2024-2025學(xué)年宜昌市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（附答案解析）

2024-2025學(xué)年宜昌市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷

一、單選題(本大題共8小題)

1.直線(xiàn)，：x-2y+3=0和直線(xiàn)冽：2x+y-3=0的位置關(guān)系為

A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直

2.已知向量萬(wàn)=(2%,1,1),b=(1,—4,2),且萬(wàn)_/./?，則X=(

A.-3B.-1C.1D.0

3.已知直線(xiàn)/的一個(gè)方向向量為(1,6),則直線(xiàn)/的傾斜角為()

4.袋子中有一些大小質(zhì)地完全相同的紅球、白球和黑球，從中任意摸出一球，摸出的球是紅球

或白球的概率為0.56,摸出的球是紅球或黑球的概率為0.68,則摸出的球是白球或黑球的概率

為()

A.0.64B.0.72C.0.76D.0.82

5.如圖，已知4叢C是邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格上不共線(xiàn)的三個(gè)格點(diǎn)，點(diǎn)尸為平面N8C外一點(diǎn),

且〈善，方〉=〈N,就〉=120。，|衣|=3,^AO=AB+AC>貝打麗|=()

A.2MB.屈C.6D.V35

6.已知向量&=(2,-3,0),5=(0,3,4),則向量2在向量3上的投影向量的坐標(biāo)為()

(1827八<1827八

A.--,—,0B.―,---,0

V1313)(1313)

，八2736)(2736)

C.0,—D.0,-——

(2525；(2525)

x+(a-l)y+2=0與/2：ax+2y+1=0間的距離為手，貝1］實(shí)數(shù)。=(

7.若平面內(nèi)兩條平行線(xiàn)4：

A.-1B.2C.-1或2D.-2或1

8.在正三棱錐尸-48C中，AB=41PA=V2，且該三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在以。為球心的球面上,

設(shè)點(diǎn)。到平面口2的距離為m,到平面/2C的距離為"，則'=()

n

A.—B.V3C.垣D.3

33

二、多選題(本大題共3小題)

9.已知直線(xiàn)，：2x-3y+l=0,貝I]()

A./不過(guò)原點(diǎn)B./在x軸上的截距為1

2

21

C./的斜率為:D./與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為之

10.甲、乙兩個(gè)口袋中裝有除了編號(hào)不同外其余完全相同的號(hào)簽.其中甲袋中有編號(hào)為1,2,3

的三個(gè)號(hào)簽；乙袋中有編號(hào)為1,2,3,4,5,6的六個(gè)號(hào)簽.現(xiàn)從甲、乙兩袋中各抽取1個(gè)號(hào)簽,

從甲、乙兩袋抽取號(hào)簽的過(guò)程互不影響.記事件從從甲袋中抽取號(hào)簽1；事件8：從乙袋中抽取

號(hào)簽5；事件C：抽取的兩個(gè)號(hào)簽和為4；事件抽取的兩個(gè)號(hào)簽編號(hào)不同，則下列說(shuō)法正確

的是()

A.P(A)=2P(B)B.P(C)=-

6

C.事件C與。互斥D.事件/與事件。相互獨(dú)立

11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體48co-48CR中，E,F,G,H分別是。，，&紇,CD,BC

的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有()

4Z),

A.E,F,G,"四點(diǎn)共面

7T

B.AD與斯所成角的大小為一

3

C.在線(xiàn)段8。上存在點(diǎn)使得平面所G

D.在線(xiàn)段上任取一點(diǎn)N,三棱錐N-EFG的體積為定值

三、填空題(本大題共3小題)

12.已知直線(xiàn)/的方程為：-巳=1,則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線(xiàn)/的距離為.

13.在長(zhǎng)方體中，若AB=AA\=2BC=2,則直線(xiàn)3D與之間的距離

為.

14.九宮格數(shù)獨(dú)游戲是一種訓(xùn)練推理能力的數(shù)字謎題游戲.九宮格分為九個(gè)小宮格，某小九宮格

如圖所示，小明需要在9個(gè)小格子中填上1?9中不重復(fù)的整數(shù)，小明通過(guò)推理己經(jīng)得到了4個(gè)

2

小格子中的準(zhǔn)確數(shù)字，a,6,c,d,e這5個(gè)數(shù)字未知，且b,d為偶數(shù)，則c+d>8的概率為.

