浙江省寧波市余姚中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

余姚中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期期中測(cè)試高一數(shù)學(xué)學(xué)科試卷命題：樂(lè)陶軍審題：丁莉靜一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合補(bǔ)集和交集的定義求解即可．【詳解】，故選：C2.命題：的否定是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由全稱(chēng)命題的否定直接改寫(xiě)即可.【詳解】因?yàn)槿Q(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題，所以命題：的否定是：.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，一般只需要改量詞和結(jié)論即可，屬于基礎(chǔ)題型.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上都增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：C.4.若，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】取，，可得“”不能推出“”；由基本不等式可知由“”可以推出“”，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，取，，則滿足，但是，所以“”不能推出“”；反過(guò)來(lái)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有，即.綜上可知，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可排除AC，再由當(dāng)時(shí)，，排除D，即可得解.【詳解】設(shè)，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除AC；當(dāng)時(shí)，，所以，排除D.故選：B.6.已知函數(shù)（且）在定義域內(nèi)單調(diào)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知每一段函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，再當(dāng)時(shí)，可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（且）在定義域內(nèi)單調(diào)，而在上只能單調(diào)遞增，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，解得，即的取值范圍為.故選：B7.若關(guān)于的函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集，轉(zhuǎn)化為且恒成立，結(jié)合二次不等式恒成立求解即可.【詳解】由題意，，且對(duì)任意，，①且，②對(duì)于①，，結(jié)合，得.若，由②知對(duì)任意，矛盾；若，由②知對(duì)任意，即，則，得，綜上，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，①②同時(shí)成立.故選：C8.已知實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為（）A.6 B. C. D.5【答案】D【解析】【分析】由題意可得，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得，即可得，即可得解.【詳解】由可得，由，則，令，則在上單調(diào)遞增，有，故，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.

故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題5分，共15分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列結(jié)論正確的是（）A.，都有B.已知為常數(shù)且，則，當(dāng)時(shí)，恒有C.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是D.在上具有零點(diǎn)的必要不充分條件是【答案】BC【解析】【分析】由指數(shù)冪的運(yùn)算即可判斷A，由指對(duì)冪函數(shù)的特點(diǎn)即可判斷B，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C，由函數(shù)零點(diǎn)的定義即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，函數(shù)均為單調(diào)遞增函數(shù)，且各類(lèi)函數(shù)的增長(zhǎng)速度為指數(shù)函數(shù)最快，對(duì)數(shù)函數(shù)最慢，所以?，當(dāng)??時(shí)，恒有?ax>ax>logax對(duì)于C，由解得或，又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)于D，取函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)為和，即在上存在零點(diǎn)，但是f?2?f2>0，故故選：BC10.下列不等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A，由的單調(diào)性即可判斷B，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及換底公式代入計(jì)算，即可判斷C，由作商法代入計(jì)算，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增，則，故A正確；對(duì)于B，由在單調(diào)遞減可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由在上單調(diào)遞增，則，所以，即，故C正確；對(duì)于D，由可得，由可得，故D正確；故選：ACD11.一般地，若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則稱(chēng)為的“倍跟隨區(qū)間”；若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為，則稱(chēng)為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是（）A.若為的跟隨區(qū)間，則B.函數(shù)存在跟隨區(qū)間C.若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則D.二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”【答案】ACD【解析】【分析】A，由已知可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，進(jìn)而可以求解的值；B，假設(shè)存在跟隨區(qū)間，則根據(jù)跟隨區(qū)間的條件求解，的值，結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行判斷；C，先設(shè)跟隨區(qū)間為，則根據(jù)跟隨區(qū)間滿足的條件建立方程組，找出，的關(guān)系，然后統(tǒng)一變量表示出，列出關(guān)于的關(guān)系式，利用方程思想求解的取值范圍，D，若存在3倍跟隨區(qū)間，則設(shè)定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，由此建立方程組，再等價(jià)轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可以求解．【詳解】選項(xiàng)：由已知可得函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增，則有，解得或1（舍，所以，正確；選項(xiàng)：若存在跟隨區(qū)間，又因函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上遞減，圖象如圖示，則區(qū)間一定是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即或,則有，解得，此時(shí)異號(hào)，故函數(shù)不存在跟隨區(qū)間，不正確；選項(xiàng)：由已知函數(shù)可得：函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，若存在跟隨區(qū)間，則有，即，兩式作差得：，即，又，所以，得，所以，設(shè)，則，即在區(qū)間上有一個(gè)實(shí)數(shù)根，只需：，解得，正確；選項(xiàng)：若函數(shù)存在3倍跟隨區(qū)間，設(shè)定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，解得或，故存在定義域?yàn)槭沟弥涤驗(yàn)椋_，故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)新的定義求解參數(shù)或者是判斷函數(shù)是否符合新定義，考查學(xué)生的理解新知識(shí)運(yùn)用新知識(shí)的能力，解答時(shí)要能根據(jù)新定義，靈活求解，綜合性較強(qiáng).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)開(kāi)___________.