試卷解析：廣東省X圳中學(xué)2023-2024學(xué)年高三寒假開學(xué)適用性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

絕密★啟用前2024屆高三年級寒假開學(xué)適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型和考生號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)的題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再填涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，若，則（）A.6B.8C.12D.14【答案】D【解析】【分析】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可計(jì)算出公比，由等比數(shù)列前項(xiàng)和的定義即可得.【詳解】設(shè)公比為，則，則，又各項(xiàng)均為正數(shù)，故，則.故選：D.2.已知7個(gè)數(shù)據(jù)0，1，5，6，7，11，12，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)第百分位數(shù)為這組數(shù)據(jù)從小到大排列的第個(gè)數(shù)，即為，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為.故選：D3.已知在上單調(diào)遞減，且，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】由得，，結(jié)合在上單調(diào)遞減，則必有，顯然B正確，A錯(cuò)誤，而當(dāng)時(shí)，不在定義域內(nèi)，故無法比較，C,D錯(cuò)誤.故選：B4.已知非零向量，，滿足，且，對任意實(shí)數(shù)，，下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】非零向量，，滿足，且，對于A，不恒為，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B正確；對于C，不恒為，故C錯(cuò)誤；對于D，不恒為，故D錯(cuò)誤.故選：B.5.在中，若，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系可得，再由正弦定理可求得.【詳解】易知，由可得；利用正弦定理可得.故選：D6.如圖，在正方體中，，，分別是，的中點(diǎn).用過點(diǎn)且平行于平面的平面去截正方體，得到的截面圖形的面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，，，證明平面平面，進(jìn)而求出截面面積.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，，正方體，平面，平面，，是的中點(diǎn)，，且，四邊形是矩形，且，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，，平面，平面，平面平面，即平面為過點(diǎn)且平行于平面的平面截正方體所得平面，，，，.故選：A.7.已知正整數(shù)N的70次方是一個(gè)83位數(shù)，則由下面表格中部分對數(shù)的近似值（精確到0.001），可得N的值為（）M23711130.3010.4770.8451.0411.114A.13B.14C.15D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，取常用對數(shù)得，結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，求得，即可求解.【詳解】由正整數(shù)的70次方是一個(gè)83位數(shù)，所以，取常用對數(shù)得，即由表可知：，因?yàn)椋缘闹禐?故選C.8.已知線段的長度為是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）.點(diǎn)在圓心為，半徑為的圓上，且不共線，則的面積的最大值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合圖形分析可得，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可得最值.【詳解】如圖：設(shè)，圓M的半徑為r，則，所以的面積，當(dāng)為時(shí)取等號(hào)，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)S有最大值，故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)得0分.9.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則以下選項(xiàng)正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，且為奇函數(shù)，則D.若，且，則為奇函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的定義逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對于選項(xiàng)A：若，則，故A正確；對于選項(xiàng)B：例如，滿足，但，不滿足，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：若，且為奇函數(shù)，則，可得，故C正確；對于選項(xiàng)D：例如，滿足，且，但，不滿足，即不為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.已知m，n都是正整數(shù)，且，下列有關(guān)組合數(shù)的計(jì)算，正確的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】對A、C：借助組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得；對B：舉出反例即可得；對D：由，借助的系數(shù)關(guān)系與組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】對于A，因?yàn)?，，所以，即A正確；對于B，當(dāng)、時(shí)，左邊，右邊，等式不成立，故B不正確；對于C，，故C正確；對于D，因?yàn)椋仁阶筮叺南禂?shù)為：，等式右邊的系數(shù)為：，所以，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)的部分圖像如圖1所示，A，B分別為圖像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過A作x軸的垂線，交x軸于，點(diǎn)C為該部分圖像與x軸的交點(diǎn).將繪有該圖像的紙片沿x軸折成直二面角，如圖2所示，此時(shí).下列結(jié)論正確的有（）A.B.圖2中，C.圖2中，過線段的中點(diǎn)且與垂直的平面與x軸交于點(diǎn)CD.圖2中，S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積大于【答案】BC【解析】【分析】先求出函數(shù)的最小正周期，從而得到，作出輔助線，表達(dá)出，根據(jù)，求出，結(jié)合的取值范圍求出的值，可判斷A；利用空間向量數(shù)量積的定義可判斷B；設(shè)中點(diǎn)為，C在過M與垂直的平面上可判斷C；表示的區(qū)域是圓心角為，半徑為1的扇形，結(jié)合扇形的面積公式可判斷D.【詳解】過點(diǎn)作軸，垂足為，連接，，因?yàn)榈米钚≌芷?，所以，由，得，解?對于A，因?yàn)檫^，所以，即，根據(jù)五點(diǎn)作圖法，結(jié)合圖像可得，，因?yàn)?，所以，所以A錯(cuò)誤；對于B，法1：由可得，，如圖建系，則，，.，所以B正確；法2：因?yàn)?，在和上投影的?shù)量分別為，，且，所以，所以B正確：對于C，設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，所以C在過M與垂直的平面上，即過中點(diǎn)與垂直的平面與x軸交于點(diǎn)C.