2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語(yǔ)1.1.1命題學(xué)案含解析新人教A版選修1-1

PAGE1-第一章常用邏輯用語(yǔ)世界文學(xué)名著《唐·吉訶德》中有這樣一個(gè)故事：唐·吉訶德的仆人桑喬·潘薩跑到一個(gè)小島上，成了這個(gè)島的國(guó)王．他頒布了一條驚奇的法律：每一個(gè)到達(dá)這個(gè)島的人都必需回答一個(gè)問(wèn)題：“你到這里來(lái)做什么？”假如回答對(duì)了，就允許他在島上游玩，而假如答錯(cuò)了，就要把他絞死．對(duì)于每一個(gè)到島上來(lái)的人，或者是盡興地玩，或者是被吊上絞架．有多少人敢冒死到這島上去玩呢？一天，有一個(gè)膽大包天的人來(lái)了，他按例被問(wèn)了這個(gè)問(wèn)題，而這個(gè)人的回答是：“我到這里來(lái)是要被絞死的．”請(qǐng)問(wèn)桑喬·潘薩是讓他在島上玩，還是把他絞死呢？假如應(yīng)當(dāng)讓他在島上游玩，那就與他說(shuō)“要被絞死”的話不相符合，這就是說(shuō)，他說(shuō)“要被絞死”是錯(cuò)話．既然他說(shuō)錯(cuò)了，就應(yīng)當(dāng)被處絞刑．但假如桑喬·潘薩要把他絞死呢？這時(shí)他說(shuō)的“要被絞死”就與事實(shí)相符，從而就是對(duì)的，既然他答對(duì)了，就不該被絞死，而應(yīng)當(dāng)讓他在島上玩．小島的國(guó)王發(fā)覺(jué)，他的法律無(wú)法執(zhí)行，因?yàn)椴还茉趺磮?zhí)行，都使法律受到破壞．他思索一再，最終讓衛(wèi)兵把他放了，并且宣布這條法律作廢.1.1命題及其關(guān)系1.1.1命題自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入聞名的“理發(fā)師悖論”是伯特納德·羅素提出的：一個(gè)理發(fā)師的招牌上寫著：“城里全部不自己刮臉的男人都由我給他們刮臉，我也只給這些人刮臉．”日常生活中也常常出現(xiàn)類似的邏輯錯(cuò)誤，因此邏輯用語(yǔ)的學(xué)習(xí)是很有必要的．我們接下來(lái)就從命題起先學(xué)習(xí).新知導(dǎo)學(xué)1．一般地，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以__推斷真假__的陳述句叫做命題．2．推斷為真的語(yǔ)句叫__真命題__，推斷為假的語(yǔ)句叫__假命題__.3．?dāng)?shù)學(xué)中的定義、公理、公式、定理都是命題，但命題不肯定都是定理，因?yàn)槊}有__真假__之分，而定理是__真__命題．4．命題常寫成“__若p，則q__”的形式，其中命題中的p叫做命題的__條件__，q叫做命題的__結(jié)論__.預(yù)習(xí)自測(cè)1．下列語(yǔ)句不是命題的是(A)A．今日的天真藍(lán)呀！B．100101是整數(shù)C．方程9x2－1＝0的解是x＝eq\f(1,3)D．2024年10月1日是中華人民共和國(guó)成立70周年的日子[解析]依據(jù)命題的定義知，選項(xiàng)A不是命題．2．語(yǔ)句“若a>b，則a＋c>b＋c”是(B)A．不是命題 B．真命題C．假命題 D．不能推斷真假[解析]a>b?a＋c>b＋c成立，故選B．3．由命題“能被6整除的整數(shù)，肯定能被3整除”改寫的等價(jià)命題是(B)A．若一個(gè)數(shù)不能被6整除，則這個(gè)數(shù)不肯定能被3整除B．若一個(gè)數(shù)能被6整除，則這個(gè)數(shù)肯定能能被3整除C．若一個(gè)數(shù)能被6整除，則這個(gè)數(shù)不肯定能被3整除D．若一個(gè)數(shù)不能被6整除，則這個(gè)數(shù)肯定能被3整除[解析]由命題“能被6整除的整數(shù)，肯定能被3整除”改寫為“若p，則q”的形式為：若一個(gè)數(shù)能被6整除，則這個(gè)數(shù)肯定能被3整除，故選B．4．命題“其次象限角的余弦值小于0”的條件是(C)A．余弦值 B．其次象限C．一個(gè)角是其次象限角 D．沒(méi)有條件[解析]命題可改寫為：若一個(gè)角是其次象限角，則它的余弦值小于0，故選C．5．下列語(yǔ)句中是命題的有__①④__.(填序號(hào))①一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；②0是自然數(shù)嗎？