備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)中低檔大題規(guī)范練3

規(guī)范練3(分值:43分)學(xué)生用書P2291.(13分)如圖,已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面,矩形SADE的對(duì)角線交于點(diǎn)F,G為SB的中點(diǎn),∠ABC=∠BAD=π2,SA=AB=BC=12AD=(1)求證:BD∥平面AEG;(2)求平面SCD與平面ESD夾角的余弦值.(1)證明連接GF,因?yàn)樗倪呅蜸ADE為矩形,所以F為SD的中點(diǎn).又G為SB的中點(diǎn),所以GF∥BD.因?yàn)镚F?平面AEG,BD?平面AEG,所以BD∥平面AEG.(2)解因?yàn)镾A⊥平面ABCD,AB,AD?平面ABCD,所以SA⊥AB,SA⊥AD.又∠BAD=π2所以AB,AD,AS兩兩垂直.以A為原點(diǎn),分別以AB,AD,AS所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),S(0,0,1),D(0,2,0),C(1,1,0),所以AB=(1,0,0),CD=(-1,1,0),SD=(0,2,-1),易知,AB=(1,0,0)為平面ESD的一個(gè)法向量.設(shè)n=(x,y,z)為平面SCD的法向量,則CD·n=-x+y=0記平面SCD與平面ESD夾角為θ,則cosθ=|cos<AB,n>|=16故平面SCD與平面ESD夾角的余弦值為62.(15分)(2024·浙江杭州二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列{bn}滿足b1=3,令anbn=an+2bn+1,求證:∑k=1nb(1)解設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d.由S4=4S2,a2n=2an+1,得4解得a1=1,d=2,所以an=1+2(n-1)=2n-1(n∈N*).(2)證明由(1)知,(2n-1)bn=(2n+3)bn+1,即bn+1bn=當(dāng)n≥2時(shí),利用累乘法可得bn=bnbn-1×bn-1bn-當(dāng)n=1時(shí),b1=92×(1-13)=故bn=92(∑k=1nbk=b1+b2+b3+…+bn-1+bn=92[1-13+13-15+15所以∑k=1nbk=92(1-3.(15分)(2024·山東日照二模)某公司為考核員工,采用某方案對(duì)員工進(jìn)行業(yè)務(wù)技能測(cè)試,并統(tǒng)計(jì)分析測(cè)試成績(jī)以確定員工績(jī)效等級(jí).(1)已知該公司甲部門有3名負(fù)責(zé)人,乙部門有4名負(fù)責(zé)人,該公司從甲、乙兩部門中隨機(jī)選取3名負(fù)責(zé)人做測(cè)試分析,記負(fù)責(zé)人來(lái)自甲部門的人數(shù)為X,求X的最有可能的取值;(2)該公司統(tǒng)計(jì)了七個(gè)部門測(cè)試的平均成績(jī)x(滿分100分)與績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率y,如下表所示:x32415468748092y0.280.340.440.580.660.740.94根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖,初步判斷,選用y=λecx作為回歸方程.令z=lny,經(jīng)計(jì)算得z=-0.642,∑i=17x(ⅰ)已知某部門測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)?0分,估計(jì)其績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率;(ⅱ)根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析,大致認(rèn)為各部門測(cè)試平均成績(jī)x~N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)x,σ2近似為樣本方差s2.經(jīng)計(jì)算s≈20,求某個(gè)部門績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率不低于0.78的概率.參考公式與數(shù)據(jù):①ln0.15≈-1.9,e1.2≈3.32,ln5.2≈1.66.②線性回歸方程y^=b^x+③若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9974.解(1)依題意,隨機(jī)變量X服從超幾何分布,且X的可能取值為0,1,2,3,則P(X=0)=C3P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=C由此可得P(X=1)=1835最大,即X=1的可能性最大,故X最有可能的取值為1(2)(ⅰ)依題意,y=λecx兩邊取對(duì)數(shù),得lny=cx+lnλ,即z=cx+lnλ,其中x=32+41+54+68+74+80+927由提供的參考數(shù)據(jù),可知c=0.02.又-0.642=0.02×63+lnλ,故lnλ≈-1.9,所以λ≈e-1.9,由提供的參考數(shù)據(jù),可得λ≈0.15,故y^=0.15×e0.02x當(dāng)x=60時(shí),y^=0.15×e0.02×60≈0.即估計(jì)其績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率為0.498.(ⅱ)由(ⅰ)及提供的參考數(shù)據(jù)可知,μ≈x=63,σ≈s又y^≥0.78,即0.15×e0.02x≥0.78,可得0.02x≥ln5.2,即x又μ+σ=83,且P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826,由正態(tài)分布的性質(zhì),得P(x≥83)=1