2024北京重點校初二（下）期中數(shù)學匯編：特殊的平行四邊形4（解答題）

2024北京重點校初二（下）期中數(shù)學匯編

特殊的平行四邊形（解答題）4

一、解答題

1.（2024北京陳經(jīng)綸中學初二下期中）在數(shù)學課上，老師說統(tǒng)計學中常用的平均數(shù)不是只有算術(shù)平均數(shù)一

種，好學的小聰通過網(wǎng)絡(luò)搜索，又得到了兩種平均數(shù)的定義，他把三種平均數(shù)的定義整理如下：

對于兩個數(shù)。，b,

知=小稱為a,b這兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，

N=稱為a,b這兩個數(shù)的幾何平均數(shù)，

「二產(chǎn)丁稱為a,b這兩個數(shù)的平方平均數(shù).

小聰根據(jù)上述定義，探究了一些問題，下面是他的探究過程，請你補充完整：

（1）若a=-l,b=-2,則Af=_,N=_,P=_；

（2）小聰發(fā)現(xiàn)當a,6兩數(shù)異號時，在實數(shù)范圍內(nèi)N沒有意義，所以決定只研究當a,6都是正數(shù)時這三

種平均數(shù)的大小關(guān)系.結(jié)合乘法公式和勾股定理的學習經(jīng)驗，他選擇構(gòu)造幾何圖形，用面積法解決問題：

如圖，畫出邊長為a+b的正方形和它的兩條對角線，則圖1中陰影部分的面積可以表示

②借助圖形可知當。，》都是正數(shù)時，M,N,尸的大小關(guān)系是：_（把N,尸從小到大排列，并用

或，W，號連接）.

2.（2024北京第十八中學初二下期中）已知，點E在正方形ABC。的AB邊上（不與點A,B重合），BD

是對角線，延長AB到點孔使過點E作8。的垂線，垂足為連接AM,CF.

（2）①用等式表示線段AM與C尸的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②直接用等式表示線段AM,BM,之間的數(shù)量關(guān)系.

3.（2024北京豐臺第二中學初二下期中）如圖，正方形ABC。的對角線交于點。，點E、P分別在A3、

BC上(AE<BE),且/￡。尸=90。，OE、D4的延長線交于點M,OF、AB的延長線交于點N,連接

4.(2024北京第一六六中學初二下期中)在正方形ABCD外側(cè)作直線AP,點B關(guān)于直線AP的對稱點為

E,連接BE,DE,其中DE交直線AP于點F.

(2)若/PAB=20。，求NADF的度數(shù);

(3)如圖2,若45o<NPAB<90。，用等式表示線段AB,FE,FD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

5.(2024北京豐臺第八中學初二下期中)正方形A8C。中，點M是直線上的一個動點(不與點8,C

重合)，作射線過點8作BNLDM于點N,連接CN.

(1)如圖1,當點M在上時，如果NCQM=25。，那么的度數(shù)是

(2)如圖2,當點M在的延長線上時,

①依題意補全圖2；

②用等式表示線段N8,NC和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1

6.(2024北京第六十六中學初二下期中)四邊形A8CD是正方形，AC是對角線，E是平面內(nèi)一點，且

CE<BC,過點C作尸CLCE,且CF=CE.連接AE、AF,M是AF的中點，作射線DM交AE于點N.

(1)如圖1,若點E,尸分別在2C,邊上.

求證：①ZBAE=ZDAF；

②DN1.AE；

(2)如圖2,若點￡在四邊形ABC。內(nèi)，點尸在直線BC的上方，求/EAC與"W的和的度數(shù).

7.(2024北京H^一實驗中學初二下期中)如圖，經(jīng)過正方形ABCD的頂點A在其外側(cè)作直線AP,點B

關(guān)于直線AP的對稱點為E,連接BE、DE,其中DE交直線AP于點F.

(1)依題意補全圖L

(2)若/PAB=30。，求/ADF的度數(shù).

(3)如圖，若45o<NPAB<90。，用等式表示線段AB,FE,FD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

8.(2024北京H^一實驗中學初二下期中)如圖，在AABC中，AB=AC,。為BC中點.四邊形A2OE是

平行四邊形.