9a7

bcd

4e6

四、解答題(本大題共5小題)

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，VABC的頂點(diǎn)/(3,3),5(2,1),B,C關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱(chēng).

(1)求2C邊上的高所在直線(xiàn)的一般式方程；

(2)已知過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)I平分4ABC的面積，求直線(xiàn)/的方程.

16.如圖，在三棱柱NBC-48G中，AB=a，AC^b<而=)，點(diǎn)。滿(mǎn)足場(chǎng)=2元.

B

(1)用a,3,c表示BQ；

(2)若三棱錐4-的所有棱長(zhǎng)均為2,求|麗|及布?昭.

7T

17.在菱形48co中，ABAD=-,AB=2,將菱形48co沿著8。翻折，得到三棱錐/-BCD如

圖所小，此時(shí)=

(1)求證：平面/AD_L平面8。；

(2)若點(diǎn)E是。的中點(diǎn)，求直線(xiàn)BE與平面48c所成角的正弦值.

18.為培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，協(xié)同發(fā)展學(xué)科綜合能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，某校數(shù)學(xué)組舉行了

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽，素養(yǎng)大賽采用回答問(wèn)題闖關(guān)形式.現(xiàn)有甲、乙兩人參加數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽,

21

甲、乙兩人能正確回答問(wèn)題的概率分別是；和一.假設(shè)兩人是否回答出問(wèn)題，相互之間沒(méi)有影響;

32

每次回答是否正確，也沒(méi)有影響.

3

⑴若乙回答了4個(gè)問(wèn)題，求乙至少有1個(gè)回答正確的概率；

(2)若甲、乙兩人各回答了3個(gè)問(wèn)題，求甲回答正確的個(gè)數(shù)比乙回答正確的個(gè)數(shù)恰好多2個(gè)的概

率；

(3)假設(shè)某人連續(xù)2次未回答正確，則退出比賽，求甲恰好回答5次被退出比賽的概率.

19.在空間直角坐標(biāo)系。合中，定義：過(guò)點(diǎn)/宙,比,4),且方向向量為應(yīng)=(a,6,c)(abcw0)的直

線(xiàn)的點(diǎn)方向式方程為王玉二一^二1；過(guò)點(diǎn)/伉,比/0),且法向量為

abc

222

m=(a,b,c)^a+b+cw0)的平面的點(diǎn)法向式方程為fl(x-x0)+Z>(^-j0)+c(z-z0)=0,將其整理為

一般式方程為G+制+C2-d=0,其中］=啄+6%+cz0.

⑴求經(jīng)過(guò)/(T2,4),3(2,0,1)的直線(xiàn)的點(diǎn)方向式方程；

(2)已知平面%：2%一3^+2-1=0,平面，i：x+y—2z+4=0,平面

yx:(m+l)x-(2m+3)j；+(m+2)z-5=0,若藥口才=/,/O%,證明：/〃力；

⑶已知斜三棱柱ABC-AAQ中，側(cè)面N844所在平面。2經(jīng)過(guò)三點(diǎn)^(-4,0,0),

Q(-3,-l,l),H(l,-5,-2),側(cè)面8CG瓦所在平面夕2的一般式方程為y+z+4=。側(cè)面4CQ4所在平

面片的一般式方程為2x-叼+(2〃?+l)z+l=0,求平面44與平面NCG4的夾角大小.

4

參考答案

1.【答案】A

【詳解】直線(xiàn)/：X一2>+3=0和直線(xiàn)，"：2x+y-3=0的斜率分另IJ為工，_2,

2

因?yàn)?x(-2)=-l,所以/_Lm.

故選：A

2.【答案】C

【詳解】因?yàn)?13，故灑5=2x-4+2=0,即尤=1.

故選：C

3.【答案】D

【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)/的一個(gè)方向向量為(1,6),所以/的斜率后=6，

又左=tan。，所以tand=石，因?yàn)椤[0㈤，所以夕=1.

故選：D.

4.【答案】C

【詳解】設(shè)摸出紅球的概率為尸(4),摸出白球的概率為尸(8),摸出黑球的概率為尸(C),

所以尸(4)+尸(5)=0.56,尸(/)+尸(C)=0.68,且尸(Z)+尸(5)+尸(C)=l,

所以尸(C)=1-尸(/)-尸(8)=0.44,P(B)=1-P(A)-P(C)=0.32,

所以尸(B)+P(C)=0.76,即摸出的球是白球或黑球的概率為0.76.

