數(shù)學?？級狠S題華師版九年級專題05相似三角形中（雙）A字型與（雙）8字型模型的四種考法含答案及解析

專題05相似三角形中（雙）A字型與（雙）8字型模型的四種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、“A”字模型與反“A”字模型 2類型二、同向雙“A”字模型 4類型三、“8”字模型與反“8”字模型 8類型四、“A”字模型與“8”字模型綜合 12壓軸能力測評（10題） 18解題知識必備1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應成比例，就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3（1）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).（2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結(jié)論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).（3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結(jié)論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3（1）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結(jié)論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).（2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).（3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結(jié)論：壓軸題型講練類型一、“A”字模型與反“A”字模型例題：（23-24九年級上·河南南陽·階段練習）如圖，在中，，，D、E分別在、上，，．(1)求證：．(2)若，求的長【變式訓練1】（23-24九年級上·上?！るA段練習）如圖，過頂點C作直線與與及中線交于F、E，過D作交于M．(1)若，求的值；(2)求證：．類型二、同向雙“A”字模型例題：（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，點D，E分別在邊上，，分別交線段DE，于點F，G，且．(1)求證：平分；(2)求證：．【變式訓練1】（22-23八年級下·吉林長春·期末）如圖，D，E分別是上的點，于點G，于點F，．(1)求的值；(2)求與的周長之比；(3)若的面積為4，求的面積．【變式訓練2】（23-24九年級下·重慶南岸·開學考試）（1）如圖1，在中，，，分別為，，上的點，，，交于點，求的值．（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)，．若，，，求證：．（3）如圖3，在中，，與交于點，為上一點，交點，交于點．若，平分，，求的長．類型三、“8”字模型與反“8”字模型例題：（23-24九年級上·上?！るA段練習）如圖，在中，的平分線分別交于，那么．【變式訓練1】（23-24九年級上·四川樂山·期中）如圖，相交于點P，連接，且，，，，求的長．【變式訓練2】（22-23九年級上·湖南益陽·期中）如圖，，，，(1)求證：；(2)求的長．【變式訓練3】（23-24九年級下·浙江溫州·開學考試）如圖，四邊形是平行四邊形，點E是延長線上一點，連結(jié)，，，分別與，交于點F，G．(1)若，，求的長．(2)求證：．類型四、“A”字模型與“8”字模型綜合例題：（23-24八年級下·江蘇無錫·期末）如圖，正方形，邊長為4，點在邊上，射線與射線交于點．(1)若，求的長；(2)求證：．【變式訓練1】（23-24九年級上·上?！るA段練習）如圖，在菱形中，點在邊上，連接并延長，交對角線于點、的延長線與點．(1)求證：是、的比例中項；(2)若，求的值．【變式訓練2】（2024·浙江·一模）如圖，在中，點D，E，F(xiàn)分別在邊，，上，連結(jié)，，，與交于點G．已知四邊形是平行四邊形，且．

(1)若，求線段，的長．(2)若四邊形的面積為48，求的面積．【變式訓練3】（23-24九年級上·四川成都·階段練習）如圖，是的對角線，在邊上取一點F，連接交于點E，并延長交的延長線于點G．(1)若，求證：．(2)若，，求的長．(3)在（2）的條件下，若，求．壓軸能力測評（10題）一、填空題1．（23-24八年級下·吉林長春·期末）如圖，D、E分別是的邊上的點，，若，則．2．（22-23八年級下·重慶九龍坡·期末）如圖，，為兩路燈，身高均為的小明、小亮站在兩路燈之間，兩人相距，小明站在處，小亮站在處，小明在路燈下的影長為，路燈高，則路燈的高為．3．（23-24八年級下·吉林長春·期末）如圖，點E在正方形的對角線上，連結(jié)并延長交邊于點M，交邊的延長線于點G，過點E作于點F．若，則線段的長度是．

4．（22-23九年級上·四川成都·階段練習）如圖，是的高，，點R在邊上，點S在邊上，，垂足為E．當時，則．5．（23-24九年級上·福建南平·期末）如圖，在中，，垂足為D，，，四邊形EFGH和四邊形均為正方形，且點E，F(xiàn)，G，N，M都在的邊上，AD交于點P，那么與四邊形的面積比為．二、解答題6．（23-24九年級上·四川宜賓·期末）如圖，在正方形中，點關于直線的對稱點為，為邊上一動點，交于點，交于點．(1)當點為中點時，求證：；(2)當時，求證：．7．（2023·吉林長春·模擬預測）【知識點】三角形的三條中線交于一點，這個點叫做三角形的重心．【解決問題】如圖①，在中，分別是邊的中點，求證：；【歸納】用文字語言敘述【解決問題】反映的關于三角形重心的性質(zhì)；【應用】如圖②，在中，D是邊的中點，過點G的直線分別交邊于點E、F，若，則．8．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知菱形，點E是邊所在直線上的點．(1)點E在邊的延長線上，①如圖1，連交于點G，求證：；②如圖2，連，點F是上的點，且，連交于點G，若，求的值；(2)如圖3，H是菱形所在平面內(nèi)一點，，當取最小值時，直接寫出的值．9．（23-24八年級下·江蘇無錫·期末）[基礎學習]（1）如圖1，在中，，，分別為，，上的點，，交于點，求證：．[嘗試應用]（2）如圖2，已知、為的邊上的兩點，且滿足，一條平行于的直線分別交、和于點、和，求的值．[拓展提高]（3）如圖3，矩形中（為常數(shù)），點是矩形邊上的一個動點，延長至點，使，連接，，與相交于點，連接，求的最小值（用的代數(shù)式表示）．10．（22-23九年級下·河南新鄉(xiāng)·期中）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版九年級上冊數(shù)學教材第78頁的部分內(nèi)容．例1．求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分．已知：如圖，在中，，，，求證：、互相平分．（1）請結(jié)合圖1，寫出證明過程：證明：連結(jié)、．，，______．同理可得______．____________．∴，互相平分．【探索應用】（2）如圖2，在圖（1）條件下，點為的中點，連接交于點，設與交于點．①求證：；②求的值；（3）如圖3，在菱形中，，，與交于點，點為邊上一點，且為邊的三等分點，直接寫出的值．

