2024-2025學(xué)年上海市虹口區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年上海市虹口區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共6小題，每小題4分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.（4分）下列命題中，真命題是（）

A.兩個(gè)直角三角形一定相似

B.兩個(gè)等腰三角形一定相似

C.兩個(gè)鈍角三角形一定相似

D.兩個(gè)等邊三角形一定相似

2.（4分）下列各組中的四條線段成比例的是（）

A.1,1,2,3B.3,6,4,7C.5,6,7,8D.2,3,6,9

3.（4分）已知2a=36（6W0）,則下列比例式中正確的是（）

A.包上B.包上ra3D.a__2

32232b

4.（4分）在RtZX/BC中，NC=90°,AB=3,/C=2,那么coM的值是（）

A-3BD

-tc考-4

5.（4分）如圖，在△NBC中，點(diǎn)。、E分別是48、/C上的點(diǎn)，下列比例式中不能判定D￡〃5c的是（）

AAD_AERADAErBDCED.坦3

.AB'ACBDECABACABBC

6.（4分）如圖，正五邊形的邊長(zhǎng)為2,連接對(duì)角線AD、BE、CE,線段AD分別與BE和CE相交于點(diǎn)

M、N,求MV的長(zhǎng)（）

c?亨D.年

二、填空題：本題共12小題，每小題4分，共48分。

第1頁（共16頁）

7.（4分）己知a=3,6=12,則a,b的比例中項(xiàng)為.

8.（4分）已知包」，那么昆士包=.

b3b

9.（4分）/、8兩地的實(shí)際距離/8=250米，畫在地圖上的距離HB'=5厘米，那么地圖上的距離與

實(shí)際距離的比是.

=

10.（4分）計(jì)算：（a+b）-（-^-a-2b）-----------------------------------

11.（4分）在RtZUBC中，ZC=90°,如果tan5=2,BC=2,那么NC=.

12.（4分）大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”.如圖，點(diǎn)P為的黃金分

割點(diǎn)（AP>PB）.如果8P的長(zhǎng)度為8cm,那么/尸的長(zhǎng)度為.cm.

13.（4分）如圖，AE=5,/C=8,/3=10,當(dāng)BD時(shí)，DE//BC.

14.（4分）如圖，是一塊余料，BC=nOmm,現(xiàn)要把它加工成正方形零件DEFG,使得正方形的

四個(gè)頂點(diǎn)。，E,F,G都在三角形的三邊上，其中點(diǎn)E,尸在2C邊上，加工后正方形的邊長(zhǎng)為48加加,

則△N8C的面積為

15.（4分）如圖，點(diǎn)。、尸在線段上，點(diǎn)、E、G在線段NC上，DE//FG//BC,AD：DF-.FB=2：3：

4,如果EG=3,那么/C的長(zhǎng)為

第2頁（共16頁）

16.（4分）已知a,b,c分別是△/2C中/N,NB,/C的對(duì)邊，且a,b,c滿足（a-c）（a+c）+廬=

0.若4a-56=0,則sirb4+cos5的值為.

17.（4分）在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形.如

圖，△48C是格點(diǎn)三角形，在圖中的6X6正方形網(wǎng)格中作出格點(diǎn)△/￡>￡（不含△48C）,使得

△ABC（同一位置的格點(diǎn)△/￡）￡只算一個(gè)），這樣的格點(diǎn)三角形一共有個(gè).

18.（4分）新定義：如果等腰三角形腰上的中線與腰的比值為黃金分割數(shù)（黃金數(shù)），那么稱這個(gè)等腰三

角形為“精準(zhǔn)三角形”.如圖，△NBC是“精準(zhǔn)三角形"，AB=AC=2,CDLAB,垂足為點(diǎn)D,那么

的長(zhǎng)度為.

三、解答題（本大題共7小題，共78分）

19.（10分）已知：至上―2x-3y+4z=22,求：代數(shù)式xy-z的值.

