《工程力學》課件第8章

第8章梁的變形分析與剛度問題

8.1引言8.2梁變形的基本方程8.3積分法求梁的變形8.4疊加法求梁的變形8.5梁的剛度條件與合理剛度設計8.1引言

1.工程中的彎曲變形問題精密機床的主軸變形過大將影響加工精度(圖8.1)。軋鋼機軋輥的彎曲將使軋出的鋼板厚度不均勻(圖8.2)。細長軸的車削加工對車工來說是高難度工作，在車刀的橫向車削力作用下，靠近兩端支承處軸的彎曲變形小而中部彎曲變形大，很容易將軸加工成兩頭細中間粗(圖8.3)。若鐵路橋梁變形過大，則在火車通過時將引起很大振動。高精度高速機械中，過大的變形能引起運動零件之間的相互干涉和振動。圖8.1圖8.2圖8.3另一方面，有些構件(如彈簧)主要是根據(jù)變形而設計的。例如：汽車的鋼板彈簧利用較大的彎曲變形來減振(圖8.4)；扭矩扳手利用把手的彎曲變形來測量扭矩的大小(圖8.5)；熱繼電器中的雙金屬片則利用彎曲變形完成斷路操作；車床上的割刀往往做成彎頭形狀，為的是使它遇到被切割零件上的硬點時能自動“讓刀”，即刀桿變形使切削深度減小，以免刀頭因切削力突然增加而折斷(圖8.6)。圖8.4圖8.5圖8.6

2.彎曲變形的描述為研究等直梁在對稱彎曲時的位移，取梁在變形前的軸線為x軸，垂直向上的軸為y軸，而xy平面即為梁上荷載作用的縱向?qū)ΨQ平面(圖8.7)。梁在對稱彎曲變形后，其軸線將變形成在xy平面內(nèi)的平面曲線AC1B，如圖8.7所示。度量梁變形后橫截面位移的兩個基本量是：橫截面形心(即軸線上的點)在垂直于x軸方向的線位移w，稱為該截面的撓度；橫截面對其原來位置的角位移θ，稱為該截面的轉(zhuǎn)角。由于梁變形后的軸線是一條光滑的連續(xù)曲線AC1B，橫截面仍與曲線保持垂直，因此，橫截面的轉(zhuǎn)角θ也就是曲線在該點處的切線與x軸之間的夾角。圖8.7在第7章中已知，度量等直梁彎曲變形程度的是曲線AC1B的曲率。但由于曲率難以度量，且在工程實際中，梁的變形程度還要受到支座約束的影響，而橫截面的位移量w和θ不僅與曲率的大小有關，同時還與梁的支座約束有關，因此，通常就用這兩個位移量來反映梁的變形情況。應當指出，梁軸線彎曲成曲線后，在x軸方向也是有線位移的。僅在小變形情況下，梁的撓度遠小于跨長，梁變形后的軸線是一條平坦的曲線，橫截面形心沿x軸方向的線位移與撓度相比屬于高階微量，可略去不計。因此，在選定坐標系后，梁變形后的軸線(即曲線AC1B)可表達為w=f(x)

(8.1)式中，x為梁在變形前軸線上任一點的橫坐標；w為該點的撓度。梁變形后的軸線稱為撓曲線，由于是在線彈性范圍內(nèi)的撓曲線，因此也稱為彈性曲線。表達式(8.1)則稱為撓曲線(或彈性曲線)方程。由方程(8.1)還可求得轉(zhuǎn)角θ的表達式。因為撓曲線是一平坦曲線，故有θ≈tanθ=w′=f′(x)

