專(zhuān)題14平方根重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)(九大題型)(原卷版+解析)

專(zhuān)題14平方根重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)（九大題型）【題型目錄】題型一平方根與算術(shù)平方根概念理解題型二求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根題型三利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題題型四求算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分題型五與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題題型六求一個(gè)數(shù)的平方根題型七已知一個(gè)數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù)題型八利用平方根解方程題型九平方根的應(yīng)用【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：平方根、算術(shù)平方根1.（1）定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．2.求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方．一個(gè)正數(shù)a的正的平方根表示為“a”，負(fù)的平方根表示為“﹣a”．正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根，記作a．零的算術(shù)平方根仍舊是零．3.算術(shù)平方根正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“”。正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零?！窘?jīng)典例題一平方根與算術(shù)平方根概念理解】1．（2023秋·安徽蕪湖·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法正確的是（）A．是的平方根 B．是的平方根C．的平方根是 D．的平方根是2．（2023春·河北邢臺(tái)·七年級(jí)校考期中）若2023的兩個(gè)平方根是和，則的值是（

）A．0 B．2023 C． D．40463．（2022秋·浙江·七年級(jí)期中）若x是最大的負(fù)整數(shù)，y是最小的正整數(shù)，z是平方根等于本身的數(shù)，則的值是．4．（2023春·北京大興·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)滿足：，，則的值為．5．（2023秋·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀與理解閱讀學(xué)習(xí)過(guò)程，完成“步驟二”中的填空和“步驟三”的求值．我們?cè)谌A東師大版八年級(jí)上冊(cè)，學(xué)習(xí)了平方根的意義和兩個(gè)乘法公式——平方差公式和完全平方公式，下面是一節(jié)課的探究學(xué)習(xí)片斷：步驟一：再探公式，猜想規(guī)律，，．發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)公式中包含了兩數(shù)和、兩數(shù)差、兩數(shù)積、兩數(shù)平方和、兩數(shù)平方差，在這五個(gè)數(shù)量中，是否存在“知二求三”的一般性規(guī)律呢？步驟二：推導(dǎo)變形，得出公式由可得，．由也可得______，______．綜合這兩個(gè)公式還可得出：______，______．進(jìn)一步綜合變形推導(dǎo)可得：或（依據(jù)是______）或，同理可得：求的公式為_(kāi)_____．步驟三：遷移運(yùn)用，提升能力若，，請(qǐng)運(yùn)用“步驟二”中推導(dǎo)出的變形公式，求，，的值．【經(jīng)典例題二求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根】1．（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·湖南湘西·七年級(jí)校聯(lián)考期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．的平方根是2 B．的算術(shù)平方根是2C．1的平方根是1 D．0的平方根與算術(shù)平方根都是03．（2023春·山西呂梁·七年級(jí)?？计谥校┤襞c的和是單項(xiàng)式，則的算術(shù)平方根是．4．（2023春·遼寧撫順·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則的值是．5．（2023春·重慶巴南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）我們知道，任意一個(gè)有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和為無(wú)理數(shù)，任意一個(gè)不為零的有理數(shù)與一個(gè)無(wú)理數(shù)的積為無(wú)理數(shù)，而零與無(wú)理數(shù)的積為零，由此可得：如果，其中為有理數(shù)．為無(wú)理數(shù)，那么，運(yùn)用上述知識(shí)解決下列問(wèn)題：(1)如果，其中為有理數(shù)，求和的值；(2)如果，其中為有理數(shù)，求的立方根；(3)若均為有理數(shù)，且，求的算術(shù)平方根．【經(jīng)典例題三利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題】1．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)校考階段練習(xí)）關(guān)于代數(shù)式的說(shuō)法正確的是（

）A．時(shí)最大 B．時(shí)最小C．時(shí)最大 D．時(shí)最小【答案】C【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性解答即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，的值最大為3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握算術(shù)平方根的非負(fù)性是解題關(guān)鍵．2．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）校考期中）若，則的算術(shù)平方根為（

）A． B． C． D．3．（2022秋·福建漳州·八年級(jí)校考期中）已知，則．4．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，則分式的值為．5．（2022秋·黑龍江大慶·八年級(jí)?？计谀┮阎?，，滿足，求，，的值．【經(jīng)典例題四求算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分】1．（2022春·山東日照·七年級(jí)?？计谀╆P(guān)于“”，下面說(shuō)法不正確的是（）A．它是數(shù)軸上離原點(diǎn)個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示的數(shù)B．它是一個(gè)無(wú)理數(shù)C．若a<<a+1，則整數(shù)a為3D．它表示面積為10的正方形的邊長(zhǎng)2．（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）已知．若為整數(shù)且，則的值為（

）A．43 B．44 C．45 D．463．（2023春·四川涼山·七年級(jí)校考階段練習(xí)）若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則，．4．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）的小數(shù)部分為a，的小數(shù)部分為b，則.5．（2022春·甘肅隴南·七年級(jí)校考階段練習(xí)）閱讀下面的文字，解答問(wèn)題：大家都知道是無(wú)理數(shù)，而且，即，無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫(xiě)出來(lái)，于是小明用來(lái)表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：①∵，即，∴的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為．②∵，即，∴的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為．請(qǐng)解答：如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值；【經(jīng)典例題五與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探究題】1．（2021秋·廣東茂名·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第9行從左至右第5個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：，，，，若符合上面規(guī)律，則的值為（