③22020是一個(gè)很大的數(shù)；④若兩個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)．[解析]②是疑問(wèn)句，不是命題；③是陳述句，但“很大”無(wú)法說(shuō)明究竟多大，不能推斷真假，不是命題．互動(dòng)探究·攻重難互動(dòng)探究解疑命題方向?命題概念的理解典例1推斷下列語(yǔ)句是否是命題，并說(shuō)明理由．(1)求證：eq\r(3)是無(wú)理數(shù)；(2)x2＋4x＋4≥0；(3)你是高一的學(xué)生嗎？(4)并非全部的人都喜愛(ài)蘋果．[思路分析]由題目可獲得以下主要信息：①給定一個(gè)語(yǔ)句，②判定其是否為命題并說(shuō)明理由．解答本題要嚴(yán)格驗(yàn)證該語(yǔ)句是否符合命題的概念．[解析](1)是祈使句，不是命題．(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，對(duì)于x∈R，可以推斷為真，它是命題．(3)是疑問(wèn)句，不涉及真假，不是命題．(4)是命題，可以推斷為真．人群中有的人喜愛(ài)蘋果，也存在著不喜愛(ài)蘋果的人．『規(guī)律方法』判定一個(gè)語(yǔ)句是否為命題，主要把握以下兩點(diǎn)：1．必需是陳述語(yǔ)句．祈使句、疑問(wèn)句、感嘆句都不是命題．2．其結(jié)論可以判定真或假．含義模糊不清，不能辨其真假的語(yǔ)句，不是命題．另外，并非全部的陳述語(yǔ)句都是命題，凡是在陳述語(yǔ)句中含有比方、形容等詞的詞義模糊不清的，都不是命題．┃┃跟蹤練習(xí)1__■推斷下列語(yǔ)句是不是命題，并說(shuō)明理由．(1)函數(shù)f(x)＝3x(x∈R)是指數(shù)函數(shù)；(2)x2－3x＋2＝0；(3)函數(shù)y＝cosx是周期函數(shù)嗎？(4)集合{a，b，c}有3個(gè)子集．[解析](1)是命題，滿意指數(shù)函數(shù)的定義．(2)不是命題，不能推斷真假．(3)不是命題，是疑問(wèn)句．(4)是命題．符合命題的定義．命題方向?命題真假的推斷典例2推斷下列命題的真假：(1)形如a＋eq\r(2)b的數(shù)是無(wú)理數(shù)；(2)負(fù)項(xiàng)等差數(shù)列的公差小于零；(3)關(guān)于x的方程ax＋1＝x＋2有惟一解．[思路分析]運(yùn)用數(shù)學(xué)中的定義、定理、公理、公式等學(xué)問(wèn)進(jìn)行推斷．[解析](1)假命題．如當(dāng)a＝1，b＝eq\r(2)時(shí)，a＋eq\r(2)b是有理數(shù)．(2)假命題．如數(shù)列－10，－8，－6，－4，－2，它的公差是2.(3)假命題．關(guān)于x的方程ax＋1＝x＋2即(a－1)x＝1，當(dāng)a＝1時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)a≠1時(shí)，方程有惟一解，所以是假命題．『規(guī)律方法』1.命題真假的判定方法真命題的判定過(guò)程實(shí)際就是利用命題的條件，結(jié)合正確的邏輯推理方法進(jìn)行正確邏輯推理的一個(gè)過(guò)程．可以依據(jù)已學(xué)過(guò)的定義、定理、公理，已知的正確結(jié)論和命題的條件進(jìn)行正確的邏輯推理進(jìn)行推斷．要說(shuō)明一個(gè)命題是假命題，只需舉一個(gè)反例即可．2．一個(gè)命題的真假與命題所在環(huán)境有關(guān)．對(duì)其進(jìn)行推斷時(shí)，要留意命題的前提條件，如“若a⊥c，b⊥c，則a∥b”在平面幾何中是真命題，而在立體幾何中卻是假命題．3．從集合的觀點(diǎn)看，我們建立集合A、B與命題中的p、q之間的一種聯(lián)系：設(shè)集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是說(shuō)，A是能使條件p成立的全體對(duì)象x所構(gòu)成的集合，B是能使條件q成立的全體對(duì)象x所構(gòu)成的集合，此時(shí)，命題“若p，則q”為真，當(dāng)且僅當(dāng)A?B時(shí)滿意．┃┃跟蹤練習(xí)2__■給出下列命題：①函數(shù)y＝sinx的最小正周期是π；②函數(shù)y＝2x3是指數(shù)函數(shù)；③一次函數(shù)y＝x＋1的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,0)；④f(x)＝x2在R上是偶函數(shù)，也是增函數(shù)．