2024屆江蘇省揚(yáng)大附中高三單科質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)試題_第1頁
2024屆江蘇省揚(yáng)大附中高三單科質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)試題_第2頁
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文檔簡介

2023屆江蘇省揚(yáng)大附中高三單科質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.國務(wù)院發(fā)布《關(guān)于進(jìn)一步調(diào)整優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提高教育經(jīng)費(fèi)使用效益的意見》中提出,要優(yōu)先落實(shí)教育投入.某研究機(jī)構(gòu)統(tǒng)計了年至年國家財政性教育經(jīng)費(fèi)投入情況及其在中的占比數(shù)據(jù),并將其繪制成下表,由下表可知下列敘述錯誤的是()A.隨著文化教育重視程度的不斷提高,國在財政性教育經(jīng)費(fèi)的支出持續(xù)增長B.年以來,國家財政性教育經(jīng)費(fèi)的支出占比例持續(xù)年保持在以上C.從年至年,中國的總值最少增加萬億D.從年到年,國家財政性教育經(jīng)費(fèi)的支出增長最多的年份是年2.已知定義在上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時,,則方程的最小實(shí)根的值為()A. B. C. D.3.已知變量的幾組取值如下表:12347若與線性相關(guān),且,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.4.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為,則不可能為()A. B. C. D.5.寧波古圣王陽明的《傳習(xí)錄》專門講過易經(jīng)八卦圖,下圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(“—”表示一根陽線,“——”表示一根陰線).從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為()A. B. C. D.6.已知函數(shù),若,則的最小值為()參考數(shù)據(jù):A. B. C. D.7.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A. B.4C. D.58.在平行六面體中,M為與的交點(diǎn),若,,則與相等的向量是()A. B. C. D.9.已知函數(shù),則()A.2 B.3 C.4 D.510.若圓錐軸截面面積為,母線與底面所成角為60°,則體積為()A. B. C. D.11.已知正四面體的棱長為,是該正四面體外接球球心,且,,則()A. B.C. D.12.若的內(nèi)角滿足,則的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于兩點(diǎn),,若線段的垂直平分線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則的值為_________.14.六位同學(xué)坐在一排,現(xiàn)讓六位同學(xué)重新坐,恰有兩位同學(xué)坐自己原來的位置,則不同的坐法有________種(用數(shù)字回答).15.在中,已知是的中點(diǎn),且,點(diǎn)滿足,則的取值范圍是_______.16.在中,內(nèi)角的對邊長分別為,已知,且,則_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓C:(a>b>0)過點(diǎn)(0,),且滿足a+b=3.(1)求橢圓C的方程;(2)若斜率為的直線與橢圓C交于兩個不同點(diǎn)A,B,點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,1),設(shè)直線MA與MB的斜率分別為k1,k2,試問k1+k2是否為定值?并說明理由.18.(12分)設(shè)實(shí)數(shù)滿足.(1)若,求的取值范圍;(2)若,,求證:.19.(12分)如圖,在斜三棱柱中,側(cè)面與側(cè)面都是菱形,,.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20.(12分)健身館某項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每次60元,現(xiàn)推出會員優(yōu)惠活動:具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:現(xiàn)隨機(jī)抽取了100為會員統(tǒng)計它們的消費(fèi)次數(shù),得到數(shù)據(jù)如下:假設(shè)該項(xiàng)目的成本為每次30元,根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問題:(1)估計1位會員至少消費(fèi)兩次的概率(2)某會員消費(fèi)4次,求這4次消費(fèi)獲得的平均利潤;(3)假設(shè)每個會員每星期最多消費(fèi)4次,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件的概率,從會員中隨機(jī)抽取兩位,記從這兩位會員的消費(fèi)獲得的平均利潤之差的絕對值為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望21.(12分)如圖,四棱錐中,底面是邊長為的菱形,,點(diǎn)分別是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)已知變換將平面上的點(diǎn),分別變換為點(diǎn),.設(shè)變換對應(yīng)的矩陣為.(1)求矩陣;(2)求矩陣的特征值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