求證：四邊形AOCE是矩形

9.(2024北京日壇中學初二下期中)如圖，在菱形ABC。中，CELAB交AB延長線于點E,點尸為點8

關(guān)于CE的對稱點，連接CF,分別延長。C,CF至點G,H,使FH=CG,連接AG,?！苯挥邳cP.

(1)依題意補全圖1；

(2)猜想AG和?！钡臄?shù)量關(guān)系并證明；

(3)若ND48=70。，是否存在點G,使得△AOP為等邊三角形？若存在，求出CG的長；若不存在，說明

理由.

DCDC

點，AC為對角線，AC±BC.

（1）求證：四邊形AECD是菱形.

（2）若/D4E=60。，AE=2,求菱形AEC。的面積.

11.（2024北京第三十五中學初二下期中）如圖，菱形ABCD的邊長為48cm,ZA=60°,動點尸從點A出

發(fā)，沿著線路AB-3D做勻速運動，動點。從點。同時出發(fā)，沿著線路DC-CB-區(qū)4做勻速運動.

（1）求8。的長；

（2）已知動點尸、。運動的速度分別為8cm/s、10cm/s.經(jīng)過12秒后，P、。分別到達“、N兩點，試判斷

△4WN的形狀，并說明理由，同時求出AAMN的面積；

（3）設(shè)問題（2）中的動點P、。分別從V、N同時沿原路返回，動點P的速度不變，動點。的速度改變

為acm/s,經(jīng)過3秒后，P、。分別到達及尸兩點，若尸為直角三角形，試求。的值.

參考答案

1.(1)夜,巫；(2)①見解析；②NMMWP.

22

【分析】（1）將。=-1*=-2分別代入M,N,尸求值即可得;

（2）①分別求出加2,尸，再根據(jù)正方形的性質(zhì)、矩形和直角三角形的面積公式即可得;

②根據(jù)（2）①中的所畫的圖形可得N2VM24產(chǎn)，由此即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）當”=-1涉=一2時,

a+b—1—2

M=----=-----=——

22

N=\[ab=^—1x(—2)=A/2，

(2)①獷/包丫=(a+■=(”■+4仍=("bf+就,

\2)444

則用陰影標出一個面積為知2的圖形如下所示:

(a-b)2+2ab(a-Z?)2+而

2―2-0

則用陰影標出一個面積為尸的圖形如下所示:

②由（2）①可知，N2<M2<P2,當且僅當。一匕=0,即a=b時，等號成立,

???〃,匕都是正數(shù),

都是正數(shù),

:.N<M<P,

故答案為：N<M<P.

【點睛】本題考查了二次根式的應用、完全平方公式、正方形的性質(zhì)等知識點，較難的是題（2）①，正

確利用完全平方公式進行變形運算是解題關(guān)鍵.

2.（1）見解析；⑵①6AM=FC,證明見解析；②。獷+瀏/2=241/2

【分析】（1）證AfiEM是等腰直角三角形即可得；

（2）①先證AAEW=AFBAf得AM=FM,由AE=3尸知EF=3C=AB,證AMEF三AMBC得

ZEMF=ZBMC,FM=MC,由NFMC=90。知AFCN是等腰直角三角形，從而得尸C="服?=拒,；②

連接DE,證四邊形COM是平行四邊形得DE=8,由==知=結(jié)合

BM=EM,從而得出答案.

【詳解】解：（1）如圖所示,

四邊形ABC。是正方形,8。是對角線,

:.ZABD=A5°,

■：BMLBD,

.?.AfiEM是等腰直角三角形,

ZAEM=NFBM=135°,

又,；AE=FB,

:.AAEM=AFBM(SAS),

:.AM=FM,

???AE=BF,

..EF=AB=BCf

,/ZMBC=ZBEM=45°

:.\MEF=\MBC{SAS),

:.ZEMF=ZBMC,FM=MC,

ZFMC=90°,

是等腰直角三角形，

FC=-J1MF=?AM,

即近AM=FC;

@DM2+BM2=2AM2?理由如下：

如圖，連接。E,

■：AE=BF,

:.AE+BE=BF+BE=EF,

又?jOC/MB且￡>C=AB,

:.DC=EF,DC//EF,

，四邊形CD所是平行四邊形，

.'.DE=CF,

■.■CF=y/2MF,MF=AM,

DE=-JlAM,

又BM=EM,NDME=90。,

:.DM2+EM2=DE2，

貝1.