）A．179 B．109 C．210 D．1043．（2023春·廣西崇左·七年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)你計(jì)算下列四個(gè)式子的值：；；；，并觀察你的計(jì)算結(jié)果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出：的值為．4．（2023春·北京豐臺(tái)·七年級(jí)北京豐臺(tái)二中校考期中）數(shù)學(xué)解密：若第一個(gè)式子是，第二個(gè)式子是，第三個(gè)式子是，…，觀察以上規(guī)律并猜想第五個(gè)式子是．5．（2023春·廣西南寧·七年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀╅喿x下面材料，解答問(wèn)題：【問(wèn)題情境】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們開(kāi)展“運(yùn)用規(guī)律求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根”的實(shí)踐活動(dòng)．【實(shí)踐探究】同學(xué)們利用計(jì)算器計(jì)算出下表中的算術(shù)平方根，整理數(shù)據(jù)如下：………0.250.7912.57.912579.1250…(1)根據(jù)上述探究，可以得到被開(kāi)方數(shù)和它的算術(shù)平方根之間小數(shù)點(diǎn)的變化規(guī)律是：若被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或向左移動(dòng)___________位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或向左移動(dòng)___________位；(2)已知，請(qǐng)運(yùn)用、上述規(guī)律直接寫(xiě)出各式的值：___________，___________．(3)你能根據(jù)的值說(shuō)出的值是多少嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【經(jīng)典例題六求一個(gè)數(shù)的平方根】1．（2023春·浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的平方根是（

）A．2 B． C． D．2．（2023春·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若則的值為（）A． B． C． D．3．（2023春·浙江杭州·七年級(jí)期中）已知，，求，．4．（2023春·黑龍江鶴崗·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，則的平方根是．5．（2023春·福建福州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）（1）已知與互為相反數(shù)．①求的平方根；②解關(guān)于x的方程．（2）已知正實(shí)數(shù)y的平方根是m和．①當(dāng)時(shí)，求m.②若，求y的值．③在②條件下，k是的小數(shù)部分，求的值．（備注：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分是指這個(gè)數(shù)減去不超過(guò)該數(shù)的最大整數(shù)）【經(jīng)典例題七已知一個(gè)數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù)】【例7】（2023春·山西大同·七年級(jí)大同市第三中學(xué)校?？计谀┤绻粋€(gè)正數(shù)的平方根是a+3及2a﹣15，那么這個(gè)正數(shù)是(

)A．441 B．49 C．7或21 D．49或441【變式訓(xùn)練】1．（2023春·安徽亳州·七年級(jí)?？计谥校┮粋€(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是x，則比這個(gè)數(shù)大2的數(shù)的算術(shù)平方根是（）A．x2+2 B．+2 C． D．2．（2023春·廣東肇慶·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，則這個(gè)正數(shù)是．3．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知一個(gè)正數(shù)m的兩個(gè)不相等的平方根是與．(1)求這個(gè)正數(shù)m；(2)求關(guān)于x的方程的解．【經(jīng)典例題八利用平方根解方程】【例8】（2023春·江蘇南京·七年級(jí)校聯(lián)考期中）若，，則的值是（

）A．0 B．4 C．0或4 D．2或4【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶永川·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若，則的值是（）A．0 B．2 C．3 D．2或32．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）舊知回顧：在七年級(jí)學(xué)習(xí)“平方根”時(shí)，我們會(huì)直接開(kāi)方解形如的方程（解為）．解題運(yùn)用：方程解為．3．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）設(shè)示是一個(gè)兩位數(shù)，其中是十位上的數(shù)字（），例如，當(dāng)時(shí)，表示的兩位數(shù)是45．觀察以下等式：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；……根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題(1)寫(xiě)出第六個(gè)等式：______(2)寫(xiě)出你猜想的第個(gè)等式（用含的式子表示），并證明：(3)運(yùn)用：若與的差為2525．求的值．【經(jīng)典例題九平方根的應(yīng)用】【例9】（2023秋·河南三門(mén)峽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是用4個(gè)相同的長(zhǎng)方形與1個(gè)正方形鑲嵌而成的正方形圖案．已知該圖案的總面積為m，小正方形的面積為n．若用x、y表示長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)（），請(qǐng)觀察圖案，指出下列關(guān)系式：①、②、③、④若，則．這四個(gè)結(jié)論中正確的有（

）個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）交通事故統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，每年的汽車(chē)追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是剎車(chē)距離把握不當(dāng)，研究發(fā)現(xiàn)，在柏油路面上，剎車(chē)距離s與車(chē)速v的關(guān)系式是s＝（其中），當(dāng)剎車(chē)距離增加一倍時(shí)，車(chē)速增加（

）．A．1倍 B．倍 C．－1倍 D．2倍2．（2023春·浙江·七年級(jí)期末）如圖，正方形ABCD和正方形EFGH分別由兩張相同的長(zhǎng)方形紙片無(wú)縫拼接而成，現(xiàn)將其擺放在桌面上，如圖所示，重合部分為甲、乙、丙，其中乙為正方形，記甲、丙的面積分別為，，若，且桌面被所有紙片覆蓋區(qū)域的面積為，則乙的面積為．3．（2023春·廣西南寧·七年級(jí)南寧二中?？计谀┚C合與實(shí)踐【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1，把兩個(gè)面積都為的小正方形分別沿對(duì)角線剪開(kāi)，將所得的4個(gè)直角三角形拼成一個(gè)大正方形，則該大正方形的邊長(zhǎng)為cm．【知識(shí)遷移】若一個(gè)圓與一個(gè)正方形的面積都是，設(shè)這個(gè)圓的周長(zhǎng)為，這個(gè)正方形的周長(zhǎng)為，則（填“＝”或“”或“”）．【拓展延伸】李明想用一塊面積為的正方形紙片（如圖2所示），沿著邊的方向裁出一塊面積為的長(zhǎng)方形紙片，使它的長(zhǎng)寬之比為．李明能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023春·山東聊城·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知和是某正數(shù)a的平方根，則a的值是（

