《電磁場(chǎng)與電磁波 》課件第5章

5.1邊值問(wèn)題分類5.2積分法5.3唯一性定理5.4分離變量法5.5鏡像法5.6有限差分法習(xí)題第5章靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法本章提要邊值問(wèn)題分類唯一性定理分離變量法鏡像法有限差分法前面我們討論了基于庫(kù)侖定律與疊加原理或高斯定理計(jì)算電場(chǎng)的方法，這些方法只能適用于已知電荷分布十分簡(jiǎn)單的問(wèn)題。實(shí)際上在電工中經(jīng)常遇到的是這樣一類問(wèn)題：給定空間某一區(qū)域內(nèi)的電荷分布(可以是零)，同時(shí)給定該區(qū)域邊界上的電位或電場(chǎng)(即邊值，或稱邊界條件)，在這種條件下求解該區(qū)域內(nèi)的電位函數(shù)或電場(chǎng)強(qiáng)度分布。從數(shù)學(xué)上來(lái)講，這些問(wèn)題都是在給定的定解條件——邊界條件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程的定解問(wèn)題，稱為邊值問(wèn)題。靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法分為解析法和數(shù)值法兩大類。用解析法得到的場(chǎng)量表達(dá)式是準(zhǔn)確值，但是它只能解決規(guī)則邊界的邊值問(wèn)題。本章主要介紹解析法，包括積分法、分離變量法、鏡像法。數(shù)值解屬于近似計(jì)算，但對(duì)于不規(guī)則邊界等復(fù)雜的靜電場(chǎng)問(wèn)題是非常有用的方法。隨著計(jì)算機(jī)的廣泛使用，數(shù)值法已成為邊值問(wèn)題求解的主要方法。由于篇幅所限，因而本章只簡(jiǎn)單介紹數(shù)值法中的一種——有限差分法。

根據(jù)給定求解區(qū)域邊界條件的不同，邊值問(wèn)題分為以下三類。

第一類邊界條件又稱狄利赫萊(Dirichlet)條件：場(chǎng)域邊界S上的電位分布已知，即

(5－1)

式中rb為相應(yīng)邊界點(diǎn)的位置矢量。

5.1邊值問(wèn)題分類第二類邊界條件又稱紐曼條件：場(chǎng)域邊界S上電位的法向?qū)?shù)分布已知，即

(5－2)

當(dāng)f2(rb)取零時(shí)，稱為第二類齊次邊界條件。第三類邊界條件又稱混合條件：場(chǎng)域邊界S上電位及其法向?qū)?shù)的線性組合已知，即

(5－3)

在實(shí)際問(wèn)題中，除了給定邊界條件外，有時(shí)還需要引入某些補(bǔ)充的物理約束條件，稱為自然邊界條件。在求解邊值問(wèn)題中，自然邊界條件非常重要，但它又不是事先給定的，必須根據(jù)問(wèn)題自行確定，舉例如下。無(wú)限遠(yuǎn)邊界條件：對(duì)于電荷分布在有限域的無(wú)邊界電場(chǎng)問(wèn)題，在無(wú)限遠(yuǎn)處有

(r)|r→∞＝0，即電位在無(wú)限遠(yuǎn)處趨于零。

介質(zhì)分界面條件：當(dāng)場(chǎng)域中存在多種媒質(zhì)時(shí)，還必須引入不同介質(zhì)分界面上的邊界條件，即用電位表示的邊界條件 和

1＝

2，此邊界條件又稱為輔助的邊界條件。

對(duì)于一些具有對(duì)稱結(jié)構(gòu)的靜電場(chǎng)問(wèn)題，電位函數(shù)僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)。靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題可歸結(jié)為常微分方程的定解問(wèn)題，這時(shí)可以直接積分求解電位函數(shù)。