(8.2)亦即撓曲線上任一點處切線的斜率w′即可足夠精確地代表該點處橫截面的轉(zhuǎn)角θ。表達式(8.2)可稱為轉(zhuǎn)角方程。8.2梁變形的基本方程在建立純彎曲正應力公式時已經(jīng)得到，用中性層曲率表示的彎曲變形公式為一般工程上常用的梁跨長l往往大于截面高度的10倍，故在橫力彎曲時，剪力對梁變形的影響很小，可以忽略不計。所以，上式對非純彎曲情況也適用。但這時的M和ρ都是x的函數(shù)，即另外，由高等數(shù)學可知，撓曲軸w=w(x)上任一點的曲率為于是得如前節(jié)所述，在小變形情況下，是一個很小的量，是更高階小量，可近似取1+≈1。于是上式可近似寫為式(8.3)稱為撓曲線近似微分方程。當規(guī)定w軸向上為正(圖8.8)，彎矩仍采用第7章中的正負號規(guī)定，則不論x坐標軸向左或是向右，式(8.3)中均取正號。圖8.8于是，撓曲線近似微分方程可進一步寫為8.3積分法求梁的變形由以上分析得撓曲線近似微分方程為將上述方程相繼積分兩次，依次得:式中，C與D為積分常數(shù)。積分常數(shù)可利用梁上某些截面的已知位移來確定。梁截面的已知位移條件或位移約束條件稱為梁位移的邊界條件。例如，在固定端處，橫截面的撓度與轉(zhuǎn)角均為零，即w=0，θ=0在鉸支座處，橫截面的撓度為零，即w=0在集中力作用處，由于梁必須是光滑連續(xù)的，梁撓曲線既不可能間斷，也不可能有折點，因此該點處兩側的撓度相等、轉(zhuǎn)角相等：w1=w2θ1=θ2如果兩根梁由中間鉸連接，撓度曲率在中間鉸處，撓度連續(xù)，但轉(zhuǎn)角不連續(xù)，即中間鉸處兩側的撓度相等，轉(zhuǎn)角不相等：w1=w2θ1≠θ2積分常數(shù)確定后，將其代入式(8.5)與(8.4)，即得梁的撓曲線方程w=f(x)與轉(zhuǎn)角方程由此可求出任一橫截面的撓度與轉(zhuǎn)角。當彎矩方程需要分段建立或彎曲剛度沿梁軸變化，以致其表達式需要分段建立時，撓曲線近似微分方程也需要分段建立，而在各段的積分中，將分別包含兩個積分常數(shù)。為了確定這些常數(shù)，除利用位移邊界條件外，還應利用分段處撓曲線的連續(xù)、光滑條件，這是因為在相鄰梁段的交接處，相連兩截面應具有相同的撓度與轉(zhuǎn)角。分段處撓曲線所應滿足的連續(xù)、光滑條件，簡稱為梁位移的連續(xù)條件。對于分段數(shù)為n的靜定梁，求解時將包含2n個積分常數(shù)。但由于存在n－1個分界面，因而將提供2(n－1)個連續(xù)條件，再加上兩個位移邊界條件，共2n個約束條件，恰好可用于確定2n

個積分常數(shù)。由此可見，梁的位移不僅與彎矩及梁的彎曲剛度有關，而且與梁位移的邊界條件及連續(xù)條件有關。

【例8.1】圖8.9所示懸臂梁，在其自由端受一集中力F的作用。已知EI為常數(shù)，試求梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。圖8.9

解

(1)列彎矩方程。

x處橫截面的彎矩為M(x)=－F(l－x)

(2)列撓曲線近似微分方程并積分。通過兩次積分，得(a)(b)撓度方程為(c)(d)

(3)確定積分常數(shù)。懸臂梁在固定端處的撓度和轉(zhuǎn)角都等于0，故邊界條件為：在x=0處，w=0，θ=0。將其代入式(a)和式(b)，可解得C=0，D=0。

(4)確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程。轉(zhuǎn)角方程為根據(jù)梁的受力及邊界條件，畫出梁的撓曲線的示意圖(見圖8.9)。

(5)求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度。最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角θmax都發(fā)生在x=l自由端處，將x=l代入式(c)及式(d)可得：

【例8.2】圖8.10所示簡支梁AB，承受矩為Me的集中力偶作用，試計算梁的最大撓度。設彎曲剛度EI為常數(shù)。圖8.10

解(1)計算支反力。由平衡方程∑MB=0與∑MA=0，得鉸支座A與B的支反力分別為:

(2)建立撓曲線近似微分方程并積分。梁的彎矩方程為所以，撓曲線近似微分方程為經(jīng)積分，得(a)(b)

