廣東省梅州市梅雁中學2024-2025學年高三上學期12月月考數學試題（含答案）

梅雁中學12月月考數學試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復數滿足，則（

）A． B．3 C． D．53．已知四邊形是平行四邊形，，，記，，則（

）A．B．C．D．4．已知，則（

）A． B． C． D．5．已知是兩個單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（

）A．30° B．60° C．90° D．120°6．已函數的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．7．設實數，若不等式aeax?1≥lnxe對任意A． B． C． D．8．設是公比不為1的無窮等比數列，則“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.9．函數的部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（

）A．B．C．關于對稱D．將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數10．已知球是棱長為2的正方體的內切球，是的中點，是的中點，是球的球面上任意一點，則下列說法正確的是（

）A．若，則動點的軌跡長度為B．三棱錐的體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，則的大小為定值11．已知函數為奇函數，且，當時，，則（

）A.的圖象關于點對稱 B.的圖象關于直線對稱C.的最小正周期為2 D.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．設等差數列的前項和為,若,,則．13．中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的最小值是______________．14．在四面體中，是邊長為的等邊三角形，，，，點在棱上，且，過點作四面體的外接球的截面，則所得截面圓的面積最小值與球的表面積之比為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（13分）已知等差數列滿足，正項等比數列滿足首項為1，前3項和為7.（1）求與的通項公式；（2）求的前n項和16．（15分）已知函數的最小正周期為.(1)求在上的單調遞增區(qū)間；(2)在銳角三角形中，內角的對邊分別為且求的取值范圍.17.（15分）已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）若在恒成立，求整數a的最大值.．18．（17分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中∥，，，，為棱BC上的點，且．(1)求證：平面PAC；(2)求點到平面PCD的距離；(3)設為棱CP上的點（不與C，P重合），且直線QE與平面PAC所成角的正弦值為，求的值．.19．（17分）已知（其中為自然對數的底數）.(1)當時，求曲線在點處的切線方程，(2)當時，判斷是否存在極值，并說明理由；(3)，求實數的取值范圍.數學月考試卷答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B2．已知復數滿足，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】D3．已知四邊形是平行四邊形，，，記，，則（

）A．B．C．D．【答案】A4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A5．已知是兩個單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（

）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B6．已函數的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C7．設實數，若不等式aeax?1≥lnxeA． B． C． D．【答案】C8．設是公比不為1的無窮等比數列，則“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．函數的部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（

）A．B．C．關于對稱D．將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數【答案】AC10．已知球是棱長為2的正方體的內切球，是的中點，是的中點，是球的球面上任意一點，則下列說法正確的是（

）A．若，則動點的軌跡長度為B．三棱錐的體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，則的大小為定值【答案】ACD11．已知函數為奇函數，且，當時，，則（

）A.的圖象關于點對稱 B.的圖象關于直線對稱C.的最小正周期為2 D.【答案】ABD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．設等差數列的前項和為,若,,則.【答案】1013．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的最小值是______________．【答案】14．在四面體中，是邊長為的等邊三角形，，，，點在棱上，且，過點作四面體的外接球的截面，則所得截面圓的面積最小值與球的表面積之比為．【答案】/1：8四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）已知等差數列滿足，正項等比數列滿足首項為1，前3項和為7.（1）求與的通項公式；（2）求的前n項和.【答案】（1），；（2）.16．（15分）已知函數的最小正周期為.(1)求在上的單調遞增區(qū)間；(2)在銳角三角形中，內角的對邊分別為且求的取值范圍.【解】（1）.因為所以故.由解得當時又所以在上的單調遞增區(qū)間為.（2）由得（所以.因為所以又所以又三角形為銳角三角形，則，則，所以，又，，則，所以的取值范圍為.17．（15分）已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）若在恒成立，求整數a的最大值.【解】（1）函數的定義域為.因為，………1分所以.………2分當，即時，；………3分當，即時，由得，得.………5分綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；………6分（2）因為，即，所以.所以對恒成立.令，則，……8分令，則，因為，所以，……10分所以在上單調遞增，因為，，所以存在滿足，即.………12分當時，，即；當時，，即.所以在上單調遞減，在上單調遞增，………13分所以，所以，………14分因為，，所以的最大值為.………15分18．（17分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中∥，，，，為棱BC上的點，且．(1)求證：平面PAC；(2)求點到平面PCD的距離；(3)設為棱CP上的點（不與C，P重合），且直線QE與平面PAC所成角的正弦值為，求的值．【解】（1）因為平面，平面，平面所以，.因為則以A為坐標原點，建立如圖的空間直角坐標系．由已知可得，，，，，．所以，，．因為，所以.，所以．又，平面，平面．所以平面；（2）由（1）可知，設平面的法向量因為，．所以，即不妨設，得點到平面的距離．所以點到平面的距離為．．（3）設，即．則，即.則.由（1）可取為平面PAC法向量.因與平面夾角正弦值為，則即解得，即.19．（17分）已知（其中為自然對數的底數）.(1)當時，求曲線在點處的切線方程，(2)當時，判斷是否存在極值，并說明理由；(3)，求實數的取值范圍.【解】（1）解：當時，，可得，則，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）解：當時，，定義域為，可得，令，則，當時，；當時，，所以在遞減，在上遞增，所以，又由，