2024屆高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題《直線和圓的方程》含答案解析

高中

專題10直線和圓的方程

-題型一：平行^求距離問題日、易錯(cuò)點(diǎn)：使用兩平行線間距離公式忽略系數(shù)I酹致錯(cuò)

/~一題型二：直線截距式的考點(diǎn)已、易錯(cuò)點(diǎn)：求有關(guān)截距相等問題時(shí)易忽略截距為零的情況

直線和圓的方程

■題型三：求有關(guān)圓的切線問題J易7點(diǎn)：求有關(guān)圓的切線問題易混淆"在"?過”

-題型四：與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題0、易指點(diǎn)：忽唔斜率是否存在

易錯(cuò)點(diǎn)一：使用兩平行線間距離公式忽略系數(shù)相等致錯(cuò)（平行線

求距離問題）

距離問題

技巧總維

①兩點(diǎn)間的距離：已知尸?（七,%）,尸2（乙，乃）則內(nèi)尸2|=（萬2-巧尸+（乃-外下

②點(diǎn)到直線的距離：d=畫產(chǎn)+c|

A2+B2

③兩平行線間的距離:兩條平行直線乙：+功+G=0與乙：/x+員v+。2=0的距離公

式d.

易錯(cuò)提醒：在求兩條平行線間距離時(shí)，先將兩條直線x,y前的系數(shù)統(tǒng)一，然后代入公式求

算.

例.已知直線乙：4x—3y+3=0,l2:(m+2)x-(m+V)y+m=0(meR),貝！)()

A.直線4過定點(diǎn)（1,2）B.當(dāng)初=2時(shí)，〃/

c.當(dāng)加=-1時(shí)，口4D.當(dāng)〃4時(shí)，44之間的距離為（

變式1.曲線y=e2，cos3x在點(diǎn)（0,1）處的切線與其平行直線/的距離為右，則直線/的方程

可能為（）

A.y=2x+6B.y=2x-4

高中

高中

C.y=3x+1D.y=3x-4

變式2.已知直線4：y=kx+l,l2：y^mx+2,圓C：（x-邛+（y-2『=6,下列說法正

確的是（）

A.若4經(jīng)過圓心C,貝！|左=1

B.直線4與圓C相離

C.若4〃右，且它們之間的距離為9,則左=±2

D.若左=-1,4與圓C相交于M,N,貝!]|MV|=2

變式3.已知直線4:4x—3y+4=0J2：（加+2）%—（冽+1）>+2加+5=0OER）,貝[）（）

A.直線，2過定點(diǎn)（-2,7）

B.當(dāng)冽=1時(shí)，lx-L/2

C.當(dāng)冽=2時(shí)，/J/4

D.當(dāng)〃4時(shí)，兩直線4,之間的距離為1

三9

1.若直線2x—歹―3=0與4x—2>+。=0之間的距離為石，則。的值為（）

A.4B.V5-6C.4或一16D.8或一16

2.若兩條直線4：y=2x+m,l2:y=2x+n與圓f+/一=。的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成正方形,

貝“加一葉二（）

A.4A/5B.2而C.2V2D.4

3.兩條平行直線2x—>+3=0和辦一3y+4=0間的距離為d,則。，d分別為（）

A.a=6,d=B.a=—6,d=

33

C.a=—6,d=D.。=6,d=

33

4.兩條平行直線3x+4y-12=0與辦+8y+ll=0之間的距離（）

高中2

高中

5.已知直線4:x-叩=0和4"一〃"+2（機(jī)-l）=O（"?wR）與圓c都相切，則圓C的面積的最

大值是（）

A.2萬B.4萬C.8萬D.16萬

6.若直線4:x+ay+6=0與4：（。一2）》+3>+2。=0平行，貝必與4間的距離為（）

A.72

C.V3

7.已知直線4：(3+2%)x+(4+/l)y+(―2+2%)=0(ZGR),/2：x+y-2=0,若IJ/l?,

則/1與4間的距離為（）

A-TB?亞C.2D.141

8.已知直線4：加工-3歹+6=0,4：4工一3叼+12=0,若“/人，則4,4之間的距離為（）

12V13「8V1309V13

-----h>.----C.----D.岳

131313

9.若兩條平行直線4：%-2y+加=0（m>0）與4：2x+即-6=0之間的距離是否，貝!J加+片

A.0B.1C.-2D.-1

10.已知直線4：3x+4y+5=Q4：6X+8尸15=0,則兩條直線之間的距離為

5

A.4B.2C.-D.5

2

易錯(cuò)點(diǎn)二：求有關(guān)截距相等問題時(shí)易忽略截距為零的情況（直線

截距式的考點(diǎn)）

直線方程的五種形式的比較如下表:

