數(shù)學(xué)課堂探究：向量的加法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一作向量的和應(yīng)用三角形法則、平行四邊形法則作向量和時(shí)需注意的問(wèn)題:(1)三角形法則可以推廣到n個(gè)向量求和，作圖時(shí)要求“首尾相連"．(2）平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和，作圖時(shí)要求兩個(gè)向量的始點(diǎn)重合．(3)當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，兩個(gè)法則實(shí)質(zhì)上是一致的，三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半，在多個(gè)向量的加法中，利用三角形法則更為簡(jiǎn)便．【例1】如圖所示，已知向量a，b，c，試作出向量a＋b＋c．分析：本題是求作三個(gè)向量的和向量的問(wèn)題，首先應(yīng)作出兩個(gè)向量的和,由于這兩個(gè)向量的和仍為一個(gè)向量,然后再作出這個(gè)向量與另一個(gè)向量的和,方法是多次使用三角形法則或平行四邊形法則．解：作法1：如圖(1）所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量＝a,接著作向量＝b，則得向量＝a＋b；然后作向量＝c,則向量＝(a＋b）＋c＝a＋b＋c即為所求．圖（1）作法2:如圖(2)所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量＝a，＝b，＝c，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OADB，連接OD，則＝＋＝a＋b．圖（2)再以O(shè)D，OC為鄰邊作?ODEC，連接OE，則＝＋＝a＋b＋c即為所求．探究二向量的加法運(yùn)算多個(gè)向量相加，可以利用向量加法的三角形法則,也可以觀察向量的字母直接運(yùn)算（必要時(shí)，注意利用向量加法的運(yùn)算律)．【例2】化簡(jiǎn)下列各式:（1）＋＋．(2）(＋）＋＋．（3)＋＋＋＋．解：(1）＋＋＝(＋)＋＝＋．(2）(＋)＋＋＝（＋)＋(＋）＝＋＝．（3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0．技巧點(diǎn)撥：求和的關(guān)鍵是利用三角形法則，將“首尾相接"的兩個(gè)向量放在一組．在解答本題（3)時(shí)，易出現(xiàn)＋＋＋＝0的情況，導(dǎo)致此種錯(cuò)誤的原因是不清楚向量的和仍為向量．【例3】如圖所示，在矩形ABCD中，＝5e1,＝3e2,則等于（)A．(5e1＋3e2）B．（5e1－3e2）C．(－5e1＋3e2）D．－(5e1＋3e2)解析：由矩形的性質(zhì)及向量加法的平行四邊形法則得＝＝(＋)＝(＋）＝(3e2＋5e1）．故選A．答案：A點(diǎn)評(píng)結(jié)合圖形分析，向量的平移常用向量相等來(lái)實(shí)現(xiàn)，此題也可用三角形法則＝＋＝＋．探究三利用向量的加法證明幾何問(wèn)題利用向量加法可以證明線段相等和平行，可以證明三點(diǎn)共線，證明的關(guān)鍵是把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，通過(guò)向量運(yùn)算得到結(jié)論,然后再把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系．【例4】在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線及反向延長(zhǎng)線上，取點(diǎn)F，E，使BE＝DF(如圖所示）．用向量的方法判斷:四邊形AECF的形狀．解:如圖所示,標(biāo)記向量，=+,=+．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以=．又=，所以=，即AE,FC平行且相等，所以四邊形AECF是平行四邊形．反思利用向量的加法可以得到線段的平行和相等，用向量法解幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，通過(guò)向量的運(yùn)算得到結(jié)論，然后再把向量問(wèn)題還原為幾何問(wèn)題．【例5】已知任意四邊形ABCD，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，求證：＋＝＋．分析：用多邊形法則把用不同的向量形式表示出來(lái)，然后相加即可得到結(jié)論．證明：如圖所示，在四邊形CDEF中，+++=0，所以＝－－－＝＋＋．①在四邊形ABFE中,＋＋＋＝0，所以＝＋＋．②①＋②得＋＝＋＋＋＋＋＝(＋）＋（＋)＋（＋)．因?yàn)镋,F分別是AD,BC的中點(diǎn)，所以＋＝0,＋＝0．所以＋＝＋．探究四向量的加法在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用利用向量加法解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題主要步驟如下:（1）由題意作出相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，構(gòu)造有關(guān)向量；（2）利用三角形法則和平行四邊形法則，對(duì)向量的加法進(jìn)行運(yùn)算；（3）構(gòu)造三角形（一般是直角三角形),利用三角形邊和角的關(guān)系解題．【例6】雨滴在下落一定時(shí)間后是勻速運(yùn)動(dòng)的，無(wú)風(fēng)時(shí)雨滴下落的速度是4m/s．現(xiàn)在有風(fēng)，風(fēng)使雨滴以3m/s的速度水平向東移動(dòng),那么雨滴將以多大的速度著地？這個(gè)速度的方向怎樣？解：如圖所示,為雨滴無(wú)風(fēng)時(shí)的下落速度