2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】函數(shù)模型的應(yīng)用(2)-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期課題函數(shù)模型的應(yīng)用（2）教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.了解各函數(shù)模型的的特點(diǎn)，能根據(jù)實(shí)際問題的需求，合理選擇函數(shù)模型解決實(shí)際問題；2.準(zhǔn)確把握用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的基本過程；3.在實(shí)際問題的解決過程中，感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值，提升數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：選擇合適的函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，體會(huì)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的一般過程．教學(xué)難點(diǎn)：如何選擇合適的函數(shù)類型建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型．教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)2分鐘（一）溫故知新回顧一下我們?cè)?jīng)用過的函數(shù)模型(1)y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)(2)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)(3)y＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)(4)y＝mlogax＋n(m，a，n為常數(shù)，m≠0，a>0且a≠1)(5)y＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、討論交流．教師提問：我們一起回顧常見函數(shù)模型，而在實(shí)際問題中，有的能應(yīng)用已知的函數(shù)模型解決，有的需要根據(jù)問題的條件建立函數(shù)模型加以解決．設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)常見函數(shù)模型的回顧，提出新的問題，運(yùn)用函數(shù)模型分析解決實(shí)際問題．14分鐘例題教學(xué)例1假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番．請(qǐng)問，你會(huì)選擇哪種投資方案？問題1：請(qǐng)初步選擇一種你認(rèn)為合適的投資方案．追問：（1）你能根據(jù)例題提供的三種投資方案的描述，分析出其中的常量、變量及其相互關(guān)系，并建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型嗎？（2）三個(gè)方案的本質(zhì)是三個(gè)不同的函數(shù)模型，如何選擇一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來比較它們的差異，從而選擇合適的函數(shù)模型？（3）根據(jù)例1中的表格提供的數(shù)據(jù)，你對(duì)三種投資方案分別表現(xiàn)出的回報(bào)資金的增長(zhǎng)差異有什么認(rèn)識(shí)？（4）你能借助計(jì)算工具作出函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象描述一下三種方案的特點(diǎn)嗎？師生活動(dòng)：教師可提出進(jìn)一步的問題，指導(dǎo)學(xué)生分析其中的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生正確寫出三種投資方案所對(duì)應(yīng)的每天回報(bào)金額關(guān)于天數(shù)的函數(shù)關(guān)系式．再利用表格和圖象比較分析三種函數(shù)模型的增長(zhǎng)情況，作出需要分投資天數(shù)進(jìn)行選擇的初步判斷．設(shè)計(jì)意圖：例題教學(xué)除了關(guān)注例題本身承載的教學(xué)目的外，還要注意不同層次的學(xué)生在學(xué)習(xí)上的差異，本例設(shè)問意在分層次、有針對(duì)性地給出不同的臺(tái)階，做到“總體引導(dǎo)，分層指導(dǎo)”，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，利用追問逐步深入．追問（1）意在指導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；追問（2）意在引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不同函數(shù)的增長(zhǎng)差異選擇合適的函數(shù)模型；追問（3）意在引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)表對(duì)三種模型的增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析，借助增加量初步發(fā)現(xiàn)當(dāng)自變量變得很大時(shí)，指數(shù)函數(shù)比一次函數(shù)增長(zhǎng)得快，一次函數(shù)比對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)得快，尤其是引導(dǎo)學(xué)生通過觀察增加量體會(huì)指數(shù)函數(shù)（x）的增長(zhǎng)速度；追問（4）意在借助計(jì)算結(jié)果與圖象直觀理解“指數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的實(shí)際含義，并通過描述三種方案的特點(diǎn)，為下一個(gè)問題埋下伏筆．這里可以提示學(xué)生，用數(shù)表和圖象分別呈現(xiàn)它們的變化趨勢(shì)，各有優(yōu)勢(shì)，數(shù)表準(zhǔn)確，但對(duì)于趨勢(shì)的刻畫并不直觀，而圖象則可以直觀刻畫出三者的變化趨勢(shì)，但從圖中并不能準(zhǔn)確讀出精確數(shù)據(jù)。讓學(xué)生學(xué)會(huì)在不同場(chǎng)景，不同需求下作出正確選擇．問題2：僅僅分析每天的回報(bào)數(shù)就能準(zhǔn)確作出選擇嗎？關(guān)于三種投資方案的選擇，你應(yīng)當(dāng)如何判斷？追問：教科書152頁邊空的問題中，是根據(jù)投資天數(shù)作出不同方案的選擇，劃分天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)是什么？