2024年北京某中學(xué)初三（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

北京交大附中教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年初三第一學(xué)期期中練習(xí)

數(shù)學(xué)2024.11

姓名班級學(xué)號

說明：本試卷共8頁，共100分.考試時間120分鐘.

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）

第『8題均有四個選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個.

1.一元二次方程3d-5x-4=0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）

A.3,—4,—5B.3,5,4C.3,—5,—4D.3,5,—4

2.巴黎奧運(yùn)會后，受到奧運(yùn)健兒的感召，全民健身再次成為了一種時尚，球場上出現(xiàn)了更多年輕人的身

影.下面四幅球類的平面圖案中，是中心對稱圖形的是（

3.用配方法解方程-+6x-1=0,變形后結(jié)果正確的是（)

A.(x+3)2=10B.(x+3)2=7C.(x-3)2=10D.(x-3)2=7

4.如圖所示，將長方形N8C。繞其頂點(diǎn)3順時針方向轉(zhuǎn)到如圖所示位置,

則旋轉(zhuǎn)角可以為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

5.若關(guān)于x的一元二次方程Y-4x+c=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為（）

A.—16,B.-4C.4D.16

6.二次函數(shù)y=?+6x+c的x與y的部分對應(yīng)值如下表:

X-101234

ym212510

則m的值是（）

A.IB.2C.5D.10

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7.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)框架.《九章算術(shù)》中記

載：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈.問戶高、廣各幾何大意是說：已知長方形門的

高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？(1丈=10尺，1尺=10寸)若設(shè)

門寬為x尺，則根據(jù)題意，列方程為()

A.6.82+x2=(x+6.8)2B.(x-6,8)2+x2=102

C.(X+6,8)2+102=X2D.(X+6.8)2+X2=102

8.下面是“過圓外一點(diǎn)P作。。的切線”的尺規(guī)作圖的方法：

①連接OP；

②分別以點(diǎn)。，點(diǎn)尸為圓心，大于工。尸的長為半徑作弧，兩弧相交于4,8兩點(diǎn)，作直線/瓦交

2

OP于點(diǎn)M-,

③以M為圓心，為半徑畫圓，交。。于C,。兩點(diǎn)；

④作直線CP,DP.直線CP,。尸即為所求.

上述方法通過判定尸=90。得到直線CP,DP是。。的切線，其中判定/。。=90。的依據(jù)是

()

A.圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑

B.經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

C.90。的圓周角所對的弦是直徑

D.直徑所對的圓周角是直角

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二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.寫出一個頂點(diǎn)為（0,1）的拋物線的表達(dá)式.

10.將拋物線y=-x2+1向上平移2個單位長度，得到的拋物線的表達(dá)式為.

11.如圖，AB,/C為。。的兩條弦，連接03,OC,若44=45。，則NBOC的度數(shù)為

第14題圖

12.若二次函數(shù)y=ox2+6x+c的圖象如圖所示，貝！|歐0（填或

13.如圖，在正三角形網(wǎng)格中，以某點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將旋轉(zhuǎn)，得到△A6N1P1,則旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn).

14.如圖，PA,網(wǎng)分別切。。于點(diǎn)B,。是M上一點(diǎn)，H是彘上一點(diǎn)、.若NP=40。，則的度

數(shù)是.

15.如圖，這是一種用于液體蒸儲或分儲物質(zhì)的玻璃容器一一蒸儲瓶，

其底部是圓球形.已知截面圓中弦的長為12JIcm,瓶內(nèi)液體

的最大深度CD=6cm,則球形的半徑為cm.

16.如-圖，拋物線y=1,x,2—2x+c交x軸于點(diǎn)/（a,0）和3（6,0）,交y軸于

點(diǎn)C（0,c）,拋物線的頂點(diǎn)為。.下列結(jié)論：

①若a=l,則6=3；

②當(dāng)y<0時a<x<6,且y的最小值為c-2；

③拋物線上有兩點(diǎn)P（Xl，J1）和0（X2,?2）,若X1<X2,且Xl+X2>4,則》>了2；

3

④當(dāng)c=一時，對于拋物線上兩點(diǎn)M（加，"1）,N（m+2,-2），若〃1<0,則〃2>0.

2

其中正確的是_______________

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三、解答題(本大題共68分，第17、18、19、21、23、25題每題5分，20、22、24、26題每題6分,

27、28題每題7分)

17.解方程：x2+2x-8=0.

18.已知正是方程x?+3x-5=0的一個根，求代數(shù)式(“2+1)2+機(jī)(7"+4)的值.

19.在正方形網(wǎng)格中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy,△4BC的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)/的坐標(biāo)

為(4,4),請解答下列問題:

(1)畫出△A3C關(guān)于原點(diǎn)。成中心對稱的△//Ci,并寫出G的坐標(biāo);

(2)將△/8C繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)90。，畫出旋轉(zhuǎn)后的△血2。2.

