2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：立體幾何中的軌跡問題（學(xué)案+練習(xí)）

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

素養(yǎng)拓展26立體幾何中的軌跡問題(精講+精練)

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

一'立體幾何中的軌跡問題

立體幾何軌跡問題是以空間圖形為素材.去探究符合一定條件的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,處于解析幾何和立體幾何的

交匯處，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化和化歸能力，以及對(duì)解析幾何和立體幾何知識(shí)的全面掌握.

常見的軌跡類型有直線、圓雉曲線、球面、橢球面.

二、常用的解決策略

(1)定義法:借助圓雉曲線的定義判斷.

⑵坐標(biāo)法:建立合適的坐標(biāo)系，用方程來表示所求點(diǎn)的軌跡,借助方程來判斷軌跡形狀.

(3)交軌法:運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)同時(shí)在兩個(gè)空間幾何體上，如平面與圓雉、圓柱、球相交，球與球相交，等等.

(4)平面化:把空間幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化到同一平面內(nèi),進(jìn)而探究平面內(nèi)的軌跡問題，使問題更易解決.空間問題平面

化也是解決立體幾何題目的一般性思路.

三、軌跡是圓錐曲線的原理剖析

令平面與軸線的夾角為e(o<0<90°),圓雉的母線與軸的夾角為a(o<a<90。,如圖②.

(1)當(dāng)a(。時(shí)，截口曲線為橢圓；

(2)當(dāng)a=。時(shí)，截口曲線為拋物線；

(3)當(dāng)a>0時(shí),截口曲線為雙曲線.

圖②

圖②我們?cè)購(gòu)膸缀谓嵌葋碜C明.

(1)如圖③，在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球,使它們分別與截面切于點(diǎn)耳，工.在截口曲線上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)

P作圓雉的母線，分別與兩球切于點(diǎn),2?由球的性質(zhì)可知|PQ21Tp胤，|1=|尸局，于是

|尸片|+|尸閶=|尸匈+|尸。2|=|0a為定值，這樣截口曲線上的任一點(diǎn)。到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為

常數(shù)面橢圓的定義知，截口曲線是橢圓.

Q.

圖③

(2)如圖④，在互相倒置的兩個(gè)圓雉內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使它們分別與圓雉的側(cè)面、截面相切.兩個(gè)球分別

與截面切于點(diǎn)小工.在截口曲線上任取一點(diǎn)p,過點(diǎn)p作圓雉的母線，分別與兩球切于點(diǎn)e,,.由球的性質(zhì)

可知IP0=|正耳|,|P01=|尸閶，于是IW|-盧閶=IPQHP0I=II為定值，這樣截口曲線上的任一

點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)2,的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)，由雙曲線的定義知，截口曲線是雙曲線.

(3)如圖⑤，用平行于母線且垂直于軸截面的平面，去截圓雉.在圓雉內(nèi)放一個(gè)球，使它和圓雉的側(cè)面與

截面，相切，球與截面切于點(diǎn)尸.設(shè)a為球與圓雉相切時(shí)切點(diǎn)構(gòu)成的圓所在的平面，記。c，=/.在截口曲線

上任取一點(diǎn)P,作直線與球相切于點(diǎn)T,連結(jié)PT，有|尸耳=歸刀.在母線OM上取點(diǎn)A,B(B為OM與球的

切點(diǎn))，使得|=|PT卜過點(diǎn)P作PQ//AB，有點(diǎn)Q在I上,且但@=|司.另一方面，因?yàn)槠矫媾ca

垂直，那么I1平面，有/，A5,所以/，PQ.于是截口曲線是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，/為準(zhǔn)線的拋物線.

圖⑤

二、題型精講精練

1.平行、垂直有關(guān)的的軌跡問題

①平行有關(guān)的軌跡問題的解題策略一

1.線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行得軌跡；

2.平行時(shí)可利用法向量垂直關(guān)系求軌跡.

②垂直有關(guān)的軌跡問題的解題策略

1.可利用線線線面垂直，轉(zhuǎn)化為面面垂直，得交線求軌跡;

2.利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡；

3.利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡.

【典例1］如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方體480-48（01中，E、F、G、H、N分別是CCi、CiDi>DDi、

CD、8c的中點(diǎn)，M在四邊形EFGH邊上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若〃面48。，則點(diǎn)/軌跡的長(zhǎng)度是（）

A.gaB.垃aC.叵D.叵

22

【答案】D

【分析】連接GH、HN,有GH〃BAi,HN//BD,證得面4/0〃面GHN,由已知得點(diǎn)M須在線段GH

上運(yùn)動(dòng)，即滿足條件，由此可得選項(xiàng).

