2024-2025學(xué)年上海市長(zhǎng)寧區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市長(zhǎng)寧區(qū)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷

一、填空題（本大題共12小題，1?6每題4分，7?12每題5分，共54分）

1.已知z=2+i（其中i為虛數(shù)單位），則2=.

2.已知/（“）=/,則/"）=.

3.函數(shù)JntmZx的最小正周期為.

4已知向量“（，），（，），且。/,貝！I—.

5.已知復(fù)數(shù)馬=1+1,z2=1（其中i為虛數(shù)單位），則歸Zz|=.

6,若圓柱的軸截面面積為8,則它的側(cè)面積為_(kāi)____.

7,函數(shù)在》=1處的切線方程為.

8.已知圓錐的母線長(zhǎng)為4,底面直徑48=4,則沿著側(cè)面從點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離最小值是.

（n）4

cos---a=——

9.已知<2）5,則cos2a=.

10.已知尸是邊長(zhǎng)為2的正六邊形/BCDE9上或其內(nèi)部的一點(diǎn)，則Q?方的取值范圍為

11.如圖，己知一個(gè)半徑為2的半圓面剪去了一個(gè)等腰三角形48C,將剩余部分繞著直徑48

所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為_(kāi)____.

B

42

三——（a+2）—+2a<0

12.已知關(guān)于t的不等式e，e*恰有兩個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

二、選擇題（本題滿分18分，13、14每小題滿分4分，15、16每小題滿分5分）

_兀

13.已知復(fù)數(shù)z=（2smaT）+i”為虛數(shù)單位），則“z為純虛數(shù)，，是“0%，，的（）.

A.充分非必要條件B,必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

14.設(shè)加、〃是兩條不同的直線，以僅是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題為（）

A.若加〃a,〃〃a,則加〃〃

B.若加_La,〃_La,則加〃〃

C.若加〃a.m//。,則a〃,

D.若冽_L_L，，則加

15.如圖，在直三棱柱45C-4與。］的棱所在的直線中，與直線為異面直線的條數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

16.已知函數(shù)歹二/（x）的導(dǎo)函數(shù)/'（X）的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.函數(shù)V=/（x）在區(qū)間（-3,3）內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)

B.函數(shù)%=-1是函數(shù)y=/（%）的一個(gè)極值點(diǎn)

C.曲線丁=/（x）在點(diǎn)G2,次-2）處的切線斜率小于零

D.函數(shù)＞=/（X）在區(qū)間（-1.1）上是嚴(yán)格減函數(shù)

三、解答題（本大題共5題，滿分78分）

17.已知向量2=（2,1）,b

（1）若I與否的夾角為135°，求實(shí)數(shù)加的值；

（2）若萬(wàn),U-3）,求向量。在向量不上的投影向量坐標(biāo).

18.如圖，在正四棱柱Z8CD—481G2中，AB=2,AA[=3.

（1）求與底面48c。所成角;

（2）求點(diǎn)/到平面48。的距離.

19.已知V48C的內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為見(jiàn)“c,已知a=3,b=2c.

2兀

（1）若/=可，求V/8C的面積；

（2）若2sin5-sinC=1,求sin/.

20.如圖，PZ,平面48C,48為圓。的直徑，E,尸分別為棱PC,尸8的中點(diǎn).

（1）證明：所//平面45C；

（2）證明：平面EE4L平面上4C；

（3）若〃=力5=4，AC=2,求二面角E—ZB—C的大小.

21.解答下列問(wèn)題：

(l)求函數(shù)/(%)==(%>0)的極小值；

(2)若，ER,函數(shù)〃(x)=xe'-比為R上嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)，的取值范圍;

(3)已知g(x)=—+lnxj-三,X6(0,+8)，且尸g(x)只有一個(gè)極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的

取值范圍.

2024-2025學(xué)年上海市長(zhǎng)寧區(qū)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷

一、填空題(本大題共12小題，1?6每題4分，7?12每題5分，共54分)

1.已知z=2+i(其中i為虛數(shù)單位)，則2=.