名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍

點(diǎn)斜

y-yi=k&-xj（士,乂）是直線上一定點(diǎn)，發(fā)是不垂直于X軸

式

高中3

高中

斜率

斜截左是斜率，6是直線在y軸上的

y-kx+b不垂直于X軸

式截距

兩點(diǎn)（國,必），（匕,%）是直線上兩定不垂直于X軸和）

y-yx_x一.

%-必X-演

式2點(diǎn)軸

截距。是直線在X軸上的非零截距，不垂直于X軸和V

土+2=1

式ab6是直線在y軸上的非零截距軸，且不過原點(diǎn)

一般Ax+By+C=OCA2+B21

A,B、C為系數(shù)任何位置的直線

式

給定一般式求截距相等時(shí)，具體方案如下:

C

令x=0ny=-

形如：第一種情況Ax+By+C=Q^<

令歹=0n1=-CAB

A

第二種情況：Zx+5>+C=0nC=0時(shí)，橫縱截距皆為0

截距之和為0時(shí)，橫縱截距都為0也是此類模型

易錯(cuò)提醒：求截距相等時(shí)，往往會(huì)忽略橫縱截距為。的情況從而漏解

例.已知直線/過點(diǎn)（2,1）且在x,y軸上的截距相等

（1）求直線/的一般方程；

（2）若直線/在x,y軸上的截距不為0,點(diǎn)尸6）在直線/上，求3。+3〃的最小值.

變式1.已知直線/過點(diǎn)（1,2）且在X，V軸上的截距相等

（1）求直線/的一般方程；

⑵若直線/在羽>軸上的截距不為0,點(diǎn)尸（。力）在直線/上，求3"+3"的最小值.

高中4

高中

變式2.已知直線4：亦+2了-4=0,直線4：6x-2y-l=o,其中a,b均不為0.

（1）若且4過點(diǎn)（L1），求。，b；

⑵若4償，且4在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求4與4之間的距離.

變式3.已知直線/3-2〉一%+4=0,直線4：a2x+4y-4/-8=0

⑴若直線4在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求實(shí)數(shù)”的值；

（2）若3求直線4的方程.

1.已知圓0：/+/=4,可（%,%）為圓0上位于第一象限的一點(diǎn)，過點(diǎn)”作圓。的切線/.當(dāng)

/的橫縱截距相等時(shí)，/的方程為（）

B.x+y-^^=0

A.xy—2V2=0

2

C.x+y-4V2=0D.x-y-2y[2=0

2.“直線/號(hào)二丘+2左-1在坐標(biāo)軸上截距相等”是“左二-1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.過點(diǎn)4（1,2）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）

A.x-y+l=0B.x+y-3=0C.>=2x或x+y-3=0D.歹=2x或x-y+l=0

4.下列說法正確的是（）

A.若直線。2%一>+1=0與直線x-到一2=0互相垂直，貝lja=-l

高中5

高中

B.已知尸（U）,。（-2,-3）,點(diǎn)尸，0到直線/的距離分別為2和4,則滿足條件的直線/的

條數(shù)是2

C.過（4,兀），（4，/）兩點(diǎn)的所有直線的方程為上江=一

D.經(jīng)過點(diǎn)（1,1）且在x軸和〉軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0

5.過點(diǎn)尸（3,4）,且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程是

A.x-y+\=0B.%_'+1=0或4、-3尸0

C.x+y-7=0D.x+y-7=0或4]-3>=0

6.下列命題中錯(cuò)誤的是（）

A.命題“丸eR,x；+l<l”的否定是“VxeR4+lNl”

B.命題“若a>6,貝1」2">2〃-1”的否命題為“若。V6,則2"42"一1”