【詳解】解：連接GH、HN、GN,..?在邊長(zhǎng)為a的正方體ABCO-AiHCiOi中，E、F、G、H分別是CG、

DDi,的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，

則GH//BAi,HN//BD,又GHu面AiBD,BAiu面所以G"〃面AyBD,同理可證得NH〃面AiBD,

又GHcHN=H,.,.面430〃面GHN,

又?點(diǎn)M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),MN//面AXBD,

則點(diǎn)拉須在線段GH上運(yùn)動(dòng)，即滿足條件，GH=^a,則點(diǎn)拉軌跡的長(zhǎng)度是比

22

［典例2］在正方體ABCD-A^C,D,中，Q是正方形B'BCa內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，AQ，8G,則。點(diǎn)的軌跡是（）

A.點(diǎn)與B.線段2。C.線段與GD.平面ABCG

【答案】B

【分析】如圖，連接AC,證明BCJB]Q,又BCJB{C,即得解.

【詳解】

如圖，連接4C,

因?yàn)?，AQ,，A旦,AQn4瓦=A，A。,A旦u平面4用。，所以BQ1平面A^Q，又用QU平面

W,

所以Z?G，BQ,又BG，BC.所以點(diǎn)Q在線段BC上.故選：B

2.距離、角度有關(guān)的的軌跡問題

①距離有關(guān)的軌跡問題的解題策略

1.距離，可轉(zhuǎn)化為在一個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助于圓錐曲線定義或者球和圓的定義等知識(shí)求

解軌跡；

2.利用空間坐標(biāo)計(jì)算求軌跡.

②角度有關(guān)的軌跡問題的解題策略

1.直線與面成定角，可能是圓錐側(cè)面；

2.直線與定直線成等角，可能是圓錐側(cè)面；

3.利用空間坐標(biāo)系計(jì)算求軌跡.

【典例3］已知正方體ABCD-AbBCiOi的棱長(zhǎng)為1,尸為底面A2CD內(nèi)一點(diǎn)，若尸到棱CD,Aid距離相

等的點(diǎn)，則點(diǎn)尸的軌跡是（）

A.直線B.橢圓C.拋物線D.雙曲線

【答案】D

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-邙，求出點(diǎn)尸的軌跡方程即可判斷.

【詳解】

如圖示，過P作與E,過尸作于F,過戶作FG〃44i交Aid于G,連結(jié)PG,由題意

可知PE=PG

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。-^yz,設(shè)P（x,y,0）,由PE=PG得：

…卜什+0,平方得：（了_1）2一丁=1即點(diǎn)p的軌跡是雙曲線.故選：D.

【典例4】正方體ABC。-A4G2中，M,N分別為AB,A耳的中點(diǎn)，P是邊CQ】上的一個(gè)點(diǎn)（包括

端點(diǎn)），。是平面PM可上一動(dòng)點(diǎn)，滿足直線MN與直線AN夾角與直線MN與直線N。的夾角相等，則

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.拋物線或雙曲線

【答案】D

【分析】根據(jù)題設(shè)分析可知：。點(diǎn)軌跡為以AN為母線，為軸，AB為底面直徑的圓錐體，及其關(guān)于Aq

反向?qū)ΨQ的錐體與平面尸田4的交線，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合平面與雙錐面相交所成曲線的性質(zhì)判斷。所在軌

跡的形狀.

【詳解】由題設(shè)，Q點(diǎn)軌跡為以⑷V為母線，為軸，為底面直徑的圓錐體，及其關(guān)于A4反向?qū)?/p>

稱的錐體與平面用的交線，如下圖示：

當(dāng)P是邊G2上移動(dòng)過程中，只與下方錐體有相交，。點(diǎn)軌跡為拋物線；

當(dāng)尸是邊C2上移動(dòng)過程中，與上方錐體也有相交，。點(diǎn)軌跡為雙曲線；

D

3.翻折有關(guān)的的軌跡問題

①翻折有關(guān)的軌跡問題的解題策略

1.翻折過程中尋找不變的垂直的關(guān)系求軌跡

2.翻折過程中尋找不變的長(zhǎng)度關(guān)系求軌跡

3.可以利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡

【典例5】1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家。劭d“沅利用圓錐曲線的兩個(gè)內(nèi)切球，證明了用一個(gè)平面去截圓錐，

可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)了橢圓截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性.在生

活中，有一個(gè)常見的現(xiàn)象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會(huì)形成橢圓.這是由于光線形成的圓

錐被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面.如圖，在地面的某個(gè)占A正上方有一個(gè)點(diǎn)光源，將小球放置在地面，使

得AA與小球相切.若AA=5,小球半徑為2,則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（）

廠

Bi

【答案】A

【分析】設(shè)&K=彳,從而可得的=5,A4=x+2,AA,=x+3,利用勾股定理可得x=10,再由離心

率的定義即可求解.