【例5-1】求真空中球狀分布電荷所產(chǎn)生的空間電場(chǎng)強(qiáng)度和電位分布，設(shè)電荷體密度為

5.2積分法解設(shè)球狀電荷分布內(nèi)、外的電位分別為

1和

2。顯然，

1滿足泊松方程，

2滿足拉普拉斯方程。由于電荷分布的球?qū)ΨQ性，選取球坐標(biāo)系，因而有邊界條件為

可解得

1和

2的通解為

代入邊界條件，得

最終得到電位函數(shù)的解為

利用球坐標(biāo)系中的梯度表達(dá)式，求得

可以證明，以上結(jié)果與應(yīng)用高斯定理求得的結(jié)果完全一致。

直接積分法只能求解比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，在比較復(fù)雜的情況下，必須用其他方法求解。在討論這些方法之前，了解靜態(tài)場(chǎng)解的唯一性定理非常重要。靜態(tài)場(chǎng)解的唯一性定理：滿足給定邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。5.3唯一性定理

圖5－1包圍含有導(dǎo)體的場(chǎng)域【例5-2】證明：唯一性定理。

證明圖5－1所示為充滿均勻介質(zhì)和置有n個(gè)導(dǎo)體的場(chǎng)域。場(chǎng)域空間V的邊界為S1，S2，…，Sn及外邊界面S0。設(shè)V中存在兩個(gè)電位函數(shù)

1和

2，對(duì)于給定第一類或第二類邊界條件，均滿足泊松方程，即

(5－4)令

d＝

1－

2，因此有

2

d＝0 (5－5)

利用格林公式可得

(5－6)

令

＝Ψ＝

d，代入上式得

(5－7)式(5－7)中場(chǎng)域V的邊界面S＝S0＋S1＋S2＋…＋Sn。如果所設(shè)的這兩個(gè)不同的電位函數(shù)的解

1和

2，在全部邊界面上都應(yīng)有相同的第一類邊界條件或第二類邊界條件，則它們?cè)谙鄳?yīng)邊界面Si上的差值

將其代入式(5－7)，有

(5－8)這說(shuō)明，場(chǎng)域V內(nèi)d的梯度處處為零，即V內(nèi)所有場(chǎng)點(diǎn)上的

d值與其在各導(dǎo)體表面S1，S2，…，Sn上的值是相同的。對(duì)于第一類邊值問(wèn)題，由于在導(dǎo)體表面上已知

d＝0，因此整個(gè)場(chǎng)域內(nèi)必有

d＝0，由此得證

1＝

2，即解是唯一的。對(duì)于第二類邊值問(wèn)題而言，即已知各導(dǎo)體表面上的面電荷分布，此時(shí)

d＝C，即電位

1和

2之間可能相差一個(gè)常數(shù)，但采用相同的電位參考點(diǎn)將導(dǎo)致C＝0，所以解仍是唯一的。靜電場(chǎng)唯一性定理的重要意義在于，求解靜電場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，不論采用哪一種解法，只要在場(chǎng)域內(nèi)滿足相同的偏微分方程，在邊界上滿足相同的給定邊界條件，就可確信其解答是正確的。

當(dāng)待求電位函數(shù)是二個(gè)或三個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)時(shí)，分離變量法是直接求解偏微分方程定解問(wèn)題的一種經(jīng)典方法。對(duì)于拉普拉斯方程對(duì)應(yīng)的邊值問(wèn)題，其求解步驟是：①根據(jù)問(wèn)題中場(chǎng)域邊界的幾何形狀，選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；②設(shè)待求電位函數(shù)由兩個(gè)或三個(gè)各自僅含一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)乘積組成，并代入拉普拉斯方程，借助于“分離”常數(shù)，將拉普拉斯方程轉(zhuǎn)換為兩個(gè)或三個(gè)常微分方程；③解這些常微分方程并以給定的定解條件決定其中的待定常數(shù)和函數(shù)后，即可解得待求的電位函數(shù)。5.4分離變量法一般而言，當(dāng)場(chǎng)域邊界和某一正交曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)面相吻合時(shí)，分離變量法往往是一種簡(jiǎn)便而有效的方法。下面以直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系中的二維場(chǎng)為例說(shuō)明分離變量法的應(yīng)用。5.4.1直角坐標(biāo)系中的二維場(chǎng)問(wèn)題

設(shè)電位函數(shù)為

(x，y)，其滿足拉普拉斯方程：

(5－9)

設(shè)電位函數(shù)可寫成分離變量形式，即

(x，y)＝X(x)Y(y) (5－10)

代入拉普拉斯方程，整理得

(5－11)令

或?qū)懗?/p>

(5－12)

kx、ky稱為分離常數(shù)，且滿足

(5－13)

由式(5－13)可知，二維拉普拉斯方程在分離變量時(shí)只有一個(gè)獨(dú)立的分離常數(shù)，即kx或ky，而且它們不能同為實(shí)數(shù)或虛數(shù)，但二者可以同為零。現(xiàn)以方程

為例進(jìn)行說(shuō)明。

(1)若 ，解為

X(x)＝a0x＋b0

(5－14a)

(2)若 ，解為

(5－14b)

(3)若 ，解為

X(x)＝a3coskxx＋b3sinkxx (5－14c)

以上各式a0、b0、a1、b1、a2、b2、a3、b3均為待定常數(shù)。

Y(y)的解形式與X(x)完全相同，只是分離常數(shù)必須滿足式(5－13)要求。

當(dāng)kx、ky取不同值時(shí)，上述解的線性組合便構(gòu)成了拉普拉斯方程的通解，即

(5－15)

最后，可根據(jù)給定的邊界條件，通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)方法，確定各個(gè)待定常數(shù)?！纠?-3】長(zhǎng)直接地金屬槽的橫截面如圖5－2所示，其側(cè)壁與底面電位均為零，頂蓋電位為U0。求槽內(nèi)電位分布。

解依題意，本問(wèn)題為第一類邊值問(wèn)題，即在區(qū)域0<x<a，0<y<b滿足拉普拉斯方程

(5－16)

圖5－2長(zhǎng)直接地金屬槽的橫截面邊界條件為

(1)x＝0，

(0，y)＝0

(2)x＝a，

(a，y)＝0

(3)y＝0，

(x，0)＝0

(4)y＝b，

(x，b)＝U0

邊界條件(1)和(2)要求電位在x＝0、x＝a處為零，式(5－14a)和式(5－14c)都不滿足邊界條件，X(x)的解只能是三角函數(shù)，即

X(x)＝a1sinkxx＋b1coskxx將邊界條件(1)

|x＝0＝0代入上式，得b1＝0，再將邊界條件(2)

|x＝a＝0代入，有

sinkxa＝0

即kxa＝nπ或kx＝nπ/a(n＝1，2，3，…)，這樣得到X(x)＝a1sin(nπx/a)。由于 ，Y(y)的形式為指數(shù)函數(shù)或雙曲函數(shù)，即

Y(y)＝c1shkxy＋d1chkxy

考慮到邊界條件(3)

|y＝0＝0，有d1＝0，Y(y)＝c1sh(nπy/a)，這樣我們就可得到X(x)Y(y)的基本乘積解：

(5－17)

上式滿足拉普拉斯方程式(5－16)和邊界條件(1)、(2)、(3)，Cn是待定常數(shù)(Cn＝a1c1)。

為了滿足邊界條件(4)，取不同的n值對(duì)應(yīng)的n并疊加，即

(5－18)

由邊界條件(4)，有

|y＝b＝U0，得

(5－19)其中：

要從式(5－19)解出Bn，需要使用三角函數(shù)的正交歸一性，即

(5－20)將式(5－19)左右兩邊同乘以 ，并在區(qū)間(0，a)積分，有

使用公式(5－20)，有

因而

(5－21)所以，當(dāng)n＝1，3，5，…時(shí)，有

當(dāng)n＝2，4，6，…時(shí)，有

Cn＝0

這樣得到待求區(qū)域的電位為

(5－22)

本問(wèn)題的等位線分布如圖5－2中虛線所示。5.4.2圓柱坐標(biāo)系中的二維場(chǎng)問(wèn)題

對(duì)于具有柱面邊界的問(wèn)題，我們可在柱面坐標(biāo)系中寫出其支配方程。柱面坐標(biāo)中，標(biāo)量電位的拉普拉斯方程為

(5－23)式(5－23)對(duì)二維場(chǎng)

與z無(wú)關(guān)，在此情況下， 這時(shí)拉普拉斯方程變成二維方程，即

(5－24)

采用分離變量法，假設(shè)

(r，

)＝R(r)Φ(

) (5－25)

其中R(r)和Φ(

)分別只是r和

的函數(shù)，把式(5－25)代入式(5－24)，并除以R(r)Φ(

)，得

(5－26)其中式(5－26)左邊第一項(xiàng)只是r的函數(shù)，而第二項(xiàng)只是

的函數(shù)(注意，常導(dǎo)數(shù)已代替了偏導(dǎo)數(shù))。若要式(5－26)對(duì)所有的r和

值都成立，則其中的每一項(xiàng)必須是常數(shù)，而且為另一項(xiàng)的負(fù)值，即有

(5－27a)

(5－27b)

式(5－27b)可以寫成

(5－28)式(5－28)的形式與式(5－12)相同，它的解可以是式(5－14)的任何一種。對(duì)圓柱形情況，電位函數(shù)Φ(

)是

的周期函數(shù)，因此不能用雙曲函數(shù)。實(shí)際上因?yàn)?/p>

∈(0，2π)，所以k必須是整數(shù)。令k等于n，則合適的解是

Φ(

)＝a

sinn

＋b

cosn

(5－29)

其中a

和b

是任意常數(shù)。

將n代入式(5－27a)，有

(5－30)式(5－30)的解是

(5－31)

將式(5－29)和(5－31)的解相乘，得到與z無(wú)關(guān)的拉普拉斯方程式(5－24)的通解，即

(5－32)

其中，任意常數(shù)An、Bn、Cn、Dn、C0和D0由邊界條件確定?！纠?-4】如圖5－3所示，假設(shè)同軸電纜內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，電位為U0，接地外導(dǎo)體的半徑為b，求二導(dǎo)體之間的空間電位分布。

解假設(shè)解與z無(wú)關(guān)，且根據(jù)對(duì)稱性，也與

無(wú)關(guān)(n＝0)。因此，電位只是r的函數(shù)，并由式(5－32)給出。

邊界條件是

(b)＝0 (5－33a)

(a)＝

0 (5－33b)圖5－3同軸電纜截面圖把式(5－33a)和式(5－33b)代入式(5－32)，得方程組

(5－34)

解方程組得

兩導(dǎo)體之間的電位分布為

(5－35)

顯然，等電位面是一些同軸圓柱面。

有一類靜電問(wèn)題，如果直接求解其支配方程——拉普拉斯方程，很難滿足邊界條件，但是這些問(wèn)題的邊界條件，可以用適當(dāng)?shù)溺R像(等效)電荷建立起來(lái)，直接求出其電位分布，使計(jì)算過(guò)程得以簡(jiǎn)化。根據(jù)唯一性定理可知，這些等效電荷的引入必須維持原問(wèn)題邊界條件不變，以保證原場(chǎng)域中的靜電場(chǎng)分布不變。通常這些等效電荷位于鏡像位置，故稱鏡像電荷，由此構(gòu)成的分析方法即稱為鏡像法。5.5鏡像法考察一位于無(wú)限大接地導(dǎo)電平面(零電位)上方，距離平面為d處的正點(diǎn)電荷q的情況，要求出導(dǎo)電平面之上(z>0)的區(qū)域中每一點(diǎn)的電位。通常的求解方法是在直角坐標(biāo)中解拉普拉斯方程：

(5－36)

此方程適用于除了點(diǎn)電荷以外的整個(gè)z>0區(qū)域。解(x，y，z)應(yīng)滿足下列條件：

(1)在接地平面的所有點(diǎn)上，電位為零，即(x，y，z)＝0(2)在很靠近q的點(diǎn)上，其電位趨近于單個(gè)點(diǎn)電荷的電位，即

其中r是該點(diǎn)與q之間的距離。

(3)在離q非常遠(yuǎn)的點(diǎn)(x→±∞，y→±∞或z→＋∞)上，電位趨于零。

(4)電位函數(shù)是x和y坐標(biāo)的偶函數(shù)，即

由此看來(lái)，構(gòu)造一個(gè)滿足所有這些條件的解，確實(shí)是很困難的。從另一個(gè)觀點(diǎn)來(lái)看，在z＝d處存在正電荷q，它將在導(dǎo)體平面的表面感應(yīng)出負(fù)電荷，產(chǎn)生面電荷密度ρS。因此，導(dǎo)體平面上方各點(diǎn)的電位將是

其中r為從dS到所考察點(diǎn)的距離，而S為整個(gè)導(dǎo)體平面的表面。這里的問(wèn)題在于，必須首先根據(jù)邊界條件(x，y，0)＝0求出ρS。而且，即使求出了導(dǎo)體平面每一點(diǎn)的ρS，計(jì)算上式的面積分也是困難的。下面我們通過(guò)例題說(shuō)明使用鏡像法如何大大地簡(jiǎn)化這些問(wèn)題。5.5.1對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)電平面的鏡像

1．點(diǎn)電荷和導(dǎo)體平面

【例5-5】設(shè)有一點(diǎn)電荷q位于距無(wú)限大接地導(dǎo)電平面上方h處，其周圍介質(zhì)的介電常數(shù)為ε，如圖5－4所示。求導(dǎo)體平面上方區(qū)域空間點(diǎn)的電位。

解根據(jù)題意可知，電位函數(shù)在場(chǎng)域內(nèi)滿足如下邊值問(wèn)題：

2

＝0 (除去點(diǎn)電荷所在點(diǎn))

邊界條件為

|z＝0＝0圖5－4點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)電平面的鏡像(a)無(wú)限大接地導(dǎo)電平面上的點(diǎn)電荷；(b)點(diǎn)電荷的鏡像可以設(shè)想，在場(chǎng)域邊界外引入一個(gè)與點(diǎn)電荷q呈鏡像對(duì)稱的點(diǎn)電荷q′＝－q，并將原來(lái)的導(dǎo)體場(chǎng)域用介電常數(shù)為ε的介質(zhì)所替換。這樣，原場(chǎng)域邊界面(z＝0)上的邊界條件＝0保持不變，而對(duì)應(yīng)的邊值問(wèn)題被簡(jiǎn)化為同一均勻介質(zhì)ε空間內(nèi)兩個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)計(jì)算問(wèn)題。根據(jù)唯一性定理可知，其解的有效區(qū)域僅限于圖5－4(b)所示上半部分介質(zhì)場(chǎng)域。應(yīng)用鏡像法，得待求電位為

(5－37)

用直接代入法，很容易證明式(5－37)的(x，y，z)滿足式(5－36)的拉普拉斯方程。顯然，它也滿足列于式(5－36)后面的所有四個(gè)條件，因此式(5－37)是原問(wèn)題的解，而且鑒于唯一性定理，它是唯一的解。無(wú)限大接地導(dǎo)電平面上感應(yīng)電荷的面密度分布為

式中負(fù)號(hào)表示感應(yīng)電荷與點(diǎn)電荷q的極性相反。對(duì)感應(yīng)電荷作面積分，得

上式表明鏡像電荷q′確實(shí)等效于無(wú)限大接地導(dǎo)電平面上的全部感應(yīng)電荷?！纠?-6】如圖5－5(a)所示，正點(diǎn)電荷Q與兩個(gè)接地且互相垂直的導(dǎo)體半平面的距離分別為d1和d2，求平面上的感應(yīng)電荷作用在Q上的力。

解采用鏡像法求解，鏡像電荷有三個(gè)，如圖5－5(b)所示。點(diǎn)電荷Q所受力為F1、F2、F3矢量之和，見(jiàn)圖5－5(c)，即

圖5－5點(diǎn)電荷和互相垂直的導(dǎo)體平面(a)實(shí)際布置圖；(b)實(shí)際鏡像電荷布置；(c)作用在電荷Q上的力

2．線電荷和導(dǎo)體平面

不難看到，位于無(wú)窮大導(dǎo)體平面上方的線電荷τ的電場(chǎng)，可以根據(jù)τ和它的鏡像－τ求出(導(dǎo)體平面已不存在)。

【例5-7】求圖5－6所示線電荷τ及其鏡像電荷，求空間電位函數(shù)。

解由高斯定理得點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度為

圖5－6線電荷的鏡像(a)線電荷對(duì)無(wú)限大接地平面；(b)線電荷的鏡像現(xiàn)任取點(diǎn)Q為電位參考點(diǎn)，則點(diǎn)P電位為

根據(jù)邊界條件，在無(wú)限大接地導(dǎo)電平面上，即ρ1＝ρ2時(shí)，

＝0，代入上式，得C＝0。

場(chǎng)中任意點(diǎn)電位為5.5.2對(duì)無(wú)限大介質(zhì)平面的鏡像

對(duì)于圖5－7所示無(wú)限大介質(zhì)平面上的點(diǎn)電荷邊值問(wèn)題也可采用鏡像法。上、下半無(wú)限空間中的電場(chǎng)是由點(diǎn)電荷q及其分界面上的束縛電荷共同產(chǎn)生的。對(duì)于介質(zhì)為ε1的上半空間的電場(chǎng)計(jì)算，其分界面上的束縛電荷可歸結(jié)為在均勻介質(zhì)ε1中的鏡像點(diǎn)電荷q′；對(duì)于介質(zhì)為ε2的下半空間的電場(chǎng)計(jì)算，其分界面上的束縛電荷可歸結(jié)為在均勻介質(zhì)ε2中的點(diǎn)電荷q″。鏡像電荷q′和q″的量值，可以通過(guò)分界面上的邊界條件確定如下。對(duì)于分界面上任意點(diǎn)P，由其上的邊界條件E1t＝E2t和D1n＝D2n，得

對(duì)于線電荷τ與無(wú)限大介質(zhì)平面系統(tǒng)的電場(chǎng)，可類比推得。

圖5－7無(wú)限大介質(zhì)平面鏡像(a)無(wú)限大介質(zhì)平面上的點(diǎn)電荷；(b)上半空間電場(chǎng)計(jì)算的鏡像；(c)下半空間電場(chǎng)計(jì)算的鏡像

前幾節(jié)討論了求解拉普拉斯方程的解析法。但是對(duì)大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題，住往邊界形狀復(fù)雜，很難用解析法求解，為此需使用數(shù)值方法。目前已發(fā)展了許多有效的求解邊值問(wèn)題的數(shù)值方法，有限差分法是一種較易使用的數(shù)值方法。5.6有限差分法有限差分法的思想是將場(chǎng)域離散為許多網(wǎng)格，應(yīng)用差分原理——差分方程代替各個(gè)點(diǎn)的偏微分方程，這樣得到的任意一個(gè)點(diǎn)的差分方程是將該點(diǎn)的電位與其周圍幾個(gè)點(diǎn)相聯(lián)系的代數(shù)方程，對(duì)于全部的待求點(diǎn)，就得到一個(gè)線性方程組，從而將求解連續(xù)函數(shù)的微分方程問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的代數(shù)方程組問(wèn)題。

本節(jié)簡(jiǎn)要說(shuō)明有限差分法的基本原理，并以二維拉普拉斯方程的第一類邊值問(wèn)題為例，說(shuō)明有限差分法的求解過(guò)程。5.6.1差分表示式

在xOy平面把所求解區(qū)域劃分為若干相同的小正方形格子，每個(gè)格子的邊長(zhǎng)都為h，如圖5－8所示。假設(shè)某頂點(diǎn)0上的電位是0，周圍四個(gè)頂點(diǎn)的電位分別為1、2、3和4，將這幾個(gè)點(diǎn)的電位用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，就有

(5－38)

(5－39)

圖5－8劃分求解區(qū)域當(dāng)h很小時(shí)，忽略四階以上的高次項(xiàng)，得

(5－40)

同理，也可得到

(5－41)

將式(5－40)與式(5－41)相加，并考慮

(5－42)

式(5－42)表明，任一點(diǎn)的電位等于它周圍四個(gè)點(diǎn)電位的平均值。顯然，h越小，計(jì)算越精確。如果待求N個(gè)點(diǎn)的電位，就需解含有N個(gè)方程的線性方程組。若點(diǎn)的數(shù)目較多，則用迭代法較為方便。

5.6.2差分方程的數(shù)值解法

如前所述，平面區(qū)域內(nèi)有多少個(gè)節(jié)點(diǎn)，就能得到多少個(gè)差分方程。當(dāng)這些節(jié)點(diǎn)數(shù)目較大時(shí)，使用迭代法求解差分方程組比較方便。

1．簡(jiǎn)單迭代法

用迭代法解二維電位分布時(shí)，將包含邊界在內(nèi)的節(jié)點(diǎn)均以雙下標(biāo)(i，j)表示，i、j分別表示沿x、y方向的標(biāo)號(hào)。次序是x方向表示從左到右，y方向表示從下到上，如圖5－9所示。我們用上標(biāo)n表示某點(diǎn)電位的第n次迭代值，由式(5－42)得出點(diǎn)(i，j)第n＋1次電位的計(jì)算公式為

(5－43)式(5－43)也叫簡(jiǎn)單迭代法，它的收斂速度較慢。

計(jì)算時(shí)，先任意指定各個(gè)節(jié)點(diǎn)的電位值作為零級(jí)近似(注意電位在某無(wú)源區(qū)域的極大、極小值總是出現(xiàn)在邊界上，理由請(qǐng)讀者自行思考)，將零級(jí)近似值及其邊界上的電位值代入式(5－43)求出一級(jí)近似值，再由一級(jí)近似值求出二級(jí)近似值。依此類推，直到連續(xù)兩次迭代所得電位的差值在允許范圍內(nèi)時(shí)，結(jié)束迭代。對(duì)于相鄰兩次迭代解之間的誤差，通常有兩種取法：一種是取最大絕對(duì)誤差 ；另一種是取算術(shù)平均誤差 ，其中N是節(jié)點(diǎn)總數(shù)。

圖5－9節(jié)點(diǎn)序號(hào)

2．塞德?tīng)?Seidel)迭代法

通常為節(jié)約計(jì)算時(shí)間，需對(duì)簡(jiǎn)單迭代法進(jìn)行改進(jìn)，每當(dāng)算出一個(gè)節(jié)點(diǎn)高一次的近似值，就立即用它參與其他節(jié)點(diǎn)的差分方程迭代，這種迭代法叫做塞德?tīng)?Seidel)迭代法。塞德?tīng)柕ǖ谋磉_(dá)式為

(5－44)

式(5－44)也稱為異步迭代法。由于更新值的提前使用，異步迭代法比簡(jiǎn)單迭代法收斂速度加快一倍左右，存儲(chǔ)量也小。

3．超松馳迭代法

為了加快收斂速度，常采用超松馳迭代法。計(jì)算時(shí)，將某點(diǎn)的新老電位值之差乘以一個(gè)因子α以后，再加到該點(diǎn)的老電位值上，作為這一點(diǎn)的新電位值 。超松弛迭代法的表達(dá)式為

(5－45)

式中α稱為松弛因子，其值介于1和2之間。當(dāng)其值為1時(shí)，超松弛迭代法就蛻變?yōu)槿聽(tīng)?Seidel)迭代法。因子α的選取一般只能依經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行，但是對(duì)矩形區(qū)域，當(dāng)沿x、y兩個(gè)方向的內(nèi)節(jié)點(diǎn)數(shù)M、N都很大時(shí)，可以由如下公式計(jì)算最佳收斂因子α0：

(5－46)

對(duì)于其他形狀的實(shí)際區(qū)域，最佳收斂因子的表達(dá)式很復(fù)雜。實(shí)際計(jì)算中，往往應(yīng)用其近似值，通常采用以下幾種方法處理：一是將區(qū)域等效為近似的矩形區(qū)域，再依照式(5－46)計(jì)算α0；二是編制可以自動(dòng)選擇收斂因子的計(jì)算程序，在起始迭代時(shí)取收斂因子為1.5，然后依迭代過(guò)程收斂速度的快慢使計(jì)算機(jī)按程序自動(dòng)修正收斂因子；三是起始迭代取收斂因子為1，以后逐漸增大，并注意觀察迭代過(guò)程的收斂速度，當(dāng)速度減小時(shí)，停止增加收斂因子的值，而在以后的迭代中，用最后一個(gè)收斂因子的值作為最佳值?！纠?-8】設(shè)圖5－10所示矩形截面的長(zhǎng)導(dǎo)體槽，寬為4h，高為3h，頂板與兩側(cè)絕緣，頂板的電位為10V，其余的電位為零，求槽內(nèi)各點(diǎn)的電位。

解將待求的區(qū)域分為12個(gè)邊長(zhǎng)為h的正方形網(wǎng)格，含六個(gè)內(nèi)點(diǎn)，得出差分方程組：

圖5－10例5－7用圖解以上方程組，得

【注】以上結(jié)果是差分方程組的精確解，但并不是待求各點(diǎn)電位的精確值，這是因?yàn)椴罘址匠探M本身是原微分組的近似。以下用迭代法求解，簡(jiǎn)單迭代法和超松弛迭代法的結(jié)果分別列于表5－1和表5－2，表5－3給出了收斂因子的影響。

表5－1簡(jiǎn)單迭代法

表5－2超松弛迭代法(α＝1.2)

表5－3松弛因子的影響

1．靜態(tài)場(chǎng)的許多問(wèn)題可歸結(jié)為給定邊界條件下求解位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程的問(wèn)題，也稱為邊值型問(wèn)題。滿足給定邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。

2．鏡像法是一種等效方法，它的基礎(chǔ)是靜電場(chǎng)解的唯一性定理。利用鏡像法求解諸如無(wú)限大導(dǎo)體(或介質(zhì))平面附近的點(diǎn)電荷、線電荷產(chǎn)生的場(chǎng)，位于無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體附近的平行線電荷產(chǎn)生的場(chǎng)，以及位于導(dǎo)體球附近的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)等特定問(wèn)題非常有效。鏡像法的主要步驟是確定鏡像電荷的位置和大小。本章小結(jié)

3．分離變量法是將一個(gè)多元函數(shù)表示成幾個(gè)單變量函數(shù)的乘積，從而將偏微分方程分離為幾個(gè)帶分離常數(shù)的常微分方程的方法。用分離變量法求解邊值型問(wèn)題，首先要根據(jù)邊界形狀，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；然后將偏微分方程在特定的坐標(biāo)系下分離為幾個(gè)常微分方程，并得出位函數(shù)的通解；最后由邊界條件確定通解中的待定常數(shù)。

4．有限差分法應(yīng)用差分原理將待求場(chǎng)域的空間離散化，把拉普拉斯方程化為各節(jié)點(diǎn)上的有限差分方程，并使用迭代法求解差分方程，從而可以求出節(jié)點(diǎn)上的位函數(shù)值。

5．由于靜電場(chǎng)的解法具有普遍性，因此本章討論的求解方法不僅適用于靜電場(chǎng)，也適用于恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)，在某些情況下，也適用于時(shí)變電磁場(chǎng)。知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

5.1求截面為矩形的無(wú)限長(zhǎng)區(qū)域(0<x<a，0<y<b)的電位，其四壁的電位為

習(xí)題

5.2一個(gè)截面如題5.2圖所示的長(zhǎng)槽，向y方向無(wú)限延伸，兩側(cè)的電位為零，槽內(nèi)y→∞，

→0，底部的電位為

求槽內(nèi)的電位。

5.3一個(gè)矩形導(dǎo)體槽內(nèi)由兩部分構(gòu)成，如題5.3圖所示，兩個(gè)導(dǎo)體板的電位分別是U0和0，求槽內(nèi)的電位。

5.4由導(dǎo)體板制作的金屬盒如題5.4圖所示，除盒蓋的電位為

外，其余盒壁電位為0，求盒內(nèi)電位分布。

題5.2圖

題5.3

題5.4圖

5.5兩個(gè)點(diǎn)電荷＋Q和－Q位于一個(gè)半徑為a的接地導(dǎo)體球直徑的延長(zhǎng)線上，分別距離球心D和－D。

(1)證明：鏡像電荷構(gòu)成一電偶極子，位于球心，偶極矩為2a3Q/D2。