專題14直角三角形中的分類討論模型(原卷版+解析)2

專題14直角三角形中的分類討論模型模型1、直角三角形中的分類討論模型【知識儲備】凡是涉及直角三角形問題，優(yōu)先考慮直角頂點（或斜邊）分類討論，再利用直角三角形的性質(zhì)或勾股定理解題即可。1）無圖需分類討論：①已知邊長度無法確定是直角邊還是斜邊時要分類討論；②已知無法確定是哪個角是直角時要分類討論（常見與折疊、旋轉(zhuǎn)中出現(xiàn)的直角三角形）。2）“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標系綜合出題，后續(xù)會專題進行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構(gòu)成方法：兩線一圓具體圖解：①當時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）②當時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）。③當時，以為直徑作圓，點在該圓上（，除外）。例1．（2023春·江蘇·八年級假期作業(yè)）若三角形的三邊長是6，8，，當?shù)闹禐闀r，該三角形是直角三角形.例2．（2023春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，、分別是的高和角平分線，點E為邊上一點，當為直角三角形時，則．

例3．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谀┤鐖D，在4×4的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A，B，連接AB，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得△ABC是等腰直角三角形，則滿足條件的格點C的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例4．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標系中，已知，以為一邊在外部作等腰直角．則點的坐標為．

例5．（2023春·廣東·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC＝60°，則當△PAB為直角三角形時，AP的長為．例6.（2023春·山東東營·八年級?？茧A段練習）如圖，長方形中，，，點為射線上的一個動點，若與關(guān)于直線對稱，若為直角三角形，則的長為．例7.（2023春·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在中，，，是邊上的動點，點關(guān)于直線的對稱點為，連接交于，當為直角三角形時，的長是．例8．（2023秋·廣東·八年級專題練習）如圖，，點A是延長線上的一點，，動點P從點A出發(fā)沿以的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿以的速度移動，如果點同時出發(fā)，用表示移動的時間，當s時，是等腰三角形；當s時，是直角三角形．例9．（2023秋·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）在中，，是邊上的動點，過點作交于點，將沿折疊，點的對應點為點．

(1)如圖1，若點恰好落在邊上，判斷的形狀，并證明；(2)如圖2，若點落在內(nèi)，且的延長線恰好經(jīng)過點，，求的度數(shù)；(3)若，當是直角三角形時，直接寫出的長．例10．（2023秋·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線經(jīng)過點，交x軸于點，直線交直線于點B．(1)求直線的函數(shù)表達式和點B的坐標；(2)求的面積；(3)在x軸上是否存在點C，使得是直角三角形？若存在，求出點C的坐標：若不存在，請說明理由．例11．（2022秋·江蘇連云港·八年級?？茧A段練習）（1）【模型建立】如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過A作AD⊥ED于點D，過B作BE⊥ED于點E．求證：△BEC≌△CDA；（2）【模型應用】①已知直線l1：y＝x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，將直線l1繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°至直線l2，如圖2，求直線l2的函數(shù)表達式；②如圖3，在平面直角坐標系中，點B（8，6），作BA⊥y軸于點A，作BC⊥x軸于點C，P是線段BC上的一個動點，點Q是直線y＝2x﹣6上的動點且在第一象限內(nèi)．問點A、P、Q能否構(gòu)成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，若能，請直接寫出此時點Q的坐標，若不能，請說明理由．課后專項訓練1．（2023春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，，，若動點以的速度從點出發(fā)，沿著的方向運動，設點的運動時間為秒（），連接，當是直角三角形時，的值為（

）

A．2 B．2或7 C．2或5 D．2或5或72．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB=2，AO=BO，P是直線CO上的一個動點，∠AOC=60°，當△PAB是以BP為直角邊的直角三角形時，AP的長為（

）A．,1,2 B．,,2 C．,,1 D．，23．（2023秋·山東·八年級專題練習）如圖，已知，點是射線上一動點，當為直角三角形時，．

5．（2023春·廣東八年級課時練習）如圖，等邊三角形中，，于點D，點E、F分別是、上的動點，沿所在直線折疊，使點C落在上的點處，當是直角三角形時，的值為．6．（2023春·江西南昌·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，，點P，Q分別是邊AB，BC上的一個動點，點P從以每秒3個單位長度的速度運動，同時點Q從以每秒1個單位長度的速度運動，當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．在運動過程中，設運動時間為t秒，若為直角三角形，則t的值為．7．（2023春·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在中，，，，，點是邊上一動點．連接，將沿折疊，得到，其中點落在處，交于點，當為直角三角形時，長度是．

8．（2023秋·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在等邊三角形ABC中，．如果點M，N都以的速度運動，點在線段上由點向點運動，點在線段上由點向點運動，它們同時出發(fā)，當兩點運動時間為秒時，是一個直角三角形，則秒．