234

20.（10分）如圖，a//b//c.直線"八〃與a、b、c分別相交于點(diǎn)/、B、C和點(diǎn)。、E、F.

（1）若48=3,BC=5,DE=4,求斯的長(zhǎng)；

（2）若4B：BC=2：5,DF=1Q,求￡尸的長(zhǎng).

第3頁（共16頁）

a

7V

21.(10分)己知：AABC,ZACB^90°,sin/4BC=3,設(shè)/C=3.

5

(1)求48的長(zhǎng)；

(2)求tan//3C的值；

(3)設(shè)N43C=2a,求tana的值.

22.（10分）如圖，已知△45C,點(diǎn)。在邊4。上，且40=2CD,AB//EC,設(shè)BA=a，BC=b.

（1）試用a>小CD；

（2）在圖中作出BD在BA、BC上的分向量，并直接用汽、b表示BD.

23.（12分）如圖，已知矩形/BCD中，E是/。上的一點(diǎn)，過點(diǎn)E作昉，EC交邊N8于點(diǎn)尸，交C8的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

（1）求證：^AEFs△EGC；

（2）若EF=EC,DE：AE=2：3,則地=.

CG

第4頁（共16頁）

24.(12分)已知：如圖，在△4BC中，點(diǎn)。、E分別在邊/5、AC±,DE//BC,/BDC=/DEC.求證:

(1)△ADEs^ACD；

⑵過要

BC2AC

25.(14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知/、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,0)、(8,8)、(0,8),點(diǎn)、D

是線段CM的一動(dòng)點(diǎn)，它以每秒2個(gè)單位速度從4點(diǎn)向。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接AD過點(diǎn)D作8。的垂線交OC

于E點(diǎn)，設(shè)。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒(f>0).

(1)當(dāng)。點(diǎn)到達(dá)04的中點(diǎn)時(shí)，&旦=；

0C

(2)請(qǐng)用f的代數(shù)式表示OE的長(zhǎng)度，并求出f為何值時(shí)，CE有最小值，是多少？

(3)若已知尸點(diǎn)在直線上，AF=2,尸為x軸上一點(diǎn)且于點(diǎn)尸，請(qǐng)直接寫出滿足此條件的

第5頁(共16頁)

2024-2025學(xué)年上海市虹口區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共6小題，每小題4分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1?【解答】解：A,不正確，不符合三角形相似的判定方法，是假命題，不符合題意；

B,不正確，沒有指明相等的角或邊的比例，是假命題，不符合題意；

C,不正確，沒有指明另一個(gè)銳角或邊的比例，是假命題，不符合題意；

D,正確，等邊三角形的三個(gè)角均相等，能通過有兩個(gè)角相等的三角形相似來判定，是真命題，符合題

-zfe.

故選：D.

2.【解答】解：A.由于1：1W2：3,則1,1,2,3不成比例，所以/選項(xiàng)不符合題意；

B.由于3：4W6：7,則3,6,4,7不成比例，所以2選項(xiàng)不符合題意；

C.由于5：6W7：8,則5,6,7,8不成比例，所以C選項(xiàng)不符合題意；

D.由于2：3=6：9,則2,3,6,9成比例，所以。選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

3.【解答］解：4包=包，則2a=36,故正確，符合題意；

32

B、包工，則3a=26,故錯(cuò)誤，不符合題意；

23

C、包空，則必=6,故錯(cuò)誤，不符合題意；

2b

D、包上，則30=2分，故錯(cuò)誤，不符合題意.

b3

故選：A.

4?【解答】解：根據(jù)題意，得cos/=￡=Z,

AB3

故選：B.

