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專題檢測四(分值:150分)學生用書P179一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2024·湖南長沙模擬)某10人的射擊小組,在一次射擊訓練中射擊成績(單位:環(huán))數(shù)據(jù)如下表所示,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為()成績678910人數(shù)12241A.2 B.8 C.8.2 D.8.5答案D解析將射擊成績由小到大排列,得到6,7,7,8,8,9,9,9,9,10,第5個數(shù)為8,第6個數(shù)為9,因而中位數(shù)為8.5.2.(2024·福建龍巖一模)2xy-1(x+y)7的展開式中x5y2A.-91 B.-21 C.14 D.49答案D解析(x+y)7的展開式的通項為Tr+1=C7rx7-ry則T4=C73x4y3=35x4y3,T3=C72x5y2=21x則展開式中x5y2的系數(shù)為2×35-1×21=49.3.(2024·甘肅酒泉三模)有甲、乙兩臺車床加工同一種零件,且甲、乙兩臺車床的產量分別占總產量的70%,30%,甲、乙兩臺車床的正品率分別為94%,92%.現(xiàn)從一批零件中任取一件,則取到正品的概率為()A.0.93 B.0.934 C.0.94 D.0.945答案B解析設事件A表示“任選一件零件為甲車床生產的”,事件B表示“任選一件零件為乙車床生產的”,事件C表示“任選一件零件為正品”,則P(A)=70%,P(B)=30%,P(C|A)=94%,P(C|B)=92%,所以P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B)=0.934.4.(2024·云南曲靖模擬)已知P(M)=0.4,P(N|M)=0.5,則P(MN)=()A.0.4 B.0.6 C.0.1 D.0.2答案D解析因為P(N|M)=0.5,由對立事件的概率計算公式可得P(N|M)=1-0.5=0.5,則P(MN)=P(M)P(N|M)=0.4×0.5=0.2.5.(2024·廣東佛山二模)勞動可以樹德,可以增智,可以健體,可以育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行勞動實踐比賽,已知冠軍是甲、乙當中的一人,丁和戊都不是最差的,則這5名同學的名次排列(無并列名次)共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種答案B解析依題意,排第1名,有C21種方法;排丁和戊,有A32種方法;排余下2人,有A22種方法,所以這5名同學的名次排列(無并列名次)共有C6.(2024·湖北武漢模擬)如圖所示,已知一質點在外力的作用下,從原點O出發(fā),每次向左移動的概率為23,向右移動的概率為13.若該質點每次移動一個單位長度,設經過5次移動后,該質點位于X的位置,則P(X>0)=A.50243 B.52243答案D解析依題意,當X>0時,X的可能取值為1,3,5,且X~B5,23,所以P(X>0)=P(X=5)+P(X=3)+P(X=17.(2024·廣東江門一模)已知9名女生的身高(單位:cm)平均值為162,方差為26,若增加一名身高172cm的女生,則這10名女生身高的方差為()A.32.4 B.32.8 C.31.4 D.31.8答案A解析令9名女生的身高為ai(i∈N*,i≤9),依題意,∑i=19ai=9×162,∑i=1因此增加一名女生后,身高的平均值為110(∑i=19ai+172)=110(9×所以這10名女生身高的方差為110[∑i=19(ai-163)2+(172-163)2]=110{∑i=19[(ai-162)-1]2+81}=110{∑i=19[(ai-162)2-2(8.(2024·廣東湛江一模)在一次考試中有一道4個選項的雙選題,其中B和C是正確選項,A和D是錯誤選項,甲、乙兩名同學都完全不會這道題目,只能在4個選項中隨機選取兩個選項.設事件M=“甲、乙兩人所選選項恰有一個相同”,事件N=“甲、乙兩人所選選項完全不同”,事件X=“甲、乙兩人所選選項完全相同”,事件Y=“甲、乙兩人均未選擇B選項”,則()A.事件M與事件N相互獨立B.事件X與事件Y相互獨立C.事件M與事件Y相互獨立D.事件N與事件Y相互獨立答案C解析依題意,甲、乙兩人所選選項有如下情形:①有一個選項相同,②兩個選項均不相同,③兩個選項均相同,所以P(M)=C41C31C21C42C42=23,P(N)=C42C22C42C42=又P(M)P(N)=19≠P(MN),所以事件M與事件N不相互獨立,故A錯誤;P(XY)=C32C42C42=112≠P(X)P(Y)=124,故B錯誤;由P(MY)=C31C21C11C42C42=16=P(M)P(Y),得事件M與事件Y相互獨立,故C正確;因為事件N與事件Y互斥,所以二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.