專題05相似三角形中（雙）A字型與（雙）8字型模型的四種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、“A”字模型與反“A”字模型 2類型二、同向雙“A”字模型 4類型三、“8”字模型與反“8”字模型 8類型四、“A”字模型與“8”字模型綜合 12壓軸能力測評（10題） 18解題知識必備1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應成比例，就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3（1）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).（2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結(jié)論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).（3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結(jié)論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3（1）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結(jié)論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).（2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).（3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結(jié)論：壓軸題型講練類型一、“A”字模型與反“A”字模型例題：（23-24九年級上·河南南陽·階段練習）如圖，在中，，，D、E分別在、上，，．(1)求證：．(2)若，求的長【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握對應邊成比例是解題關鍵．（1）根據(jù)兩邊成比例且夾角相等，可證明兩個三角形相似；（2）根據(jù)相似三角形對應邊成比例求解即可．【詳解】（1）解：，，，，，，，又，；（2）解：由（1）可知，，，，．【變式訓練1】（23-24九年級上·上?！るA段練習）如圖，過頂點C作直線與與及中線交于F、E，過D作交于M．(1)若，求的值；(2)求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查三角形相似的額判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)，證明，得到，由，得到，進而得到，求出，即可求解；（2）由（1）知，得到，推出，根據(jù)，證明，得到，推出，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：，，，，，，，即，的值為；（2）證明：，，即，，，，，點D是中點，，，，即，．類型二、同向雙“A”字模型例題：（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，點D，E分別在邊上，，分別交線段DE，于點F，G，且．(1)求證：平分；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關鍵．（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，再由相似三角形的判定和性質(zhì)確定，即可證明；（2）根據(jù)相似三角形的判定得出，再由性質(zhì)得出，利用等量代換即可證明．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，又∵=，∴，∴，∴平分．（2）∵，∴，∴．由（1）知，∴，∴．【變式訓練1】（22-23八年級下·吉林長春·期末）如圖，D，E分別是上的點，于點G，于點F，．(1)求的值；(2)求與的周長之比；(3)若的面積為4，求的面積．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握是是解決問題的關鍵．（1）由可證得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；（2）由，相似三角形的周長比等于相似比，即可證得；（3）由，．根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得結(jié)果．【詳解】（1）∵，∴，又∵分別是和的高，∴；（2）∵，∴；故與的周長之比為（3）∵，∴，∵，∴．故的面積為．【變式訓練2】（23-24九年級下·重慶南岸·開學考試）（1）如圖1，在中，，，分別為，，上的點，，，交于點，求的值．（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)，．若，，，求證：．（3）如圖3，在中，，與交于點，為上一點，交點，交于點．若，平分，，求的長．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定、等腰三角形的性質(zhì)及判定、解直角三角形等知識．（1）利用，證明，利用相似比即可證明此問；（2）證明，則，得到，，則是等腰三角形，由（1）得，即可證明；（3）遵循第（1）、（2）小問的思路，延長交于點M，連接，作，垂足為N．構(gòu)造出等腰三角形、含角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的長．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴．∵，∴．∴（2）解：∵，∴，∴∵，∴，∴∴，∴是等腰三角形，由（1）得，∴，（3）解：如圖，延長交于點M，連接，作，垂足為N．在中，．