2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第十章教考銜接10⇒過(guò)“三關(guān)”破解概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題

過(guò)“三關(guān)”破解概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題真題展示【例】（2023·新高考Ⅱ卷19題）某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性，此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c）；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為q（c）.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.（1）當(dāng)漏診率p（c）＝0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率q（c）；（2）設(shè)函數(shù)f（c）＝p（c）＋q（c）.當(dāng)c∈[95，105]時(shí)，求f（c）的解析式，并求f（c）在區(qū)間[95，105]的最小值.考法探究在新高考改革的大背景下，高考愈加突出情境創(chuàng)設(shè)，注重?cái)?shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用及邏輯性，概率與統(tǒng)計(jì)的命題方向及考點(diǎn)也更加貼近現(xiàn)實(shí)生活以及對(duì)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的考查，這就對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)提出了更高的要求.基于此種命題特點(diǎn)，在概率與統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)中，就要求學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，更加注重對(duì)閱讀理解能力、圖表信息轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力的培養(yǎng).過(guò)“三關(guān)”破解概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題1.過(guò)“閱讀理解關(guān)”——抓關(guān)鍵語(yǔ)句，厘清問(wèn)題實(shí)質(zhì)關(guān)鍵語(yǔ)句問(wèn)題實(shí)質(zhì)漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c）在患病者中，如果指標(biāo)≤c，本來(lái)患病的人漏診為陰性誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為q（c）在未患病者中，如果指標(biāo)＞c，本來(lái)未患病的人誤診為患病2.過(guò)“圖表關(guān)”——獲取信息，數(shù)學(xué)符號(hào)轉(zhuǎn)化圖表信息數(shù)學(xué)符號(hào)轉(zhuǎn)化樣本在指標(biāo)為[95，130]區(qū)間內(nèi)的分布情況，對(duì)不同的指標(biāo)c∈[95，130]，都能計(jì)算出漏診率p（c），c的取值直接影響p（c）的值樣本在指標(biāo)為[70，105]區(qū)間內(nèi)的分布情況，對(duì)不同的指標(biāo)c∈[70，105]，都能計(jì)算出誤診率q（c），c的取值直接影響q（c）的值3.過(guò)“計(jì)算關(guān)”——構(gòu)建模型，解決問(wèn)題問(wèn)題問(wèn)題求解當(dāng)漏診率p（c）＝0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率q（c）由以上“兩關(guān)”分析易知，（100－95）×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100，則p（c）＝（c－95）×0.002＝0.5%，所以c＝97.5，所以q（c）＝0.01×2.5＋0.002×5＝3.5%設(shè)函數(shù)f（c）＝p（c）＋q（c）.當(dāng)c∈[95，105]時(shí)，求f（c）的解析式當(dāng)c∈[95，100]時(shí)，f（c）＝p（c）＋q（c）＝（c－95）×0.002＋（100－c）×0.01＋5×0.002＝－0.008c＋0.82；當(dāng)c∈（100，105]時(shí)，f（c）＝p（c）＋q（c）＝5×0.002＋（c－100）×0.012＋（105－c）×0.002＝0.01c－0.98求f（c）在區(qū)間[95，105]的最小值由函數(shù)f（c）為分段函數(shù)，其在[95，100]上單調(diào)遞減，在（100，105]上單調(diào)遞增，易知f（c）在c＝100時(shí)取得最小值，最小值f（100）＝0.02高考還可這樣考自主招生和強(qiáng)基計(jì)劃是高校選拔錄取工作改革的重要環(huán)節(jié).自主招生是學(xué)生通過(guò)高校組織的筆試和面試之后，可以享受相應(yīng)的高考降分政策.2020年1月，教育部決定2020年起不再組織開(kāi)展高校自主招生工作，而是在部分“一流大學(xué)”建設(shè)高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)（也稱(chēng)強(qiáng)基計(jì)劃）.下表是某高校2019年至2023年通過(guò)自主招生或強(qiáng)基計(jì)劃在部分專(zhuān)業(yè)的招生人數(shù)：年份數(shù)學(xué)物理化學(xué)總計(jì)201947617202058518202169520202287621202398623請(qǐng)根據(jù)表格回答下列問(wèn)題：（1）統(tǒng)計(jì)表明招生總?cè)藬?shù)和年份間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.記x為當(dāng)年年份與2018的差，y為當(dāng)年數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的招生總?cè)藬?shù)，試用最小二乘法建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并以此預(yù)測(cè)2024年數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的招生總?cè)藬?shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（2）為了保證招生錄取結(jié)果的公平公正，該校招生辦對(duì)2021年強(qiáng)基計(jì)劃錄取結(jié)果進(jìn)行抽檢.此次抽檢從這20名學(xué)生中隨機(jī)選取3名學(xué)生進(jìn)行評(píng)審，記選取到數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）；（3）經(jīng)統(tǒng)計(jì)該校學(xué)生的本科學(xué)習(xí)年限占比如下：四年畢業(yè)的占76%，五年畢業(yè)的占16%，六年畢業(yè)的占8