C.“兩直線斜率相等”是“兩直線平行”的充要條件

D.若》或必為假命題，則），“均為假命題

7.與圓/+"-1）2=1相切，且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有（）

A.2條B.3條C.4條D.6條

8.已知直線/過點(diǎn)河（-2,3）,且與x軸、歹軸分別交于N,B點(diǎn)、,貝1J（）

A.若直線/的斜率為1,貝慎線/的方程為了=x+5

B.若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線/的方程為x+y=l

C.若M為的中點(diǎn)，貝！1/的方程為3x-2y+12=o

D.直線/的方程可能為1=3

9.已知直線4：尤-y+加=0,小2x+my-1^0,則下列結(jié)論正確的有（）

A.若4〃4，則/=一2

B.若H貝!!小=2

高中6

高中

c.若4，4在X軸上的截距相等則〃?=i

D.4的傾斜角不可能是4傾斜角的2倍

10.直線/與圓（x-2）2+V=2相切，且/在X軸、V軸上的截距相等，則直線/的方程可能是

A.x+y—0B.x+y—+2=0

C.x-y=0D.x+y-4=0

易錯(cuò)點(diǎn)三：求有關(guān)圓的切線問題易混淆“在”“過”（求有關(guān)圓的

切線問題）

技巧總結(jié)

盤三類：求過圓上一點(diǎn)（%,為）的圓的切線方程蔽方

正規(guī)方法：

第一步：求切點(diǎn)與圓心的連線所在直線的斜率左

第二步：利用垂直關(guān)系求出切線的斜率為-工

k

第三步：利用點(diǎn)斜式y(tǒng)-為=Hx-%）求出切線方程

注意：若左=0則切線方程為x=%,若左不存在時(shí)，切線方程為y=%

（秒殺方法：）

①經(jīng)過圓/+/=/上一點(diǎn)尸（飛,為）的切線方程為/》+%）了=/

②經(jīng)過圓（x—a）2+3—="上一點(diǎn)尸（看,%）的切線方程為

（%-“X-a）+（%-Z））（v-b）=r-

22

③經(jīng)過圓x+y+Dx+Ey+F=0上一點(diǎn)P（x0,y0）的切線方程為

?守+E.=5=0

高中7

高中

類：求過圓外一點(diǎn)（%,%）的圓的切線方程而超）

方法一：幾何法

第一步：設(shè)切線方程為y-為=左（》一項(xiàng)）），即日一y-丘o+%=0，

第二步：由圓心到直線的距離等于半徑長，可求得左，切線方程即可求出

方法二:代數(shù)法

第一步：設(shè)切線方程為^一%）=左（%一項(xiàng)）），y=kx-kx0+yQ,

第二步：代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由A=0可求得左，切線方程即

可求出

注意：過圓外一點(diǎn)的切線必有兩條，當(dāng)上面兩種方法求得的左只有一個(gè)時(shí)，則另一條切線的

斜率一定不存在，可得數(shù)形結(jié)合求出.

盤”類：求斜率為左且與圓相切的切線方程的暹）

方法一：幾何法

第一步：設(shè)切線方程為y=+加，即日-.v+加=0

第二步：由圓心到直線的距離等于半徑長，可求得加，切線方程即可求出.

方法二:代數(shù)法

第一步：設(shè)切線方程為y=Ax+加，

第二步：代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由A=0可求得加，切線方程即

可求出

方法三：秒殺方法

已知圓/+/=r2的切線的斜率為左，則圓的切線方程為y=依土廠〃7石

已知圓（x-口1+3-bp="的切線的斜率為左，則圓的切線方程為

y=kx+r\k~+\+b-ka

工具：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-tz）2+（j-/>）2=r2（r>0）

一般方程為》2+>2+瓜+4+尸=0（。2+石2_4F>0）.

（

①點(diǎn)在圓上：（xg—+_PQ—b）~=r~XQ+yg+Dx0+Ey（）+F=0

②點(diǎn)在圓外：（x0-a）?+（為-6）2>戶XQ+JQ+Dx0+Ey0+F>0

高中8

高中

222

③點(diǎn)在圓內(nèi)：(x0-a)+(j0-b)<rxj++40+廠<0

易錯(cuò)提醒：求切線問題時(shí)首要任務(wù)確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系并采用對(duì)應(yīng)方案進(jìn)行處理

(10

例、圓的方程為/+/=1,過點(diǎn)的切線方程

22

7

3V3)

變形1、圓的方程為4x+2y+4=0,過點(diǎn)----1的切線方程

22

\7

變形2、圓的方程為/+/_4》+2卜+4=0,過點(diǎn)(1,1)的切線方程

變形3、圓的方程為(x-2)2+(v+以=1,切線斜率為1方程為

1.在平面直角坐標(biāo)系中，過直線2x7-3=0上一點(diǎn)p作圓C:f+2x+/=l的兩條切線,

切點(diǎn)分別為45,貝(Jsin//尸8的最大值為()