【答案】.【解析】【分析】由題意得到關(guān)于的不等式組，解不等式組可得函數(shù)的定義域．【詳解】由題意得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋军c(diǎn)睛】已知函數(shù)的解析式求函數(shù)的定義域時(shí)，可根據(jù)解析式的特征得到關(guān)于自變量的不等式（組），解不等式（組）后可得函數(shù)的定義域．13.求值：（1）________；（2）________．【答案】①.##0.5②.11【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則逐項(xiàng)化簡(jiǎn)運(yùn)算即可的答案；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則、對(duì)數(shù)恒等式、指數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得答案.【詳解】（1）原式；（2）原式.14.若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足：①為奇函數(shù)；②；③對(duì)任意的，且，都有，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì)，已知函數(shù)具有性質(zhì)，則不等式的解集為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】由對(duì)任意的，且，可得在0,+∞上遞減.注意到2x+1?fx<0?2x+1fxx<0【詳解】因?qū)θ我獾?，且，都有，則在0,+∞上單調(diào)遞減，又因?yàn)槠婧瘮?shù)及f1=0則為偶函數(shù)，且，在上單調(diào)遞增.因x∈?∞,0當(dāng)，2x+1fxx當(dāng)，時(shí)，2x+1fxfxx=g當(dāng)，時(shí)，2x+1fx，則；綜上，不等式的解集為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.設(shè)命題：實(shí)數(shù)滿足，其中，命題：實(shí)數(shù)滿足．（1）若，且是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式可得答案；（2）解一元二次不等式可得命題中的，根據(jù)充分不必要條件定義可得答案．【小問(wèn)1詳解】由命題實(shí)數(shù)滿足，其中，當(dāng)時(shí)，即命題，解得；【小問(wèn)2詳解】，命題實(shí)數(shù)滿足，解得，命題實(shí)數(shù)滿足，解得．因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．16.據(jù)觀測(cè)統(tǒng)計(jì)，某濕地公園某種珍稀鳥(niǎo)類(lèi)的現(xiàn)有個(gè)數(shù)約只，并以平均每年的速度增加．(1)求兩年后這種珍稀鳥(niǎo)類(lèi)的大約個(gè)數(shù)；(2)寫(xiě)出（珍稀鳥(niǎo)類(lèi)的個(gè)數(shù)）關(guān)于（經(jīng)過(guò)的年數(shù)）的函數(shù)關(guān)系式；(3)約經(jīng)過(guò)多少年以后，這種鳥(niǎo)類(lèi)的個(gè)數(shù)達(dá)到現(xiàn)有個(gè)數(shù)的倍或以上？（結(jié)果為整數(shù)）(參考數(shù)據(jù)：，)【答案】（1）1166個(gè)；（2），（3）15年【解析】【分析】(1)根據(jù)題意求出一年后的只數(shù)，再求出兩年后的只數(shù)即可;(2)根據(jù)珍稀鳥(niǎo)類(lèi)的現(xiàn)有個(gè)數(shù)約只，并以平均每年的速度增加，列出函數(shù)關(guān)系即可；(3)由題意得到不等式，化簡(jiǎn)得到，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】解：(1)依題意，一年后這種鳥(niǎo)類(lèi)的個(gè)數(shù)為兩年后這種鳥(niǎo)類(lèi)的個(gè)數(shù)為(2)由題意可知珍稀鳥(niǎo)類(lèi)的現(xiàn)有個(gè)數(shù)約只，并以平均每年的速度增加則所求的函數(shù)關(guān)系式為，(3)令，得：兩邊取常用對(duì)數(shù)得：，即考慮到，故，故因?yàn)樗约s經(jīng)過(guò)15年以后，這種鳥(niǎo)類(lèi)的個(gè)數(shù)達(dá)到現(xiàn)有個(gè)數(shù)的倍或以上【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用指數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.17.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).（1）求a，b的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1），；（2）單調(diào)遞減，見(jiàn)解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)得到，根據(jù)計(jì)算得到，得到答案.（2）化簡(jiǎn)得到，，計(jì)算，得到是減函數(shù).（3）化簡(jiǎn)得到，參數(shù)分離，求函數(shù)的最小值得到答案.【詳解】（1）因?yàn)樵诙x域R上是奇函數(shù).所以，即，所以．又由，即，所以，檢驗(yàn)知，當(dāng)，時(shí)，原函數(shù)是奇函數(shù).（2）在上單調(diào)遞減.證明：由（1）知，任取，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，且，所以，又，所以，即，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減.（3）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，從而不等式等價(jià)于，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，由上式推得，即對(duì)一切有恒成立，設(shè)，令，則有，，所以，所以，即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)解析式，單調(diào)性，恒成立問(wèn)題，將恒成立問(wèn)題通過(guò)參數(shù)分離轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.18.已知，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求使成立的的集合；（2）若在區(qū)間上的最大值為2，求實(shí)數(shù)的值；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值（用表示）．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）分段求解不等式即可；（2）分在三種情況處取最大值即可；（3）討論對(duì)稱(chēng)軸的位置即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)a=2時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得．綜上，所求解集為【小問(wèn)2詳解】（?。┊?dāng)時(shí)，或3，，在區(qū)間的最大值，舍去；，在區(qū)間的最大值，舍去；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，或（舍）在區(qū)間的最大值，成立（ⅲ）時(shí)，此時(shí)在區(qū)間的最大值，成立或【小問(wèn)3詳解】①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，其圖像是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸是，，，②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[1，2]上③當(dāng)時(shí)，區(qū)間上，，其圖像是開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸是，1°當(dāng)即時(shí)，．2°當(dāng)即時(shí)，19.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；（3）若關(guān)于的方程有兩根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）或或【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性列方程，從而求得的值.（2）利用換元法化簡(jiǎn)的解析式，根據(jù)最小值列不等式來(lái)求得的值.（3）先判斷的單調(diào)性，結(jié)合奇偶性、換元法以及判別式進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意知的定義域?yàn)镽，，整理得，而，∴；【小問(wèn)2詳解】，∴，依題意，函數(shù)的最小值為，令，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為﹣3，則，或，解得；【小問(wèn)3詳解】由，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，由函數(shù)為偶函數(shù)，可知函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，令，有，方程①，可化為，整理為②