5.【解答】解：A./EAD=NCAB,

ABAC

：./\ADE^/\ABC,

ND=NB,

C.DE//BC,故/選項(xiàng)不符合題意；

8.?.?坦則坦又NEAD=/CAB,

BDCEABAC

第6頁（共16頁）

:.AADEsAABC,

：.ZD=ZB,

J.DE//BC,故5選項(xiàng)不符合題意；

C.里=^1,則坦又/EAD=NCAB,

ABACABAC

△ADES&BC,

：.4D=/B,

：.DE//BC,故C選項(xiàng)不符合題意；

D.坦」叵，不能判斷則不能證明。E〃8C,故。錯(cuò)誤，符合題意；

ABBC

故選：D.

6.【解答】解：,??五邊形4BCDE是正五邊形，

:?AE=AB=DE=CD=2,ZAED=ZBAE=ZCDE——:(5-2)=108°，

5

?'?ZAEM=ZEAM=ZDEN=ZEDN^-X(180°-108°)=36°，

AZAEN=ZAED-ZDEN=108°-36°=72°,ZANE=ZDEN+ZEDN=360+36°=72°

???ZAEN=ZANE,

:?AN=AE=2.

同理，DE=DM=2,

VZAEM=ZADE=ZEAD=36°,

???△AEDsdAME,

AAE_=AD；即/石2=/必./。，

AMAE

；.22=(2-MN)(2+2-MV),gpMN2-6MN+4^0,

解得MN=3-粕或HN=3+V^>2(不合題意，舍去)，

故選：A.

二、填空題：本題共12小題，每小題4分，共48分。

7.【解答】解：設(shè)a,b的比例中項(xiàng)為c,

則2=ab=3乂12=36,

所以c=±6,

即a,6的比例中項(xiàng)為±6.

故答案為：士6.

第7頁（共16頁）

8.【解答】解：

b3

?-?-?a-+-b--_--1-+-3,

b3

?a+b_4

b3

故答案為：A

3

9【解答】解：?；250米=25000厘米,

二比例尺=5：25000=1：5000；

故答案為：1：5000.

10.【解答】解：(&+b)-ga-2b)

_ft7ff

=a+b-^-a+2b

-7—一L

=aa+b+2b

=—a+3b-

2a

故答案為：色1+3b.

2a

11?【解答】解：???taiR=￡_=2,

BC

：.AC=2BC,

,:BC=2,

：.AC=4,

故答案為：4.

12.【解答】解：???點(diǎn)P為的黃金分割點(diǎn)（AP>PB）,

-BP_V5-1

'*AP=2

:=(W5+4)cir'

故答案為：（4j^+4）.

13.【解答］解：'：DE//BC,

?ADAEpnAD5

ABAC108

解得：仙與，

4

.?.BD=AB-AD=10——

第8頁（共16頁）

故答案為：15.

4

14?【解答】解：過工作于X,交。G于

則MH=DE=48mm,

'：DG//BC,

：./\ADG^^ABC,

?DG=AM；

,,而AH'

即48=AH-48

120AH

解得/*=80,

S&4BC=ZC2H=LX120X80=4800〃?/.

22

故答案為：4800加加2.

15.【解答】解：-：DE//FG//BC,AD：DF-.FB=2：3：4,EG=3,

?AE-AD-2EG_DF_3

EGDF3CGBF4

：.AE=2-EG=2,CG=AEG=4,

33

：.AC=AE+EG+CG=2+3+4=9,

故答案為：9.

16.【解答】解：,/(a-c)(a+c)+b2=0,

a2-c2+Z)2=0,

a^+b2=c2,

???△45。是直角三角形,

：.ZC=90°,

V4a-5b=0,

4Q=56,

?_a_=_5_

'石7，

第9頁（共16頁）

???設(shè)。=5左,b=4k,

c=7a2+b2=V(5k)2+(4k)2=VH%

/.sitb4=A=_=

cV41k41

cosB=—=-—=

cV41k41

sirU+cosB=,

41

故答案為：I。面.

41

17?【解答】解：如圖，

所以使得的格點(diǎn)三角形一共有6個(gè).

故答案為：6.