∵，∴由（1）同理可得，∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴，∴．∴．在中，．∵，∴，∴．類型三、“8”字模型與反“8”字模型例題：（23-24九年級上·上海·階段練習）如圖，在中，的平分線分別交于，那么．【答案】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的定義得到，再證明，得到即可得出結(jié)果．【詳解】解：在中，，，，平分，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，證明是解題的關鍵．【變式訓練1】（23-24九年級上·四川樂山·期中）如圖，相交于點P，連接，且，，，，求的長．【答案】【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)．先證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：，，，，，的長為．【變式訓練2】（22-23九年級上·湖南益陽·期中）如圖，，，，(1)求證：；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用平角和已知先說明，再通過相似三角形的判定說明；（2）利用相似三角形的性質(zhì)，代入計算得結(jié)論．本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，且，∴；（2）解：∵，∴，且，，，∴．【變式訓練3】（23-24九年級下·浙江溫州·開學考試）如圖，四邊形是平行四邊形，點E是延長線上一點，連結(jié)，，，分別與，交于點F，G．(1)若，，求的長．(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關鍵是利用平行四邊形性質(zhì)證三角形相似求解．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得，，，從而可證，利用相似三角形性質(zhì)求解，即可求得的長；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可證，，從而可得，，再可得，從而證得．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，；（2）證明：在平行四邊形中，，，，，，，，，，．類型四、“A”字模型與“8”字模型綜合例題：（23-24八年級下·江蘇無錫·期末）如圖，正方形，邊長為4，點在邊上，射線與射線交于點．(1)若，求的長；(2)求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．（1）通過證明，由相似三角形的性質(zhì)可求解；（2）通過證明，可得，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：四邊形是邊長為4的正方形，，，，，即；（2）證明：，，∵在正方形中，，，，．【變式訓練1】（23-24九年級上·上?！るA段練習）如圖，在菱形中，點在邊上，連接并延長，交對角線于點、的延長線與點．(1)求證：是、的比例中項；(2)若，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，靈活運用相似三角形的判定與性質(zhì)成為解題的關鍵．（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，則、可得，進而得到，從而證明結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，進而得到，再證明可得，再證明可得,即：；然后代入即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，∴，，∴，∴，即，∴是、的比例中項．（2）解：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴,即：，∵，∴，即，∴．【變式訓練2】（2024·浙江·一模）如圖，在中，點D，E，F(xiàn)分別在邊，，上，連結(jié)，，，與交于點G．已知四邊形是平行四邊形，且．

(1)若，求線段，的長．(2)若四邊形的面積為48，求的面積．【答案】(1)，(2)125【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，即可得，，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及比例的性質(zhì)即可；（2）根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的性質(zhì)即可．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形；（2），四邊形的面積為48∵∴∴，即解得．【變式訓練3】（23-24九年級上·四川成都·階段練習）如圖，是的對角線，在邊上取一點F，連接交于點E，并延長交的延長線于點G．(1)若，求證：．(2)若，，求的長．(3)在（2）的條件下，若，求．【答案】(1)見解析(2)3(3)15【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件．（1）依據(jù)等量代換得到，依據(jù)，即可證明；（2）依據(jù)，可得，依據(jù)，即可得出，再根據(jù)，可得，進而根據(jù)解題；（3）過點作于點H，由（2）知，由，求出，即可求出，再根據(jù)，得到，推出，證明，得到，推出，求出，從而求出，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，即可求解．【詳解】（1）證明：∵中，，，∴，又∵，∴，又∵，∴；（2）解：∵平行四邊形中，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，，∵，，∴，∴，∴；（3）解：過點作于點H，由（2）知，，，，，，，，，，，，，，．壓軸能力測評（10題）一、填空題1．（23-24八年級下·吉林長春·期末）如圖，D、E分別是的邊上的點，，若，則．【答案】/0.4【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，由，易得，，于是，進而得到，從而推出結(jié)果．【詳解】解：，，，即，，，故答案為：．2．（22-23八年級下·重慶九龍坡·期末）如圖，，為兩路燈，身高均為的小明、小亮站在兩路燈之間，兩人相距，小明站在處，小亮站在處，小明在路燈下的影長為，路燈高，則路燈的高為．【答案】12【分析】本題考查了相似三角形的應用，先證明，求出、，再證明，即可得出．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即，∴，故答案為：．3．（23-24八年級下·吉林長春·期末）如圖，點E在正方形的對角線上，連結(jié)并延長交邊于點M，交邊的延長線于點G，過點E作于點F．若，則線段的長度是．