其中假命題的個(gè)數(shù)為(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]函數(shù)y＝sinx的最小正周期T＝eq\f(2π,1)＝2π，所以①是假命題；易知②是假命題；令x＋1＝0，得x＝－1，所以一次函數(shù)y＝x＋1的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,0)，所以③是真命題；f(x)＝x2在R上是偶函數(shù)，但不是增函數(shù)，所以④是假命題．故假命題的個(gè)數(shù)為3，故選C．命題方向?命題結(jié)構(gòu)分析典例3指出下列命題的條件與結(jié)論．(1)負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；(2)正方形的四條邊相等．[思路分析]由題目可獲得以下主要信息：①給出了命題的一般簡(jiǎn)略形式．②找出命題的條件和結(jié)論．解答本題的關(guān)鍵是正確變更命題的表述形式．[解析](1)可表述為“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)”條件為：“一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)”；結(jié)論為：“這個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)”．(2)可表述為：“若一個(gè)四邊形是正方形，則這個(gè)四邊形的四條邊相等”．條件為：“一個(gè)四邊形是正方形”；結(jié)論為：“這個(gè)四邊形的四條邊相等”．『規(guī)律方法』1.數(shù)學(xué)中的命題大多是：“若p，則q”的形式，其中p叫做命題的條件，q叫做命題的結(jié)論．而數(shù)學(xué)中的有些命題從形式上看，不是“若p，則q”的形式，但是將它的表述作適當(dāng)變更，也可以寫成“若p，則q”的形式，因此，在探討命題時(shí)，不要受其形式的影響．2．“若p，則q”形式的命題中，p和q本身也可為一個(gè)簡(jiǎn)潔命題．3．并非全部的命題都可寫成“若p，則q”型，如“eq\f(1,3)是有理數(shù)”，“5>3”．┃┃跟蹤練習(xí)3__■把下列命題表示為“若p，則q”的形式，并推斷真假．(1)相像三角形的面積相等；(2)平行于同一個(gè)平面的兩平面平行；(3)正弦函數(shù)是周期函數(shù)．[解析](1)若兩個(gè)三角形相像，則它們的面積相等．假命題．(2)若兩個(gè)平面平行于同一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行．真命題．(3)若一個(gè)函數(shù)為正弦函數(shù)，則它是周期函數(shù)．真命題．學(xué)科核心素養(yǎng)命題的真假與其他學(xué)問(wèn)的綜合應(yīng)用命題的概念中有兩個(gè)要點(diǎn)：①陳述句；②可以推斷真假．利用這兩點(diǎn)可借助于函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱關(guān)系來(lái)解決一些開放性問(wèn)題．典例4把下面不完整的命題補(bǔ)充完整，并使之成為真命題．若函數(shù)f(x)＝3＋log2x(x>0)的圖象與g(x)的圖象關(guān)于__x軸__對(duì)稱，則函數(shù)g(x)＝__－3－log2x(x>0)__.(注：填上你認(rèn)為可以成為真命題的一種情形即可，不必考慮全部可能的情形)[思路分析]本題答案不惟一．空中可以依次填入x軸，－3－log2x(x>0)．[解析]若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，則可將函數(shù)y＝f(x)＝3＋log2x(x>0)中的(x，y)用(x，－y)代換，得－y＝3＋logx(x>0)，所以g(x)＝－3－log2x(x>0)．『規(guī)律總結(jié)』解答此類題目，首先要審清題意，弄明白求什么，然后依據(jù)所學(xué)學(xué)問(wèn)選擇合適的答案．┃┃跟蹤練習(xí)4__■已知p：5x－1>a，q：x>1，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù)a，若命題“若p，則q”為真命題，則a的取值范圍為__[4，＋∞)__.[解析]命題“若p，則q”為“若x>eq\f(1＋a,5)，則x>1”，由命題