(2024·遼寧撫順一模)采購經理指數(shù)(PMI)是國際上通用的監(jiān)測宏觀經濟走勢的指標之一,具有較強的預測、預警作用.2023年12月31日,國家統(tǒng)計局發(fā)布了中國制造業(yè)PMI指數(shù)(經季節(jié)調整)圖,如下圖所示,則下列說法正確的是()A.圖中前三個數(shù)據(jù)的平均值為49.9%B.2023年四個季度的PMI指數(shù)中,第一季度方差最大C.圖中PMI指數(shù)的極差為3.8%D.2023年PMI指數(shù)的第75百分位數(shù)為50.1%答案AB解析對于A,根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知圖中前三個數(shù)據(jù)的平均值為13×(47.0+50.1+52.6)%=49.9%,A正確;對于B,從表中數(shù)據(jù)可以看出2023年四個季度的PMI指數(shù)中,第一季度的波動性最大,穩(wěn)定性最差,所以方差最大,B正確;對于C,易知圖中PMI指數(shù)的極差為52.6%-47.0%=5.6%,C錯誤;對于D,易知12×75%=9,可知2023年PMI指數(shù)的第75百分位數(shù)為從小到大排列的第9項數(shù)據(jù)和第10項數(shù)據(jù)的平均數(shù),即49.7%+50.1%2=10.(2024·云南保山模擬)若(1+2x)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024,則下列說法正確的是()A.a0=1B.a0+a1+…+a2024=32024C.a0-a1+a2-a3+…+a2024=1D.a1-2a2+3a3-…-2024a2024=-2024答案ABC解析令x=0,得a0=1,A正確;令x=1,得a0+a1+…+a2024=32024,B正確;令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a2024=1,C正確;由(1+2x)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024,兩邊同時求導,得2024×2×(1+2x)2023=a1+2a2x+3a3x2+…+2024a2024x2023,令x=-1,得a1-2a2+3a3-…-2024a2024=-4048,D錯誤.故選ABC.11.(2024·湖北襄陽模擬)甲袋中有20個紅球和10個白球,乙袋中有紅球、白球各10個,兩袋中的球除顏色外完全相同.現(xiàn)從兩袋中各摸出1個球,下列結論正確的是()A.2個球都是紅球的概率為1B.2個球中恰有1個紅球的概率為1C.不都是紅球的概率為2D.都不是紅球的概率為2答案ABC解析記事件A1:從甲袋中摸出1個球為紅球,事件A2:從乙袋中摸出1個球為紅球,則P(A1)=23,P(A2)=對于A選項,“2個球都是紅球”即為事件A1A2,P(A1A2)=P(A1)P(A2)=13,A正確;對于B選項,“2個球中恰有1個紅球”即為事件A1A2+A1A2,P(A1A2+A1A2)=P(A1)·P(A2)+P(A1)P(A2)=23×1-12+1-23×12=12,B正確;對于C選項,因為“都是紅球”與“不都是紅球”互為對立事件,所以不都是紅球的概率為1-P(A1A2)=1-三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.(2024·山東濟南一模)已知隨機變量X~N(1,22),則D(2X+1)的值為.
答案16解析由X~N(1,22)可得D(X)=22=4,則D(2X+1)=4D(X)=16.13.(2024·山東棗莊一模)盒子內裝有編號為1,2,3,…,10的10個除編號外完全相同的玻璃球.從中抽取三個球,其編號之和能被3整除的概率為.
答案7解析依題意,問題相當于求從1,2,3,…,10的10個數(shù)中任取3個,這3個數(shù)的和能被3整除的概率,顯然試驗包含的基本事件總數(shù)為C103=120,且它們是等可能事件,10個數(shù)中能被3整除的有3,6,9;被3除后余數(shù)是1的有1,4,7,10;被3除后余數(shù)是2的有2,5,8.取出的3個數(shù)的和能被3整除的事件A含有的基本事件數(shù)有C33+C43+C33+C3114.(2024·貴州遵義模擬)高爾頓釘板是英國生物統(tǒng)計學家高爾頓設計的,如圖,每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子,上一層的每個釘子的水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間,從入口處放進一個直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球,白色圓玻璃球向下降落的過程中,首先碰到最上面的釘子,碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下,于是又碰到下一層釘子,如此繼續(xù)下去,直到滾到底板的一個格子內為止.現(xiàn)從入口處放進一個白色圓玻璃球,記白色圓玻璃球落入格子的編號為X,則隨機變量X的期望與方差分別為,.