【點睛】本題是四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形與等腰直角三角形及平

行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點.

3.見解析

【分析】此題找出三角形全等的條件：ZOAM=ZOBN=135°,ZAOM=ZBON,OA=OB判定

△OAM^AOBN即可證明.

【詳解】證明：：四邊形ABCD是正方形，

.,.OA=OB,ZDAO=45°,ZOBA=45°,

ZOAM=ZOBN=135°,

VZEOF=90°,ZAOB=90°,

/.ZAOM=ZBON,

在小OBN中，

ZOAM=ZOBN

<OA=OB

ZAOM=Z.BON

/.△OAM^AOBN(ASA),

.*.OM=ON；

【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的四條邊都相等，正方形的每條對角線平

分一組對角及全等三角形的判定與性質(zhì).

4.(1)見解析；(2)25°；(3)EF2+FD2=2AB2,見解析

【分析】(1)根據(jù)題意直接畫出圖形得出即可；

(2)利用對稱的性質(zhì)以及等角對等邊進而得出答案；

(3)由軸對稱的性質(zhì)可得：EF=BF,AE=AB=AD,/ABF=NAEFZADF,進而利用勾股定理得出

答案.

(2)如圖2,連接AE,

則/PAB=/PAE=20°,AE=AB=AD,

???四邊形ABCD是正方形，

二/BAD=90°,

又；NEAP=/BAP=20°,

；.NEAD=130°,

圖3

(3)數(shù)量關(guān)系是;EF2+FD2=2AB?

如圖3,連接AE、BF、BD,

由軸對稱的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得：

EF=BF,AE=AB=AD,

ZABF=ZAEF=ZADF,

/.ZBFD=ZBAD=90°,

.,.BF2+FD2=BD2,

:在R3ABD中AD2+AB2=BD2

.\EF2+FD2=2AB2.

【點睛】本題考查的是正方形、等腰三角形以及直角三角形的相關(guān)知識,是一道綜合題，能夠充分調(diào)動所

學知識是解題的關(guān)鍵.

5.(1)25°;(2)①見解析；②母NC+ND=NB,見解析.

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)和對頂角相等、三角形內(nèi)角和定理得出NMBN=NCDM=25。即可；

(2)①由題意補全圖形即可；

②當N在。M上時，在NB上截取B￡=N。，證明△CONg/\CBE得出NC=EC,ZDCN=ZBCE,證出

ZNCE=ZBCD=90°,得出△NCE是等腰直角三角形，得出NE=^NC,即可得出結(jié)論；

當N在MZ)延長線上時，延長A?至E,使BE=ND,同理得：ACDN沿ACBE,得出NC=EC,

ZDCN=ZBCE,證出/NCE=/8C_D=90。，得出△NCE是等腰直角三角形，證出NE=&NC,即可得出結(jié)

論.

【詳解】解：(1)二?四邊形A8C。是正方形，

：.BC=CD,ZDCM=ZBCD=90°,

'：BN.LDM,

：.ZDNB=90°=ZBCD,

'：ZBMN=ZDMC,

：.ZMBN=ZCDM=2.5°；

故答案為250；

(2)①由題意補全圖形如圖2、圖4所示；

②線段NB,NC和A?之間的數(shù)量關(guān)系為：NB=ND+板NC,或亞NC=NB+ND.

理由如下：

當N在。/上時，在N8上截取BE=N￡),

ZDMC+ZCDN=ZDMC+ZCBE=90°,

ZCDN=ZCBE,

在△?！?gt;27和4CBE中，

ND=BE

，ZCDN=ZCBE,

CD=CB

:ACDN妾ACBE(SAS),

：.NC=EC,ZDCN=ZBCE,

：.ZNCE=ZDCN+ZDCE=ZBCE+ZDCE=ZBCD=90°,

△NCE是等腰直角三角形，

：.NE=4iNC,

：.NB=BE+NE=ND+收NC；

當N在MD延長線上時，延長A?至E,使.BE=ND,

同理得：△CDN”ACBE,

：.NC=EC,ZDCN=ZBCE,

：.ZNCE=ZDCN+ZDCE=ZBCE+ZDCE=ZBCD=90°,

ANCE是等腰直角三角形，

：.NE=y/2NC,

'：NE=NB+BE,

：.V2NC=NB+ND.