20.如圖，在等腰直角△48C中，/R4C=90。，。是3c邊上任意一點(diǎn)(不與2,C重合)，將線段ND

繞點(diǎn)/逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段連接CE,DE.

(1)求/ECD的度數(shù)；

(2)若NB=4,BD=42,求DE的長.

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21.已知二次函數(shù)解析式為y=x2-2x-3.

(1)將y=》2-2x—3化成y=。(萬一力丫+k的形式,

并寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出此函數(shù)的圖象；

(3)當(dāng)0<x<3時，y的取值范圍為.

22.已知關(guān)于x的一元二次方程f+mx+m-lnO.

(1)求證：該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

(2)如果該方程有一個根為正數(shù)，求加的取值范圍.

23.小明在某景區(qū)看到一個標(biāo)志性建筑物一一拱門觀光臺(如圖1),拱門的形狀近似于拋物線的一部分,

已知拱門的地面寬度為200米，兩側(cè)距地面高150米處各有一個觀光窗，兩窗的水平距離為100米.小

明在圖2中建立平面直角坐標(biāo)系.請你結(jié)合數(shù)據(jù)，幫他求出拱門的高度(拱門的最高點(diǎn)到地面的距離).

圖1

24.如圖，在中，AB=4C,以48為直徑作OO交2c于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作/C的垂線交/C于點(diǎn)E,

交AB的延長線于點(diǎn)R

(1)求證：與。。相切;

(2)若CD=BF,AE=3,求的長.

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25.食用果蔬前，適當(dāng)浸泡可降低農(nóng)藥的殘留.某小組針對同種果蔬研究了不同浸泡方式對某種農(nóng)藥去除

率的影響.

方式一：采用清水浸泡.

記浸泡時間為/分鐘，農(nóng)藥的去除率為M％,部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄如下:

,（分）???5810121520???

必（％）???305057523733???

方式二：采用不同濃度的食用堿溶液浸泡相同時間.

記食用堿溶液的濃度為x%,農(nóng)藥的去除率為為%，部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄如下:

X(%)???257101215???

%(%)???435257765725???

結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和結(jié)果，解決下列問題:

（1）通過分析以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫方式一中農(nóng)藥的去除率%（%）與浸泡時間1（分）

之間的關(guān)系，方式二中農(nóng)藥的去除率無（%）與食用堿溶液的濃度x（%）之間的關(guān)系，請分別在下面

的平面直角坐標(biāo)系中畫出這兩個函數(shù)的圖象;

%(%)

80

%(%)

70

60

60

50-50

______?

4040___

30______?30

20___j20

10___j10

05101520〃分O12345678910111213141516過％)

（2）利用方式一的函數(shù)關(guān)系可以推斷，降低該種農(nóng)藥殘留的最佳浸泡時間約為分鐘;

（3）利用方式一和方式二的函數(shù)關(guān)系可以推斷，用食用堿溶液浸泡含該種農(nóng)藥的這種果蔬時，要想不

低于清水浸泡的最大去除率，食用堿溶液的濃度x%中，x的取值范圍可以是.

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26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知M（X[,%）和"（%，叫）是拋物線V=-2/x上任意兩點(diǎn).

（1）若X]=1,=3時，滿足乂=%，則拋物線的對稱軸為直線；

（2）若對于f—2<X]</+1,0<X2<1,都有切〈歹2，求才的取值范圍.

27.如圖，在Rt445C中NC=90。，/B=a.。是線段3c上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)3,C重合）.將射線D4

繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)a得到射線DW,過點(diǎn)4作于點(diǎn)￡,連接CE.

（1）①補(bǔ)全圖形；

②直接寫出//CE的大?。ㄓ煤?的式子表示）.

（2）作點(diǎn)8關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)R取線段ED的中點(diǎn)G,連接GE,用等式表示線段GE與GC之間

的數(shù)量關(guān)系，并證明.

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28.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為1.對于。。的弦和不在直線48上的點(diǎn)C,給出如下定

義：若點(diǎn)C關(guān)于直線4g的對稱點(diǎn)。在。。上或其內(nèi)部，S.ZACB=a,則稱點(diǎn)C是弦N3的“&可

及點(diǎn)”.

(1)如圖，點(diǎn)/B

2222

②若點(diǎn)。是弦的“60。可及點(diǎn)”，記點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為加，則加的取值范圍為:

(2)已知點(diǎn)尸是直線y=x-l上一點(diǎn)，且存在。。的弦使得點(diǎn)尸是弦的“90?？杉包c(diǎn)”.

記點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為〃，直接寫出〃的取值范圍.

