2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第7章概率3頻率與概率學(xué)案含解析北師大版必修第一冊

PAGE7-§3頻率與概率學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解頻率與概率的區(qū)分和聯(lián)系．(難點(diǎn)，易混點(diǎn))2．結(jié)合實(shí)例，會用頻率估計概率．(重點(diǎn))1．通過對頻率與概率概念的學(xué)習(xí)，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過利用頻率估計事務(wù)發(fā)生的概率，培育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．1．概率的概念和性質(zhì)(1)概率的定義：在相同條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時，隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)旁邊搖擺，即隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性．這時，把這個常數(shù)叫作隨機(jī)事務(wù)A的概率．(2)記法：P(A)．(3)范圍：0≤P(A)≤1.2．頻率與概率的關(guān)系概率是可以通過頻率來“測量”的，或者說頻率是概率的一個近似．概率從數(shù)量上反映了一個事務(wù)發(fā)生的可能性的大?。妓鳎?.向上拋擲一枚勻稱的硬幣100次，其中正面對上的有53次，則在本次試驗(yàn)中硬幣正面對上的頻率是多少？拋擲一枚硬幣，正面對上的概率是多少？提示：在本次試驗(yàn)中硬幣正面對上的頻率是eq\f(53,100)，拋擲一枚硬幣，正面對上的概率是eq\f(1,2).2．同一個隨機(jī)事務(wù)在相同條件下在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都一樣嗎？[提示]概率是從數(shù)量上反映隨機(jī)事務(wù)在一次試驗(yàn)中發(fā)生可能性的大小的一個量，是一個確定的數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無關(guān)；同一個隨機(jī)事務(wù)在相同條件下在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的．1．“某彩票的中獎概率為eq\f(1,100)”意味著()A．買100張彩票就確定能中獎B．買100張彩票能中一次獎C．買100張彩票一次獎也不中D．購買彩票中獎的可能性為eq\f(1,100)D[概率是描述事務(wù)發(fā)生的可能性大小．]2．在天氣預(yù)報中，有“降水概率預(yù)報”．例如，預(yù)報“明天降水概率為85%”，這是指()A．明天該地區(qū)有85%的地區(qū)降水，其他15%地區(qū)不降水B．明天該地區(qū)約有85%的時間降水，其他時間不降水C．氣象臺的專家中，有85%的人認(rèn)為會降水，另外15%的專家認(rèn)為不降水D．明天該地區(qū)降水的可能性為85%D[概率的本質(zhì)含義是事務(wù)發(fā)生的可能性大小，因此D正確．]3．從某自動包裝機(jī)包裝的食鹽中，隨機(jī)抽取20袋，測得各袋的質(zhì)量分別為(單位：g)：492，496，494，495，498，497，501，502，504，496，497，503，506，508，507，492，496，500，501，499.依據(jù)頻率分布估計總體分布的原理，該自動包裝機(jī)包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在497.5g～501.5g之間的概率約為________.0．25[袋裝食鹽質(zhì)量在497.5g～501.5g之間的共有5袋，所以其概率約為eq\f(5,20)＝0.25.]對概率概念的理解【例1】(1)下列說法正確的是()A．由生物學(xué)知道生男、生女的概率均約為0.5，一對夫婦先后生兩小孩，則確定為一男一女B．一次摸獎活動中，中獎概率為0.2，則摸5張票，確定有一張中獎C．10張票中有1張獎票，10人去摸，誰先摸則誰摸到獎票的可能性大D．10張票中有1張獎票，10人去摸，無論誰先摸，摸到獎票的概率都是0.1(2)某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是99.99%，這說明()A．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品確定有1件B．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品確定有9999件C．合格率是99.99%，說明該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中沒有不合格產(chǎn)品D．該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是99.99%(1)D(2)D[(1)一對夫婦生兩小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正確；中獎概率為0.2是說中獎的可能性為0.2，當(dāng)摸5張票時，可能都中獎，也可能中一張、兩張、三張、四張，或者都不中獎，所以B不正確；10張票中有1張獎票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰先摸，摸到獎票的概率都是0.1，所以C不正確；D正確．(2)合格率是99.99%，是指該工廠生產(chǎn)的每件產(chǎn)品合格的可能性大小，即合格的概率．]從三個方面理解概率的意義(1)概率是隨機(jī)事務(wù)發(fā)生可能性大小的度量，是隨機(jī)事務(wù)A的本質(zhì)屬性，隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的概率是大量重復(fù)試驗(yàn)中事務(wù)A發(fā)生的頻率的近似值．(2)由概率的定義我們可以知道隨機(jī)事務(wù)A在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映．(3)正確理解概率的意義，要清晰概率與頻率的區(qū)分與聯(lián)系．對詳細(xì)的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗(yàn)或某一個詳細(xì)的事務(wù)．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．拋擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣，假如連續(xù)拋擲1000次，那么第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是()A．eq\f(1,999)B．eq\f(1,1000)C．eq\f(999,1000)D．eq\f(1,2)D[拋擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣，只考慮第999次，有兩種結(jié)果：正面朝上，反面朝上，每種結(jié)果等可能出現(xiàn)，故所求概率為eq\f(1,2).]概率與頻率的關(guān)系及求法【例2】下面是某批乒乓球質(zhì)量檢查結(jié)果表：抽取球數(shù)5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)45921944709541902優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率(1)在上表中填上優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率；(2)估計該批乒乓球優(yōu)等品的概率是多少？[解](1)如下表所示：抽取球數(shù)5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)45921944709541902優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率0.90.920.970.940.9540.951(2)從表中數(shù)據(jù)可以看出，這批乒乓球優(yōu)等品的概率是0.95.