【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、

等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

6.（1）①見解析；②見解析；（2）45°

【分析】（1）根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)的計算，可知①/BAE=

/DAF是否成立；可知②DN_LAE是否成立；

（2）根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)的計算，求出NEAC與NADN的

和的度數(shù).

【詳解】（1）證明：①在正方形ABC。中，

；?ZABE=NADF=90°,AB=BC=CD=AD.

,:CE=CF,

:.BE=DF.

AA4BE=AADF.

???ZBAE=ZDAF.

②是A尸的中點，

/.ZDAF=ZADN,

由①可知NS4￡=ND4尸.

?.?ZBAE=ZADN.

:ZBAE^-ZEAD=90°

ZAND+ZEAD=9()

：.AN1DN

(2)解：延長AO至H,使得ZW=AD,連結(jié)/H,CH.

■:ADVCD,

:.CA=CH.

在正方形ABC。中，AC是對角線，

???ZAC。=45°.

ZACH=ZACD=45°.

ZACH=ZECF=90°.

：.ZACE=ZHCF

XVCE=CF,

:.\ACE=\HCF.

：.ZEAC=ZFHC

???M是A尸的中點，。是AH的中點，

:.DM//FH.

/.ZADN=ZAHF

ZADN+ZEAC=ZAHF+ZFHC=ZAHC=45°

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)的應用，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)的計算.

7.(1)見解析；(2)ZADF=15°；(3)EF2+FD2=2AB2,見解析.

【分析】(1)過B作AP的垂線段，并延長至E,使B、E到AP的垂線段相等，得出B的對稱點E,連接

BE、DE即可；

(2)連接AE,由軸對稱的性質(zhì)得出/PAB=NPAE=30。，AE=AB=AD,得出NAED=/ADF,求出

ZEAD=150°,即可求出/ADF的度數(shù)；

(3)連接AE、BF、BD,由軸對稱的性質(zhì)得出EF=BF,AE=AB=AD,得出/ABF=/AEF=/ADF,求出

ZBFD=ZBAD=90°,根據(jù)勾股定理得出BF2+FD2=BD2,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)如圖1、圖2所示：

圖1圖2

圖3

:點B關(guān)于直線AP的對稱點為E,

則/PAB=/PAE=30°,AE=AB=AD,

.\ZAED=ZADF,

四邊形ABCD是正方形，

.,.ZBAD=90°,

NEAD=90°+30°+30°=150°,

/.ZADF=-(180°-ZEAD)=15°；

2

(3)連接AE、BF、BD,如圖4所示:

圖4

貝l|EF=BF,AE=AB=AD,

ZEBF=ZBEF,ZABE=ZAEB

/ABF=NAEF=ZADF,

ZBFD=ZBAD=90°,

.?.BF2+FD2=BD2,

VAB2+AD2=2AB2,EF=BF,

EF2+FD2=AB2+AD2=2AB2,

即EF2+FD2=2AB2.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及垂直平分線

的性質(zhì)；熟練掌握正方形和軸對稱的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵.

8.見解析

【詳解】證明：???四邊形ABOE是平行四邊形，

J.AE//BC,AB=DE,AE=BD.

?.?。為BC的中點，

CD=DB.

J.CD//AECD=AE,

四邊形AOCE是平行四邊形.

"：AB=AC,

J.AC=DE.

.,.平行四邊形AOCE是矩形.

9.(1)見解析;(2)AG=DH,理由見解析;(3)不存在.理由見解析.

【詳解】【分析】(1)依題意畫圖；

(2)根據(jù)菱形性質(zhì)得AD=CD=CB,AB//DC,ZADC^ZABC；由點歹為點B關(guān)于CE的對稱點，得

CE垂直平分BE,故CB=CF,NCBF=/CFB,所以CD=CF,再證

由NABC+NCB/=180°,ZDCF+ZCFB=180°,得ZADC=NDCF.可證

(3)由(2)可知，NDAG=/CDH,NG=/GAB,

證得/。必=/PZ)G+/G=/D4G+/GAB=70o>60。，故4ADP不可能是等邊三角形.