【詳解】在4中，設(shè)4耳=x,。&=兀

=5,=x+2,AA,=x+3,52+(x+2)2=(x+3)2,

一c2

/.x=10,J長(zhǎng)軸長(zhǎng)44=2〃=12,a=6。=6—2=4貝！|離心率e=—二—?故選：A

fa3

【題型訓(xùn)練2-刷模擬】

1.平行、垂直有關(guān)的的軌跡問題

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）正四棱錐S-MCD的底面邊長(zhǎng)為2,高為2,E是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在

表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持尸E,AC,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡的周長(zhǎng)為（）

A.76+72B.A/6-V2C.4D.V5+1

2.（2023.安徽滁州.安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱ABCD-ABiGP中，AB=1,M=4,E

為DR中點(diǎn)，尸為正四棱柱表面上一點(diǎn)，且￡尸1BtE,則點(diǎn)尸的軌跡的長(zhǎng)為（）

A.V5+V2B.2V2+V2C.275+72D.而+拒

3.（2023?江西贛州?統(tǒng)考二模）在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-ABCQ中，點(diǎn)尸滿足麗=4礪，E,F分

別為棱BC,CD的中點(diǎn)，點(diǎn)。在正方體ABCD-AgGR的表面上運(yùn)動(dòng)，滿足其。〃面斯P,則點(diǎn)。的軌跡

所構(gòu)成的周長(zhǎng)為（）

A.也B.2AC.旭D.晅

333

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2,E,尸分別為AA，48的

中點(diǎn)，點(diǎn)尸是正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，若GP〃平面CQE/，則尸點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡長(zhǎng)度為

C.272+75D.2V2+2V5

5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-ABG。中，M,N分別為B],4G的中點(diǎn),

點(diǎn)尸在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足〃平面CNR,則下列說法正確的是（）

B.線段"P的最大值為走

A.點(diǎn)P可以是棱8月的中點(diǎn)

2

C.點(diǎn)尸的軌跡是正方形D.點(diǎn)尸軌跡的長(zhǎng)度為2+逐

6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為1的正方體，"是B片的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在正方

體內(nèi)部或表面上，且"P〃平面則動(dòng)點(diǎn)下的軌跡所形成區(qū)域的面積是（）

4fB.y/2C.1D.2

二、填空題

7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，AB為圓柱下底面圓。的直徑，C是下底面圓周上一點(diǎn)，己知

TT

ZAOC=-,OA=2,圓柱的高為5.若點(diǎn)。在圓柱表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足則點(diǎn)。的軌跡所圍成圖

形的面積為.

A

8.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正方體ABCD-ABIG。的棱長(zhǎng)為動(dòng)點(diǎn)尸在VABC內(nèi)，滿足

D、pf,則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為.

9.（2023春?四川綿陽?高三四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)時(shí)是棱長(zhǎng)為3亞的正方體

ABC。-4與￡。的內(nèi)切球。的球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為棱BG上的一點(diǎn)，且2NB、=NJ,DMLBN,則動(dòng)M

點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為

2.距離、角度有關(guān)的的軌跡問題

一、單選題

1.（2023春?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知長(zhǎng)方體的外接球的表面積為5兀，⑨=2,

71

點(diǎn)尸在四邊形AACG內(nèi)，且直線BP與平面AACG所成角為;，則長(zhǎng)方體的體積最大時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)

4

為（）

A.兀B.叵C.-D.叵

224

2.（2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐（底面為正方形，且頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心的棱錐

7T

為正四棱錐）P—A88的底面正方形邊長(zhǎng)為2,其內(nèi)切球O的表面積為動(dòng)點(diǎn)。在正方形A5CD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，

且滿足。。=。尸，則動(dòng)點(diǎn)。形成軌跡的周長(zhǎng)為（）

a2兀-3兀-4兀-5兀

A.——B.—C.——D.—

11111111

3.（2023?山東淄博?統(tǒng)考三模）設(shè)A,5是半徑為3的球體O表面上兩定點(diǎn)，且NACW=60。，球體。表面

上動(dòng)點(diǎn)尸滿足|網(wǎng)=2|尸到，則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為（）

A12而R4V15「6A/1412V13

A.-----------71D?----------71C,------------71D.------------71

1157

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在正方體ABC。-ABC。中，E為AA的中點(diǎn)，F(xiàn)為底面ABCO上一動(dòng)點(diǎn),

且與底面48。所成的角為60°.若該正方體外接球的表面積為12兀，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為（）.

A4G曲「2出n473

A,---兀D.-----7CC?--------TtD?--------71

9333

5.（2023?云南曲靖?曲靖一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知三棱錐尸-ABC的底面△ABC為等腰直角三角形，其頂點(diǎn)

P到底面A8C的距離為4,體積為若該三棱錐的外接球O的半徑為而，則滿足上述條件的頂點(diǎn)P的

軌跡長(zhǎng)度為（）

A.6兀B.12萬C.2岳D.4岳

6.（2023春?上海寶山?高三上海交大附中?？计谥校┰谡拿骟wA-BCD中，點(diǎn)尸為ABCD所在平面上的動(dòng)

點(diǎn)，若小與AB所成角為定值則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

7.（2022秋.河南.高三期末）棱長(zhǎng)為1的正方體A8CD-4用GA中，點(diǎn)E是側(cè)面CG4B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包