A276口2亞V6n石

5555

2.已知點(diǎn)W(l,6)在圓。:/+/=加上，過W作圓C的切線/,則/的傾斜角為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

高中9

高中

3.已知圓C:x2+；/-4x-6y+12=0與直線/：x+y-l=O,P,。分別是圓C和直線/上的

點(diǎn)且直線P。與圓C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，則忸。|的最小值是（）

A.V7B.272C.V7-1D.2逝-1

4.已知直線/：加丫一〉+〃7+1=0（m30）與圓?！?+/-4關(guān)+2>+4=0,過直線/上的任意一

點(diǎn)尸向圓C引切線，設(shè)切點(diǎn)為48,若線段長度的最小值為石，則實(shí)數(shù)用的值是（）

121277

A.-----B.—C.-D.—

5555

5.已知圓C:（X-2）2+/=4,直線/:夕=履（丘R）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.存在實(shí)數(shù)左，使得直線/與圓C相切

B.若直線/與圓C交于48兩點(diǎn)，則M卻的最大值為4

C.當(dāng)左=-1時(shí)，圓C上存在4個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為g

D.當(dāng)左=1時(shí)，對(duì)任意2eR,曲線氏/+/一（力+勺X+外=。恒過直線/與圓。的交點(diǎn)

6.過圓Y+/=4上一點(diǎn)P作圓/+/=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為4,B,則（）.

A.|AP|=|BP|=y/2

B.ZAPB=60°

C.\AB\=y[3

D.直線48與圓相切

4

7.已知圓C的方程為，+（了-2y=1,點(diǎn)0（0,3）,點(diǎn)尸是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)p作圓。

的兩條切線，切點(diǎn)分別為45,則（）

A.存在切點(diǎn)48使得為直角B.直線⑷?過定點(diǎn)（0,1）

C.遢?麗的取值范圍是[0,]]D.AQ4B面積的取值范圍是（0[8]

高中10

高中

8.已知直線/：x-y+l=O與圓CK：(X+左-1)2+3+24)2=1,下列說法正確的是()

A.所有圓C人均不經(jīng)過點(diǎn)(0,3)

B.若圓CR關(guān)于直線/對(duì)稱，則斤=-2

C.若直線/與圓CR相交于A、B,且|/卻=也，貝!]左=一1

D.不存在圓G與x軸、＞軸均相切

9.已知G)E:(x-2)2+(y-l)2=4,過點(diǎn)尸(5,5)作圓￡的切線，切點(diǎn)分別為則下列命

題中真命題是()

A.\PM\=y[2i

B.直線MV的方程為3x+4y-14=0

C.圓％2+/=i與。5共有4條公切線

D.若過點(diǎn)尸的直線與OE交于G,”兩點(diǎn)，則當(dāng)面積最大時(shí)，|G〃|=2VL

10.已知點(diǎn)河為直線/：尤-y+8=o與y軸交點(diǎn)，尸為圓。：/+/=45上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

/(-I⑼,8(3,0),則()

A.1PMi取得最小值時(shí)，SAABP=6V5B.MP與圓。相切時(shí)，\PM\=V19

C.當(dāng)時(shí)，AP-BM=0D.sin/AP3的最大值為好

4

易錯(cuò)點(diǎn)四：忽略斜率是否存在(與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題)

處理此類問題宗旨：截距式與斜率式都可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線與圓相切時(shí)取得最值

①截距式：求形如7nx+町的最值轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題

高中11

高中

②斜率式：求形如匕%的最值轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題

x-n

③距離式：求形如（X-4）2+3-6）2=戶的最值轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題

形如：若尸（羽歹）是定圓。：（工一。）2+（?-/?）2二〃2上的一動(dòng)點(diǎn)，則求加工+町和2■這兩種

X

形式的最值

（尼路1:幾何館）

@mx+ny的最值，設(shè)加x+即=，，圓心。（a/）到直線加x+町=t的距離為

d\ma/+nb-t\1由d=r即可解得兩A個(gè)，值,一個(gè).為最大值，一個(gè)“為最小值

②上的最值：上即點(diǎn)尸與原點(diǎn)連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可求得斜率的最大值和最小值

（恁路2：代數(shù)送）

①加%+即的最值，設(shè)加x+〃y=/，與圓的方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由判別式等于0,

求得/的兩個(gè)值，一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值.

