備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)題型專項練10　中低檔大題規(guī)范練(d)

題型專項練10中低檔大題規(guī)范練(D)(分值:43分)學(xué)生用書P2331.(13分)已知{an}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=2log2an+1,且b1=1,b4=7.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;(2)若對任意的n∈N*都有2λan≥bn-2,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.解(1)因?yàn)閎n=2log2an+1,b1=1,b4=7,所以b1=2log2a1+1=1,b4=2log2a4+1=7,得a1=1,a4=8.因?yàn)閧an}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,所以q3=a4a1=8,得q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,則bn=2log2an+1=2(n-1)+1=2(2)若對任意的n∈N*,2λan≥bn-2恒成立,則λ≥2n-32n恒成立,設(shè)f(n)=2n-32n(n∈N*),則f當(dāng)n≤2時,f(n+1)-f(n)>0,則f(3)>f(2)>f(1);當(dāng)n≥3時,f(n+1)-f(n)<0,則f(3)>f(4)>f(5)>….所以f(n)max=f(3)=38,所以λ≥f(n)max=38,即λ≥2.(15分)(2024河北唐山二模)某學(xué)校組織游戲活動,讓學(xué)生從盒子中有放回地摸球.規(guī)定每次只能摸取1個球,且每次摸球的結(jié)果相互獨(dú)立.已知盒中有1分球和2分球若干,摸到1分球的概率為23,摸到2分球的概率為1(1)若學(xué)生甲摸球2次,其總得分記為X,求隨機(jī)變量X的分布列與期望;(2)學(xué)生甲、乙各摸5次球,若兩人的最終得分相同,則都不獲得獎勵;若不同,則得分多者獲得獎勵.已知甲前3次摸球得了6分,求乙獲得獎勵的概率.解(1)由題意知,學(xué)生甲摸球2次總得分X的可能取值為2,3,4,則P(X=2)=23×23=49,P(X=3)=C21×2X234P441所以E(X)=2×49+3×49+4×(2)記Am=“甲最終得分為m分”,m=8,9,10;B=“乙獲得獎勵”.P(A9)=C21×23×13=當(dāng)甲最終得9分時,乙獲得獎勵需要最終得10分,則P(B|A9)=135;當(dāng)甲最終得8分時,乙獲得獎勵需要最終得10分或9分,則P(B|A8)=135+C51×23×134=11×13故P(B)=P(A9B)+P(A8B)=P(A9)P(B|A9)+P(A8)P(B|A8)=49×135+49×11×135=483即乙獲得獎勵的概率為167293.(15分)如圖,在棱長均為2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的投影O是棱AC的中點(diǎn),P為棱A1B1(包含端點(diǎn))上的動點(diǎn).(1)求點(diǎn)P到平面ABC1的距離;(2)若AP⊥平面α,求直線BC1與平面α所成角的正弦值的取值范圍.解(1)由題意知,A1O⊥平面ABC,OB⊥AC(底面△ABC為正三角形),且A1O=OB=3,以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,3),C1(0,2,3),AC1=(0,3,3),AB=(3,1,0),BC1=(-3,2,3),AA因?yàn)锳1B1∥AB,A1B1?平面ABC1,AB?平面ABC1,所以A1B1∥平面ABC1,又點(diǎn)P在棱A1B1上,所以點(diǎn)P到平面ABC1的距離等于點(diǎn)A1到平面ABC1的距離,設(shè)n=(x,y,z)為平面ABC1的法向量,則n·AC1=3y+3z=0,n·AB=3x+y=0,取所以點(diǎn)P到平面ABC1的距離為239(2)設(shè)A1P=λA1B則AP=AA1+A1P=AA1+λAB=(0,1,3)+λ(3,1,0)=(3λ,1+λ,3),設(shè)直線BC1與平面α所成的角為θ,則sinθ=|cos<BC1,AP>|=令t=5-λ,則λ=5-t,t∈[4,5],則sinθ=t25·2(設(shè)x=1t,f(x)=57x-7382+576由t∈[4,5],得x∈15,14,因?yàn)?38<735=15,所以f(