含邊界），則下面結(jié)論正確的有（）

①若點(diǎn)E滿足則動(dòng)點(diǎn)E的軌跡是線段；

②若點(diǎn)E滿足NEAC=30。,則動(dòng)點(diǎn)E的軌跡是橢圓的一部分；

③在線段BG上存在點(diǎn)E,使直線AE與CO.所成的角為30。；

④當(dāng)E在棱B片上移動(dòng)時(shí)，的最小值是小5.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題

8.（2023春?湖南長(zhǎng)沙?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為3的正方體A8CD-A與G。中，尸為棱上一點(diǎn),

且|人尸|=1,則正方體表面到P點(diǎn)距離為正的點(diǎn)的軌跡總長(zhǎng)度為.

9.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知三棱錐尸-ABC的外接球。的半徑為JF,"1SC為等腰直角三角形,

若頂點(diǎn)尸到底面ABC的距離為4,且三棱錐P-ABC的體積為方，則滿足上述條件的頂點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度

是.

10.（2023?全國(guó)?唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知N為正方體ABC。-ABC。的內(nèi)切球球面上的動(dòng)

點(diǎn)，M為4a的中點(diǎn)，DN1MB,若動(dòng)點(diǎn)N的軌跡長(zhǎng)度為生叵，則正方體的體積是.

5

3.翻折有關(guān)的的軌跡問題

一、單選題

1.已知菱形A5CD的各邊長(zhǎng)為2,/。=60。.如圖所示，將AACZ）沿AC折起，使得點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)S的位置，連

接S3,得到三棱錐S-ABC,此時(shí)SB=3,E是線段9的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在三棱錐S-ABC的外接球上運(yùn)動(dòng),

且始終保持竹1AC,則點(diǎn)尸的軌跡的周長(zhǎng)為（）

A5A/2R4括r4x/3n573

A.--------TCH.-------71C?-------71D.------71

3333

2.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,E為8c的中點(diǎn)，將AB4E沿AE向上翻折到△以正，連接PC,P。，在

翻折過程中，下列說法中正確的是（）

尸(8)

①四棱錐P-AECD的體積最大值為半②.尸￡＞中點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為缶

③EP,CD與平面R4Q所成角的正弦值之比為2:1

④三棱錐尸-回的外接球半徑有最小值。，沒有最大值

4

A.①③B.②③C.①③④D.①②③

3.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=、,Q,BC=1,E為線段DC上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將'AED沿AE折起，使點(diǎn)

D在面ABC上的射影K在直線AE上，當(dāng)E從D運(yùn)動(dòng)到C,則K所形成軌跡的長(zhǎng)度為

3

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

素養(yǎng)拓展26立體幾何中的軌跡問題(精講+精練)

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

一'立體幾何中的軌跡問題

立體幾何軌跡問題是以空間圖形為素材.去探究符合一定條件的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,處于解析幾何和立體幾何的

交匯處，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化和化歸能力，以及對(duì)解析幾何和立體幾何知識(shí)的全面掌握.

常見的軌跡類型有直線、圓雉曲線、球面、橢球面.

二、常用的解決策略

(1)定義法:借助圓雉曲線的定義判斷.

⑵坐標(biāo)法:建立合適的坐標(biāo)系，用方程來表示所求點(diǎn)的軌跡,借助方程來判斷軌跡形狀.

(3)交軌法:運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)同時(shí)在兩個(gè)空間幾何體上，如平面與圓雉、圓柱、球相交，球與球相交，等等.

(4)平面化:把空間幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化到同一平面內(nèi),進(jìn)而探究平面內(nèi)的軌跡問題，使問題更易解決.空間問題平面

化也是解決立體幾何題目的一般性思路.

三、軌跡是圓錐曲線的原理剖析

令平面與軸線的夾角為e(o<0<90°),圓雉的母線與軸的夾角為a(o<a<90。,如圖②.

(2)當(dāng)a(。時(shí)，截口曲線為橢圓；

(2)當(dāng)a=。時(shí)，截口曲線為拋物線；

(3)當(dāng)a>0時(shí),截口曲線為雙曲線.

圖②

圖②我們?cè)購(gòu)膸缀谓嵌葋碜C明.

(1)如圖③，在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球,使它們分別與截面切于點(diǎn)耳，工.在截口曲線上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)

P作圓雉的母線，分別與兩球切于點(diǎn),2?由球的性質(zhì)可知|PQ21Tp胤，|1=|尸局，于是

|尸片|+|尸閶=|尸匈+|尸。2|=|0a為定值，這樣截口曲線上的任一點(diǎn)。到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為

常數(shù)面橢圓的定義知，截口曲線是橢圓.

Q.