【正確答案】2-i##-i+2

【分析】根據(jù)已知條件，利用共粗復(fù)數(shù)的概念，即可求解.

【詳解】因z=2+i，所以1=2—3

故2-i

2.已知/(x)=%4，則/'(I)=.

【正確答案】4

【分析】求導(dǎo)代值即可.

【詳解】r(x)=4x3,.-./,(1)=4.

故4.

3,函數(shù)y=tan2x的最小正周期為.

7T

【正確答案】一

2

71

【分析】利用l求出最小正周期.

JT

【詳解】歹二121121的最小正周期為5.

故5

4.己知向量5=(3,4),3=(加,2),且M//B，則加=.

3

【正確答案】-##1.5

2

【分析】根據(jù)向量平行的充要條件列方程即可求解.

3

【詳解】若向量彳=(3,4),b=(m,2),且方/區(qū)，則當(dāng)且僅當(dāng)4加=2x3n,"=,.

故答案為.士3

2

5.已知復(fù)數(shù)？i=l+i,z2=i(其中i為虛數(shù)單位)，則歸.

【正確答案】V2

【分析】由復(fù)數(shù)乘法以及模的計(jì)算公式即可求解.

2

【詳解】|zIZ2|=|(1+i)i|=|-1+i|=l)+1=.

故答案為.近

6.若圓柱的軸截面面積為8,則它的側(cè)面積為.

【正確答案】871

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為廠，母線為/,由于圓柱的軸截面面積計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，，母線為/,

由于圓柱的軸截面面積為8,所以2〃=8,

所以它的側(cè)面積為2?！?8兀,

故8兀

7.函數(shù)/(x)=/在x=l處的切線方程為.

【正確答案】V=ex

【分析】先求得導(dǎo)函數(shù)及切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程的求法即可得切線方程.

【詳解】f(x]=ex,當(dāng)x=l時(shí)切點(diǎn)為(l,e),

且/'(x)=y,則由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知k=f'(l)=e

由點(diǎn)斜式可得＞=e(x—l)+e,即^=以，

故答案為.N=ex

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線上一點(diǎn)的切線方程求法，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知圓錐的母線長(zhǎng)為4,底面直徑AB=4,則沿著側(cè)面從點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離最小值是

【正確答案】4A/2.

【分析】將其側(cè)面展開(kāi)，通過(guò)計(jì)算得到側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，根據(jù)圖形可得最短距離.

【詳解】考慮圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，

由題意可知圓錐的母線長(zhǎng)為4,底面直徑為4,則半徑廠=2,

所以底面圓的周長(zhǎng)為4兀，

471

所以圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為4,圓心角為——二兀的扇形，即半徑為4的半圓，

4

如圖所示：

在直角三角形尸45中，AP=BP=A,所以48=40，

所以沿著側(cè)面從點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離最小值為40.

故答案為.4亞

9.已知,則cos2。=.

7

【正確答案】——##-0.28

25

【分析】利用誘導(dǎo)公式求出sin。的值，再利用二倍角的余弦公式可求得結(jié)果.

4

【詳解】cos=sina,因止匕,cos2a=l-2sin2(z=-—

25

故答案為'7

25

10.已知尸是邊長(zhǎng)為2的正六邊形45CD斯上或其內(nèi)部的一點(diǎn)，則下.萬(wàn)的取值范圍為

【正確答案】[-2,6]

【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求

解.

【詳解】在正六邊形45CDE/中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB、/￡所在直線分別為x軸、y軸，建

立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

因?yàn)?8=2,則2(0,0),8(2,0),43,6),￡?(2,26),￡(0,24),歹(-1,6),

設(shè)P(x,y),由題意可知，—lVx<3,0Wy<26,

所以方=(x,y),方=(2,0),貝UQ.樂(lè)=2xe[—2,6]，

故[-2,6]

11.如圖，已知一個(gè)半徑為2的半圓面剪去了一個(gè)等腰三角形4BC,將剩余部分繞著直徑4B

所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為.

【正確答案】一

3

【分析】在三角形中作于點(diǎn)，求得圓錐的底面半徑和高，計(jì)算出球體和圓錐體積即可求得結(jié)

果.

