浙江省溫州市環(huán)大羅山聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

2024學(xué)年第一學(xué)期溫州環(huán)大羅山聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用直線的斜率和傾斜角的關(guān)系求解.【詳解】解：設(shè)直線的傾斜角為又直線斜率為，所以，又，所以，故選：C2.在正方體中，是BD的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由空間向量求解異面直線夾角即可.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè)正方體的棱長為2，則，，，，則，所以，，設(shè)直線和夾角為，所以.故選：A.3.設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由兩條直線平行的充要條件判斷即可；【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線平行，所以且，所以或.又因?yàn)椤啊背闪⒖傻谩盎颉背闪ⅲ盎颉背闪⒉荒艿玫健啊背闪?，所以“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：B.4.已知正四面體的棱長為2，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的三等分點(diǎn)（靠近A點(diǎn)），用空間向量表示，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量的運(yùn)算求解即可.【詳解】∵E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的三等分點(diǎn)（靠近A點(diǎn)），∴.故選：C.5.已知、是橢圓長軸的兩頂點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，直線與斜率之積，則此橢圓的離心率取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，可得出，利用斜率公式以及已知條件可得出的取值范圍，再由可求得該橢圓離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，且，可得，易知、，所以，，所以，，可得，故.故選：D.6.直線分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出AB，再求出點(diǎn)到直線的最大距離和最小距離，求出最大面積和最小面積即可.【詳解】解：因?yàn)橹本€分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，所以,，所以，又因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為d=2+0+12所以點(diǎn)到直線的最大距離為，最小距離為，所以的最大面積是；的最小面積為.故選：A.7.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著．書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，在陽馬中，平面，底面是矩形，E、F分別為PD，PB的中點(diǎn)，為直線CP上的動(dòng)點(diǎn)，，，若平面，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面垂直，則直線的方向向量和平面的法向量互相平行即可求得比例關(guān)系.【詳解】因?yàn)槠矫?，底面是矩形，在處建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以法向量為，設(shè)，因?yàn)椋驗(yàn)槠矫?，則，所以，解得，則.故選：B8.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯用不同的平面截同一圓錐，得到了圓錐曲線，其中的一種如圖所示．用過M點(diǎn)且垂直于圓錐底面的平面截兩個(gè)全等的對(duì)頂圓錐得到雙曲線的一部分，已知高，底面圓的半徑為8，M為母線PB的中點(diǎn)，平面與底面的交線，則雙曲線的兩條漸近線的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】交于，以過點(diǎn)且垂直于圓錐底面的平面的中心為原點(diǎn)，平行于圓錐的軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得雙曲線的方程，進(jìn)而求得雙曲線的漸近線夾角的余弦值.【詳解】設(shè)交于，以過點(diǎn)且垂直于圓錐底面的平面的中心為原點(diǎn)，平行于圓錐的軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)閳A錐的高，是的中點(diǎn)，且截面垂直于底面，所以，所以，又底面圓半徑,所以，所以，設(shè)雙曲線方程為，代入，，代入解得，則雙曲線的兩條漸近線方程為，由對(duì)稱性可知兩條漸近線所夾銳角的正切值為，雙曲線的兩條漸近線的夾角的余弦值為.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知圓和圓，以下結(jié)論正確的是（）A.若和只有一個(gè)公共點(diǎn)，則B.若，則和關(guān)于直線對(duì)稱C.若和外離，則D.若，則和內(nèi)含【答案】BD【解析】【分析】求兩圓圓心距與半徑和、差，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系的等價(jià)條件判斷可得.【詳解】圓的圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為.則兩圓圓心距.A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，兩圓內(nèi)切，和只有一個(gè)公共點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)圓的半徑相等，圓心關(guān)于直線對(duì)稱，則和關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；C項(xiàng)，若圓和圓外離，則，即，解得，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，當(dāng)，，所以，所以兩圓內(nèi)含，故D正確.故選：BD.10.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則以下正確是（）A.B.夾角的余弦值為C.共面D.點(diǎn)到直線AB的距離是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)空間向量模長坐標(biāo)運(yùn)算以及夾角計(jì)算公式判斷AB，根據(jù)共面向量基本定理可得C，根據(jù)點(diǎn)線距離的向量法即可得D.【詳解】A項(xiàng)，由，，得，則，故A正確；B項(xiàng)，因?yàn)?，，，則，夾角的余弦值為，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，因?yàn)?，，則，又，所以，所以共面，故C正確；D項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)O到直線AB的距離為，故D正確．故選：ACD．11.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，一束平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.與之間的距離為4【答案】ABC【解析】【分析】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線經(jīng)過點(diǎn)，于是根據(jù)二級(jí)結(jié)論可判斷選項(xiàng)A；點(diǎn)與均在直線上，于是可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用斜率公式即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)拋物線的定義可知，，可判斷選項(xiàng)C；由于與平行，所以與之間的距離，可判斷選項(xiàng)D．