圖③

(2)如圖④，在互相倒置的兩個(gè)圓雉內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使它們分別與圓雉的側(cè)面、截面相切.兩個(gè)球分別

與截面切于點(diǎn)小工.在截口曲線上任取一點(diǎn)p,過點(diǎn)p作圓雉的母線，分別與兩球切于點(diǎn)e,,.由球的性質(zhì)

可知IP0=|正耳|,|P01=|尸閶，于是IW|-盧閶=IPQHP0I=II為定值，這樣截口曲線上的任一

點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)2,的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)，由雙曲線的定義知，截口曲線是雙曲線.

(3)如圖⑤，用平行于母線且垂直于軸截面的平面，去截圓雉.在圓雉內(nèi)放一個(gè)球，使它和圓雉的側(cè)面與

截面，相切，球與截面切于點(diǎn)尸.設(shè)a為球與圓雉相切時(shí)切點(diǎn)構(gòu)成的圓所在的平面，記。c，=/.在截口曲線

上任取一點(diǎn)P,作直線與球相切于點(diǎn)T,連結(jié)PT，有|尸耳=歸刀.在母線OM上取點(diǎn)A,B(B為OM與球的

切點(diǎn))，使得|=|PT卜過點(diǎn)P作PQ//AB，有點(diǎn)Q在I上,且但@=|司.另一方面，因?yàn)槠矫媾ca

垂直，那么I1平面，有/，A5,所以/，PQ.于是截口曲線是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，/為準(zhǔn)線的拋物線.

圖⑤

二、題型精講精練

1.平行、垂直有關(guān)的的軌跡問題

①平行有關(guān)的軌跡問題的解題策略一

1.線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行得軌跡；

2.平行時(shí)可利用法向量垂直關(guān)系求軌跡.

②垂直有關(guān)的軌跡問題的解題策略

1.可利用線線線面垂直，轉(zhuǎn)化為面面垂直，得交線求軌跡;

2.利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡；

3.利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡.

【典例1］如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方體480-48（01中，E、F、G、H、N分別是CCi、CiDi>DDi、

CD、8c的中點(diǎn)，M在四邊形EFGH邊上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若〃面48。，則點(diǎn)/軌跡的長(zhǎng)度是（）

A.gaB.垃aC.叵D.叵

22

【答案】D

【分析】連接GH、HN,有GH〃BAi,HN//BD,證得面4/0〃面GHN,由已知得點(diǎn)M須在線段GH

上運(yùn)動(dòng)，即滿足條件，由此可得選項(xiàng).

【詳解】解：連接GH、HN、GN,..?在邊長(zhǎng)為a的正方體ABCO-AiHCiOi中，E、F、G、H分別是CG、

DDi,的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，

則GH//BAi,HN//BD,又GHu面AiBD,BAiu面所以G"〃面AyBD,同理可證得NH〃面AiBD,

又GHcHN=H,.,.面430〃面GHN,

又?點(diǎn)M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),MN//面AXBD,

則點(diǎn)拉須在線段GH上運(yùn)動(dòng)，即滿足條件，GH=^a,則點(diǎn)拉軌跡的長(zhǎng)度是比

22

［典例2］在正方體ABCD-A^C,D,中，Q是正方形B'BCa內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，AQ，8G,則。點(diǎn)的軌跡是（）

A.點(diǎn)與B.線段2。C.線段與GD.平面ABCG

【答案】B

【分析】如圖，連接AC,證明BCJB]Q,又BCJB{C,即得解.

【詳解】

如圖，連接4C,

因?yàn)?，AQ,，A旦,AQn4瓦=A，A。,A旦u平面4用。，所以BQ1平面A^Q，又用QU平面

W,

所以Z?G，BQ,又BG，BC.所以點(diǎn)Q在線段BC上.故選：B

2.距離、角度有關(guān)的的軌跡問題

①距離有關(guān)的軌跡問題的解題策略

1.距離，可轉(zhuǎn)化為在一個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助于圓錐曲線定義或者球和圓的定義等知識(shí)求

解軌跡；

2.利用空間坐標(biāo)計(jì)算求軌跡.

②角度有關(guān)的軌跡問題的解題策略

1.直線與面成定角，可能是圓錐側(cè)面；

2.直線與定直線成等角，可能是圓錐側(cè)面；

3.利用空間坐標(biāo)系計(jì)算求軌跡.

【典例3］已知正方體ABCD-AbBCiOi的棱長(zhǎng)為1,尸為底面A2CD內(nèi)一點(diǎn)，若尸到棱CD,Aid距離相

等的點(diǎn)，則點(diǎn)尸的軌跡是（）

A.直線B.橢圓C.拋物線D.雙曲線

【答案】D

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-邙，求出點(diǎn)尸的軌跡方程即可判斷.

【詳解】

如圖示，過P作與E,過尸作于F,過戶作FG〃44i交Aid于G,連結(jié)PG,由題意

可知PE=PG

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。-^yz,設(shè)P（x,y,0）,由PE=PG得：

…卜什+0,平方得：（了_1）2一丁=1即點(diǎn)p的軌跡是雙曲線.故選：D.

