2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：一元一次方程及其應(yīng)用

一元一次方程及應(yīng)用

一、【考點(diǎn)聚焦】

一元一次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1且兩邊都為整式的等式.

條件：①只含有一個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的指數(shù)都是I；③未知數(shù)的系數(shù)不為0；④方程中的代數(shù)式都是整

式.

一元一次方程的解和解法：

b

①含字母系數(shù)的一元一次方程總可以化為砒=/?的形式，當(dāng)awO時(shí)，方程有唯一解％=當(dāng)。=0且

a

bwO時(shí)，方程無解；當(dāng)。=0且5=0時(shí)，方程有無數(shù)個(gè)解；

②檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否為方程的解，可以把這個(gè)數(shù)代入方程中，若方程左右兩邊的值相等，那么這個(gè)數(shù)是方

程的解；

③已知方程的解，求一元一次方程中的參數(shù)（待定系數(shù)），可以將已知解代入方程中，等式仍然成立，

得到關(guān)于待定系數(shù)的方程，從而求出待定系數(shù)的值；

④等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)代數(shù)式，要注意討論代數(shù)式是否為0,若這個(gè)代數(shù)式可能為0,則不能兩邊同時(shí)

除以該代數(shù)式；

⑤移項(xiàng)要變號(hào)，某一項(xiàng)從等式的一邊移到另一邊需要變號(hào)，不移則不變號(hào)，即“過橋變號(hào)，沒過橋不變

號(hào)”；

⑥一些不是一元一次方程的方程，可利用整體思想將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解.

一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用題：

>列方程解應(yīng)用題的基本步驟：

①審（審題）；

②找（找出題中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本數(shù)量關(guān)系）；

③設(shè)（設(shè)元，包括設(shè)直接未知數(shù)和間接未知數(shù)）；

④表（用所設(shè)的未知數(shù)字母的代數(shù)式表示其他的相關(guān)量）；

⑤列（列方程）；

⑥解（解方程）；

⑦檢.驗(yàn)（注意根的準(zhǔn)確性及是否符合實(shí)際意義）.

>行程問題：

行程類問題主要抓住路程、速度和時(shí)間之間的關(guān)系.

相遇類問題：相遇時(shí)間=相遇路程+速度和

追及問題：追及時(shí)間=追及路程+速度差

流水行船問題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度;

水流速度=（順?biāo)俣?逆水速度）+2；靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）

>銷售類問題:

銷售類問題主要抓住單價(jià)（成本和售價(jià)），數(shù)量，總價(jià)之間的關(guān)系.

①數(shù)量。增加*%后對(duì)應(yīng)的數(shù)量為：a（l+x%）；減少％%后對(duì)應(yīng)的數(shù)量為a（l—》

②利潤(rùn)=售價(jià)-成本;

③利潤(rùn)率=可膽*100%；

成本

④增長(zhǎng)率和降低率的基數(shù)不一樣，所以不能相互交換，比如：數(shù)量。增加x%后變?yōu)椤＃?+,但不能

反過來說?（1+%%）降低％%后變?yōu)閍.

>工程類問題:

工程類問題主要抓住工作總量、工作效率和工作時(shí)間的關(guān)系.

工作總量=工作效率X工作時(shí)間.

二、【典例分析】

1.解一元一次方程:

(1)4x-3(20—x)=3；(2)=

510

/、1-0.5%20.3%.

(4)---------+-%=------+1；

0.330.02

0.3x+0.80.02%+0.30.8x—0.411

(5)------------------------11=----------(6)--I-X-1|-2-3[=4

0.50.3323415

(7))(23

,2x—3+\3—2x)H------X=——

1313

2.關(guān)于x的方程2x+5。=3的解與方程2x+2=0的解相同，則a的值是.

x—4x—2

3.如果關(guān)于x的方程1+1==的解與關(guān)于x的方程4x—(3a+l)=6x+2a+l的解相同，求代數(shù)

32

式。一』的值.

a

4.已知關(guān)于x的方程2雙=(a+l)x+3的解是正整數(shù)，則正整數(shù)。=

5.若關(guān)于x的方程9%-14=◎+3有整數(shù)解，那么滿足條件的所有整數(shù)的a的和為

6.定義運(yùn)算：a?b-ab+a-b.