故選C.

5.【答案】B

【詳解】因?yàn)樾?篇+衣，所以/=厲+萬(wàn)=-方-芯+方,

則I而「=(-益-%+Q)2="+瑟,+刀2+2萬(wàn).祝-2商.萬(wàn)-2萬(wàn).旅

=22+32+32+0-2X2X3X^-1^-2X3X3X^-^=37,所以|麗卜歷.

故選：B.

6.【答案】D

【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)閍=(2,-3,0),5=(0,3,4),

所以Z%=2x0—3x3+0x4=-9，忖=J0+9+16=5,

5

a-bb-9b9…八2736、

則向量&在向量B上的投影向量為：和,=丁彳=一天(034)=[0,一石,一天人

故選D.

7.【答案】A

【詳解】①當(dāng)。=1時(shí)，可得4：x+2=O,Z2:x+2y+l=0,由;/。，則此時(shí)不符合題意;

②當(dāng)時(shí)，可得直線(xiàn)4的斜率左=1，直線(xiàn)4的斜率鼠=-￡，

1-a2

由占=一(整理可得〃一"2=0,貝Ma—2)(。+1)=0,解得°=2或-1,

當(dāng)a=2時(shí)，可得4：x+y+2=O,/2:2x+2y+1=0,整理4的方程可得尤+了+]=0，

2--廠(chǎng)廠(chǎng)

由兩平行直線(xiàn)之間的距離2_3收一36,所以此時(shí)不符合題意；

當(dāng)Q=—1時(shí)，可得4:x—2〉+2=0,12:—X+2y+1=0,整理右的方程可得％—2歹一1=0,

由兩平行直線(xiàn)之間的距離述,

所以此時(shí)符合題意.

J1+45

綜上可得。=-1.

故選：A.

8.【答案】B

【詳解】在正三棱錐P-/8C中，PA=PB=PC,又尸/=1,AB=6，

所以尸/+PB?=/笈，所以p4j_PB,

同理可得上4,尸C,PC1PB,即尸4尸民PC兩兩垂直，

把該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，則三棱錐的外接球就是正方體的外接球,

正方體的體對(duì)角線(xiàn)就是外接球的直徑，易得根=；,

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，貝熊(1,。,0),5(0,1,0),c(o,o,i),

所以羽=(-M,o),Ic=(-i,o,i),

設(shè)平面48c的法向量為8=(x,y,z),

s-AB=-x+y=0

則—■,令x=l,則kZ=l,所以8=1,1,1,

s-AC=-x+z=0

則點(diǎn)。到平面NBC的距離"=/半=g,所以生=百，

151On

6

故選B.

9.【答案】ACD

【詳解】因?yàn)?x0-3xO+lwO,所以/不過(guò)原點(diǎn)，所以A正確;

令尸0,得x=-“所以/在x軸上的截距為-5,所以B錯(cuò)誤；

把2x-3y+l=0化為y=2+?1所以/的斜率為2:，所以C正確;

才巴2x—3y+]=0化為J_'E十=]1

~23

所以直線(xiàn)1與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為:x-；x|=',所以D正確.

故選：ACD.

10.【答案】ABD

【詳解】對(duì)于A,樣本點(diǎn)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),共18種可能的結(jié)果，

則/尸(3)=U，A正確;

loJloO

31

對(duì)于B,事件C包含的樣本點(diǎn)有(1,3),(3,1),(2,2),共3種可能的結(jié)果，則P(C)=忑=",故B

loO

正確；

對(duì)于C,事件。包含的樣本點(diǎn)有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),

(2,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),共15種可能的結(jié)果，故事件。與。不互斥，C錯(cuò)誤：

對(duì)于D,P(D)=1|=|,由P⑷)=M=U=/V)P(。),得4。相互獨(dú)立,D正確.

loolo3o

故選：ABD.