【典例4】正方體ABC。-A4G2中，M,N分別為AB,A耳的中點(diǎn)，P是邊CQ】上的一個(gè)點(diǎn)（包括

端點(diǎn)），。是平面PM可上一動(dòng)點(diǎn)，滿足直線MN與直線AN夾角與直線MN與直線N。的夾角相等，則

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.拋物線或雙曲線

【答案】D

【分析】根據(jù)題設(shè)分析可知：。點(diǎn)軌跡為以AN為母線，為軸，AB為底面直徑的圓錐體，及其關(guān)于Aq

反向?qū)ΨQ的錐體與平面尸田4的交線，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合平面與雙錐面相交所成曲線的性質(zhì)判斷。所在軌

跡的形狀.

【詳解】由題設(shè)，Q點(diǎn)軌跡為以⑷V為母線，為軸，為底面直徑的圓錐體，及其關(guān)于A4反向?qū)?/p>

稱的錐體與平面用的交線，如下圖示：

當(dāng)P是邊G2上移動(dòng)過程中，只與下方錐體有相交，。點(diǎn)軌跡為拋物線；

當(dāng)尸是邊C2上移動(dòng)過程中，與上方錐體也有相交，。點(diǎn)軌跡為雙曲線；

D

3.翻折有關(guān)的的軌跡問題

①翻折有關(guān)的軌跡問題的解題策略

1.翻折過程中尋找不變的垂直的關(guān)系求軌跡

2.翻折過程中尋找不變的長(zhǎng)度關(guān)系求軌跡

3.可以利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡

【典例5】1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家。劭d“沅利用圓錐曲線的兩個(gè)內(nèi)切球，證明了用一個(gè)平面去截圓錐，

可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)了橢圓截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性.在生

活中，有一個(gè)常見的現(xiàn)象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會(huì)形成橢圓.這是由于光線形成的圓

錐被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面.如圖，在地面的某個(gè)占A正上方有一個(gè)點(diǎn)光源，將小球放置在地面，使

得AA與小球相切.若AA=5,小球半徑為2,則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（）

廠

Bi

【答案】A

【分析】設(shè)&K=彳,從而可得的=5,A4=x+2,AA,=x+3,利用勾股定理可得x=10,再由離心

率的定義即可求解.

【詳解】在4中，設(shè)4耳=x,。&=兀

=5,=x+2,AA,=x+3,52+(x+2)2=(x+3)2,

一c2

/.x=10,J長(zhǎng)軸長(zhǎng)44=2〃=12,a=6。=6—2=4貝！|離心率e=—二—?故選：A

fa3

【題型訓(xùn)練2-刷模擬】

1.平行、垂直有關(guān)的的軌跡問題

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）正四棱錐S-MCD的底面邊長(zhǎng)為2,高為2,E是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在

表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持尸E,AC,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡的周長(zhǎng)為（）

A.76+72B.A/6-V2C.4D.V5+1

【答案】A

【分析】由題意，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為過E且垂直AC的平面與正四棱錐S-ABCD的交線，再根據(jù)線面垂直的

性質(zhì)求解即可.

【詳解】如圖，設(shè)AC即交于。，連接SO,由正四棱錐的性質(zhì)可得，SO,平面ABCD因?yàn)锳Cu平面

ABCD,故SO_LAC.

又3O_LAC,SOcBD=O,SO,8Du平面SBD,故AC_L平面S8D.

由題意，PELAC則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為過E且垂直AC的平面與正四棱錐S-ABCZ）的交線，即如圖EFG,

則ACl^EFG.

由線面垂直的性質(zhì)可得平面S3D//平面E尸G,又由面面平行的性質(zhì)可得EG//S3,GF//SD,EF//BD,

又E是邊3C的中點(diǎn)，故EG,GF,EF分另lj為△SBGASOCABC。的中位線.

由題意BD=2血,SB=SD=4爰+2=?，故EG+EF+GF=；距+屈+2叫=底+也.

即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為76+72.

故選：A

2.（2023?安徽滁州?安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱中，AB=1,M=4,E

為。A中點(diǎn)，p為正四棱柱表面上一點(diǎn)，且GP±BXE,則點(diǎn)月的軌跡的長(zhǎng)為（）

A.V5+V2B.2V2+V2C.275+72D.713+5/2

【答案】A

【分析】根據(jù)給定的條件，結(jié)合正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征，作出過點(diǎn)G垂直于與E的正四棱柱的截面即可計(jì)算

作答.