【詳解】由題，VN8C為等腰直角三角形，作于點(diǎn)O,如圖，

則VABC繞著直徑AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為兩個(gè)全等的圓錐AO和BO,

B

由半徑為2可得圓錐底面圓半徑為。0=2,圓錐的高為2,

則圓錐49的體積為匕=—7rx22x2=—7r,

33

432

半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成半徑為2的球體，其體積為匕兀x23二三-兀，

因此剩余部分所形成的幾何體的體積為『=2匕=牛兀.

故答案為.--71

3

4

12.已知關(guān)于x的不等式與-(<7+2)—+2tz<0恰有兩個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

「19、

【正確答案】

LeeJ

【分析】令/=/（x）=0，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間，則不等式變?yōu)殛P(guān)于/的不

等式?—（a+2"+2a<0,再分a=2,a>2和a<2三種情況討論，結(jié)合函數(shù)/卜）=0

的單調(diào)性即可得出答案.

【詳解】令/=/（》）=￡，則/（x）=x（2：x）,

ee

當(dāng)x<0或x>2時(shí)，/r（x）<0,當(dāng)0<x<2時(shí)，/r（x）>0,

所以函數(shù)/（x）在（-鞏。）和（2,+8）上遞減，在（0,2）上遞增，

4

/（0）=0,/（2）=-

V）

當(dāng)Xf-00時(shí)，—+8,當(dāng)Xf+oo時(shí)，/（X）—0,

不等式變?yōu)殛P(guān)于t的不等式?—（a+2"+2a<0,

若a=2,則不等式無(wú)解，

V2

若?！?時(shí)，則即2<—<a，

QX

此時(shí)x<0,與題意矛盾，

V2

若a<2時(shí)，則Q</<2,即a<—<2,

ex

Y24

因?yàn)椋檎麛?shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，—<4,

e"e2

Y2

所以土<2恒成立，

ex

則關(guān)于X的不等式a<—恰有兩個(gè)正整數(shù)解，

ex

2

由函數(shù)/（x）=-在（2,+8）上遞減，在（0,2）上遞增，

ex

且/（1）=:/（3）弓〉/（1）,/（4）=詈/（1）,

可得/（l）?a</（3）,

nn「19、

即a￡一，二?

Lee；

火田、?「19、

故答案為.——

Le?e；

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，有一定的難度.

二、選擇題（本題滿分18分，13、14每小題滿分4分，15、16每小題滿分5分）

13.已知復(fù)數(shù)z=（2sina-l）+i（i為虛數(shù)單位），貝U“z為純虛數(shù)”是“a=巴”的（）.

A.充分非必要條件B,必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【正確答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)z=（2sina-l）+i為純虛數(shù)，求出a,判斷即可.

【詳解】復(fù)數(shù)z=（2sina—l）+i為純虛數(shù)，則2sina—1=0,

TT5兀

解得a=一+2左兀，左￡Z,或a=---\-2kTi,kGZ,

66

TTTT

所以若2為純虛數(shù)不一定得到。二:，但是由a二:一定能得到z為純虛數(shù)，

66

JT

故"Z為純虛數(shù)”是“a=一”的必要非充分條件，

6

故選：B

14.設(shè)加、〃是兩條不同的直線，以萬(wàn)是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題為（）

A.若加〃見(jiàn)〃〃a,則加〃〃

B.若加_La,〃_La,則掰〃〃

C.若加〃a,加〃尸，則all/3

D,若加_La,a_L夕，則加||萬(wàn)

【正確答案】B

【分析】在正方體中取直線和平面可排除ACD,由線面垂直的性質(zhì)可得B正確.

［詳解】在正方體ABCD-EFGH中，記底面ABCD為a,EF為m,EH為n,顯然A不正

確；記底面48CD為EF為m,平面CO8G為萬(wàn)，故排除C；記底面48CD為BF為

m,平面4BFE為0,可排除D；由線面垂直的性質(zhì)可知B正確.