11.【答案】AD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的共面定理可判斷A選項(xiàng)，利用坐標(biāo)法求異面直線(xiàn)夾

角可直接判斷B選項(xiàng)，假設(shè)在線(xiàn)段5。上存在點(diǎn)設(shè)兩=2而，0WXW1,利用坐標(biāo)法驗(yàn)證

線(xiàn)面垂直，可判斷C選項(xiàng)；分別證明AE/G與4臺(tái)上的所有點(diǎn)到平面或3*7G*lo的距離為定值，即可判

斷D選項(xiàng).

7

【詳解】以4為原點(diǎn)，以NB,AD,應(yīng)4］所在直線(xiàn)分別為無(wú)軸、y軸、z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則/（0,0,0）,8（2,0,0）,C（2,2,0）,￡＞（0,2,0）,男（2,0,2）,〃（0,2,2）,￡（0,2,1）,尸（1,0,2）,“（2,1,0）,

6(1,2,0),

^AH=xAE+yAF+zAG,

則(2,l,O)=x(O,2,l)+y(l,O,2)±z(l,2,O),

X=-1

y+z=2

1

所以2x+2z=l,解得<y=—

2

x+2y=0

3

z=—

2

故x+y+z=l,即月，F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面，故A正確;

LlUUl______1t

因?yàn)?(-2,2,0),￡F=(1,-2,1),

?/---\BD-EF\66

所以cos（BD,EF）\==一，

1'71阿川團(tuán)V8xV62

所以3D與斯所成角的大小為女，故B錯(cuò)誤;

6

假設(shè)在線(xiàn)段5。上存在點(diǎn)M,符合題意，

設(shè)的=2而（0W4W1）,則祐=西一就=苑一九前=（2尢2—2尢2）,

若Mq_L平面EFG,貝I]宙?麗=0,MC[-EG^Q,

因?yàn)槎?(1,-2,1),￡G=(l,0,-l),

「22-4+42+2=0

所以》.八，此方程組無(wú)解,

2/1—2=U

所以在線(xiàn)段AD上不存在點(diǎn)使得平面環(huán)G,故C錯(cuò)誤;

8

因?yàn)?B=(2,0,-2)=2EG,所以&BHEG,

又43a平面所G,￡6匚平面￡7守，所以48〃平面MG,

故4臺(tái)上的所有點(diǎn)到平面EFG的距離即為3到平面EFG的距離，是定值，

又AEVG的面積是定值，

所以在線(xiàn)段48上任取一點(diǎn)N,三棱錐N-斯G的體積為定值，故D正確;

故選ABD.

12.【答案】y/2.4

【詳解】將直線(xiàn)：-巳=1化為一般方程可得3x-4y-12=0,

12

由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可得坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)到直線(xiàn)/的距離為d=

12

故答案為：y

13.【答案】正

5

【詳解】以為x軸，為N軸，44］為z軸建立空間直線(xiàn)坐標(biāo)系/平,

則西=(-2,1,2),CD=(-2,0,0),SC=(0,1,0),

設(shè)與BDX,CD都垂直的一個(gè)向量九二(x,/z),

BD.-n=—2x+y+2z=0

貝I,取z=1貝>Jx=0,歹=一2,

CDn=-2x=0

所以與BD,都垂直的一個(gè)向量3=(0,-2,1),

所以直線(xiàn)町與。之間的距離為卓=￡子.

9

275

故答案為:

丁

14.【答案】1/0.5

【詳解】這個(gè)試驗(yàn)的等可能結(jié)果用下表表示:

a113355113355

b222222888888

c355113355113

d888888222222

e531531531531

共有12種等可能的結(jié)果，其中c+d>8的結(jié)果有6種,

所以c+d>8的概率為尸=二=!，

122

故答案為：—.

2

15.【答案】⑴2x+y-9=0

⑵尸1

【詳解】(1)因?yàn)橥?。關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)，所以C(-2,-l),kBC=-^-=~,

所以BC邊上高所在直線(xiàn)的斜率為-2,

因?yàn)?(3,3),所以8C邊上高所在直線(xiàn)的方程為>-3=-2。-3),

所以5c邊上高所在直線(xiàn)的一般式方程為2x+y-9=0.

(2)因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)/平分V/8C的面積，

所以直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)邊/c的中點(diǎn)G，I),

又8(2,1),所以直線(xiàn)I的方程>=1

10

⑵理T

-----?----?___?2__?