(3)建立轉(zhuǎn)角與撓度方程。梁兩端鉸支座處的撓度均為零，即：在x=0處，w=0在x=l處，w=0將上述邊界條件分別代入式(b)，得將所得積分常數(shù)代入式(a)與(b)，得梁的轉(zhuǎn)角與撓度方程分別為：(c)(d)

(4)計算最大撓度。撓曲線的大致形狀如圖8.10所示，最大撓度處的轉(zhuǎn)角為零。于是，由式(c)并令得最大撓度所在截面的橫坐標為將xD值代入式(d)，于是得梁的最大撓度為

【例8.3】承受集中載荷作用的簡支梁如圖8.11(a)所示，EI為常數(shù)。試求此梁的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。圖8.11

解

(1)列彎矩方程。用平衡方程求得

，

。因集中荷載F將梁分為兩段，各段的彎矩方程不同，故需分別寫出它們的彎矩方程，即:

(2)列撓曲線近似微分方程并積分。(b)(c)(d)

(3)確定積分常數(shù)。對簡支梁，邊界條件為：當x1=0時，w1=0；當x2=l時，w2=0?？梢?，只能得到兩個方程，而積分常數(shù)有四個。由撓曲線的連續(xù)光滑條件可知：在交接處，左、右兩段應有相等的撓度和相同的轉(zhuǎn)角。于是，當x1=x2=a時，有θ1=θ2，w1=w2，由此可列出兩個連續(xù)條件。這樣，可由四個方程求得四個積分常數(shù)為

(4)確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程。(e)(f)(g)(h)

(5)求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度。將x1=0和x2=l

分別代入式(e)、式(g)，即得左、右兩支座處的最大轉(zhuǎn)角為：確定梁的最大撓度：簡支梁的最大撓度應發(fā)生在θ=0處。在本例中，設a＞b。當x1=0時，θ<0，當x=a時，則θ>0，即θ=0處的位置(即最大撓度位置)必定在AC段內(nèi)。令可解得將上式代入式(f)，得最大撓度為當b→0時，

(圖8.11(b))；當b=/2時，x1=0.5l(圖8.11(c))。由此可見，集中載荷F的位置對于最大撓度的位置影響并不大。故為了計算簡便，可不考慮集中載荷F的位置，均認為最大撓度發(fā)生在梁跨中點。8.4疊加法求梁的變形

1.疊加法由前述分析知，在小變形的條件下，且當梁內(nèi)應力不超過材料的比例極限時，撓曲線近似微分方程為它是一個線性微分方程。由前述分析還可知，在小變形的條件下，由于橫截面形心的軸向位移可以忽略不計，因而梁內(nèi)任一橫截面的彎矩與載荷成線性齊次關系。例如圖8.12所示的梁，任一橫截面的彎矩為即M與載荷Me、F及q

成線性齊次關系。既然撓曲線近似微分方程為線性微分方程，而彎矩又與載荷成線性齊次關系，那么，當梁上同時作用幾個載荷時，撓曲線近似微分方程的解，必等于各載荷單獨作用時撓曲線近似微分方程的解的線性組合，而由此求得的撓度與轉(zhuǎn)角也一定與載荷成線性齊次關系。由此可見，當梁上同時作用幾個載荷時，如果梁的變形很小，而且應力不超過材料的比例極限，則可利用疊加法計算梁的位移。圖8.12例如對于圖8.12所示的梁，若載荷q、F與Me單獨作用時橫截面A的撓度分別為wq、wF、

，則當它們同時作用時該截面的撓度為w=wq+wF+

為了便于工程計算，人們已經(jīng)將常見靜定梁在簡單載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角方程以及一些特定點的撓度和轉(zhuǎn)角算出，并形成手冊。疊加法就是運用疊加原理以及常見靜定梁在簡單載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角方程的計算結果，得到常見靜定梁在復雜載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角。常用簡支梁、懸臂梁受多種載荷的撓度方程、端截面轉(zhuǎn)角和最大撓度列于表8.1中，該表稱為撓度表。

