2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期課題正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.初步理解正切函數(shù)的基本性質(zhì)，并借助性質(zhì)把握圖象特征；2.通過正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)的研究，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)研究的方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合和類比的思想方法的使用；3.在正切函數(shù)的研究中，發(fā)展直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：正切函數(shù)的周期性、定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合性質(zhì)繪制圖象.教學(xué)難點(diǎn)：能夠應(yīng)用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)問題.教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)2分鐘復(fù)習(xí)引入問題1：什么叫正切函數(shù)？我們已經(jīng)知道，對于任意一個(gè)角，，有唯一確定的正切值與之對應(yīng)，因此是一個(gè)函數(shù)，稱為正切函數(shù).設(shè)計(jì)意圖：為研究正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象作好準(zhǔn)備.問題2：如何研究正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象？前面我們研究正弦函數(shù)的方法是通過定義和單位圓繪制出正弦曲線，再通過圖象直觀地研究正弦函數(shù)的性質(zhì)。研究余弦函數(shù)是利用正弦曲線平移得到余弦曲線，進(jìn)而研究性質(zhì)。正切函數(shù)的圖像不能通過平移得到，但有了前面的知識(shí)準(zhǔn)備，我們可以換個(gè)角度，即從正切函數(shù)的定義出發(fā)研究它的部分性質(zhì)，再利用性質(zhì)研究正切函數(shù)的圖象，進(jìn)而得到其他性質(zhì).設(shè)計(jì)意圖：在回顧研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的方法的基礎(chǔ)上引出研究正切函數(shù)的方法.12分鐘新課講解正切函數(shù)的性質(zhì)1.定義域由正切函數(shù)的定義，角的終邊不能落在y軸上，因此我們得到正切函數(shù)的定義域：.這種表示形式是在實(shí)數(shù)集中去掉了不能取到的點(diǎn)，還有沒有其他的表達(dá)方法呢？我們也可以把能取到的所有值用區(qū)間形式表示出來，即.在這個(gè)形式中，每一個(gè)取定的k值就對應(yīng)著一個(gè)具體的區(qū)間，比如當(dāng)k=0時(shí)，對應(yīng)的區(qū)間是，當(dāng)k=1時(shí)，對應(yīng)的區(qū)間是，當(dāng)k=-1時(shí)，對應(yīng)的區(qū)間是等，定義域應(yīng)取這些區(qū)間的并集，用連接.問題3：由此想象圖象會(huì)具有什么特點(diǎn)？圖象被垂直于x軸的無窮多條直線隔開，兩條直線之間的圖象是連續(xù)的.2.奇偶性正切函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，由誘導(dǎo)公式且,可知，正切函數(shù)是奇函數(shù).問題4：由此想象圖象會(huì)具有什么特點(diǎn)？正切函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.3.周期性由誘導(dǎo)公式，且,可知，正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是.問題5：正切函數(shù)的周期性和奇偶性對研究它的圖象會(huì)有什么幫助？由于為正切函數(shù)的周期，所以我們只需要畫出他在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，然后通過平移就可以得到在整個(gè)定義域內(nèi)的圖象.選擇哪一個(gè)長度為的區(qū)間呢？可以選擇區(qū)間；而正切函數(shù)又是奇函數(shù)，所以只需畫出在的圖象.下面我們研究怎樣得到函數(shù)的圖象.正切函數(shù)的圖象我們可以利用描點(diǎn)法作出圖象，為了更準(zhǔn)確地得到點(diǎn)的坐標(biāo)，我們可以利用單位圓找到正切值的幾何意義.如圖5.4—9，設(shè)，在直角坐標(biāo)系中畫出角x的終邊與單位圓的交點(diǎn)過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為；過點(diǎn)作軸的垂線與角的終邊交于點(diǎn)，則；由此可見，當(dāng)時(shí)，線段的長度就是相應(yīng)角的正切值．