15.如圖，在直三棱柱4BC-4四G的棱所在的直線中，與直線30為異面直線的條數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】C

【分析】根據(jù)異面直線的概念分析即可求出所有符合條件的棱，進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】與直線3。成異面直線的有4片,2。,44「共3條，

故選：c.

16.已知函數(shù)歹=/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()

A.函數(shù)＞=/(x)在區(qū)間G3,3)內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)

B.函數(shù)％=-1是函數(shù)y=/(x)的一個(gè)極值點(diǎn)

C.曲線＞=/(x)在點(diǎn)G2,X-2)處的切線斜率小于零

D.函數(shù)y=/(x)在區(qū)間GI,1)上是嚴(yán)格減函數(shù)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象，可判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可逐一求解.

【詳解】/(X)在(-3,-2)單調(diào)遞增，在(-2,3)單調(diào)遞減，故/(X)在區(qū)間(-3,3)內(nèi)至多有兩

個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤;

在x=-l的左右兩側(cè)/'(x)<o,故x=-1不是極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

根據(jù)/'(X)圖像可知/'(-2尸0,故y=/(x)在點(diǎn)(-2,〃-2))處的切線斜率等于零，c錯(cuò)誤;

/'(x)<0在(一1,1)恒成立，故/(x)在區(qū)間(-1,1)上是嚴(yán)格減函數(shù)，故D正確.

故選：D

三、解答題(本大題共5題，滿分78分)

17,已知向量5=(2,1),b=(-1,/n).

(1)若d與彼的夾角為135°，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)若(1-3),求向量方在向量行上的投影向量坐標(biāo).

【正確答案】(1)—3或1；

3

【分析】(1)根據(jù)數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算即可求得加；

(2)根據(jù)2,0-拉求得加=7,再根據(jù)投影向量的定義即可求得.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?=(—1,加)，則晨6=加一2,,W=&+加~,

若Z與B的夾角為135°，則由限B=|a||^|cosl350,

_____51

可得：m-2=V5X^J1+m2X(----)(加<2)，解的：加=-3或加

2J

則實(shí)數(shù)加的取值為-3或工.

3

【小問(wèn)2詳解】

a-b-(3,1-m),因?yàn)閍J_(〃一)),則一?(2-3)=2x3+1-加=0,

則加=7,可得：b-(—1,7)，a-b=1-2=5f|=V1+72=5y[2,

a-b-1-17

則z在右方向上的投影向量為.鏟"=伍'=(一而，而)

18.如圖，在正四棱柱48CD—48CQ1中，AB=2,AAl=3.

(1)求與底面48c。所成角;

(2)求點(diǎn)/到平面/RD的距離.

3

【正確答案】(1)arctan-

2

⑵源

11

【分析】(1)由線面角的定義可知即為所求，在氏〃4A4中利用三角函數(shù)進(jìn)行求解.

(2)在三棱錐4-48。中，利用等體積法求點(diǎn)/到平面48。的距離.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得，48與底面/BCD所成角為』4山，在氏〃4A4中，

AA33

tanZABA=——L=—,二.ZABA=arctan—,

1AB212

3

故A[B與底面ABCD所成角為arctan-.

【小問(wèn)2詳解】

???四棱柱ABCD-ZHCQi為正四棱柱，

AB—AD—2,

227

AXB=AXD=A/2+3=V13，BD=VF+2=272-

設(shè)點(diǎn)/到平面A{BD的距離為d,則；?SAABDZ4=gS“-d,

即L223J2"疝工4解得：d=3叵,

2211

所以點(diǎn)N到平面4Ao的距離為豆12.

11

19.己知VZ8C的內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,"c,已知a=3,b=2c.

2冗

(1)若4=不，求V48C的面積；

(2)若2sinB-sinC=1,求sin/.

【正確答案】(1)2叵

14

(2)拽上立或拽二立

99

【分析】(1)利用余弦定理解得C?的值，代入三角形面積公式即可的結(jié)果.

(2)由正弦定理得到sin民sinC的關(guān)系，解出sin民sinC的值，分類討論角8是否為銳角,

利用和差角公式計(jì)算出sin/的值.