）A．3 B．64 C．3或 D．64或2．（2023春·湖北恩施·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)，若互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2023春·浙江嘉興·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在一個(gè)正方形的內(nèi)部放置大小不同的兩個(gè)小正方形，其中較大的正方形的面積為11，較小的正方形的面積為4，中間重疊部分的面積為1，則圖中三角形的面積為（

）

A．11 B．10 C．6 D．54．（2023春·四川內(nèi)江·八年級(jí)四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)滿足，那么的值是(

)A．1999 B．2000 C．2001 D．20025．（2023春·山東德州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，則的平方根．6．（2023春·安徽亳州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若實(shí)數(shù)，，，滿足，則．7．（2023春·重慶巴南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若一個(gè)四位正整數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大，千位數(shù)字比百位數(shù)字大，則稱(chēng)這樣的四位正整數(shù)為“尚善數(shù)”．一個(gè)四位正整數(shù)是尚善數(shù)，記為的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字依次組成兩位數(shù)與的千位數(shù)字和十位數(shù)字依次組成兩位數(shù)的和，記為的千位數(shù)字和百位數(shù)字依次組成兩位數(shù)與的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字依次組成的兩位數(shù)的差若為一個(gè)正整數(shù)，則滿足條件中的最大值是．8．（2023春·青海西寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）將圖中的長(zhǎng)方形分成，兩部分，恰與正方形拼接成如圖的大正方形．如果正方形的面積為，拼接后的大正方形的面積是，則圖中原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是．

9．（2023春·山東德州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）若a是最大的負(fù)整數(shù)，b是絕對(duì)值最小的數(shù)，c是倒數(shù)等于它本身的正數(shù)，d是9的負(fù)平方根．則；；；．（2）已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是和．求的平方根．10．（2023春·江西南昌·七年級(jí)南昌二中?？计谀┯^察表格，回答問(wèn)題：a…0.00010.01110010000……0.01x1yz…(1)表格中，；；(2)從表格中探究a與數(shù)位的規(guī)律，利用這個(gè)規(guī)律解決下面兩個(gè)問(wèn)題：①已知，則；②已知，若，用含m的代數(shù)式表示b，則b＝；(3)試比較與a的大小．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

專(zhuān)題14平方根重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)（九大題型）【題型目錄】題型一平方根與算術(shù)平方根概念理解題型二求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根題型三利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題題型四求算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分題型五與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題題型六求一個(gè)數(shù)的平方根題型七已知一個(gè)數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù)題型八利用平方根解方程題型九平方根的應(yīng)用【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：平方根、算術(shù)平方根1.（1）定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．2.求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方．一個(gè)正數(shù)a的正的平方根表示為“a”，負(fù)的平方根表示為“﹣a”．正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根，記作a．零的算術(shù)平方根仍舊是零．3.算術(shù)平方根正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“”。正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零?！窘?jīng)典例題一平方根與算術(shù)平方根概念理解】1．（2023秋·安徽蕪湖·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法正確的是（）A．是的平方根 B．是的平方根C．的平方根是 D．的平方根是【答案】B【分析】利用平方根的定義求解即可．【詳解】、沒(méi)有平方根，故此選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；、，的平方根有兩個(gè)為，故此選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；、，的平方根有兩個(gè)為，故此選項(xiàng)說(shuō)法不全，不符合題意；、的平方根是，不是，故此選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了平方根的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，互為相反數(shù)，的平方根是，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．2．（2023春·河北邢臺(tái)·七年級(jí)校考期中）若2023的兩個(gè)平方根是和，則的值是（