(1)按此定義，計(jì)算1③6的值；

(2)若陋—1)尤2+(b+l)x=l是關(guān)于X的一元一次方程，求。區(qū)/?+0—可⑤/?的值.

7.(行程類)兩河流交匯于點(diǎn)”處，甲河流的水速為4切z/丸，乙河流的水速為2切2/瓦一船只在靜水

中的速度為10初7/〃.其次該船只從甲河流的上游A行駛到交匯處M后再沿乙河流逆流而上到點(diǎn)3,總

共行駛了69原路返回后，發(fā)現(xiàn)往返所用時(shí)間相等.求此次航行往返的總時(shí)間.

8.(行程類)小明同學(xué)早上要在7:50之前趕到距家1000加的學(xué)校上學(xué)，一天，小明以80m/min的速度

出發(fā)，5min后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶數(shù)學(xué)書，于是爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且

在圖中追上了他.

(1)爸爸追上小明用了多長(zhǎng)時(shí)間：

(2)爸爸追上小明時(shí)，小明此時(shí)距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？

9.（銷售類）元旦是公歷新一年的第一天.“元旦”一詞最早出現(xiàn)于《晉書》“顓帝以孟夏正月為元，其

實(shí)正朔元旦之春.”中國古代曾以臘月、十月等的月首為元旦.1949年中華人民共和國以公歷1月1日為元

旦，因此元旦在中國也被稱為“陽歷年”。為慶祝元旦，某商場(chǎng)舉行促銷活動(dòng)，促銷的方法是“消費(fèi)超

過100元，所購買的商品按原價(jià)打8折后，再減少20元”.若某商品的原價(jià)為X元（X>1OO）,則購買該

商品實(shí)際付款的金額（單位：元）是（）

A80%（x-20）B.80%x-20C.20%x-20D.20%（x-20）

10.（銷售類）一商店以每件150元的價(jià)格賣出兩件不同的商品，其中一件盈利25%,另一件虧損25%,

則該商店賣這兩件商品總的盈虧情況是（）

A.虧損20元B.盈利30元C.虧損50元D.不盈不虧

11.（銷售類）列方程解應(yīng)用題：某超市第一次用6280元購進(jìn)甲、乙兩種商品，其中甲商品的件數(shù)比乙商

品件數(shù)的3倍少50件，甲、乙兩種商品的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：

甲乙

進(jìn)價(jià)（元/件）2031

售價(jià)（元/件）2840

（1）該超市將第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤(rùn)？

（2）該超市第二次以第一次的進(jìn)價(jià)又購進(jìn)甲、乙兩種商品，其中甲種商品的件數(shù)不變，乙種商品的件數(shù)

是第一次的4倍；甲商品按原售價(jià)銷售，乙商品在原售價(jià)基礎(chǔ)上打折銷售.第二次兩種商品都銷售完以后

獲得的總利潤(rùn)比第一次獲得的總利潤(rùn)多240元，那么第二次乙種商品是按原價(jià)打幾折銷售的？

12.（方案設(shè)計(jì)類）某批發(fā)商欲將一批水果由A地運(yùn)往B地，汽車貨運(yùn)公司和鐵路貨運(yùn)公司均開辦此項(xiàng)運(yùn)

輸業(yè)務(wù)，設(shè)運(yùn)輸過程中的損耗均為200元/時(shí)，兩貨運(yùn)公司的收費(fèi)項(xiàng)目及收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表所示：