【小問(wèn)1詳解】

b2+c2-a2

cosA=

2bc2

9

7

-S"

27214

【小問(wèn)2詳解】

b=2c,由正弦定理可得sinB=2sinC

1.2

*/2sin5-sinC=1,sinC=j,sm5=j,

,/b=2c,8可能為銳角可能為鈍角，C為銳角,

cosC=Jl-sin2c=2V2

亍

當(dāng)3為銳角,cosB=Vl-sin2B=

3

smCc°s5+c°sCsm5」x區(qū)謔/J"石

sinA=sin[兀一(C+B)]=sin(C+B)=

33339

當(dāng)B為鈍角，cosB--Vl-sin2B二一Y5

3

2V221V54V2-V5

sin4=sin［兀-(C+B)J=sin(C+B)=sinCcosB+cosCsinB=------x--------x-----=---------------

33339

??.sm/=4亞+2/或4行-指

99

20.如圖，尸2，平面48。，48為圓。的直徑，E,尸分別為棱尸C,P2的中點(diǎn).

(1)證明：?//平面Z8C；

(2)證明：平面EE4L平面R4C；

(3)若PA=AB=4,AC=2,求二面角￡—48—C的大小.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析(3)arccos-----

19

【分析】(1)利用中位線定理得到所//BC,利用線面平行的判定定理即可得證；

(2)由Z8為圓。的直徑，得到8CLZC,再利用線面垂直得到8CL尸4從而平面

R4C,結(jié)合(1)中EF“BC,所以所，平面0ZC,得到面面垂直.

(3)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量求解二面角大小.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)镋,F分別為棱PC,P8的中點(diǎn)，所以EF//BC,

因?yàn)槭倨矫?8C,3Cu平面48C,

所以所//平面N8C;

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?8為圓。的直徑，所以8CLZC,

因?yàn)槠矫?BC,5Cu平面4BC,所以尸4

又R4口ZC=Z,尸4ZCu平面PZC,所以BC±平面PAC,

由(1)知EFIIBC,所以EEL平面尸NC,又EEu平面)4

所以平面EE4，平面P/C.

【小問(wèn)3詳解】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)椤?拔=4，AC=2,

所以4(0,0,0),5(0,4,0),尸(0,0,4),。卜也,1,0卜

(省1'

尸C中點(diǎn)E即為E----,2,

I22J

設(shè)面E48的法向量為〃1=(x,y,z),

n,4?/￡=()f-V3x+y+4z=0

則〈，一，可得〈,，

nx-AB=Q=0

令x=4,則y=0,z=y/3,"1=^4,0,-\/3j,

又面4BC的法向量可表示為鼠=(0,0,1),

二面角E-AB-C的大小為arccos.

19

21.解答下列問(wèn)題:

ex

(1)求函數(shù)/(x)=二(X〉0)的極小值;

⑵若/eR,函數(shù)〃(x)=xe'Tx為R上嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)/的取值范圍;

(3)已知g(x)=+三，XG(0,+OO),且〉=g(x)只有一個(gè)極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a

x

的取值范圍.

2

【正確答案】(1)—e；

4

(2)(一*-士|；

e

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求解即可；

(2)由題意可知〃'(％)=。+1)3-/20在R上恒成立，即/V(x+l)eX在R上恒成立，設(shè)

9(x)=(x+l)e*,xeR,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)。(對(duì)的最小值即可；

,2x

(3)求導(dǎo)得g(x)=(尸3)伍：2-吟，久e(0,+8),分/一/4o恒成立，及ax-e=0

JC

有兩實(shí)數(shù)根，分別求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?(x)=S(x>o),所以廣3=生咨，

XJC

所以當(dāng)xe(0,2)時(shí)，f'Q)<0,/(X)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(2,+s)時(shí)，/(X)>0,/(X)單調(diào)遞增，

2

所以當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得極小值為/(2)=,e，

2

所以函數(shù)的極小值為je；

4

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)〃(x)=xe*-比為R上嚴(yán)格增函數(shù)，

所以//'(x)=(x+l)e*T?0在R上恒成立，

即