）A．0 B．2023 C． D．4046【答案】C【分析】根據(jù)平方根的意義可得，然后代入式子進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：2023的兩個(gè)平方根是和，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根，如果一個(gè)數(shù)的平方等于，那么這個(gè)數(shù)就叫做的平方根，一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，0的平方根是它本身，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江·七年級(jí)期中）若x是最大的負(fù)整數(shù)，y是最小的正整數(shù)，z是平方根等于本身的數(shù)，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)題意分別得出a、b、c的值，再代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵x是最大的負(fù)整數(shù)，∴，∵y是最小的正整數(shù)，∴，∵z是平方根等于本身的數(shù)，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的相關(guān)定義，平方根的定義，解題的關(guān)鍵是掌握平方根等于本身的數(shù)是0．4．（2023春·北京大興·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)滿足：，，則的值為．【答案】0【分析】由題意可得x、y是a的兩個(gè)不相等的平方根，根據(jù)平方根的性質(zhì)可得x+y=0即可解答【詳解】解：∵兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)滿足：，∴x、y是a的兩個(gè)不相等的平方根∴x+y=0∴=0．故答案為0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根的性質(zhì)，掌握一個(gè)數(shù)的兩個(gè)不相等的平方根的和為0成為解答本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀與理解閱讀學(xué)習(xí)過(guò)程，完成“步驟二”中的填空和“步驟三”的求值．我們?cè)谌A東師大版八年級(jí)上冊(cè)，學(xué)習(xí)了平方根的意義和兩個(gè)乘法公式——平方差公式和完全平方公式，下面是一節(jié)課的探究學(xué)習(xí)片斷：步驟一：再探公式，猜想規(guī)律，，．發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)公式中包含了兩數(shù)和、兩數(shù)差、兩數(shù)積、兩數(shù)平方和、兩數(shù)平方差，在這五個(gè)數(shù)量中，是否存在“知二求三”的一般性規(guī)律呢？步驟二：推導(dǎo)變形，得出公式由可得，．由也可得______，______．綜合這兩個(gè)公式還可得出：______，______．進(jìn)一步綜合變形推導(dǎo)可得：或（依據(jù)是______）或，同理可得：求的公式為_(kāi)_____．步驟三：遷移運(yùn)用，提升能力若，，請(qǐng)運(yùn)用“步驟二”中推導(dǎo)出的變形公式，求，，的值．【答案】步驟二：；；；；平方根的意義；或或；步驟三：，，【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式等結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行變形求值即可．【詳解】解：步驟二：，，，．依據(jù)是：平方根的意義，，故答案為：；；；；平方根的意義；或或；步驟三：∵，，∴，，．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式及其變形，平方差公式，平方根等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握完全平方公式的變形是解本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根】1．（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)算術(shù)平方根對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，然后判斷即可．【詳解】解：A中，錯(cuò)誤，故不符合要求；B中，正確，故符合要求；C中，錯(cuò)誤，故不符合要求；D中，錯(cuò)誤，故不符合要求；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根．解題的關(guān)鍵在于正確的運(yùn)算．2．（2023春·湖南湘西·七年級(jí)校聯(lián)考期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．的平方根是2 B．的算術(shù)平方根是2C．1的平方根是1 D．0的平方根與算術(shù)平方根都是0【答案】D【分析】根據(jù)平方根與算術(shù)平方根的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、是負(fù)數(shù)，沒(méi)有平方根，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、是負(fù)數(shù)，沒(méi)有算術(shù)平方根，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、1的平方根是，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、0的平方根與算術(shù)平方根都是0，則此項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根與算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根與算術(shù)平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的平方根是這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根和算術(shù)平方根．3．（2023春·山西呂梁·七年級(jí)?？计谥校┤襞c的和是單項(xiàng)式，則的算術(shù)平方根是．【答案】4【分析】根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)的定義解得的值，即可求得的值，然后求其算術(shù)平方根即可．【詳解】解：若與的和是單項(xiàng)式，即與為同類(lèi)項(xiàng)，則有，∴，∵，∴的算術(shù)平方根是4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同類(lèi)項(xiàng)、代數(shù)式求值、算術(shù)平方根等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．4．（2023春·遼寧撫順·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根，絕對(duì)值的非負(fù)性，即可求解．【詳解】解：∵有意義，∴∴∴∴即∴解得：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的性質(zhì)，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·重慶巴南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）我們知道，任意一個(gè)有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和為無(wú)理數(shù)，任意一個(gè)不為零的有理數(shù)與一個(gè)無(wú)理數(shù)的積為無(wú)理數(shù)，而零與無(wú)理數(shù)的積為零，由此可得：如果，其中為有理數(shù)．為無(wú)理數(shù)，那么，運(yùn)用上述知識(shí)解決下列問(wèn)題：(1)如果，其中為有理數(shù)，求和的值；(2)如果，其中為有理數(shù)，求的立方根；(3)若均為有理數(shù)，且，求的算術(shù)平方根．【答案】(1)，(2)的立方根為2(3)的算術(shù)平方根為或【分析】（1）根據(jù)題干提供的方法列出m和n的方程求解即可；（2）先根據(jù)題干提供的方法列出m和n的方程組求解，然后代入計(jì)算即可；（3）先整理成，其中為有理數(shù)．為無(wú)理數(shù)，再按題干提供的方法求解．【詳解】（1）∵，其中為有理數(shù)，∴，；∴，．（2）∵，∴，∵m、n為有理數(shù)，∴解得∴，∴的立方根為2．（3）∵，，∵m、n為有理數(shù)，∴，，∴，，∴當(dāng)，時(shí)，，的算術(shù)平方根為；當(dāng)，時(shí)，，的算術(shù)平方根為；綜上所述，的算術(shù)平方根為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解法，一元一次方程的解法，算術(shù)平方根的意義等知識(shí)，掌握題目介紹的解題方法是解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題】1．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于代數(shù)式的說(shuō)法正確的是（