【詳解】（1）因?yàn)樗訯D=§GC,

所以麗=4。]+*=50+§“=-AB+AC--AAl=-a+b--c.

（2）因?yàn)槿忮F4-/3C的所有棱長(zhǎng)均為2,

所以同=|同=同=2,所以3]=不,己=或3=1,

所以〃Z=b-c=a-c=2x2x—=2,

所以+=yJa2+b2+^c2-2a-b-jb-c+ja-c=^4+4+y-4-|+|=,

所以羽?麗=,_1）?1_/+B_gl]=廬+^^_那彼=4+|-2-y+2=y.

17.【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵￡

【分析】（1）取8。的中點(diǎn)O,由已知得到。4和0C的長(zhǎng)，由勾股定理的逆定理得到3，"，

再結(jié)合證明。4_1_平面BCD,由此證明平面/8O_L平面BCD；

（2）以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫(xiě)出直線(xiàn)BE的方向向量和平面Z8C的法向量，利

用空間坐標(biāo)求出角的正弦值.

7T

證明：因?yàn)樗倪呅蝂BCD是菱形，ZBAD=~,

所以ABAD與△BCD均為正三角形，

取5。的中點(diǎn)O,連結(jié)CM,OC,則。4LAD,OCLBD

因?yàn)?8=2,所以。4=0C=e,

因?yàn)椤?2+。。2=6=/。2,所以Q4_LOC,

又BDcOC=O,巳0,。6^平面88,所以O(shè)4_L平面BC。,

11

因?yàn)?。Nu平面所以平面平面3c。；

（2）由（1）可知，0A,OB,0C兩兩垂直，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC,CM所在直線(xiàn)分別為無(wú)軸，了軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

貝5（1,0,0）,C（0,G,0）,￡＞（-1,0,0）,

因?yàn)椤晔荂D的中點(diǎn)，所以《［，孝,。］,

所以加=卜1,0,百），SC=（-l,A0）,BE=-|，5,0，

\7

設(shè)施=（x,y,z）為平面45。的一個(gè)法向量，

BA-m=—x+A/3Z=0,

則

~BC-m=—x+6y=0,

令>=1，得x=6Z=l,所以沅=(后1,1),

設(shè)直線(xiàn)BE與平面NBC所成角為。,

3>/36

所以sin0=|cosBE,m|

|s^|-|m|V3-V55

所以直線(xiàn)班與平面N3C所成角的正弦值為。.

18.【答案】⑴1

16

1

(3)—

,7243

【詳解】（1）記“乙至少有1個(gè)回答正確”為事件M,

1-115

所以P（M）=1-P（而）=1一1X1-1X1-1X

I16

即乙至少有1個(gè)回答正確的概率是登.

16

（2）記“甲答對(duì)z?個(gè)問(wèn)題”為事件4（，=123）,“乙答對(duì)z?個(gè)問(wèn)題”為事件耳?=1,2,3）,則甲回答正

確的個(gè)數(shù)比乙回答正確的個(gè)數(shù)恰好多2個(gè)為事件

AlA2A3BiB2B3+A1A2A3B1B2B3+AiA2A3BiB2B3+A1A2A3BlB2B3+AxA2A3BXB2B3+AXA2A3BXB2B3

12

所以

P^AlA2A3BiB2B3+A'A2A3B1B2B3+AXA2A3BXB2B3+AXA2A3BXB2B3+AXA2A3BXB2B3+AlA2A3BiB2B3^

2

L1

x

22

_j_

=—,

6

即甲回答正確的個(gè)數(shù)比乙回答正確的個(gè)數(shù)恰好多2個(gè)的概率是J.

6

（3）記“甲答對(duì)第，個(gè)問(wèn)題”為事件G?=1,2,3,4,5）,則甲恰好回答5次被退出比賽為事件

C]C2C3C4C5+C1C2C3C4C5+Gc2c3c4c5

所以

16

243

即甲恰好回答5次被退出比賽的概率是2

19..【答案.】（1）二X+1=y—'2=z—14

J-Z—J

（2）證明見(jiàn)解析

【詳解】（1）由義-1,2,4）,鞏2,0,1）得，直線(xiàn)N8的方向向量為行=在=（3,-2,-3）,

故直線(xiàn)43的點(diǎn)方向式方程為學(xué)=一=三4

3—2—3