18?【解答】解：作△N8C的中線CM,

:A4BC是“精準(zhǔn)三角形”，

?CM-V5-1

??------,

AB2

;AB=2,

：.CM=45-1,

,；M是AB中點(diǎn)，

:.AM=MB=^AB=1,

2

令DM=x,則/。=x+l,

'：CD2^CM2-MD2^AC2-AD2,

--=2?-(x+i)2,

?-2^-3

2

:.DM=2娓T,

2

第10頁（共16頁）

：.BD=MB-DM=寫心避.

_2

故答案為：反如1_.

2

三、解答題(本大題共7小題，共78分)

19.【解答】解：設(shè)三J-=k，

234

貝!Jx=2左，y=3k,z=4k,

\'2x-3y+42=22,

，4左一9左+16左=22,

:?k=2,

??x+y-z=2左+3左一4左=左=2.

20?【解答】W：(1)u：a//b//c,

?ABDEpn3_4

BC-EF5~EF

解得EF=^；

(2),：a//b//c,

.ABDE2

"BC'EF

?.?-D-E-+-E-F=-2-+-5-,

EF5

解得EF圖■.

21.【解答】解：(1)：//C3=90°,sin//5C=3,/C=3,

5

sinNABC=至=丁_=3,

ABAB5

.\AB=5；

(2)在直角△NBC中，由勾股定理得到：5C=^AB2_AC2=^52-32=4.

則tan//2C=￡=3；

BC4

第11頁（共16頁）

(3)如圖，8。是/N8C的角平分線，則//8￡>=NC8D=a.

過點(diǎn)D作DELAB于點(diǎn)E,則DE=DC,

設(shè)CD=DE=x,則AD=3-x,

易得BE=BC=4,

：.AE=2.

由AD2=AE2+ED2得：（3-X）2=22+%2

.?x人=5?

6

33

tana=tanZDBC=匹_=^_=

22?【解答】解：（1）VBA=a-BC=b-CA=CB+BA=-b+a>

'：AD=2CD,

：.CD^1.CA,

3

;而與以同向，

.?.CD=lcA=l（-b+l）lb；

3333

.a?，?，a

(2)如圖BD在BA、BC上的分向量分別為BM，BN.

a..—?[—?[—?i->Q—?

VBD=BC+CD=b+,a-與=，a+與

3333

A

,E

D

BNCF

第12頁(共16頁)

23.【解答】(1)證明：??,四邊形/5CZ)是矩形，

AZA=90°,AD//CG,

?；EF2EC,

：.ZCEG=90°,

???NA=/CEG,

,:AD〃CG,

/.NAEF=NG,

：.AAEFsAEGC：

(2),；EF工EC,

：./AEF=ZDCE,

在△/跖和△CZ)￡中，

'NA二ND

<NAEF=NCDE，

EF=EC

?,.△AEF會(huì)LCDE(//S),

:?AE=CD,AF=ED,

?:DE：AE=2：3,

:?設(shè)ED=AF=2m,則AD=BC=5m,AE=CD=AB=3m,

:?FB=3m-2m=m,

在RtAAEF中，由勾股定理得￡T=V13w,

：.EC=EF=yT^m,

'：AE//BG,

:.△GFBsAEFA,

?BFBG=lm=1

??二■—9

AFAE2m2

2

?=Wr-=13

3

?BG-2

.石—五

故答案為：A.

13

第13頁（共16頁）

24.【解答】證明：(1)VZBDC=ADEC,ZBDC=ZA+ZACD,/DEC=/A+ADE,

：.ZADE=ZACDf

???ZA=ZAf

：.△ADES^ACD；

(2)'：DE//BC,

：.ZEDC=/BCD,

ZBDC=ZDEC,

：.ADEC^ABDC,

???，CDX：DE,

BCCD

:.CD2=DE-BC.

.CD2_DE

??正-記

'JDE//BC,

：.AADEsAABC,

??--D-E-~-A-E-,

BCAC

.CD2AE

??-------~,?

BC2AC

25.【解答】解:(1)24、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)