【詳解】在正四棱柱ABC。-AMGA中，連接42,如圖，￡2，平面4再62，

因?yàn)锳Gu平面44GR,貝）石214G，又BR.ERU平面EBR,

ERc4。=D},則AC1平面EBR,又BiEu平面EBR,則±BXE,

取CG中點(diǎn)尸，連接在平面BCG4內(nèi)過G作。口，片尸，交8片于G,顯然所//￡>&,

而2G,平面BCCB,則EF1平面BCC\B\,有g(shù)G工EF,

又BiEFEu平面BFE,FEcBF=F,于是CQ，平面,而瓦Eu平面男尸E,因此CQL耳E,

因?yàn)镚G，GAu平面CC4，GAcCQ=G,從而用EJ■平面CQA，

連接4G,則點(diǎn)P的軌跡為平面GGA與四棱柱的交線，即△4CG,

因?yàn)?2℃+/66尸=/36尸+/與?。1=9?！?即有ZB]GG=ZB|尸C],又NCRG=ZFC^,,

于是AGBQSA歹G與，有?有=盤=2,用G=:，

所以點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)為AG+JG+AC=2J1+；+亞=石+板.

故選：A

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾

何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長(zhǎng)交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)

中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.

3.（2023?江西贛州?統(tǒng)考二模）在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-ABIG，中，點(diǎn)尸滿足麗=4Q,E,尸分

別為棱BC,CD的中點(diǎn)，點(diǎn)。在正方體48CD-A耳GA的表面上運(yùn)動(dòng)，滿足A。”面由，則點(diǎn)。的軌跡

所構(gòu)成的周長(zhǎng)為（）

A,也B.2扃C.旭D.晅

333

【答案】D

【分析】作出輔助線，找到點(diǎn)Q的軌跡，利用勾股定理求出邊長(zhǎng)，得到周長(zhǎng).

【詳解】延長(zhǎng)交EF的延長(zhǎng)線與a,G,連接PG,PH,分別交8月，。，于R,T

過點(diǎn)A作AK〃尸G交B用于點(diǎn)K,過點(diǎn)A作AN//P"交。。于點(diǎn)N,

因?yàn)锳K<Z平面屏p,PGu平面EFP,所以AK//平面EFP,

同理可得4N〃平面￡77,

因?yàn)锳KnAN=A，所以平面EFP//平面AKN,

過點(diǎn)N作NM"AK交CC、于息M,

連接MK,則MK//4N

則平行四邊形AKMN（A點(diǎn)除外）為點(diǎn)。的軌跡所構(gòu)成的圖形，

因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為4,E,歹分別為棱BC,C。的中點(diǎn)，M=4AP,

所以AP=1m=￡>7=g,

12

因?yàn)?=KR=NT=3,所以4K=AN=4—3—；=（,

2

過點(diǎn)N作N/J_CG于點(diǎn)J,則CJ=RN=],

2224

則由幾何關(guān)系可知JM=^K=m，所以GM=[+]=§,

由勾股定理得AK=A、N=MN=MK={N『+JM。=J16+,=2手

所以點(diǎn)Q的軌跡所構(gòu)成的周長(zhǎng)為也.

3

故選：D

4.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖所示，正方體ABC。-AqG。的棱長(zhǎng)為2,E,尸分別為人4，48的

中點(diǎn)，點(diǎn)尸是正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，若GP〃平面CREF,則尸點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡長(zhǎng)度為

()

A.72+75B.A/2+2A/5C.2亞+君D.2忘+2巡

【答案】B

【分析】要滿足C/〃平面CR班"只需要尋找一個(gè)平面，使該平面經(jīng)過C-且與平面CREF平行即可，取

2月的中點(diǎn)G,4月的中點(diǎn)H,連結(jié).證明出面C|HG//面C2EB.得到P點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌

跡為三角形GHG,求出周長(zhǎng)即可.

【詳解】取B片的中點(diǎn)G,A片的中點(diǎn)H,連結(jié)GH,CIGCH,ABEG,HF.

正方體ABCD-AgGA的棱長(zhǎng)為2.E,￡G,H為中點(diǎn)，所以所〃A0G/f//A.B，所以EF〃GH且

EF=GH=yfl.

因?yàn)闉榉謩e為AB，A片的中點(diǎn)，所以H///CC,且M=CG，所以四邊形MGC為平行四邊形，所以

HCJICF.

因?yàn)镠CX<Z面CD{EF,CFu面CREF,所以8C"/面CD{EF.

同理可證：HG〃面CQEF.

又,HQu面CfiH,GAi面CfiH,

所以面GHG//面CREF.

所以尸點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡為三角形G^G.

因?yàn)檎襟wABCD-A與C口的棱長(zhǎng)為2,所以HQ=GG=戶手=亞,

所以三角形G?G的周長(zhǎng)為G8+HC|+GC[=0+括+6=0+26.