這種劃分正確嗎？師生活動(dòng)：教師可根據(jù)學(xué)生的思考，指出計(jì)算每月回報(bào)的增加量（或增長(zhǎng)率）是對(duì)數(shù)據(jù)的基本處理方法，本例提供的表格和圖象都可以直觀看出三種函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異，但要具體到投資的天數(shù)，回報(bào)的增加量還不足以作為選擇投資方案的依據(jù)，然后利用下述追問引導(dǎo)學(xué)生選擇累計(jì)的回報(bào)數(shù)進(jìn)行判斷，作出正確的回答．最后，在問題2的基礎(chǔ)上，給出本題的完整解答．指數(shù)增長(zhǎng)用在收入上是好事，但如果是借錢還款的模式，后果不堪設(shè)想，提醒學(xué)生警惕生活中的陷阱，例如“校園貸”、“套路貸”等騙局，要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)保護(hù)自己！設(shè)計(jì)意圖：教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析影響方案選擇的因素，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到要作出正確選擇，除了考慮每天的收益外，還要考慮一段時(shí)間內(nèi)累計(jì)的回報(bào)．最后借助計(jì)算工具，得出總收益并作出正確判斷．例2某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨銷售利潤(rùn)x（單位：萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的25%．三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：，，，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？提示學(xué)生注意，題目的兩個(gè)條件有選擇的先驗(yàn)證，即不能超過五萬；要讓學(xué)生從思想的角度給出判斷和理由，因?yàn)檫@也是在處理實(shí)際問題時(shí)必須要關(guān)注的一件事，先驗(yàn)證比較容易實(shí)現(xiàn)的，或者可以快速篩選下去不符合條件的選項(xiàng)．問題3：根據(jù)題目條件，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型才符合公司的要求？追問：（1）公司提出的要求與函數(shù)的什么性質(zhì)有關(guān)？這對(duì)選擇函數(shù)模型有什么幫助？（2）函數(shù)圖象能直觀反映函數(shù)的性質(zhì)特征，從而可以直觀判斷函數(shù)模型是否符合公司的要求．為此，你能否作出函數(shù)圖象，并通過觀察作出初步的判斷嗎？師生活動(dòng)：教師可以在學(xué)生思考問題3的基礎(chǔ)上，提出追問中的問題，進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題目條件，分析例題中隱藏的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定符合公司要求的函數(shù)模型．設(shè)計(jì)意圖：這里依然關(guān)注教學(xué)的生成，繼續(xù)在總體指導(dǎo)下有針對(duì)性地給出不同臺(tái)階的分層問題．追問（1）意在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注實(shí)際問題的變化規(guī)律，并建立與函數(shù)性質(zhì)的聯(lián)系，為選擇合適模型做好準(zhǔn)備；追問（2）意在引導(dǎo)學(xué)生作出函數(shù)圖象，并結(jié)合函數(shù)性質(zhì)作出初步判斷，從而實(shí)現(xiàn)將實(shí)際問題向函數(shù)模型轉(zhuǎn)化．問題4：你能說明選擇模型的理由，并給出本題的解答嗎？在給出解答這個(gè)環(huán)節(jié)要注意方法的選擇，有的可以通過直接計(jì)算得出結(jié)論，有的則需借助趨勢(shì)判斷，有的借助計(jì)算工具完成估算，要注意這里的細(xì)節(jié)處理．特別是第二個(gè)條件的驗(yàn)證，中間包含了很多數(shù)學(xué)問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化策略，如何利用函數(shù)性質(zhì)和信息技術(shù)配合論證等，這些對(duì)于處理復(fù)雜的實(shí)際問題都有指導(dǎo)意義，注意挖掘．追問：（1）你是如何判定所選擇的獎(jiǎng)勵(lì)模型是否符合要求？（2）能否給出本題的解答過程？師生活動(dòng)：教師在學(xué)生嘗試給出解答的基礎(chǔ)上，通過追問中的問題作進(jìn)一步的指導(dǎo)，幫助學(xué)生從畫函數(shù)圖象入手，通過觀察函數(shù)的圖象，得出初步的判斷，再通過具體計(jì)算求解得出正確結(jié)果．設(shè)計(jì)意圖：教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)際問題，并根據(jù)函數(shù)性質(zhì)選擇合適的函數(shù)模型，給出正確解答．追問（1）意在引導(dǎo)學(xué)生指出判斷依據(jù)；追問（2）意在指導(dǎo)學(xué)生確認(rèn)解題基本思路，從而學(xué)習(xí)運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)分析問題．5分鐘（三）課堂練習(xí)1．為了能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成預(yù)期的運(yùn)輸量，某運(yùn)輸公司提出了五種運(yùn)輸方案，每種方案的運(yùn)輸量Q與時(shí)間t的關(guān)系如下圖所示．運(yùn)輸效率（單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量）逐步提高的圖象編號(hào)是______________．②2．某自行車存車處在某一天總共存放車輛4000輛次，存車費(fèi)為：電動(dòng)自行車0.3元/輛，普通自行車0.2元/輛．若該天普通自行車存車x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為()A．y＝0.2x(0≤x≤4000)B．y＝0.5x(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)D．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C3．若等腰三角形的周長(zhǎng)為20，底邊長(zhǎng)y是關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù)，則它的解析式為()A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10)D設(shè)計(jì)意圖：考查根據(jù)題