）A．時(shí)最大 B．時(shí)最小C．時(shí)最大 D．時(shí)最小【答案】C【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性解答即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，的值最大為3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握算術(shù)平方根的非負(fù)性是解題關(guān)鍵．2．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）?？计谥校┤?，則的算術(shù)平方根為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平方與算術(shù)平方根的和為，可得平方與算術(shù)平方根同時(shí)為，可得出二元一次方程組，根據(jù)解二元一次方程組的方法，可得答案．【詳解】∵，∴，解得：，∴，∴的算術(shù)平方根為，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，解題關(guān)鍵熟記平方與算術(shù)平方根的和為，可得平方與算術(shù)平方根同時(shí)為．3．（2022秋·福建漳州·八年級(jí)校考期中）已知，則．【答案】4【分析】根據(jù)偶次方和算術(shù)平方根的非負(fù)性，求出、的值，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：，即，而，，，，解得：，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查偶次方、算術(shù)平方根的非負(fù)性，掌握偶次方、算術(shù)平方根的非負(fù)性是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，則分式的值為．【答案】【分析】由算術(shù)平方根，偶次方的非負(fù)性可得，再利用加減法可得，，再代入求值即可．【詳解】解：∵，∴，得：即，得：即，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是算術(shù)平方根的非負(fù)性，二元一次方程組的解法，熟練的利用整體代入法求值是解本題的關(guān)鍵．5．（2022秋·黑龍江大慶·八年級(jí)?？计谀┮阎?，，滿足，求，，的值．【答案】，，．【分析】先把原方程化為；進(jìn)而可得，，，據(jù)此求出、、的值即可．【詳解】解：，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)性質(zhì)的性質(zhì)、算術(shù)平方根等知識(shí)，解答此題的關(guān)鍵是把原方程化為非負(fù)數(shù)的和的形式．【經(jīng)典例題四求算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分】1．（2022春·山東日照·七年級(jí)?？计谀╆P(guān)于“”，下面說(shuō)法不正確的是（）A．它是數(shù)軸上離原點(diǎn)個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示的數(shù)B．它是一個(gè)無(wú)理數(shù)C．若a<<a+1，則整數(shù)a為3D．它表示面積為10的正方形的邊長(zhǎng)【答案】A【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的意義和數(shù)軸的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、±它是數(shù)軸上離原點(diǎn)個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示的數(shù)，題干的說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；B、是一個(gè)無(wú)理數(shù)，題干的說(shuō)法正確，不符合題意；C、∵3＜＜3+1，a＜＜a+1，∴整數(shù)a為3，題干的說(shuō)法正確，不符合題意；D、表示面積為10的正方形的邊長(zhǎng)，題干的說(shuō)法正確，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是算術(shù)平方根的概念和分類(lèi)以及應(yīng)用，掌握無(wú)理數(shù)的概念和意義是解題的關(guān)鍵．2．（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）已知．若為整數(shù)且，則的值為（

）A．43 B．44 C．45 D．46【答案】B【分析】由題意可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·四川涼山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則，．【答案】【分析】根據(jù)首先確定的值，則小數(shù)部分即可確定．【詳解】解：，，則．故答案是：3，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是確定無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問(wèn)題．4．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）的小數(shù)部分為a，的小數(shù)部分為b，則.【答案】1【分析】先分析介于哪兩個(gè)整數(shù)之間，再分別求出和介于哪兩個(gè)整數(shù)之間，即可求出和的整數(shù)部分，然后用它們分別減去它們的整數(shù)部分得到，代入即可.【詳解】解：∵∴，∴∴的整數(shù)部分為10，的整數(shù)部分為2，∴a=

b=代入得：

=12018=1【點(diǎn)睛】此題考查的是實(shí)數(shù)（帶根號(hào)）的整數(shù)部分和小數(shù)部分的求法.5．（2022春·甘肅隴南·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下面的文字，解答問(wèn)題：大家都知道是無(wú)理數(shù)，而且，即，無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫(xiě)出來(lái)，于是小明用來(lái)表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：①∵，即，∴的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為．②∵，即，∴的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為．請(qǐng)解答：如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值；【答案】1【分析】根據(jù)題中的例子求出a，b，再代入計(jì)算即可．【詳解】∵，即，∴的整數(shù)部分為3，小數(shù)部分為，即∵，即，∴的整數(shù)部分為4，即b=4．∴，即的值是1．【點(diǎn)睛】本題考查與算術(shù)平方根的整數(shù)部分有關(guān)的計(jì)算，掌握確定無(wú)理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探究題】1．（2021秋·廣東茂名·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第9行從左至右第5個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖形可知，第n行最后一個(gè)數(shù)為，據(jù)此可得答案．【詳解】解：由圖形可知，第n行最后一個(gè)數(shù)為，∴第8行最后一個(gè)數(shù)為＝6，則第9行從左至右第5個(gè)數(shù)是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化類(lèi)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出第n行最后一個(gè)數(shù)為．2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：，，，，若符合上面規(guī)律，則的值為（

