結(jié)構(gòu)總剛方程的特性及其求解方法

第九章結(jié)構(gòu)總剛方程的特性及其求解方法一、結(jié)構(gòu)總剛矩陣的特性對稱性由：稀疏性當結(jié)構(gòu)的離散單元較多時，對一個節(jié)點p的變形能提供剛度僅與該節(jié)點相連的那些單元有關(guān)（稱這些單元上的節(jié)點為節(jié)點p的相關(guān)聯(lián)節(jié)點）。相關(guān)聯(lián)節(jié)點總比總節(jié)點數(shù)要少的多，故總體剛度矩陣中每一行的非零元素只占該行元素總數(shù)的一少部分。這樣的矩陣稱為稀疏矩陣?？衫每倓傟嚨南∈栊裕O法只存儲總剛陣中與非零元素相關(guān)的那些矩陣元素，可大大節(jié)省計算機的內(nèi)存。帶狀性帶狀性是指稀疏矩陣中的元素比較集中地位于對角線元附近。當我們進行結(jié)構(gòu)離散化網(wǎng)格，只要對節(jié)點編號稍加注意，就總能做到使每一個節(jié)點與相關(guān)聯(lián)節(jié)點的編號比較接近。這樣，就可使總剛陣中的非零元素較集中于對角線的兩側(cè)。奇異性有限元的分析計算步驟中，最初形成單元剛陣和組集總剛陣時，未考慮分片差值曲線（面）對邊界條件的滿足。從能量原理講，此時無法獲得最小能量解。由此，必須置入適當?shù)倪吔鐥l件。邊界條件的置入是在離散化單元組集后的能量變分后進行的（因為此時獲得了明確的結(jié)構(gòu)剛度矩陣方程）。從物理上分析，在置入邊界條件前，結(jié)構(gòu)總剛陣是奇異的。二、結(jié)構(gòu)總剛的處理方案奇異消除的置大數(shù)法及其原理以前學過強加邊界條件的劃行劃列及置“1”法。雖然這些方法是準確的，但都要對矩陣結(jié)構(gòu)做很多處理，顯然不十分方便。置大數(shù)法是強加邊界條件的一種近似方法，該方法對剛陣的處理卻十分簡單。ⅰ/置大數(shù)法步驟eq\o\ac(○,1)設給定的邊界條件：（為一個或多個節(jié)點位移）在結(jié)構(gòu)總剛對應行的對角線上，?。海―為一大數(shù)，1020～40）eq\o\ac(○,2)在載荷列陣相應的行上，取：ⅱ/驗證置大數(shù)法的近似性對應第i行剛陣，寫出其相應剛度方程： <<Dⅲ/置大數(shù)法可用來近似求解支反力在給定節(jié)點位移的點上，節(jié)點力是未知的（注意在位移與載荷邊界同點上的處理原則，在這些點上載荷不再考慮）。在結(jié)構(gòu)總剛度方程中，即對應給定節(jié)點位移的那一行剛度方程的右端是未知數(shù)。即：由置大數(shù)我們獲得了全部位移解，此時的方程應為：用D遍除：上式近似于：但應注意：一定是給定零位移條件下有較好的精度，否則精度十分差。如：顯然差之千里。ⅳ/罰函數(shù)約束變分原理置大數(shù)法可歸入罰函數(shù)約束變分原理當中，以下簡介之?？紤]對一個彈性體的無約束變分問題，增加一組約束方程組：(研究域)該約束條件的置入，可采用乘子法。但拉氏乘子法變分原理是以擴大計算變量為代價的，當然，可通過對約束方程的了解和推導，建立起拉氏乘子的物理形式，從而獲得廣義變分原理。但總的來說，計算量擴大或變得難以處理。罰函數(shù)約束變分原理沒有上述缺點，也不過多改變剛度方程性質(zhì)，但解的性質(zhì)是隨罰函數(shù)的增大而趨向好的近似性。思路及方法：及記：…………..eq\o\ac(○,1)得：…………..eq\o\ac(○,2)由方程eq\o\ac(○,2)是下三角陣，可采用向下回代過程計算即：由方程eq\o\ac(○,1)中是上三角單位陣，可采用向上回代過程求得剩余的問題是如何將進行分解，采用對等法：（可只計算下三角陣部分元素即可）由此，；仔細研究上述數(shù)值計算，可以發(fā)現(xiàn)：eq\o\ac(○,1)在每行的第一個非“0”元素前，分解過程不產(chǎn)生非“0”元。即元素僅處于原總剛的帶寬之間，這保證了一維存貯方式的有效性。eq\o\ac(○,2)在分解K陣過程中，每一個元素僅用到過一次，這保證了分解好的元素可以放在總剛的原位置上。