備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)壓軸大題搶分練1

(四)壓軸大題搶分練搶分練1(分值:34分)學(xué)生用書(shū)P2371.(17分)(2024·江蘇蘇州三模)已知函數(shù)f(x)=cosx,g(x)=a(2-x2).(1)當(dāng)a=1時(shí),求F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的最大值;(3)求證:∑i=1nsin(π3-ki)>33(n-2(1)解當(dāng)a=1時(shí),g(x)=2-x2,則F(x)=f(x)-g(x)=cosx-2+x2,所以F'(x)=-sinx+2x.令h(x)=-sinx+2x,則h'(x)=-cosx+2>0,所以h(x)=-sinx+2x在R上單調(diào)遞增,即F'(x)=-sinx+2x在R上單調(diào)遞增,且F'(0)=0+0=0.當(dāng)x>0時(shí),F'(x)>0,所以F(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)x<0時(shí),F'(x)<0,所以F(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減.又F(0)=-1,F(2)=F(-2)=cos2+2>0,則存在x1∈(-2,0),x2∈(0,2),使得F(x1)=0,F(x2)=0,所以F(x)有兩個(gè)零點(diǎn).(2)解令m(x)=f(x)-g(x)=cosx-2a+ax2,由m(0)≥0,得a≤12.令H(x)=cosx-1+12x2=cosx+12所以H'(x)=-sinx+x.令φ(x)=-sinx+x,可得φ'(x)=-cosx+1≥0,所以φ(x)=-sinx+x在R上單調(diào)遞增.當(dāng)x=0時(shí),φ(0)=sin0+0=0.當(dāng)x>0時(shí),φ(x)=-sinx+x>sin0+0=0.當(dāng)x<0時(shí),φ(x)=-sinx+x<sin0+0=0,所以H(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,在x=0處取到極小值,所以H(x)≥H(0)=cos0-1+12×02=0,即cosx≥1-12所以f(x)≥g(x)恒成立,所以實(shí)數(shù)a的最大值是1(3)證明因?yàn)?sinπ3-ki+1≥3sinπ3-ki+cosπ3-ki=2sin由(2)可得cosx≥1-12x2所以coski≥1-12所以∑i=1n[3sin(π3-ki)+1]≥2∑i所以∑i=1n3sin(π3-k又∑i=1n(ki)2=k2(1+122+132+…+1n2)<k2(1所以∑i=1nsin(π3-ki)>33(n-22.(17分)(2024福建漳州三模)某汽車(chē)廠商生產(chǎn)某型號(hào)具有自動(dòng)駕駛功能的汽車(chē),該型號(hào)汽車(chē)配備兩個(gè)相互獨(dú)立的自動(dòng)駕駛系統(tǒng)(記為系統(tǒng)A和系統(tǒng)B),該型號(hào)汽車(chē)啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后,先啟動(dòng)這兩個(gè)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)中的一個(gè),若一個(gè)系統(tǒng)出現(xiàn)故障,則自動(dòng)切換到另一個(gè).為了確定先啟動(dòng)哪一個(gè)系統(tǒng),進(jìn)行如下試驗(yàn):每一輪對(duì)系統(tǒng)A和系統(tǒng)B分別進(jìn)行測(cè)試,得出一輪的測(cè)試結(jié)果后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)出現(xiàn)故障的次數(shù)比另一個(gè)系統(tǒng)少2次時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為出現(xiàn)故障少的系統(tǒng)比另一個(gè)系統(tǒng)更穩(wěn)定.為了方便描述問(wèn)題,約定:對(duì)于每一輪試驗(yàn),若系統(tǒng)A不出現(xiàn)故障且系統(tǒng)B出現(xiàn)故障,則系統(tǒng)A得1分,系統(tǒng)B得-1分;若系統(tǒng)A出現(xiàn)故障且系統(tǒng)B不出現(xiàn)故障,則系統(tǒng)A得-1分,系統(tǒng)B得1分;若兩個(gè)系統(tǒng)都不出現(xiàn)故障或都出現(xiàn)故障,則兩個(gè)系統(tǒng)均得0分.設(shè)系統(tǒng)A、系統(tǒng)B出現(xiàn)故障的概率分別記為α,β,一輪試驗(yàn)中系統(tǒng)A的得分為X.(1)求X的分布列;(2)若系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予2分,pi(i=0,1,2,3,4)表示“系統(tǒng)A的累計(jì)得分為i時(shí),最終認(rèn)為系統(tǒng)A比系統(tǒng)B更穩(wěn)定”的概率,則p0=0,p4=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,3),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).現(xiàn)根據(jù)p2的值來(lái)決定該型號(hào)汽車(chē)啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后先啟動(dòng)哪個(gè)系統(tǒng),若p2≤0.1,則先啟動(dòng)系統(tǒng)B;若p2≥0.9,則先啟動(dòng)系統(tǒng)A;若0.1<p2<0.9,則隨機(jī)啟動(dòng)兩個(gè)系統(tǒng)中的一個(gè),且先啟動(dòng)系統(tǒng)A的概率為p2.(ⅰ)證明:p2=(1(ⅱ)若α=0.001,β=0.002,由(ⅰ)可求得p2≈0.8,求該型號(hào)汽車(chē)啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后無(wú)需自動(dòng)切換到另一個(gè)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)的概率.(1)解X的可能取值為-1,0,1.P(X=-1)=α(1-β),P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β)=1-α-β+2αβ,P(X=1)=(1-α)β,所以X的分布列為X-101Pα(1-β)1-α-β+2αβ(1-α)β(2)(ⅰ)證明由題意,得pi=α(1-β)pi-1+[1-α(1-β)-(1-α)β]pi+(1-α)βpi+1,所以[α(1-β)+(1-α)β]pi=α(1-β)pi-1+(1-α)βpi+1,所以pi+1=[α(1又p0=0,所以p2=[=[αp3=[=1(1-α)β{[α(1-β)+(1-α)β]p2-α(1-=1(1-α)β·[α(1-β)+(1-α)β]·{[α(1-p4=[=1(1-α)β{[α(1-β)+(1-α)β]·[α(1-=1,所以p2=((ⅱ)解記“該型號(hào)汽車(chē)啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后無(wú)需自動(dòng)切換到另一個(gè)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)”為事件T,“該型號(hào)汽車(chē)啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后先啟動(dòng)系統(tǒng)A”為事件C,因?yàn)閜2≈0.8∈(0.1,0.9),所以P(C)=p2≈0.8,P(C)=1-p2≈0.2,因?yàn)棣?0.001