觀察圖表,判斷四個選項(xiàng)是否正確.【詳解】由表易知、、項(xiàng)均正確,年中國為萬億元,年中國為萬億元,則從年至年,中國的總值大約增加萬億,故C項(xiàng)錯誤.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計圖表,正確認(rèn)識圖表是解題基礎(chǔ).2.C【解析】

先確定解析式求出的函數(shù)值,然后判斷出方程的最小實(shí)根的范圍結(jié)合此時的,通過計算即可得到答案.【詳解】當(dāng)時,,所以,故當(dāng)時,,所以,而,所以,又當(dāng)時,的極大值為1,所以當(dāng)時,的極大值為,設(shè)方程的最小實(shí)根為,,則,即,此時令,得,所以最小實(shí)根為411.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問題,涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識,本題有一定的難度及高度,是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.3.B【解析】

求出,把坐標(biāo)代入方程可求得.【詳解】據(jù)題意,得,所以,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程,由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點(diǎn)可計算參數(shù)值.4.D【解析】

依題意,設(shè),由,得,再一一驗(yàn)證.【詳解】設(shè),因?yàn)?,所以,?jīng)驗(yàn)證不滿足,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義,還考查了推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】

根據(jù)古典概型的概率求法,先得到從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù),再找出這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù),代入公式求解.【詳解】從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù)種,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù)有6種,分別是(巽,坤),(兌,坤),(離,坤),(震,艮),(震,坎),(坎,艮),所以這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率是.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.6.A【解析】

首先的單調(diào)性,由此判斷出,由求得的關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值,由此求得的最小值.【詳解】由于函數(shù),所以在上遞減,在上遞增.由于,,令,解得,所以,且,化簡得,所以,構(gòu)造函數(shù),.構(gòu)造函數(shù),,所以在區(qū)間上遞減,而,,所以存在,使.所以在上大于零,在上小于零.所以在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.而,所以在區(qū)間上的最小值為,也即的最小值為,所以的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.7.B【解析】

還原幾何體的直觀圖,可將此三棱錐放入長方體中,利用體積分割求解即可.【詳解】如圖,三棱錐的直觀圖為,體積.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了錐體的體積的求解,利用的體積分割的方法,考查了空間想象力及計算能力,屬于中檔題.8.D【解析】

根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算,用作基底表示即可得解.【詳解】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可知因?yàn)?,則即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算,用基底表示向量,屬于基礎(chǔ)題.9.A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)直接計算得到答案.【詳解】因?yàn)樗?故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)計算,意在考查學(xué)生的計算能力.10.D【解析】

設(shè)圓錐底面圓的半徑為,由軸截面面積為可得半徑,再利用圓錐體積公式計算即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為,由已知,,解得,所以圓錐的體積.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積的計算,涉及到圓錐的定義,是一道容易題.11.A【解析】

如圖設(shè)平面,球心在上,根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得,根據(jù)平面向量的加法的幾何意義,重心的性質(zhì),結(jié)合已知求出的值.【詳解】如圖設(shè)平面,球心在上,由正四面體的性質(zhì)可得:三角形是正三角形,,,在直角三角形中,,,,,,因?yàn)闉橹匦?,因此,則,因此,因此,則,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了正四面體的性質(zhì),考查了平面向量加法的幾何意義,考查了重心的性質(zhì),屬于中檔題.12.A【解析】

由,得到,得出,再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式,即可求解.【詳解】由題意,角滿足,則,又由角A是三角形的內(nèi)角,所以,所以,因?yàn)?,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì),以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式的化簡、求值問題,著重考查了推理與計算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】

設(shè),寫出直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理求得,由拋物線定義得焦點(diǎn)弦長,求得,再寫出的垂直平分線方程,得,從而可得結(jié)論.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,直線的方程為,據(jù)得.設(shè),則.線段垂直平分線方程為,令,則,所以,所以.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的焦點(diǎn)弦問題,根據(jù)拋物線的定義表示出焦點(diǎn)弦長是解題關(guān)鍵.14.135【解析】