這樣不必開設新的內(nèi)存空間，僅用原總剛存貯分解好的總剛。eq\o\ac(○,3)仔細研究以下的分解計算步驟：iikm1km1由公式：（從上圖中，只能看到第一個非零元））看求和號內(nèi)元素乘積規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)：a.從1到列，元素都為“0”，又為“0”。故不會在帶寬之外產(chǎn)生非“0”元。b.(第一個非“0”元)c.d.再細加程序判斷，即可以形成算法程序。作業(yè)：研究中間變量及的生成算法細圖。（2）子結(jié)構(gòu)方法我們以前多次談到內(nèi)節(jié)點和內(nèi)自由度問題，其實是指不與其它節(jié)點或自由度相關(guān)聯(lián)的那些，或僅在局部單元內(nèi)部，而不與外部發(fā)生聯(lián)系的那些節(jié)點或自由度。如圖a中的點i或圖b梁元兩端的轉(zhuǎn)角自由度。這個概念可以延伸到一個復雜的結(jié)構(gòu)上。把任何數(shù)量毗連的元素拼在一起成為一個新的結(jié)構(gòu)單元，稱之為“超單元”或“子結(jié)構(gòu)”，用它外邊界上的節(jié)點和其它的子結(jié)構(gòu)以及一般的元素共同組集成整個結(jié)構(gòu)。這就是“子結(jié)構(gòu)法”的思想。梁元梁元子結(jié)構(gòu)的方法的關(guān)鍵點是把“超單元”的那些內(nèi)部節(jié)點或自由度通過等價變換（稱為縮象），用外邊界上的自由度來表征（包括節(jié)點或載荷列陣）。這對于求解大型復雜結(jié)構(gòu)（例如整架飛機）的優(yōu)點是可大大降低對機器的存貯量。具體子結(jié)構(gòu)法步驟：設：內(nèi)部節(jié)點的編號為，外邊界上點的編號為由此可形成該超單元的剛度矩陣，即：應當注意，這里的Si是已知的,即作用在內(nèi)節(jié)點上的等效載荷。用矩陣塊乘法得：eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)由eq\o\ac(○,2)式eq\o\ac(○,3)代入eq\o\ac(○,1)式得：eq\o\ac(○,4)由方程eq\o\ac(○,4)與其它子結(jié)構(gòu)剛度方程組集，通過計算線性方程組可獲得解，再通過eq\o\ac(○,3)式獲得解。具體計算思路：證：，這樣可以利用方法對進行分解，從而利用矩陣分解法獲得及，而不必計算的逆。這是因為的稀疏性較好，而則可能是滿秩的，而利用分解法求解方程，可保持矩陣的稀疏性，而不必用求逆方法計算。四、關(guān)于應力計算在位移模式的有限元方法中，第一步獲得的解是結(jié)點位移，由結(jié)點位移通過單元的幾何矩陣求得應變、應力，即對于應力計算（在位移有限元方法中）應當有幾點概念：eq\o\ac(○,1)應力的連續(xù)性程度較位移的連續(xù)性程度要低一個階次，特別在單元的邊界上，可能發(fā)生應力的不連續(xù)的狀態(tài)。如最明顯的常應力單元導致問題的最主要根源在于形狀函數(shù)的選擇，特別是分片插值函數(shù)的選擇。eq\o\ac(○,2)應力計算的精度較位移計算的精度要低一個階次（一個數(shù)量級），主要誤差來源有二，一是計算過程的數(shù)值誤差的傳遞；二是插值函數(shù)的導數(shù)精確逼近。eq\o\ac(○,3)在等參元當中，可以證明Gauss點上的應力與其他點上的應力計算精度要高一個階次。因此，在等參元中一般僅計算Gauss點上的應力，代表單元的應力水平。eq\o\ac(○,4)對于應力不連續(xù)的情形可采用多種修正方案來處理，使得應力計算趨于合理化。現(xiàn)代有限元數(shù)值計算技術(shù)的發(fā)展eq\o\ac(○,1)各種能量原理的分區(qū)組合應用，以求解關(guān)心域的高精度參數(shù)結(jié)果。eq\o\ac(○,2)各種雜交單元的設計，獲得高精度的計算結(jié)果。eq\o\ac(○,