②。的最值：設(shè)/=上，則y=枕，與圓的方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由判別式等于0,

xx

求得/的兩個(gè)值，一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值.

易錯(cuò)提醒：截距式與斜率式在學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系后，都可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線與圓相切時(shí)取得

最值.同時(shí)，需要注意若是斜率式，則需考慮斜率是否存在

例、已知M（加，〃）為圓C：f+「—4X—14>+45=0上任意一點(diǎn).

（1）求加+2〃的最大值；

（2）求yYI—3的最大值和最小值；

m+2

（3）求/+/的最大值和最小值.

變形1、如果實(shí)數(shù)X,歹滿足（X—3）2+（7—3）2=6,求：

（1）上的最大值與最小值；

X

（2）x+V的最大值與最小值；

高中12

高中

（3）f+y2的最大值和最小值.

變形2、已知實(shí)數(shù)X,歹滿足方程（X—2）2+「=3.

（1）求二的最大值和最小值；

x

（2）求y-x的最大值和最小值；

（3）求*+/的最大值和最小值.

變形3、已知實(shí)數(shù)X、y滿足/+/+2%—47+1=0.

（1）求上的最大值和最小值；

x-4

（2）求，+y2-2v+l的最大值和最小值.

1.J（x-a）?+（了-人可以轉(zhuǎn)化為平面上M（x,力點(diǎn)與點(diǎn)N（a,b）之間的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn),

可得/（X）=J尤，+8x+20+Jx，+4x+20的最小值為（）

A.V29B.2MC.V31D.2+V13

2.已知實(shí)數(shù)xj滿足曲線C的方程/+y-2X-2=0,則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

A.丁+/的最大值是4+2百

B.~一"的最大值是2+幾

x+1

C.|x-y+3|的最小值是2逝-百

高中13

高中

D.過點(diǎn)（0,應(yīng)）作曲線C的切線，貝U切線方程為x-岳+2=0

3.點(diǎn)（0,1）到直線6+>+左=0的最大距離為（）

A.2B.V3C.V2D.1

4.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事體.”事實(shí)上，有很多代數(shù)

問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：-a）?+J-6）2可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)M（x,y）與

點(diǎn)N（a,b）的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得了=4+4尤+8+G-4X+8的最小值為（）

A.B.272C.V2+V10D.3+逐

5.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休.”事實(shí)上，有很多代數(shù)

問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：而牙缶二牙可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（x,y）到點(diǎn)（。,6）的

距離，則產(chǎn)力+&-4、+8的最小值為（）.

A.3B.272+1C.26D.歷

6.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離

分家萬事休.”事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，歹！]如，與

J（…。+（—）2相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（xj）與點(diǎn)（a,6）之間的距離的幾何問題.

己知點(diǎn)”（西,弘）在直線4：y=x+2,點(diǎn)N（X2，%）在直線4：y=x上，且兒W_L/],結(jié)合上述

觀點(diǎn)，Jr：+（必-4）2+-5）2+%2的最小值為（）

A.迪B.C.V41-V2D.5

22

7.已知尸5,。為拋物線。：。=4尤的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則//+4+53一4）2+25的最小值為（）

A.4百B.734+75C.V65D.歷+2

高中14

高中

8.費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于120°

時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角

相等且均為120。.根據(jù)以上性質(zhì)，.則

尸(x,y)=J(x_26y+y2+J(x+]_6)2+Cy_[+Q)2+Jx2+(>_2)2的最〃、值為()

A.4B.2+273C.3+28D.4+273

9.已知實(shí)數(shù)xj滿足3x-4y+2=0,那么x?+/-4x+6y+13的最小值為()

A.16B.4C.2D.V2

10.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微.”事實(shí)上，有很多代數(shù)

問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：粕二可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與

點(diǎn)N(a,6)的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得/(可=J*+IOX+26+JX2+6X+13的最小值為()

A.5B.729C.V13D.2+V13

高中15

高中

專題10直線和圓的方程

題型一：平行^求距離問題三]易丁點(diǎn)：使用兩平行線間距離公式忽略系數(shù)『致錯(cuò)