答案31解析由題意可知,白色圓玻璃球從起點到進入格子一共跳了4次,向左或向右的概率均為12,則向左的次數(shù)ξ~B4,12,可知E(ξ)=4×12=2,D(ξ)又因為X=5-ξ,所以E(X)=5-E(ξ)=3,D(X)=D(ξ)=1.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)(2024·山東濟寧二模)為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性,某中學需要了解性別因素是否對本校學生體育鍛煉的經常性有影響,為此對學生是否經常鍛煉的情況進行了抽樣調查.從全體學生中隨機抽取男女學生各100名,經統(tǒng)計,抽查數(shù)據(jù)如下表所示.性別鍛煉合計經常不經常男生8020100女生6040100合計14060200(1)依據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗,分析性別與體育鍛煉的經常性是否有關;(2)為提高學生體育鍛煉的積極性,學校決定從上述經常參加體育鍛煉的學生中,采用樣本量按性別比例分配的分層隨機抽樣方法,隨機抽取7名同學組成體育鍛煉宣傳小組,并從中選出3人擔任宣傳小組組長.記女生擔任宣傳小組組長的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望.附:χ2=nα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解(1)零假設為H0:性別與體育鍛煉的經常性之間無關聯(lián),根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經計算得到χ2=200×(80×40-20×60)2100根據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認為性別與體育鍛煉的經常性有關聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.(2)由分層隨機抽樣可知,在抽取的7名同學中,男生有7×80140=4人,女生有7×60140隨機變量X服從超幾何分布,且N=7,M=3,n=3,P(X=0)=C3P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=CX的分布列為X0123P418121E(X)=nMN=316.(15分)(2023·全國乙,理17)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應,進行10次配對試驗,每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品,隨機地選其中一個用甲工藝處理,另一個用乙工藝處理,測量處理后的橡膠產品的伸縮率,甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為xi,yi(i=1,2,…,10),試驗結果如下:試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi=xi-yi(i=1,2,…,10),記z1,z2,…,z10的樣本平均數(shù)為z,樣本方差為s2.(1)求z,s2;(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高(如果z≥2s210,則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高,解(1)∵zi=xi-yi,∴z1=9,z2=6,z3=8,z4=-8,z5=15,z6=11,z7=19,z8=18,z9=20,z10=12,則z=110×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,s2=110×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=110×(4+25+9+361+16+0+64+49(2)∵2s210=26.1<11,∴可判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高.17.(15分)(2024·新疆烏魯木齊一模)地區(qū)生產總值(地區(qū)GDP)是衡量一個地區(qū)經濟發(fā)展的重要指標,在過去五年(2019年—2023年)中,某地區(qū)的地區(qū)生產總值實現(xiàn)了“翻一番”的飛躍,從1464億元增長到了3008億元.經統(tǒng)計,這五年的年份編號x(2019年對應的x值為1,2020年對應的x值為2,以此類推)與地區(qū)生產總值y(單位:百億元)的對應數(shù)據(jù)如下表所示.