【詳解】(1)補全的圖形，如圖所示.

DCG

(2)AG=DH.

證明：??,四邊形ABC。是菱形，

；?AD=CD=CB,AB//DC,ZADC=ZABC.

點F為點3關(guān)于CE的對稱點，

???CE垂直平分3尸.

：.CB=CF,ZCBF=ZCFB.

：.CD=CF.

又*：FH=CG,

：.DG=CH.

VZABC+ZCBF=180°,ZDCF+ZCFB=180°,

:.ZADC=ZDCF.

:?△ADG之△DC”.

???AG=DH.

(3)不存在.

理由如下：

由(2)可知，NDAG=NCDH,/G=NGAB,

???ZDR\=ZPDG+ZG=ZDAG^-ZGAB=70°>60°.

???AADP不可能是等邊三角形.

【點睛】本題考核知識點：菱形，軸對稱，等邊三角形.解題關(guān)鍵點：此題比較綜合，要熟記菱形性質(zhì)，全

等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，等邊三角形判定.

10.(1)見解析；(2)2A/3

【分析】(1)先證AE=C￡>,AE//CD,得四邊形AEC。是平行四邊形，MffiCE=AE,得平行四邊形

AEC。是菱形；

(2)過點C作C尸，班交EB于點f先求ER再根據(jù)勾股定理求C尸，再根據(jù)平行四邊形面積公式可求

出四邊形面積.

【詳解】(1)證明：為A8的中點

：.AB^2AE,

9：AB=2CD,

：.AE=CD,

又??,AB〃CD,

：.AE//CDf

???四邊形AECD是平行四邊形，

VACXBC,

JZACB=90°,

又???￡為A3的中點，

CE=-AB,AE=-AB

22f

CE=AE,

所以平行四邊形AECD是菱形；

(2)解：過點。作CTLEB交￡5于點E

???四邊形AECD是菱形,

：.AD//ECfAE=CE,

：.ZDAE=Z1,

VZDAE=60°,AE=2,

AZ1=60°,CE=2,

VCFXEB,

JZCFE=90°,

.,.Zl+Z2=90°,

：.Z2=30°,

：.EF=-CE=1,

2

2222

在R”CEF中，ZCFE=90°fCF=y/CE-EF=72-1^73，

S菱形血：。=AECF=2x^3=2G.

【點睛】本題考核知識點：菱形.解題關(guān)鍵點：熟記菱形的判定方法.

11.(1)48cm；(2)288限n?；(3)若△5石尸為直角三角形，。的值為4或12或24

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB=3C=CD=AD=48,力口上NA=60。，于是可判斷△ABD是等邊三角

形，所以BD=AB=48；

(2)如圖1,根據(jù)速度公式得到12秒后點尸走過的路程為96cm,則點尸到達點。，即點M與。點重合，

12秒后點0走過的路程為120cm,而3C+CD=96,易得點。到達AB的中點，即點N為的中點，根

據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得MN1AB,即AAW為直角三角形，然后根據(jù)等邊三角形面積可計算出

2

SVAMV=28873cm；

(3)由為等邊三角形得/ABD=60。，根據(jù)速度公式得經(jīng)過3秒后點P運動的路程為24cm、點。

運動的路程為34cm,所以然后分類討論：當點。運動到尸點，且點尸在NB上，如圖

1,則NF=3a,BF=BN-NF=24-3a,由于△班下為直角三角形，而NFBE=60。，只能得到

ZEFB=90°,所以NFEB=30。，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得24-3a=；x24,解得。=4；當

點。運動到R點，且點尸在2C上，如圖2,典\NF=3a,BF=BN-NF=3a-24,由于△BEF為直角三角

形，而4BE=60。，若NEFB=9Q°,則NEEB=30。，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得

3a-24=1x24,解得。=12；若NEFB=90°,易得此時點/在點C處，貝|3。=24+48,解得a=24.

【詳解】解：(1):四邊形是菱形，

.-.AB=BC=CD=AD=48,

?.-ZA=60°,

/XABD是等邊三角形，

.-.BD=AB=