__________________________題型二：直線截距式的考點(diǎn)0、易錯(cuò)點(diǎn)：求有關(guān)截距相等問題時(shí)易忽略截距為零的情況

直線和圓的方程

!一v-題型三：求有關(guān)圓的切線問題易甯點(diǎn)：求有關(guān)圓的切或問題易混淆"在""過"

---題型四：與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題易指點(diǎn)：忽略斜率是否存在

易錯(cuò)點(diǎn)一：使用兩平行線間距離公式忽略系數(shù)相等致錯(cuò)（平行線

求距離問題）

距離問題

技巧總篆

①兩點(diǎn)間的距離：已知Px（%,%）,尸2（》2，乃）則|舄尸2|=JO?-巧尸+（乃-%了

②點(diǎn)到直線的距離:d=如。產(chǎn)

+B~+a

③兩平行線間的距離:兩條平行直線4：4c+8y+G=0與乙：/x+員v+。2=0的距離公

式公9y.

^A2+B2

易錯(cuò)提醒：在求兩條平行線間距離時(shí)，先將兩條直線x,y前的系數(shù)統(tǒng)一，然后代入公式求

算.

三三

例.已知直線（：4x—3y+3=0,l2:（m+2）x-（m+V）y+m=0（meR）,貝！）（）

A.直線，2過定點(diǎn)（1，2）B.當(dāng)加=2時(shí)，/J4

c.當(dāng)加=-1時(shí)，4UD.當(dāng)“4時(shí)，4,之間的距離為（

（x-y+1=0（x=l

【詳解】由4:rnx+2x-my-y+m=m（x-y+l）+2x-y=C令〈，可得＜，

f[2x-y=0U=2

所以4過定點(diǎn)（1，2）,A對(duì)

高中16

高中

加=2時(shí)，4：4x—3y+2=0,而《：4x—3y+3=0,即〃//2,B對(duì)

加=-1時(shí)，/2:x-l=O,而4:4x-3y+3=0,顯然不垂直，C錯(cuò)

3-21

“〃2，貝！]—3（加+2）=—4（加+1）,可得機(jī)=2由上知，4,4之間的距離為"方=1

D對(duì).故選：ABD

變式1.曲線〉=e2，cos3x在點(diǎn)（0,1）處的切線與其平行直線/的距離為右，則直線/的方程

可能為（）

A.y=2x+6B.y-2x-4

C.y=3尤+]D.y=3x-4

2x2x2jf

【詳解】=2ecos3x+e（-3sin3^=e（2cos3x-3sin3x）,/|x=0=2

所以曲線y=e?，cos3x在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為y-l=2（x-0）,即2x-y+1=0

|f-l|1

設(shè)直線/:2x-y+f=0依題意得#）解得/=6或t=-4

7F+F

所以直線/的方程為y=2x+6或y=2x-4故選：AB

變式2.知直線I：y=+1,4：y~mx+2,圓C：（1）2+5_2『=6,下列說法正

確的是（）

A.若4經(jīng)過圓心C,貝!u=l

B.直線與圓C相離

c.若4〃4,且它們之間的距離為*，則左=±2

D.若左=-1,4與圓C相交于M,N,貝!]|MV|=2

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閳A心C（l,2）在直線>=履+1上，所以2=k+1,解得左=1,A正確,

對(duì)于B,因?yàn)橹本€4：了=妙+2恒過點(diǎn)（0,2）,且（0_l『+（2-2）2<6

即點(diǎn)（0,2）在圓C內(nèi)，所以4與圓C相交，B錯(cuò)誤，對(duì)于C,因?yàn)閯t加=左

故h-y+l=0與h一>+2=0之間的距離[=〒二=9,所以左=±2,C正確

VFT15

對(duì)于D,左=-1時(shí)，直線4：y=-x+l,BPx+y-l=Q

高中17

高中

因?yàn)閳A心c（l,2）到直線X+y-1=0的距離d2=~^==8,所以=2/-（亞j=4,D

錯(cuò)誤,故選：AC

變式3.已知直線《：4x-3y+4=0,：（機(jī)+2）x-（m+l）y+2〃?+5=0（加eR）,貝!）（）

A.直線4過定點(diǎn)（-2,-1）

B.當(dāng)m=1時(shí)，/j-L4

c.當(dāng)機(jī)=2時(shí)，ijn2

D.當(dāng)〃〃2時(shí)，兩直線4,4之間的距離為1

fx—y+2=0fx=—3

【詳解】依題意，直線心（無一夕+2加+（2》->+5）=0,由-<八解得：.