）A．179 B．109 C．210 D．104【答案】B【分析】分析數(shù)據(jù)可得：，有；，有；若，必有；且，則；則．【詳解】解：，可得；，可得；，則，，則，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)，根據(jù)題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣西崇左·七年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)你計(jì)算下列四個(gè)式子的值：；；；，并觀察你的計(jì)算結(jié)果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出：的值為．【答案】55【分析】根據(jù)；；；，…，可得：，據(jù)此求出的值為多少即可．【詳解】解：；；；，…，∴，∴．故答案為：55．【點(diǎn)睛】此題主要考查了求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根以及數(shù)字的變化規(guī)律的應(yīng)用，熟練掌握求一個(gè)數(shù)算術(shù)平方根的方法是解題關(guān)鍵．4．（2023春·北京豐臺(tái)·七年級(jí)北京豐臺(tái)二中?？计谥校?shù)學(xué)解密：若第一個(gè)式子是，第二個(gè)式子是，第三個(gè)式子是，…，觀察以上規(guī)律并猜想第五個(gè)式子是．【答案】【分析】先找出前面四個(gè)式子的規(guī)律，得出第n個(gè)式子是，進(jìn)而寫(xiě)出第五個(gè)式子即可?！驹斀狻拷猓骸撸?，，即，，即，，即，∴第五個(gè)式子為，即，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根，是個(gè)找規(guī)律的題目，難度中等，分析題意，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·廣西南寧·七年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀╅喿x下面材料，解答問(wèn)題：【問(wèn)題情境】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們開(kāi)展“運(yùn)用規(guī)律求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根”的實(shí)踐活動(dòng)．【實(shí)踐探究】同學(xué)們利用計(jì)算器計(jì)算出下表中的算術(shù)平方根，整理數(shù)據(jù)如下：………0.250.7912.57.912579.1250…(1)根據(jù)上述探究，可以得到被開(kāi)方數(shù)和它的算術(shù)平方根之間小數(shù)點(diǎn)的變化規(guī)律是：若被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或向左移動(dòng)___________位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或向左移動(dòng)___________位；(2)已知，請(qǐng)運(yùn)用、上述規(guī)律直接寫(xiě)出各式的值：___________，___________．(3)你能根據(jù)的值說(shuō)出的值是多少嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)2，1(2)0.1732，17.32(3)不能，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)即可得到答案；（2）由（1）中規(guī)律直接計(jì)算即可得到答案；（3）由（1）中規(guī)律即可得到答案．【詳解】（1）解：由表中，若被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或向左移動(dòng)位2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或向左移動(dòng)位1位；故答案為：2，1；（2）解：，由（1）若被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或向左移動(dòng)位2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或向左移動(dòng)位1位，；；故答案為：0.1732，17.32；（3）解：不能根據(jù)的值說(shuō)出的值，理由如下：由（1）知若被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或向左移動(dòng)位2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或向左移動(dòng)位1位可得，而到中，被開(kāi)放數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)了1位，滿足不了規(guī)律要求，從而無(wú)法由的值說(shuō)出的值．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的規(guī)律，讀懂題意，準(zhǔn)確找出規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六求一個(gè)數(shù)的平方根】1．（2023春·浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的平方根是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)構(gòu)建二元一次方程求出x和y的值，再根據(jù)平方根的概念解答即可．【詳解】解：∵，∴，，∴，得，，解得，將代入①，解得，∴，∴的平方根，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)和平方根的概念，構(gòu)建二元一次方程是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023春·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將兩邊同時(shí)平方，求出，可湊出，再開(kāi)方即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用和開(kāi)平方的運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江杭州·七年級(jí)期中）已知，，求，．【答案】28或36【分析】利用平方差公式將變形為，再將代入即可求解；利用完全平方公式將變形為，再根據(jù)計(jì)算出的值代入即可．【詳解】解：，；，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故答案為：64，28或36．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式、完全平方公式、平方根等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式及其變形，注意分類(lèi)討論．4．（2023春·黑龍江鶴崗·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知，則的平方根是．【答案】【分析】根據(jù)根式的非負(fù)性可求出，的值，進(jìn)而可求出答案．【詳解】解：∵，且根號(hào)下不能為負(fù)，∴，，∴，∴，∴，∴的平方根是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查根式的非負(fù)性，以及計(jì)算一個(gè)數(shù)的平方根，能夠根據(jù)根式的非負(fù)性計(jì)算出未知數(shù)的值是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023春·福建福州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）（1）已知與互為相反數(shù)．①求的平方根；②解關(guān)于x的方程．（2）已知正實(shí)數(shù)y的平方根是m和．①當(dāng)時(shí)，求m.②若，求y的值．③在②條件下，k是的小數(shù)部分，求的值．（備注：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分是指這個(gè)數(shù)減去不超過(guò)該數(shù)的最大整數(shù)）【答案】（1）①；②；（2）①；②；③9．【分析】（1）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0，從而可求得，的值，再代入①②進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）正實(shí)數(shù)的平方根互為相反數(shù)，則有，得到，再代入①②進(jìn)行求值即可；③先求出k的值，再代入求值即可．【詳解】解：（1）與互為相反數(shù)，，則，，解得：，，①當(dāng)，時(shí)，，16的平方根為：；②，，解得：；（2）正實(shí)數(shù)的平方根是和，，得：，①當(dāng)時(shí)，，解得：；②，，，，則，解得：，是正實(shí)數(shù)，．③當(dāng)時(shí)，，∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查非負(fù)數(shù)性質(zhì)：絕對(duì)值，平方根，解答的關(guān)鍵是掌握平方根的性質(zhì)和定義．【經(jīng)典例題七已知一個(gè)數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù)】【例7】（2023春·山西大同·七年級(jí)大同市第三中學(xué)校?？计谀┤绻粋€(gè)正數(shù)的平方根是a+3及2a﹣15，那么這個(gè)正數(shù)是(