途中平均速度運(yùn)費(fèi)裝卸費(fèi)用

運(yùn)輸工具

（千米/時(shí)）（元/千米）（元）

火車100152000

汽車8020900

（1）設(shè)該兩地間的距離為X千米，汽車貨運(yùn)公司和鐵路貨運(yùn)公司所要收取的費(fèi)用分別為%（元）和約（元），

則％=，%=.（用含尤的代數(shù)式表示力和巴）

（2）如果汽車的總費(fèi)用比火車的總費(fèi)用多1100元，A,B兩地的距離為多少千米？

（3）若兩地間距離為200千米，且火車、汽車在路上耽誤的時(shí)間分別為2小時(shí)和3.1小時(shí)，若你是經(jīng)理，

選擇哪種運(yùn)輸方式更合算些？請(qǐng)說明理由.

13.（方案設(shè)計(jì)類）某家電商場(chǎng)計(jì)劃用9萬元從生產(chǎn)廠家購進(jìn)50臺(tái)電視機(jī).已知該廠家生產(chǎn)3種不同型號(hào)

的電視機(jī)，出廠價(jià)分別為A種每臺(tái)1500元，B種每臺(tái)2100元，C種每臺(tái)2500元.

（1）若家電商場(chǎng)同時(shí)購進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)共50臺(tái)，用去9萬元，請(qǐng)你研究一下商場(chǎng)的進(jìn)貨方案.

（2）若商場(chǎng)銷售一臺(tái)A種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺(tái)B種電視機(jī)可獲利200元，銷售一臺(tái)C中電視

機(jī)可獲利250元，在同時(shí)購進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)方案中，為了使銷售時(shí)獲利最多，你選擇哪種方案？

14.（水電氣等分段計(jì)費(fèi)問題）某城市“一戶一表”居民用電實(shí)行階梯電價(jià)，具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:

一戶居民一個(gè)月用電量（單位：度）電價(jià)（單位：元/度）

第一檔不超過180度的部分0.5

第二檔超過180度但不超過280度的部分0.6

第三檔超過280度的部分0.8

（1）若該市某戶12月份用電量為300度，求該用戶應(yīng)交電費(fèi)多少；

（2）若該市某戶12月份用電量為X度，請(qǐng)用含X的代數(shù)式表示該戶12月份應(yīng)交電費(fèi)多少;

（3）若該市某戶12月份平均每度0.615元，求該用戶12月用電量為多少.

15.（配套問題）某車間22名工人生產(chǎn)螺釘和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺釘120個(gè)或螺母200個(gè)，兩個(gè)螺

母與一個(gè)螺釘配套，怎樣安排工人使每天的產(chǎn)品剛好配套？

16.（配套問題）已知一塊A型紙板可以制成一個(gè)C型正方形紙板和2個(gè)D型長(zhǎng)方形紙板，一塊B型紙板

可以制成2個(gè)C型正方形紙板和1個(gè)D型長(zhǎng)方形紙板.現(xiàn)有A,B兩種紙板共20塊，設(shè)A型紙板有x塊（x

為正整數(shù)）.

（1）求總共可以制成多少個(gè)C型正方形紙板（用含有x的式子表示）；

出售一個(gè)C型正方形紙板可以獲利10元，出售1個(gè)D型長(zhǎng)方形紙板可以獲利12元，若將所制成的C型，

D型紙板全部售出可以獲利650元，求x的值.

三、【課后習(xí)題】

1.元旦期間，小明到新開業(yè)的商場(chǎng)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，協(xié)助商家賣出了兩臺(tái)不同的電子琴，每臺(tái)均賣960

元，其中一臺(tái)盈利20%,一臺(tái)虧本20%,則本次銷售中商家的盈虧情況是（）

A.虧本80元B.賺了80元C.虧本160元D.賺了160元

2.某件商品，按成本價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，又以8折優(yōu)惠賣出，結(jié)果仍可獲利15元，則這件商品的成本價(jià)

為（）

A.125元B.120元C.115元D.150元

3.已知關(guān)于x的方程2依=（。+1）%+6,則當(dāng)非負(fù)整數(shù)。=時(shí)，方程的解為整數(shù).