[2x—y+5=0[>=-1

因此直線4恒過定點(diǎn)（-3,-1）,A不正確

當(dāng)〃?=1時(shí)，直線/2：3x-2y+7=0,而直線4：4x-3y+4=0,顯然3x4+（-2）x（-3）w0

,即直線乙，不垂直，B不正確

當(dāng)〃?=2時(shí)，直線/2：4x—3y+9=0,而直線/1：4x-3y+4=0,顯然4齊-3用得4，即〃4

,C正確

當(dāng)〃4時(shí)，有勺2=一（一.券3,解得機(jī)=2,即直線/2：4》一3〉+9=0,因止匕直線44

4—34

,19—41

之間的距離1=再不獷=1,D正確故選：CD

1.若直線2x—y-3=0與4x-2y+a=0之間的距離為石，則°的值為（）

A.4B.V5-6C.4或-16D.8或-16

【答案】C

【分析】將直線2x-y-3=0化為4》-2了-6=0,再根據(jù)兩平行直線的距離公式列出方程,

求解即可.

【詳解】將直線2x-y-3=0化為4》一2〉一6=0,

高中18

高中

則直線2--3=。與直線43i=。之間的距離公\匕ci—”(—6)II4+6|

26'

根據(jù)題意可得:即|a+6|=10,解得。=4或a=—16,

所以a的值為a=4或。=-16.

故選：C

2.若兩條直線4：y=2x+/,，2：y=2x+〃與圓x2+y2-4x=0的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成正方形,

則|加-司=()

A.4A/5B.2麗C.272D.4

【答案】B

【分析】由直線方程知“4,由題意正方形的邊長等于直線入4的距離d,又［=揚(yáng)，結(jié)

合兩線距離公式即可求加-的值.

【詳解】由題設(shè)知：要使A,B,C,。四點(diǎn)且構(gòu)成正方形NBCD,

...正方形的邊長等于直線4、4的距離d，貝

若圓的半徑為r,x2+y2-4x=0,即(x-2『+/=4,則r=2,

由正方形的性質(zhì)知：4=后廠=2收，

~'=2A/2,即有何_川=2A/F5'.

故選：B.

3.兩條平行直線2尤-y+3=0和依-3了+4=0間的距離為d,則a,d分別為()

A.(2=6,d=-B.a=-6,d=

33

C.。=-6,d=—D.a=6,d=—

33

【答案】D

【分析】根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)可得參數(shù)。，再利用平行線間距離公式可得d.

【詳解】由直線2x-y+3=0與直線辦一3了+4=0平行，

得2x(-3)-(-l)xa=0,解得a=6,

所以兩直線分另ij為2x-y+3=0和6x-3v+4=0,即6x-3y+9=0和6尤一3y+4=0,

高中19

高中

所以兩直線間距離d=-t^==坐，

A/62+323

故選：D.

4.兩條平行直線3%+4歹-12=0與〃x+8y+ll=0之間的距離（）

2323-7一

A.—B.—C.—D.7

5102

【答案】c

【分析】首先根據(jù)兩條直線平行求出參數(shù)。的值，然后利用平行線間的距離公式求解即可.

【詳解】由已知兩條直線平行，得3=）所以。=6,

a8

所以直線3x+4y-12=0可化為6x+8y-24=0,

1-24-1117

則兩平行線間的距離；=5.

V62+822

故選：C

5.已知直線4:x-my=0和4：XT肛+2（機(jī)-1）=0（5€1<）與圓。都相切，則圓C的面積的最

大值是（）

A.2萬B.4萬C.8萬D.16萬

【答案】A

【分析】易得4,4互相平行，故圓c的直徑為34間的距離，再表達(dá)出距離求最大值即可得

圓c的直徑最大值，進(jìn)而得到面積最大值

【詳解】由題，4,互相平行，且2（加-1）片0,故圓C的直徑為44間的距離

|2（m-l）|_|m-l|

"+（_句弄彳'令:"T‘則"='+1'

d=2——=—2—=_2______一

1+0+1）2'+>1卜y+一故當(dāng)7+5=°，即1=-2,機(jī)=一1時(shí)d取得

最大值d=2收，此時(shí)圓C的面積為S==2%

故選：A

6.若直線4:x+4+6=0與4：（。一2）x+3y+2。=0平行，貝也與4間的距離為（）

高中