)A．441 B．49 C．7或21 D．49或441【答案】B【分析】根據(jù)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)，由此可得a的方程，解方程即可得到a的值；進(jìn)而可得這個(gè)正數(shù)的平方根，最后可得這個(gè)正數(shù)的值．【詳解】解：∵一個(gè)正數(shù)的平方根是a+3和2a﹣15，∴a+3和2a﹣15互為相反數(shù)，即(a+3)+(2a﹣15)＝0；解得a＝4，則a+3＝﹣(2a﹣15)＝7；則這個(gè)數(shù)為＝49；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根的概念、解一元一次方程，注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·安徽亳州·七年級(jí)?？计谥校┮粋€(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是x，則比這個(gè)數(shù)大2的數(shù)的算術(shù)平方根是（）A．x2+2 B．+2 C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是x,所以這個(gè)數(shù)是,比這個(gè)數(shù)大2的數(shù)是,所以比這個(gè)數(shù)大2的數(shù)的算術(shù)平方根是,故選D.2．（2023春·廣東肇慶·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，則這個(gè)正數(shù)是．【答案】1【分析】先根據(jù)平方根的性質(zhì)得出兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，再列方程計(jì)算，根據(jù)平方根的平方是被開(kāi)方數(shù)得出這個(gè)正數(shù)【詳解】由題意可知：∴這個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是∴這個(gè)正數(shù)是1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查平方根的性質(zhì)，利用性質(zhì)列方程是解題關(guān)鍵3．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知一個(gè)正數(shù)m的兩個(gè)不相等的平方根是與．(1)求這個(gè)正數(shù)m；(2)求關(guān)于x的方程的解．【答案】(1)49(2)【分析】（1）由一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)求值，即可求解；（2）將代入即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，，解得，；（2）當(dāng)時(shí)，，，．【點(diǎn)睛】本題考查平方根的意義及求平方根，關(guān)鍵是要掌握一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，互為相反數(shù)．【經(jīng)典例題八利用平方根解方程】【例8】（2023春·江蘇南京·七年級(jí)校聯(lián)考期中）若，，則的值是（

）A．0 B．4 C．0或4 D．2或4【答案】C【分析】根據(jù)平方根的含義先求解，，再分類(lèi)討論即可．【詳解】解：∵，，∴，，當(dāng)，，∴，∴，當(dāng)，，∴，∴，當(dāng)，，∴，∴，當(dāng)，，∴，∴，綜上：的值是0或4．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平方根的含義，求解代數(shù)式的值，等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，清晰的分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶永川·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若，則的值是（）A．0 B．2 C．3 D．2或3【答案】D【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答即可.【詳解】

故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根的定義：如果一個(gè)正數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)正數(shù)叫做a的算術(shù)平方根，記作．正確理解算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵.2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）舊知回顧：在七年級(jí)學(xué)習(xí)“平方根”時(shí)，我們會(huì)直接開(kāi)方解形如的方程（解為）．解題運(yùn)用：方程解為．【答案】，．【分析】先將原方程化為，即可類(lèi)比題目中解方程的方法求解即可．【詳解】解：，，合并同類(lèi)項(xiàng)，得，移項(xiàng)，得，解得，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了利用平方根解方程及整式的乘法運(yùn)算，掌握平方根的定義是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）設(shè)示是一個(gè)兩位數(shù)，其中是十位上的數(shù)字（），例如，當(dāng)時(shí)，表示的兩位數(shù)是45．觀察以下等式：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；……根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題(1)寫(xiě)出第六個(gè)等式：______(2)寫(xiě)出你猜想的第個(gè)等式（用含的式子表示），并證明：(3)運(yùn)用：若與的差為2525．求的值．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）觀察題干中式子的變化，根據(jù)變化規(guī)律，即可得到答案；（2）根據(jù)題干中式子的變化規(guī)律，用代數(shù)式表達(dá)即可；（3）由與的差為2525，列方程求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，；（2）解：，證明如下：，；（3）解：與的差為2525，整理得：，解得：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了找規(guī)律-數(shù)字類(lèi)，完全平方式的應(yīng)用，利用平方根的含義解方程，理解題意，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題九平方根的應(yīng)用】【例9】（2023秋·河南三門(mén)峽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是用4個(gè)相同的長(zhǎng)方形與1個(gè)正方形鑲嵌而成的正方形圖案．已知該圖案的總面積為m，小正方形的面積為n．若用x、y表示長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)（），請(qǐng)觀察圖案，指出下列關(guān)系式：①、②、③、④若，則．這四個(gè)結(jié)論中正確的有（

）個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)該圖案的總面積、正方形的面積公式即可判斷①；根據(jù)小正方形的面積、正方形的面積公式可得，從而可得，再結(jié)合①即可判斷②；根據(jù)四個(gè)長(zhǎng)方形的面積等于兩個(gè)正方形的面積之差即可判斷③；先將用含的式子表示出來(lái)，由此即可判斷④．【詳解】解：該圖案是正方形，且該圖案的總面積為，邊長(zhǎng)為，，結(jié)論①正確；小正方形的面積為，邊長(zhǎng)為，，由得：，則，即，結(jié)論②正確；四個(gè)長(zhǎng)方形的面積等于兩個(gè)正方形的面積之差，，即，結(jié)論③正確；由結(jié)論②可知，，代入得：，若，則，即，，結(jié)論④錯(cuò)誤；綜上，這四個(gè)結(jié)論中正確的有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減與圖形面積、算術(shù)平方根的應(yīng)用，讀懂圖形，熟練掌握各圖形面積之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）交通事故統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，每年的汽車(chē)追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是剎車(chē)距離把握不當(dāng)，研究發(fā)現(xiàn)，在柏油路面上，剎車(chē)距離s與車(chē)速v的關(guān)系式是s＝（其中），當(dāng)剎車(chē)距離增加一倍時(shí)，車(chē)速增加（