4.解方程：

4x—1.55x—0.81.2—x.2x—4x—4

（1）=------；（2）2-------=-------

0.50.20.136

5.數(shù)學(xué)中有很多奇妙的現(xiàn)象，比如：關(guān)于x的一元一次方程成:=/?的解為x=b—。，則稱該方程為“差

解方程”.例如：2x=4的解為％=2,且2=4—2,則方程2x=4是“差解方程”.若關(guān)于x的一元一次

方程5%-m+1=0是“差解方程"，則機(jī)=.

6.對(duì)于有理數(shù)a,6,規(guī)定一種新運(yùn)算：。*6=出＞+〃.例如：2*3=2x3+3=9,有下列結(jié)論：

①（一3）*4=—8；?a*b=b*a,③方程（％—4）*3=6的解為x=5；④（4*3）*2=32.

其中正確的是.（填序號(hào)）

7.甲、乙兩車都從A市去B市，甲車先出發(fā)1小時(shí)，乙車才出發(fā)，甲車每小時(shí)行70千米，乙車每小時(shí)行

80千米，結(jié)果甲車比乙車提前半小時(shí)到達(dá)B市，問：從A市到B市的路程有多少千米？

8.小明在淘寶網(wǎng)站上看中A,B兩種商品，其商品相關(guān)信息如圖1.

付款信息

所購商品:A商品1件,B商品1件打折前一次性購物總價(jià)優(yōu)惠措施

付款方式:在線支付

不超過2000元的部分打九折

商品總價(jià)：3000.00元

超過2000元且不超過3000元的部分打八五折

實(shí)際支付金領(lǐng)：2760.00元

憂惠情況:A商品九五折，B商品九折超過3000元的部分打八折

圖1圖2

（1）請(qǐng)根據(jù)圖中信息，計(jì)算出A商品和B商品原來的單價(jià)分別是多少？

（2）小明了解到“雙十一”的優(yōu)惠信息如圖2所示，如果按照“雙十一”的優(yōu)惠價(jià)進(jìn)行購買，可以節(jié)省

多少錢？

9.某辦公用品銷售商店推出兩種優(yōu)惠方案：①每購買2個(gè)書包，贈(zèng)送一支水性筆；②購書包和水性筆一律

9折優(yōu)惠.書包每個(gè)定價(jià)40元，水性筆每只10元.小穎和同學(xué)需購買8個(gè)書包，水性筆若干支(不少于4

支).

。)用優(yōu)惠方案①購買水性筆X支，總費(fèi)用為%元，用含X的代數(shù)式表示為;用優(yōu)惠方案②購買水性筆

X支，總費(fèi)用為為元，用含X的代數(shù)式表示

(2)若小穎和同學(xué)需購買這種書包8個(gè)和水性筆16支，請(qǐng)分別計(jì)算兀%的值?請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出費(fèi)用最少的方案，

求出最少費(fèi)用.

10.某工廠要制作一批糖果盒，已知該工廠共有88名工人，其中女工人數(shù)比男工人數(shù)的2倍少20人，并

且每個(gè)工人平均每小時(shí)可以制作盒身50個(gè)或盒底120個(gè).

(1)該工廠有男工和女工各多少人？

(2)該工廠原計(jì)劃男工負(fù)責(zé)制作盒身，女工負(fù)責(zé)制作盒底，要求一個(gè)盒身配兩個(gè)盒底，那么調(diào)多少名女

工幫男工制作盒身時(shí)，才能使每小時(shí)制作的盒身與盒底剛好配套？

11.為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，某市居民生活用水按照階梯水價(jià)計(jì)費(fèi).下表是該市居民“一戶一表”生活用水

階梯式計(jì)費(fèi)價(jià)格表的部分信息：

自來水銷售價(jià)格污水處理價(jià)格

每戶每月用水量單價(jià):元/噸單價(jià):元/噸

17噸及以下a