【答案】2.5【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．先根據(jù)已知條件求出，再根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，得到，再根據(jù)相似三角形的判定得到，求出的值，最后根據(jù)正方形的性質(zhì)證明平行，從而證明，然后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，列出關于的比例式，進行解答即可．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：2.54．（22-23九年級上·四川成都·階段練習）如圖，是的高，，點R在邊上，點S在邊上，，垂足為E．當時，則．【答案】【分析】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形對應高的比等于相似比是解答此題的關鍵．根據(jù)，可得出，故，再由相似三角形的性質(zhì)可得出的長，進而可得出結(jié)論．【詳解】解：，，，，，∴，，即．解得，，故答案為：．5．（23-24九年級上·福建南平·期末）如圖，在中，，垂足為D，，，四邊形EFGH和四邊形均為正方形，且點E，F(xiàn)，G，N，M都在的邊上，AD交于點P，那么與四邊形的面積比為．【答案】【分析】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)解答.通過證明可得可求的長，由相似三角形的性質(zhì)可得即可求解.【詳解】解：∵四邊形EFGH和四邊形均為正方形，，，，，，，，，，與四邊形的面積比為，故答案為：.二、解答題6．（23-24九年級上·四川宜賓·期末）如圖，在正方形中，點關于直線的對稱點為，為邊上一動點，交于點，交于點．(1)當點為中點時，求證：；(2)當時，求證：．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】此題考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和相似三角形判定與性質(zhì)是解題的關鍵．（）利用正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（）先證明，再根據(jù)性質(zhì)得出，由軸對稱的性質(zhì)可得，可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形為正方形，∴，，∵點關于直線的對稱點為，∴，∴，∵為中點，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）∵四邊形為正方形，∴，，在和中，∴，∴，∵點關于直線的對稱點為，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即．7．（2023·吉林長春·模擬預測）【知識點】三角形的三條中線交于一點，這個點叫做三角形的重心．【解決問題】如圖①，在中，分別是邊的中點，求證：；【歸納】用文字語言敘述【解決問題】反映的關于三角形重心的性質(zhì)；【應用】如圖②，在中，D是邊的中點，過點G的直線分別交邊于點E、F，若，則．【答案】解決問題：詳見解析；歸納：三角形的重心與一邊中點的連線等于對應中線的三分之一．應用：【分析】本題考查了相似型的綜合應用，主要考查了三角形的重心，相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關鍵是掌握三角形的重心．[解決問題]連接，根據(jù)題意得到且，證明，得到，即可得證．[歸納]三角形的重心與一邊中點的連線等于對應中線的三分之一．[應用]如圖（2）中，過點作交于．交于．利用相似三角形的性質(zhì)求解．【詳解】[解決問題]證明：連接，如圖，∵、分別是邊、的中點，∴且，∴，∴，∴，即，∴．[歸納]解：三角形的重心與一邊中點的連線等于對應中線的三分之一．[應用]解：如圖，過點作交于H．交于N．，，，∴，，，，，，∴，，，，，故答案為：．8．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知菱形，點E是邊所在直線上的點．(1)點E在邊的延長線上，①如圖1，連交于點G，求證：；②如圖2，連，點F是上的點，且，連交于點G，若，求的值；(2)如圖3，H是菱形所在平面內(nèi)一點，，當取最小值時，直接寫出的值．【答案】(1)①見詳解，②(2)【分析】（1）①根據(jù)題意可證得，，有，，合，即可得到結(jié)論；②延長交的延長線于點H，先證明，則有，，，再證，得到，設，則，，求得，，接著證明，可得，即，進而有，再證明，可得，則，問題隨之得解；（2）將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，則，，那么和為等邊三角形，所以，根據(jù)垂線段最短，可知當點和點E共線時取得最小值，過點作交、和分別為點N，M和F，取得最小值為，且點E即為點F，設菱形的邊長為，則，，，那么，進而可得：，，即可求得．【詳解】（1）①證明：∵四邊形為菱形，∴，，∴，，∴，即，，∵四邊形為菱形，∴，∴，即；②延長交的延長線于點H，如圖，∵四邊形為菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，，，∵，，∴，∴，即，設，則，∴，，∴，解得，則，∵，，∴，∴，即，即，∵，∴，∴，則，∴∵，，∴；（2）將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，則，，，，那么和為等邊三角形，∴，根據(jù)垂線段最短，可知當點，，和點E共線時取得最小值，過點作交、和分別為點N，M和F，如圖，此時，取得最小值為，且點E即為點F，如圖，設菱形的邊長為，在菱形中，有，∵是等邊三角形，，，∴，∴，，∵，∴，則，，∴，在中，，，∴，則，則有：，那么，（點E即為點F，），．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、垂線段最短以及勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和構(gòu)造線段最短的方法．9．（23-24八年級下·江蘇無錫·期末）[基礎學習]（1）如圖1，在中，，，分別為，，上的點，，交于點，求證：．[嘗試應用]（2）如圖2，已知、為的邊上的兩點，且滿足，一條平行于的直線分