）．A．1倍 B．倍 C．－1倍 D．2倍【答案】B【分析】知道剎車(chē)距離s與車(chē)速v的關(guān)系式后，再將等式進(jìn)行變形，使得s變?yōu)?s，即可得出答案．【詳解】解：由題意知，剎車(chē)距離s與車(chē)速v的關(guān)系式是：（其中），所以，當(dāng)剎車(chē)距離增加一倍時(shí)，即：即車(chē)速增加倍，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根的應(yīng)用，借助算術(shù)平方根解決實(shí)際問(wèn)題．2．（2023春·浙江·七年級(jí)期末）如圖，正方形ABCD和正方形EFGH分別由兩張相同的長(zhǎng)方形紙片無(wú)縫拼接而成，現(xiàn)將其擺放在桌面上，如圖所示，重合部分為甲、乙、丙，其中乙為正方形，記甲、丙的面積分別為，，若，且桌面被所有紙片覆蓋區(qū)域的面積為，則乙的面積為．【答案】4【分析】設(shè)乙的邊長(zhǎng)為2a，根據(jù)，，可以推出從而推出兩個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)，再由覆蓋面積列出方程求解即可【詳解】解：設(shè)乙的邊長(zhǎng)為2a，∵正方形ABCD和正方形EFGH分別由兩張相同的長(zhǎng)方形紙片無(wú)縫拼接而成，∵，，∴，，∴，∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)為，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，∴，解得（負(fù)值舍去），∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根的應(yīng)用，正確理解題意表示出兩個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣西南寧·七年級(jí)南寧二中校考期末）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1，把兩個(gè)面積都為的小正方形分別沿對(duì)角線剪開(kāi)，將所得的4個(gè)直角三角形拼成一個(gè)大正方形，則該大正方形的邊長(zhǎng)為cm．【知識(shí)遷移】若一個(gè)圓與一個(gè)正方形的面積都是，設(shè)這個(gè)圓的周長(zhǎng)為，這個(gè)正方形的周長(zhǎng)為，則（填“＝”或“”或“”）．【拓展延伸】李明想用一塊面積為的正方形紙片（如圖2所示），沿著邊的方向裁出一塊面積為的長(zhǎng)方形紙片，使它的長(zhǎng)寬之比為．李明能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】；【知識(shí)遷移】；【拓展延伸】能，理由見(jiàn)解析【分析】【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】根據(jù)大正方形的面積為，由算術(shù)平方根即可求得正方形的邊長(zhǎng)；【知識(shí)遷移】分別求出圓的半徑、正方形的邊長(zhǎng)，即可求出它們的周長(zhǎng)，比較即可；【拓展延伸】設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為，由面積關(guān)系建立方程即可求得x的值，再把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與正方形的邊長(zhǎng)比較即可作出判斷．【詳解】解：【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】由題意得大正方形的面積為，則其邊長(zhǎng)為；故答案為：；【知識(shí)遷移】設(shè)圓的半徑為r，則有，解得：，則；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則，解得：，則；∵，∴，故答案為：；【拓展延伸】能，理由如下：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為，則，解得：，∵，，∴李明能用這塊紙片裁出符合要求的紙片．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，用代數(shù)式表示長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬及正方形的邊長(zhǎng)是關(guān)鍵．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023春·山東聊城·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知和是某正數(shù)a的平方根，則a的值是（

）A．3 B．64 C．3或 D．64或【答案】D【分析】與相等或者互為相反數(shù)，分別求出的值，再求出的值，最后求出的值．【詳解】解：I．當(dāng)和相等時(shí)，，解得：，，；II．當(dāng)和互為相反數(shù)時(shí)，，解得：，，；綜上所述：a的值是64或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根的定義，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，解題時(shí)不要漏解．2．（2023春·湖北恩施·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)，若互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意知，，，由，可得，分別計(jì)算，時(shí)代數(shù)式的值即可．【詳解】解：由題意知，，，∵，∴，當(dāng)，，當(dāng)，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)，倒數(shù)，平方根，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．3．（2023春·浙江嘉興·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在一個(gè)正方形的內(nèi)部放置大小不同的兩個(gè)小正方形，其中較大的正方形的面積為11，較小的正方形的面積為4，中間重疊部分的面積為1，則圖中三角形的面積為（

）

A．11 B．10 C．6 D．5【答案】D【分析】觀察圖形可知，兩個(gè)空白部分的長(zhǎng)相等，寬也相等，則重疊部分也為正方形，根據(jù)較大的正方形的面積為11，較小的正方形的面積為4，中間重疊部分的面積為1，則較大的正方形的邊長(zhǎng)為，較小的正方形的邊長(zhǎng)為2，中間重疊部分的正方形邊長(zhǎng)為1；從而得出空白部分的長(zhǎng)方形的較小邊長(zhǎng)為，繼而得，，然后由求解即可．【詳解】解：觀察圖形可知，兩個(gè)空白部分的長(zhǎng)相等，寬也相等，重疊部分也為正方形，∵較大的正方形的面積為11，較小的正方形的面積為4，中間重疊部分的面積為1，∴較大的正方形的邊長(zhǎng)為，較小的正方形的邊長(zhǎng)為2，中間重疊部分的正方形邊長(zhǎng)為1；∴空白部分的長(zhǎng)方形的較小邊長(zhǎng)為，∴∴∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，觀察圖形得到各個(gè)正方形邊長(zhǎng)之間