【例8.4】橋式起重機大梁的自重為均布載荷，集度為q，吊重為集中力F，作用于跨度中點，如圖8.13所示。試求大梁中點處的撓度。圖8.13

解該簡支梁的變形是由均布載荷q和集中力F共同引起的。均布載荷q單獨作用時，簡支梁跨度中點的撓度由表8.1中第10欄查出為式中負號表示撓度向下。集中力F單獨作用時，簡支梁中點的撓度由表8.1中第8欄查出為故根據(jù)疊加法可知，在兩組載荷的共同作用下，跨度中點的撓度為

【例8.5】圖8.14(a)所示懸臂梁，彎曲剛度為EI，梁承受間斷性分布載荷。試利用疊加法確定自由端的撓度和轉(zhuǎn)角。

解(1)將梁上的載荷變成有表可查的情況。為利用撓度表中關于梁全長承受均布載荷的計算結果，計算自由端C處的撓度和轉(zhuǎn)角，先將均布載荷延長至梁的全長。為了不改變原來載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷，如圖8.14(b)所示。圖8.14

(2)將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各個簡單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角。圖8.14(c)和(d)所示是兩種不同的均布載荷作用情形，分別畫出這兩種情形下?lián)隙惹€的大致形狀。于是，由表8.1中關于承受均布載荷懸臂梁的計算結果，上述兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為：

(3)將簡單載荷作用的結果疊加。上述結果疊加后，得到：

【例8.6】試求圖8.15(a)所示懸臂梁自由端的撓度wA，梁各段E相同。圖8.15

解將懸梁臂沿C截面處假想截開，根據(jù)力平移法則，C處作用有集中力F和力偶矩

。此時懸臂梁BC在C處的轉(zhuǎn)角和撓度為(圖8.15(b)):由于截面C的轉(zhuǎn)角和撓度帶動CA段作剛體轉(zhuǎn)動，于是有將AC段視為懸臂梁，則AC段自身的彎曲變形產(chǎn)生撓度為因此，階梯形懸臂梁自由端A的總撓度為從上述例題可以歸納出疊加法求梁彎曲位移的解題步驟和注意事項如下：

(1)載荷的分解。要善于分解載荷，不僅多個載荷可以分解，一個載荷也存在分解的問題(如變剛度梁)，甚至可以分解成微分載荷，即無限單個載荷作用的情形。

(2)查表求解。要正確而靈活地運用撓度表中的公式，要注意公式成立的條件、各種符號的實際含義及載荷的作用方向。

(3)疊加求和。要注意是代數(shù)和，故應注意各項的正負。疊加法雖然簡單、實用、方便，但不注意上述幾點還是很容易出錯的。根據(jù)彎矩圖和彎矩的正負可判斷梁的撓曲線的形狀(凹凸性)，并由支承條件可判斷撓曲線的大致位置，從而大致繪出梁的撓曲線，這對定性檢查計算有無錯誤是很有幫助的。8.5梁的剛度條件與合理剛度設計

1.梁的剛度條件梁的變形過大，就會影響梁的正常使用，故按強度條件設計了梁的截面后，常需進一步按梁的剛度條件檢查梁的變形是否在許用的范圍以內(nèi)，進行剛度校核；若變形超過了許用值，則應按剛度條件重新選擇梁的截面。設以［w］表示許用撓度，［θ］表示許用轉(zhuǎn)角，則梁的剛度條件為：|w|max≤［w］(8.6)|θ|max≤［θ］(8.7)在各類工程中，對梁變形許用值的規(guī)定出入很大。例如，對跨度為l的橋式起重機梁，其許用撓度為在土建工程中，梁的許用撓度為對一般用途的軸，其許用撓度為在安裝齒輪或滑動軸承處，軸的許用轉(zhuǎn)角為［θ］=0.001rad其他梁或軸的許用位移值，可從有關規(guī)范或手冊中查得。

【例8.7】一簡支梁，跨度中點承受集中載荷F。已知F=35kN，跨度l=4m，許用應力［σ］=160MPa，許用撓度[w]=l/500，彈性模量E=200GPa。試選擇工字形鋼型號。

解

(1)按強度要求考慮。梁的最大彎矩為根據(jù)彎曲正應力強度條件，要求

(2)按剛度要求考慮。由表8.1中的第8欄可知，梁的剛度條件為由此得: