2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第九章重難專攻(十一)　概率中的綜合問題

重難專攻（十一）概率中的綜合問題概率中的綜合問題是考查學(xué)生應(yīng)用意識的重要載體，解決此類問題的關(guān)鍵是通過閱讀理解題意，作出分析判斷，獲取關(guān)鍵信息；搞清各數(shù)據(jù)、各事件間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，結(jié)合已有的數(shù)學(xué)知識，對實際問題作出合理的解釋或決策.概率與函數(shù)的交匯問題【例1】根據(jù)社會人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，若一個家庭有X個孩子，則X的概率分布列如下表所示（取一個家庭有4個及以上孩子的概率為0）.X0123Pα（1－p）2ααα（1－p）其中0＜α＜p＜1.為了調(diào)控未來人口結(jié)構(gòu)，需要對參數(shù)p進行宏觀調(diào)控，研究表明p的值受到各種因素的影響（例如生育保險的增加，教育、醫(yī)療福利的增加等）.（1）若希望P（X＝2）增大，如何調(diào)控p的值？（2）是否存在p，使得E（X）＝53？請說明理由解題技法概率與函數(shù)的交匯問題，多以概率問題為解題主線，通過設(shè)置變量，利用隨機變量的概率、均值與方差的計算公式構(gòu)造函數(shù).求解時可借助二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)確定最優(yōu)解.解決此類問題應(yīng)注意以下兩點：（1）準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用公式搭建函數(shù)模型時，由于隨機變量的均值、方差，隨機事件概率的計算中涉及變量較多，式子較為復(fù)雜，所以準(zhǔn)確運算化簡是關(guān)鍵；（2）注意變量的范圍，一是題中給出的范圍，二是實際問題中變量自身范圍的限制.某學(xué)校進行排球測試的規(guī)則是：每名學(xué)生最多發(fā)4次球，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則直到發(fā)完4次為止.設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p，且p∈［16，56］，發(fā)球次數(shù)為（1）求P（X＝3）的最大值；（2）若E（X）＜158，求p的取值范圍概率與數(shù)列的交匯問題【例2】（2023·新高考Ⅰ卷21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第i次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi＝1）＝1－P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，…，n，則E（∑i=1nXi）＝∑i=1nqi.記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，解題技法概率與數(shù)列問題的交匯，多以概率的求解為主線，建立關(guān)于概率的遞推關(guān)系.解決此類問題的基本步驟為：（1）精準(zhǔn)定性，即明確所求概率的“事件屬性”，這是確定概率模型的依據(jù)，也是建立遞推關(guān)系的準(zhǔn)則；（2）準(zhǔn)確建模，即通過概率的求解，建立遞推關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型問題；（3）解決模型，也就是遞推數(shù)列的求解，多通過構(gòu)造的方法轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的問題求解.求解過程應(yīng)靈活運用數(shù)列的性質(zhì)，準(zhǔn)確應(yīng)用相關(guān)公式.（2024·臨沂一模）從甲、乙、丙等5人中隨機地抽取三個人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.（1）記甲、乙、丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列；（2）若剛好抽到甲、乙、丙三個人做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記n次傳球后球在甲手中的概率為pn，n＝1，2，3，….①直接寫出p1，p2，p3的值；②求pn＋1與pn的關(guān)系式，并求pn（n∈N*）.概率中的證明問題【例3】最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗結(jié)果為成功或不成功，且每次試驗的成功概率為p（0＜p＜1）.現(xiàn)對該產(chǎn)品進行獨立重復(fù)試驗，若試驗成功，則試驗結(jié)束；若試驗不成功，則繼續(xù)試驗，且最多試驗8次.記X為試驗結(jié)束時所進行的試驗次數(shù)，X的數(shù)學(xué)期望為E（X）.（1）證明：E（X）＜1p（2）某公司意向投資該產(chǎn)品，若p＝0.2，每次試驗的成本為a（a＞0）元，若試驗成功則獲利8a元，則該公司應(yīng)如何決策投資？請說明理由.解題技法解決概率中的證明問題的關(guān)鍵是理解隨機事件中互斥、對立、獨立事件的概念及相互關(guān)系，理解條件概率、全概率公式的意義及性質(zhì)，掌握隨機變量的分布列、均值、方差的計算公式，掌握二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布概率模型的特點及求解規(guī)律.會靈活運用上述定義、性質(zhì)及公式進行邏輯推理、數(shù)學(xué)運算，進而推出要證結(jié)論成立.設(shè)X1，X2，…，Xn是