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北京交大附中教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年初三第一學(xué)期期中練習(xí)

數(shù)學(xué)答案2024.11

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）

1-8CBAACCDD

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.歹=/+1（不唯一）io.j=-x2+311.90°12.<13.B14.110°

15.916.①②④

三、解答題（本大題共68分，第17、18、19、21、23、25題每小題5分，20、22、24、26題每題6分,

27、28題每題7分)

17.X2+2X=8......................................................1分

x2+2x+1=9

(x+1)2=9.....................................................2分

x+1=±3.....................................................3分

再=2，X2=-4?................................................5分

18.解：(m+1)2+4)

=m2+2m+1+m2+4m.....................................................2分

=2m2+6m+1.......................................................3分

=2(m2+3m)+1

m是方程/+3x-5=0的一個根

m2+3m-5-0

m2+3m=5.....................................................4分

???原式=2x5+1=11......................................................5分

19.解：(1)如圖.........................2分

Ci(-3,-1)......................................................3分

(2)如圖..........................5分

1

20.解：(1)???△48。是等腰直角三角形，NB4c=90。

ZB=ZACB=45°,AB=AC.

?：ABAC=NDAE=90°,

/BAD=ZCAE.............................................1分

???AD=AE,

:.AABD^AACE..............................................2分

NB=NACE=45°.

ZECD=ZACE+ZACB,

ZECD=90°.............................................3分

(2)由(1)可知，BD=CE=41.............................................4分

4B=AC=4,ABAC=90°

BC=472.

CD=3V2.............................................5分

在RtZkCQE中，ZECD=90°

DE=y/CE2+CD2=275..........................................6分

21.解：(1)y=x2-2x-3

=x2-2x+l-l-3

=(x-l)2-4.............................................1分

頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，-4)；............................................2分

(2)圖象如圖所示；..........................3分

(3)-4Wy<0.............................................5分

22.(1)證明：VA=m2-4(m-l)............................................1分

=m2—4m+4

=(m-2)220,

；?方程總有兩個實(shí)數(shù)根2分

~b±-\lb2-4ac

x=-----------------

⑵解：2a

-m±(m-2)

2

2

.....................................................3分

西=-1,x2=l-m.......................................................5分

???方程有一個根為正數(shù)，

1-m>0.

......................................................6分

23.解：設(shè)拋物線的解析式為歹=ax2++c(aw0).

???拋物線對稱軸為y軸,

：.b=0.......................................................1分

??y=ax+c

由題意可知5(50,150),D(100,0)......................

[150=2500a+。

0=10000a+c

c二200

1

y=-----x92+200......................................................4分

50

???頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,200)

???拱門的最大高度為200米...........................5分

24.(1)證明：方法一：連接。。，

9：AB是。。的直徑，

：?NADB=90°.

：.AD±BC.

又,：AB=AC,

AZ1=Z2.....................................................1分

U

：OA=OD1

：.Z2=ZADO.

3

：.Z\=ZADO.

：.OD//AC........................2分

?；DEL4C,

：.ZODF=ZAED=90°.

：.OD±ED.

TOD為半徑，

???。石與。。相切.3分

(2)?:AB=AC,ADLBC,

AZ1=Z2,CD=BD.

■:CD=BF,

:?BF=BD.

.\Z3=ZF.

???N4=N3+N尸=2N3.

?：OB=OD,

：.ZODB=Z4=2Z3.

u：ZODF=90°,

：.Z3=ZF=30°,/4=/ODB=60°.4分

VZADB=90°,

??.N2=N1=3O°.

VZAED=90°,

：.AD=2ED.

t：AE1+DE1=Ab1,AE=3,

：.AD=2y/3.......................................................5分

VZF=30°Z2=30°

：.Z2=ZF.

：.DF=AD.

：.DF=2y/3.......................................................6分

4

25.解：（1）方式一和方式二的函數(shù)圖象如圖所示:

(2)如：10.......................................................3分

(3)如：7WxW12.......................................................5分

26.(1)x=2；..................................................2分

(2)方法一:

：y=x?-2狀的對稱軸為x=/，

...當(dāng)/時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x</時，歹隨x的增大而減小.................3分

①當(dāng)Y0時,

設(shè)點(diǎn)拋物線上的點(diǎn)照-2,乃）關(guān)于x=/的對稱點(diǎn)為4（/+2,為），

若對于f-2<f+1,0<x2<1,都有必<%,

r./+2<0.

t<-2......................................................4分

②當(dāng)時，若對于:-2<%<t+l,0<x2<1,都有%<%,

%—2N1.

>3......................................................5分

③當(dāng)0<￡<1時，

??"一2<再<，+1,0<x2<1

.?.當(dāng)天=%=/，%=必?

不符合題意，舍去.

綜上所述：/23或/<_2......................................................6分

5

27.解：（1）①補(bǔ)圖（如圖1）1分

圖1

②N4CE=a.....................................................2分

(2)GE=GC3分

方法一：

證明：如圖2,在射線瓦飲上截取點(diǎn)使EH=ED,連接FH.

???G是陽的中點(diǎn)，

J.EG是△。處1的中位線.

：.EG//FH.

：.ZEGD=ZHFD.

?:B,歹關(guān)于點(diǎn)。對稱

工AF=AB.

：.ZAFB=ZB=a.

：.ZFAB=1SO°-2a.

■:EH=ED,AELDE,

：.AH=AD................

ZAHD=ZADH=a

；?ND4H=180°-2a.

???ZHAF=ADAB.

9