【詳解】如圖所示，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線過焦點(diǎn)，，即選項(xiàng)A正確；由題意可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，即選項(xiàng)B正確；由拋物線的定義可知，，即選項(xiàng)C正確；與平行，與之間的距離，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：ABC【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義與性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力和作圖分析問題的能力，屬于中檔題．非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義求解．【詳解】，則方向的單位向量為，向量在向量上的投影向量為，故答案為：．13.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的離心率為____________．【答案】2.【解析】【分析】通過向量關(guān)系得到和，得到，結(jié)合雙曲線的漸近線可得從而由可求離心率.【詳解】如圖，由得又得OA是三角形的中位線，即由，得則有，又OA與OB都是漸近線，得又，得．又漸近線OB的斜率為，所以該雙曲線的離心率為．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量結(jié)合雙曲線的漸近線和離心率，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．14.如圖，正方形和正方形的邊長都是1，且它們所在的平面所成的二面角的平面角，M，N分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值是__________．【答案】##【解析】【分析】利用二面角的定義證得就是二面角的平面角，再利用空間向量將的長轉(zhuǎn)化為的模求解，利用空間向量的線性運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算和二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】連接，如圖，由題意，，，正方形中，正方形中，平面，平面，平面平面，∴就是二面角的平面角，則，∴向量與向量夾角為，且，設(shè)，，，則，且由題意，∴，，令，圖象開口向上，且對(duì)稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，即的最小值為，即的最小值為，∴的最小值是．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)．（1）證明：直線直線BC；（2）求直線與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系求證即可；（2）利用空間向量求解即可.【小問1詳解】不妨設(shè)，則，如圖，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，得，，，．所以，所以，所以【小問2詳解】解：因?yàn)椋裕字矫娴囊粋€(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則16.已知雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求弦長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)即可求解，（2）根據(jù)點(diǎn)差法，結(jié)合中點(diǎn)弦可得直線方程，即可根據(jù)弦長公式求解.【小問1詳解】由焦點(diǎn)可知，又一條漸近線方程為，所以，由可得，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則兩式子相減得：，化簡得，即，又，所以，所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，即.將代入得，，則，,17.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．（1）求的方程；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)滿足，求直線斜率的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解；（2）設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，方法一，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解可得答案；方法二，設(shè)直線OQ的方程為，則當(dāng)直線OQ與拋物線相切時(shí)可得答案．【小問1詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以該拋物線的方程為；【小問2詳解】方法一：F1,0，設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，所以直線的斜率為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；綜上，直線OQ的斜率的最大值為；方法二：F1,0，設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，得到點(diǎn)的軌跡方程為．設(shè)直線的方程為，則當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，其斜率取到最值．聯(lián)立，得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為．18.如圖，矩形中，，，，將沿直線DE翻折成，若M為線段的點(diǎn)，滿足，設(shè)二面角的平面角為．（1）求證：直線平面；（2）當(dāng)為直角時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；（3）在翻折過程中（點(diǎn)不在平面內(nèi)），求線段長取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）在線段上取點(diǎn)，使得，通過證明四邊形是平行四邊形得到，即可證明平面.（2）分析得為二面角的平面角，即，當(dāng)為直角時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系，表示和平面的法向量，利用公式求點(diǎn)到平面的距離.（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用表示各點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間兩點(diǎn)間距離公式表示的長，根據(jù)可得結(jié)果.【小問1詳解】在線段上取點(diǎn)，使得，連接，∵，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面．【小問2詳解】由題意得，，、為等腰直角三角形，取中點(diǎn)，連接，則，故為二面角的平面角，即.∵，∴，.如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，，∴點(diǎn)到平面的距離為.【小問3詳解】如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，在翻折過程中，由題意知，二面角的平面角，，則，由（2）知，∴，又∵，∴，∴．故的取值范圍是．19.已知橢圓的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)，且垂直于橢圓的長軸，動(dòng)直線垂直于，垂足為點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（3）設(shè)與軸交于點(diǎn)，在曲線上是否存在一點(diǎn)，使得以為直徑的圓與有除、外的公共點(diǎn)，若存在求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，．【解析】【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離公式得到，可得，進(jìn)而結(jié)合離心率求解即可；（2）根據(jù)題意得到，可得點(diǎn)的軌跡為拋物線，進(jìn)而求解；（3）設(shè)，，，且，，由結(jié)合向量可得，進(jìn)而根據(jù)基本不等式可得，再