假如隨機(jī)事務(wù)A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了m次，則當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n很大時，可以將事務(wù)A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)作為事務(wù)A的概率的近似值．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．某書業(yè)公司對本公司某教輔材料的寫作風(fēng)格進(jìn)行了5次“讀者問卷調(diào)查”，結(jié)果如下：被調(diào)查人數(shù)n10011000100410031000滿足人數(shù)m999998100210021000滿足頻率eq\f(m,n)(1)計算表中的各個頻率；(2)讀者對該教輔材料滿足的概率P(A)約是多少？[解](1)表中各個頻率依次是0.998，0.998，0.998，0.999，1.(2)由第(1)問的結(jié)果，可知在5次“讀者問卷調(diào)查”中，收到的反饋信息是“讀者對某教輔材料滿足”的概率約是P(A)＝0.998，用百分?jǐn)?shù)表示就是P(A)＝99.8%.概率的簡潔應(yīng)用[探究問題]1．如何求試驗(yàn)中某事務(wù)發(fā)生的頻率和概率？提示：解題的關(guān)鍵是依據(jù)題目條件計算事務(wù)發(fā)生的頻數(shù)，計算頻率，用頻率估計概率．2．頻率和概率有什么區(qū)分和聯(lián)系？提示：頻率反映了一個隨機(jī)事務(wù)出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性的大小，通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事務(wù)發(fā)生的頻率會漸漸趨近于某一個常數(shù)(概率)，因此有時也用頻率來作為隨機(jī)事務(wù)概率的估計值．【例3】某超市安排按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．依據(jù)往年銷售閱歷，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．假如最高氣溫不低于25℃，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購安排，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，寫出Y的全部可能值，并估計Y大于零的概率？[思路點(diǎn)撥](1)eq\x(計算頻數(shù))→eq\x(應(yīng)用公式fn（A）＝\f(nA,n)計算頻率)→eq\x(估計概率)(2)eq\x(計算Y的全部可能值)→eq\x(計算相應(yīng)的頻數(shù)和頻率)→eq\x(估計概率)[解](1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25℃，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25℃的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以，Y的全部可能值為900，300，－100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20℃由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8.1．估計六月份這種酸奶一天的需求量不低于300瓶的概率．[解]這種酸奶一天的需求量不低于300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20℃，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20℃的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝eq\f(72,90)＝eq\f(4,5)＝0.8，所以這種酸奶一天的需求量不低于300瓶的概率的估計值為0.8.2．把本例(2)中“六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶”改為“六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為300瓶”，寫出Y的全部可能值，并估計Y大于500的概率．[解]當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為300瓶時，若最高氣溫不低于20℃，則Y＝6×300－4×若最高氣溫低于20℃，則Y＝6×200＋2(300－200)－4×所以，Y的全部可能值為600，200.Y大于500當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20℃由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20℃的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于500的概率的估計值為0.8.用頻率估計概率的步驟：(1)進(jìn)行大量的隨機(jī)試驗(yàn)得頻數(shù)．(2)由頻率計算公式fn(A)＝eq\f(nA,n)，得頻率．(3)由頻率與概率的關(guān)系，估計概率值．1．概率意義下的“可能性”是大量隨機(jī)現(xiàn)象的客觀規(guī)律，與我們平常所說的“可能”“估計”是不同的，也就是說，單獨(dú)一次結(jié)果的不愿定性與積累結(jié)果的規(guī)律性，才是概率意義下的“可能性”，而日常生活中的“可能”“估計”側(cè)重于某次的偶然性．2．概率與頻率關(guān)系：對于一個事務(wù)而言，概率是一個常數(shù)，而頻率則隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率就越接近于事務(wù)的概率．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)某地發(fā)行福利彩票，其回報率為35%.有人花了100元錢買彩票，確定會有35元的回報． ()(2)小張打靶10次，中了8次，因此小張中靶的概率是0.8. ()(3)隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的概率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加越來越精確． ()[提示](1)錯誤．回報率是35%，說的是中獎的概率是35%，花100元錢買彩票，可能中獎，也可能不中獎．(2)錯誤．本次試驗(yàn)中小張中靶的頻率是0.8，但概率不確定是0.8.(3)錯誤．概率是客觀存在的，它與試驗(yàn)次數(shù)、哪一個詳細(xì)的試驗(yàn)都沒有關(guān)系．[答案](1)×(2)×(3)×2．事務(wù)A發(fā)生的概率接近于0，則()A．事務(wù)A不行能發(fā)生B．事務(wù)A也可能發(fā)生C．事務(wù)A確定發(fā)生D．事務(wù)A發(fā)生的可能性很大B[由概率的意義可知事務(wù)A也可能發(fā)生．]3．從一批打算出廠的電視機(jī)中隨機(jī)抽取10臺進(jìn)行質(zhì)量檢查，其中有1臺是次品，若用C表示抽到次品這一事務(wù)，則對C的說法正確的是()A．概率為eq\f(1,10)B．頻率為eq\f(1,10)C．概率接近eq\f(1,10)D．每抽10臺電視機(jī)，必有1臺次品B[因?yàn)橹挥?次試驗(yàn)，并不能用頻率去估計概率，所以只能說頻率為eq\f(1,10).]4．某公司在過去幾年內(nèi)運(yùn)用某種型號的燈管1000支，該公司對這些燈管的運(yùn)用壽命(單位：h)進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：分組[500，900)[900，1100)[1100，1300)[1300