故選：B

5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-4與￡。中，M,N分別為BR,8G的中點(diǎn),

點(diǎn)尸在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足〃平面CNR,則下列說法正確的是（）

B.線段MP的最大值為也

2

C.點(diǎn)P的軌跡是正方形D.點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為2+6

【答案】B

【分析】如圖，取棱3C的中點(diǎn)E,連接，進(jìn)而證明平面耳平面CNR,再結(jié)合題意可知直線與M必

過。點(diǎn)，進(jìn)而取AD中點(diǎn)八連接BRFDDE,證明歹e平面4磁即可得四邊形瓦瓦加為點(diǎn)P的軌跡,

再根據(jù)幾何關(guān)系依次判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】解：如圖，取棱BC的中點(diǎn)E,連接，

因?yàn)镸,N分別為82，8G的中點(diǎn)，

所以，在ABCR中，ME//CD,,由于腔.平面CNR,CRu平面CNR,

所以ME〃平面CNR,

因%B、N〃CE,B\N=CE,所以，四邊形CNB|E為平行四邊形，

所以，因?yàn)?。Vu平面CNR,4E(Z平面CNR,

所以，用E//平面CNR,

因?yàn)椋珺1E,MEu平面BEM,

所以，平面耳EM//平面CAR,

由于M為體對(duì)角線22的中點(diǎn),

所以，連接4M并延長(zhǎng)，直線必過。點(diǎn)，

故取A2中點(diǎn)/，連接BF，F(xiàn)D,DE,

所以，由正方體的性質(zhì)易知尸〃〃CE,FD|=CE,

所以，四邊形是平行四邊形，EF//CD,,EF=CDl,

因?yàn)?，ME//CDltME=；CD],

所以，E,EM共線，即/e平面4而，

所以，四邊形耳匹尸為點(diǎn)尸的軌跡，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

由正方體的棱長(zhǎng)為1,所以，四邊形尸的棱長(zhǎng)均為。，且對(duì)角線為斯=后，4。=6，，

所以，四邊形用ED尸為菱形，周長(zhǎng)為2石，故CD選項(xiàng)錯(cuò)誤，

由菱形的性質(zhì)知，線段M尸的最大值為工與。=3，故B選項(xiàng)正確.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于取棱BC的中點(diǎn)E,進(jìn)而證明平面4EM〃平面CNR,再根據(jù)

面面平行的性質(zhì)求解點(diǎn)尸軌跡即可求解.

6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-ABCA，拉是8片的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在正方

體內(nèi)部或表面上，且〃平面則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡所形成區(qū)域的面積是（）

A.4B.&C.1D.2

2

【答案】A

【分析】過點(diǎn)M做平面A32的平行截面，再求四邊形面積即可.

【詳解】

如圖所示E、F、G、M分別是AA、AR、4G、的中點(diǎn),

則E產(chǎn)〃AR,EM//AB,所以歷//平面AB?,EM〃平面A8R,且EFcEM=E,

所以平面482//平面￡FGM,故點(diǎn)P的軌跡為矩形EFGN.

MBiG=g,所以MG=乎，所以Sw=lx[=*.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查面面平行的判定和面面平行的性質(zhì)，以及正方體的截面問題，屬綜合中檔題.

二、填空題

7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，為圓柱下底面圓。的直徑，C是下底面圓周上一點(diǎn)，已知

TT

ZAOC=-,OA=2,圓柱的高為5.若點(diǎn)O在圓柱表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足則點(diǎn)。的軌跡所圍成圖

形的面積為.

【答案】10

【分析】先推出3C，平面設(shè)過A的母線與上底面的交點(diǎn)為E,過C的母線與上底面的交點(diǎn)為產(chǎn)，

連斯,CfAC,推出3C1平面ACE,從而可得點(diǎn)。的軌跡是矩形的C,計(jì)算這個(gè)矩形的面積即可得解.

【詳解】因?yàn)槭菆A柱下底面圓。的直徑，所以3c±AC,

又3CJ_A￡>,ACp|A￡)=A,4。,4。<=平面4?￡),所以3cl平面ACD,

設(shè)過A的母線與上底面的交點(diǎn)為E,過C的母線與上底面的交點(diǎn)為產(chǎn)，連EGCEAC,

E'F二

,D

C

因?yàn)锳E_L平面ABC,3Cu平面ABC,所以AE_L8C,

因?yàn)锳Er|AC=A,ACE,所以8cl平面ACE,

所以點(diǎn)。在平面ACE內(nèi)，又點(diǎn)。在圓柱的表面，所以點(diǎn)。的軌跡是矩形AEFC,

TT

依題意得AE=5,OA=OC=2,ZAOC^-,所以AC=2,

所以矩形AEFC的面積為5x2=10.

故點(diǎn)D的軌跡所圍成圖形的面積為10.

故答案為：10.

8.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知正方體ABC。-4與￡A的棱長(zhǎng)為有，動(dòng)點(diǎn)尸在VABC內(nèi)，滿足

可=由,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為

【答案】|

【分析】確定正方體ABCD-A耳￡2對(duì)角線22與VABC的交點(diǎn)E,求出EP確定軌跡形狀，再求出軌跡

長(zhǎng)度作答.

【詳解】在正方體ABCD-A4G。中，如圖,

ORC2。=Z),?？?2。u平面BDD],于是AC，平面BDD,,又BRu平面BDDX,

則AC22，同理而ACQA耳=A,AC,451u平面明C,因此平面做C,

令2