年份編號x12345地區(qū)生產總值y/百億元14.6417.4220.7225.2030.08(1)如果2023年該地區(qū)人均生產總值為9.39萬元,全國人均生產總值X(單位:萬元)服從正態(tài)分布X~N(8.94,0.452),那么在全國其他地區(qū)中隨機挑選2個,記隨機變量Y為“2023年人均生產總值高于該地區(qū)的地區(qū)數(shù)量”,求Y=1的概率;(2)該地區(qū)的人口總數(shù)t(單位:百萬人)與年份編號x的經驗回歸方程可以近似為t^=0.2x+2.2,根據(jù)上述回歸方程,估算該地區(qū)年份編號x與人均生產總值u(單位:萬元)之間的經驗回歸方程u^參考公式與數(shù)據(jù):人均生產總值=地區(qū)生產總值÷人口總數(shù);一元線性回歸方程y^=b^x+a^中,斜率和截距的最小二乘估計公式分別是b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a^=y-b^x,若X~N(解(1)易知9.39=8.94+0.45,由正態(tài)分布區(qū)間公式,得P(X>9.39)=P(X>μ+σ)=1-P(μ-即隨機挑選一個地區(qū),人均生產總值高于該地區(qū)的概率為0.16,則Y~B(2,0.16),所以P(Y=1)=C21×0.16×(1-0.16)=0.268(2)因為t^=0.2x+2.2,所以可估計該地區(qū)過去五年的人均生產總值依次為u1=14.640.2×1+2.2=6.1,u2=17.420.2×2+2.2=6.7,u3=20.720.所以x=15×(1+2+3+4+5)=3,u=15×(6.1+6.7+7.4+8.4+9則∑i=15(xi-x)(ui-u)=8.3,∑i=15(xi-由公式可知b^=∑i=15(xi-x)(ui-u)∑i=15即所求經驗回歸方程為u^=0.83x+5.1118.(17分)(2024·四川南充二診)已知某芯片生產商生產的某型號芯片各項指標經過全面檢測后,分為Ⅰ級和Ⅱ級,兩種品級的芯片某項指標的頻率分布直方圖如圖所示.Ⅰ級品Ⅱ級品若只利用該指標制定一個標準,需要確定臨界值K,按規(guī)定須將該指標大于K的產品應用于A型手機,小于或等于K的產品應用于B型手機.若將Ⅰ級品中該指標小于或等于臨界值K的芯片錯誤應用于A型手機,會導致芯片生產商每部手機損失800元;若將Ⅱ級品中該指標大于臨界值K的芯片錯誤應用于B型手機,會導致芯片生產商每部手機損失400元.假設數(shù)據(jù)在組內均勻分布,以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.(1)當臨界值K=70時,將2個不作該指標檢測的Ⅰ級品芯片直接應用于A型手機,求芯片生產商的損失費用ξ(單位:元)的分布列及期望;(2)設K=x且x∈[50,55],現(xiàn)有足夠多的Ⅰ級品和Ⅱ級品芯片,分別應用于1萬部A型手機和1萬部B型手機的生產:方案一:芯片不作該指標檢測,Ⅰ級品直接應用于A型手機,Ⅱ級品直接應用于B型手機;方案二:重新檢測各芯片的該項指標,并按規(guī)定正確應用于手機型號.該方案能避免方案一中的損失費用,但會增加130萬元的檢測費用.請求出方案一中損失費用的估計值f(x)(單位:萬元)的表達式,并從芯片生產商的成本考慮,選擇合理的方案.解(1)當臨界值K=70時,Ⅰ級品中該指標小于或等于70的頻率為(0.002+0.005+0.023)×10=0.3,所以將一個不作該指標檢測的Ⅰ級品芯片直接應用于一部A型手機,該手機損失800元的概率為310由題意知,芯片生產商的損失費用ξ的可能取值為0,800,1600,P(ξ=0)=C20×3100×7102=49P(ξ=800)=C21×3101×7101=42P(ξ=1600)=C22×3102×7100=9所以ξ的分布列為ξ08001600P49429所以E(ξ)=0×49100+800×42100+1600(2)當臨界值K=x且x∈[50,55]時,若采用方案一:Ⅰ級品中該指標小于或等于臨界值K的頻率為0.002×10+0.005×(x-50)=0.005x-0.23,所以可以估計一萬部A型手機中有10000×(0.005x-0.23)=50x-2300部手機的芯片應用錯誤;Ⅱ級品中該指標大于或等于臨界值K的頻率為0.01×10+0.03×(60-x)=-0.03x+1.9,所以可以估計一萬部B型手機中有10000×(-0.03x+1.9)=19000-300x部手機的芯片應用錯誤;所以可以估計芯片生產商的損失費用f(x)=0.08×(50x-2300)+0.04×(19000-300x)=576-8x(萬元),即f(x)=576-8x,x∈[50,55].因為f(x)min=f(55)=136>130,所以芯片生產商從成本考慮,應選擇方案二.19.(17分)(2024·福建漳州模擬)甲、乙、丙三人為響應“綠色出行,低碳環(huán)?!钡奶栒?計劃每天選擇“共享單車”或“地鐵”兩種方式中的一種出行,三人之間的出行互不影響.其中,甲每天選擇“共享單車”出行的概率為12;乙每天選擇“共享單車”出行的概率為23;丙在每月的第一天選擇“共享單車”出行的概率為34,從第二天起,若前一天選擇“共享單車”出行,則后一天繼續(xù)選擇“共享單車”出行的概率為14,若前一天選擇“地鐵”出行,則后一天繼續(xù)選擇“地鐵”出行的概率為(1)若3月1日有兩人選擇“共享單車”出行,求其中一人是丙的概率;(2)記甲、乙、丙三人中3月1日選擇“共享單車”出行的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望;(3)求丙在3月份的第n(n=1,2,…,31)天選擇“共享單車”出行的概率Pn,并幫丙確定在3月
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