，8）·2k－1，,C\o\al（k,8）·2k≥C\o\al(k＋1,8)·2k＋1，)）解得5≤k≤6?！鄈＝5或k＝6（∵k∈｛0，1，2,…，8｝)．∴系數(shù)最大的項為T6＝1792x5,T7＝1792x6.規(guī)律總結熟記二項展開式的通項是解決本題的關鍵，注意k只能取正整數(shù)．探究三有關二項式系數(shù)和與展開式的系數(shù)和的問題賦值法是求二項展開式系數(shù)及有關問題的常用方法,注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值,也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項．【典型例題3】設的二項展開式中各項系數(shù)之和為t，二項式系數(shù)和為h,若h＋t＝272,則二項展開式含x2項的系數(shù)為__________．思路分析:本題主要考查二項式系數(shù)與各項系數(shù)的區(qū)別，用賦值法求各項系數(shù)和，利用公式求二項式系數(shù)和．解析:由已知令x＝1，則展開式各項系數(shù)和t＝(3＋1)n＝4n，二項式系數(shù)和h＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al（1,n)＋…＋Ceq\o\al（n,n）＝2n,∴h＋t＝4n＋2n＝272，解得n＝4.∴。則展開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r，4）·（)4－r·（）r＝34－rCeq\o\al(r,4），令eq\f（4,3）＋eq\f（r,6）＝2，則r＝4.∴含x2項的系數(shù)為1。答案:1規(guī)律總結求展開式中各項系數(shù)和或差的關鍵是給字母賦值，賦值的選擇則需要根據(jù)所求的展開式系數(shù)和或差的特征來進行．探究四易錯辨析易錯點混淆二項展開式中奇次項與奇數(shù)項、偶次項與偶數(shù)項的概念【典型例題4】已知(2x－1)n二項展開式中,奇次項系數(shù)的和比偶次項系數(shù)和小38,求Ceq\o\al(1，n)＋Ceq\o\al(2，n）＋Ceq\o\al（3，n）＋…＋Ceq\o\al(n，n）的值．錯解:設（2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則奇次項的系數(shù)和為a0＋a2＋a4＋…,偶次項的系數(shù)和為a1＋a3＋a5＋…，令x＝－1，得(a0＋a2＋a4＋…）－（a1＋a3＋a5＋…)＝（－3)n，由已知可得,（－3)n＝－38＝(－3)8，∴n＝8，∴Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al（2，n)＋Ceq\o\al（3，n）＋…＋Ceq\o\al（n,n)＝28.錯因分析：錯解有三處錯誤．一是誤把奇次項、偶次項看成是奇數(shù)項、偶數(shù)項．二是把Ceq\o\al（1,n)＋Ceq\o\al（2,n）＋Ceq\o\al(3,n）＋…＋Ceq\o\al(n,n）看成二項展開式各項二項式系數(shù)和,忽略了Ceq\o\al(0，n）。三是（－3)n＝－38＝(－3）8也不成立．解答本題應認真審題，搞清已知條件以及所要求的結論，避免失誤．正解：設(2x－1）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.且奇次項的系數(shù)和為A,偶次項的系數(shù)和為B。則A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…由已知可知，B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an（－1）n＝(－3）n，即:（a0＋a2＋a4＋a6＋…）－（a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n,即B－A＝(－3）n