我們可以利用線段畫出函數(shù)的圖象，如圖5.4.10所示．通過動(dòng)畫演示，將的角四等分，通過線段AT找到對應(yīng)角的縱坐標(biāo)，若希望更準(zhǔn)確的繪圖，可進(jìn)一步取更多的點(diǎn)，用光滑曲線連結(jié)取到的點(diǎn)，得到的圖象.設(shè)計(jì)意圖：通過正切函數(shù)定義及單位圓找到正切值得幾何表示（即正切線），繪制正切函數(shù)的圖象.將函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，就可得到函數(shù)的圖象；將函數(shù)的圖象向左、右平移，每次平移個(gè)單位，就可得到正切函數(shù)，且的圖象.，且的圖象，稱為“正切曲線”.從圖5.4.11可以看出，正切曲線是被與軸平行的一系列直線所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的.問題6：由正切曲線，我們能夠得到正切函數(shù)的哪些其他性質(zhì)呢？4.單調(diào)性觀察正切曲線可知，正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.由正切函數(shù)的周期性可得，正切函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間,上都單調(diào)遞增.應(yīng)注意：（1）區(qū)間端點(diǎn)不在定義域內(nèi)，所以必須寫成開區(qū)間；（2）正切函數(shù)在每一個(gè)開區(qū)間,上都是單調(diào)遞增的.k的每一個(gè)取定的值都對應(yīng)著一個(gè)單調(diào)區(qū)間，而正切函數(shù)的定義域是這無窮多個(gè)區(qū)間的并，故正切函數(shù)在其整個(gè)定義域內(nèi)不具有單調(diào)性.5.值域當(dāng)時(shí)，在內(nèi)可取到任意實(shí)數(shù)值，但沒有最大值、最小值.因此，正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集.6.漸近線正切函數(shù)的圖象是被相互平行的直線隔開的無窮多支形狀完全相同的曲線組成的.當(dāng)x趨近于時(shí)，函數(shù)值趨近于正無窮或負(fù)無窮，為其漸近線.7.對稱性問題7：正切曲線有對稱中心嗎？由于正切函數(shù)是奇函數(shù)，不難看出正切曲線是中心對稱圖形，原點(diǎn)就是它的一個(gè)對稱中心，還有別的對稱中心嗎？正切曲線與x軸的每一個(gè)交點(diǎn)都是其對稱中心；另外，每條漸近線與x軸的交點(diǎn)也是其對稱中心.由此可知，正切曲線的對稱中心為.應(yīng)注意，正切函數(shù)的對稱中心除了函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)外，還有漸近線與軸的交點(diǎn).對稱中心不一定在圖象上，比如我們熟悉的反比例函數(shù)，原點(diǎn)是其對稱中心，但并不在函數(shù)圖象上.正切曲線無對稱軸.8.零點(diǎn)觀察正切曲線可以看出，正切函數(shù)的零點(diǎn)為.以上我們研究正切函數(shù)的思路是：通過定義得到部分性質(zhì)，在性質(zhì)的輔助下得到正切函數(shù)圖象，再由圖象得到其他性質(zhì)，將函數(shù)的性質(zhì)與圖象有機(jī)的結(jié)合起來，充分地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.設(shè)計(jì)意圖：通過研究正切函數(shù)的性質(zhì)畫出正切函數(shù)圖象，再通過圖象發(fā)現(xiàn)更多性質(zhì).在解決問題的過程中由數(shù)想形，由形到數(shù)，反復(fù)進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化.從定義、誘導(dǎo)公式、圖象等多角度認(rèn)識(shí)正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象.下面我們利用性質(zhì)解決一些問題.6分鐘例題解析例1.不求值，分別比較下列各組正切值的大小.（2）與的大小.例2.求函數(shù)的定義域、周期及單調(diào)區(qū)間.分析：利用正切函數(shù)的性質(zhì)，通過代數(shù)變形可以得出相應(yīng)的結(jié)論.解：自變量x的取值應(yīng)滿足：即所以，函數(shù)的定義域是.設(shè)，又所以即因?yàn)?都有所以，函數(shù)的周期為.由解得；因此，函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增.設(shè)計(jì)意圖：應(yīng)用正切函數(shù)的性質(zhì)解決問題，加深對性質(zhì)的理解，熟悉相關(guān)思想方法的應(yīng)用.1分總結(jié)提升這節(jié)課，我們通過正切函數(shù)的定義、結(jié)合誘導(dǎo)公