根據(jù)題意先確定2個人位置不變,共有種選擇,再確定4個人坐4個位置,但是不能坐原來的位置,計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意先確定2個人位置不變,共有種選擇.再確定4個人坐4個位置,但是不能坐原來的位置,共有種選擇,故不同的坐法有.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了分步乘法原理,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.15.【解析】

由中點(diǎn)公式的向量形式可得,即有,設(shè),有,再分別討論三點(diǎn)共線和不共線時的情況,找到的關(guān)系,即可根據(jù)函數(shù)知識求出范圍.【詳解】是的中點(diǎn),∴,即設(shè),于是(1)當(dāng)共線時,因?yàn)?,①若點(diǎn)在之間,則,此時,;②若點(diǎn)在的延長線上,則,此時,.(2)當(dāng)不共線時,根據(jù)余弦定理可得,解得,由,解得.綜上,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)中點(diǎn)公式的向量形式和數(shù)量積的定義的應(yīng)用,以及余弦定理的應(yīng)用,涉及到函數(shù)思想和分類討論思想的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式,屬于中檔題.16.4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得:,即∵∴∵∴故答案為4三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)k1+k2為定值0,見解析【解析】

(1)利用已知條件直接求解,得到橢圓的方程;(2)設(shè)直線在軸上的截距為,推出直線方程,然后將直線與橢圓聯(lián)立,設(shè),利用韋達(dá)定理求出,然后化簡求解即可.【詳解】(1)由橢圓過點(diǎn)(0,),則,又a+b=3,所以,故橢圓的方程為;(2),證明如下:設(shè)直線在軸上的截距為,所以直線的方程為:,由得:,由得,設(shè),則,所以,又,所以,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查了方程的思想,轉(zhuǎn)化與化歸的思想,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.18.(1)(2)證明見解析【解析】

(1)依題意可得,考慮到,則有再分類討論可得;(2)要證明,即證,即證.利用基本不等式即可得證;【詳解】解:(1)由及,得,考慮到,則有,它可化為或即或前者無解,后者的解集為,綜上,的取值范圍是.(2)要證明,即證,由,得,即證.因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng),時取等號).所以成立,故成立.【點(diǎn)睛】本題考查分類討論法解絕對值不等式,基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.19.(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)取中點(diǎn),連,,由等邊三角形三邊合一可知,,即證.(2)以,,為正方向建立空間直角坐標(biāo)系,由向量法可求得平面與平面所成的銳二面角的余弦值.試題解析:(Ⅰ)證明:連,,則和皆為正三角形.取中點(diǎn),連,,則,,則平面,則(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,又,所以.如圖所示,分別以,,為正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè)平面的法向量為,因?yàn)?,,所以取面的法向量取,則,平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20.(1)(2)22.5(3)見解析,【解析】

(1)根據(jù)頻數(shù)計算頻率,得出概率;(2)根據(jù)優(yōu)惠標(biāo)準(zhǔn)計算平均利潤;(3)求出各種情況對應(yīng)的的值和概率,得出分布列,從而計算出數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)估計1位會員至少消費(fèi)兩次的概率;(2)第1次消費(fèi)利潤;第2次消費(fèi)利潤;第3次消費(fèi)利潤;第4次消費(fèi)利潤;這4次消費(fèi)獲得的平均利潤:(3)1次消費(fèi)利潤是27,概率是;2次消費(fèi)利潤是,概率是;3次消費(fèi)利潤是,概率是;4次消費(fèi)利潤是,概率是;由題意:故分布列為:0期望為:【點(diǎn)睛】本題考查概率、平均利潤、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,考查古典概型、相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.21.(1)見解析;(2).【解析】

(1)取的中點(diǎn),連接,通過證明,即可證得;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連接.是的中點(diǎn),,又,四邊形是平行四邊形.,又平面平面,平面.(2),

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