故C正確；對于D，因?yàn)椋?，則表示的區(qū)域是圓心角為，半徑為1的扇形，又因?yàn)?，所以該扇形的面積為，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量法來求解相應(yīng)問題.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題卡相應(yīng)橫線上.12.設(shè)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)位于虛軸上，則__________.【答案】【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.詳解】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，所以，解得：.故答案為：.13.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是的準(zhǔn)線與的對稱軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在上.若，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合拋物線定義可推導(dǎo)得到結(jié)果.【詳解】由題意知：，，設(shè)，由得：，又，，即.故答案為：.14.已知實(shí)系數(shù)一元二次方程有實(shí)根.則使得，成立的正實(shí)數(shù)的最大值為______.【答案】【解析】【詳解】不妨設(shè)，方程的兩個(gè)實(shí)根為、.由韋達(dá)定理得，.則.從而，，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.某學(xué)校開展健步走活動(dòng)，要求學(xué)校教職員工上傳11月4日至11月10日的步凝.啟息.教師甲、乙這七天的步數(shù)情況如圖1所示.（1）從11月4日至11月10日中隨機(jī)選取一天，求這一天甲比乙的步數(shù)多的概率；（2）從11月4日至11月10日中隨機(jī)選取三天，記乙的步數(shù)不少于20000的天數(shù)內(nèi)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型求解即可；（2）的可能取值為0，1，2，分別求出每種情況的概率，再寫出分布列并求期望即可；【小問1詳解】設(shè)“甲比乙的步數(shù)多”為事件A，在11月4日至11月10日這七天中，11月5日與11月9日這兩天甲比乙步數(shù)多，所以；【小問2詳解】由圖可知，7天中乙的步數(shù)不少于20000步的天數(shù)共2天；的所有可能取值為0，1，2，，，，所以的分布列為012.16.如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.【答案】（1）證明見解析（2）1【解析】【分析】（1）通過取的中點(diǎn)構(gòu)建平面平面即得；（2）由題設(shè)易于建系，運(yùn)用空間向量的夾角公式表示出直線與平面所成角的正弦值，解方程即得.【小問1詳解】如圖，取線段的中點(diǎn)，連接,因分別為的中點(diǎn),故有,又因?yàn)槠矫妫矫?故平面，平面，又,則平面平面,因平面，則平面.【小問2詳解】如圖，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,設(shè)點(diǎn),則，代入坐標(biāo)得：，即，于是,,設(shè)平面的法向量為，則有故可取，依題意得，，解得：，即線段的長為1.17.已知橢圓：的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），且長軸長為短軸長的倍，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)M和N，（1）求橢圓的方程；（2）若直線的方程為，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，直線，分別與x軸相交于P、Q兩點(diǎn)，求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合的關(guān)系即可求得橢圓的方程；（2）由已知得的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，并求出直線的方程，令，求出，即可得，并根據(jù)直線方程求出，然后相乘代入化簡即可.【小問1詳解】由題意得，，解得，，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由題意知點(diǎn)的坐標(biāo)為，將，代入，得：，∴，，，對于直線，令得，∴，對于直線：，令，得，，∴可得.18.已知函數(shù)，（1）求和的極值；（2）是否存在直線，其與曲線和曲線共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，如果存在，求出直線的位置；如果不存在，請說明理由.【答案】（1）取得極大值，無極小值，取得極大值，無極小值；（2）存在，直線過兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性研究函數(shù)的極值即可.（2）由直線過兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為，直線與在的左邊交點(diǎn)為，與在的右邊交點(diǎn)為，根據(jù)，，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值.，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值.【小問2詳解】當(dāng)直線過兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)時(shí)，滿足題意.設(shè)交點(diǎn)為，直線與在的左邊交點(diǎn)為，與在的右邊交點(diǎn)為，由（1）知，且，，.因?yàn)?，所以，又，，且在上單調(diào)遞增，所以，所以又，所以，又，，且在上單調(diào)遞減，所以，則，所以，即，，成等比數(shù)列.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問關(guān)鍵是由，利用在上單調(diào)遞增，得到，同理得到，在利用等比中項(xiàng)證明.19.給定正整數(shù)，設(shè)集合．對于集合中的任意元素和，記．設(shè)，且集合，對于中任意元素，若則稱具有性質(zhì)．（1）判斷集合是否具有性質(zhì)？說明理由；（2）判斷是否存在具有性質(zhì)的集合，并加以證明；（3）若集合具有性質(zhì)，證明：．【答案】（1）具有，理由見解析（2）不存在，證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)集合具有性質(zhì)的特征，即可根據(jù)集合中的元素進(jìn)行檢驗(yàn)求解，（2）假設(shè)集合具有性質(zhì)，分別考慮時(shí)，集合中的元素，即可根據(jù)的定義求解.（3）根據(jù)假設(shè)存在使得，考慮當(dāng)時(shí)以及時(shí)，分量為1的個(gè)數(shù)即可討論求解.【小問1詳解】因?yàn)?，同理．又，同理．所以集合具有性質(zhì)．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，集合中的元素個(gè)數(shù)為．由題設(shè)．假設(shè)集合具有性質(zhì)，則①當(dāng)時(shí)，，矛盾．②當(dāng)時(shí)，，不具有性質(zhì)，矛盾．③當(dāng)時(shí)，．因?yàn)楹椭炼嘁粋€(gè)在中；和至多一個(gè)在中；和至多一個(gè)在中，故集合中的元素個(gè)數(shù)小于，矛盾．④當(dāng)時(shí)，，不具有性質(zhì)，矛盾．⑤當(dāng)時(shí)，，矛盾．綜上，不存在具有性質(zhì)的集合．【小問3詳解】記，則．若，則，矛盾．若，則，矛盾．故．假設(shè)存在使得，不妨