9．（2022春·江蘇蘇州·八年級校考期末）如圖，中，，，cm，為的中點，若動點以1cm/s的速度從點出發(fā)，沿著的方向運動，設點的運動時間為秒（），連接，當是直角三角形時，的值為．10．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，點D是BC邊上的一點，連接AD，將△ACD沿AD折疊，使點C落在點E處，當△BDE是直角三角形時，∠CAD的度數(shù)為．11．（2023秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，現(xiàn)將BC延長到點D，使△ABD為等腰三角形，則CD的長為．12．（2023春·江蘇·八年級期末）在中，，，的角平分線BD交AC于D，E為線段AB上的動點，當是直角三角形時，的度數(shù)是．（寫出所有的正確結(jié)果）13．（2023秋·重慶·八年級課堂例題）已知點A和點，以點A和點為兩個頂點作等腰直角三角形，一共可以作出個．14．（2023·江蘇興化·八年級期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點D、E在邊BC所在的直線上，且AB=DB，AC=EC，則∠DAE的度數(shù)為________．15．（2022·廣東·八年級課時練習）如圖，，點A是延長線上的一點，，動點P從點A出發(fā)沿以的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿以的速度移動，如果點同時出發(fā)，用表示移動的時間，當_________s時，是等腰三角形；當_________s時，是直角三角形．16．（2022·浙江·義烏市八年級期中）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點P是BC邊上的一個動點，點B與B′是關(guān)于直線AP的對稱點，當△CPB'是直角三角形時，BP的長＝_______．17．（2022·河北承德·八年級期末）如圖，，，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線運動，嘉琪在研究過程中發(fā)現(xiàn)，隨著點Р運動，形狀在發(fā)生變化，設點P的運動時間為t秒．（1）當是直角三角形時，t的值為______；（2）當是鈍角三角形時，t滿足的條件是__________．18．（2023·江蘇無錫·八年級?？计谥校┮阎喝鐖D1，射線MN⊥AB，AM＝1cm，MB＝4cm．點C從M出發(fā)以2cm/s的速度沿射線MN運動，設點C的運動時間為t（s）（1）當△ABC為等腰三角形時，求t的值；（2）當△ABC為直角三角形時，求t的值；（3）當t滿足條件：__________時，△ABC為鈍角三角形；當_________時，△ABC為銳角三角形．19．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）點P，Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB，BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都是1cm/s，設運動時間為t秒．（1）連接AQ，CP交于點M，則在P，Q運動的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)；（2）連接PQ．①當△BPQ為等邊三角形時，t＝秒；②當△BPQ為直角三角形時，t＝秒．（直接寫出結(jié)果）20．（2023春·江蘇蘇州·八年級校考階段練習）如果三角形的兩個內(nèi)角與滿足2+＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準直角三角形”．(1)如圖①，在RtABC中，∠ACB＝90°，BD是ABC的角平分線．求證：ABD是“準直角三角形”．(2)關(guān)于“準直角三角形”，下列說法：①在ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，則ABC是“準直角三角形”；②若ABC是“準直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，則∠B＝20°；③“準直角三角形”一定是鈍角三角形．其中，正確的是．（填寫序號）(3)如圖②，B、C為直線l上兩點，點A在直線l外，且∠ABC＝50°．若P是l上一點，且ABP是“準直角三角形”，請直接寫出∠APB的度數(shù)．21．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，中，，現(xiàn)有兩點、分別從點、點同時出發(fā)，沿三角形的邊順時針運動，點的速度為，點的速度為，當點第一次到達點時，，同時停止運動．(1)點，運動幾秒后，，兩點重合？(2)點，運動時，是否存在以為底邊的等腰三角形？如存在，請求出此時，運動的時間．若不存在，請說明理由．(3)點，運動幾秒后，可得到直角三角形？

22．（2023秋·江蘇揚州·八年級校考階段練習）已知中，如果過頂點B的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為的關(guān)于點B的伴侶分割線．例如：如圖1，中，，，若過頂點B的一條直線交于點D，當時，直線是的關(guān)于點B的伴侶分割線．(1)在圖2的中，，．請在圖2中畫出關(guān)于點B的伴侶分割線，并注明的度數(shù)；(2)已知，在圖3中畫出兩種不同于圖1、圖2的，所畫同時滿足：①∠C為最小角；②存在關(guān)于點B的伴侶分割線，請畫出其伴侶分割線，標出所畫中各個角的度數(shù)．23．（2023秋·四川成都·八年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系內(nèi)，點O為坐標原點，經(jīng)過A(-2，6)的直線交x軸正半軸于點B，交y軸于點C，OB=OC，直線AD交x軸負半軸于點D，若△ABD的面積為27．（1）求直線AD的解析式；（2）橫坐標為m的點P在AB上（不與點A，B重合），過點P作x軸的平行線交AD于點E，設PE的長為y（y≠0），求y與m之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出相應的m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在點F，使△PEF為等腰直角三角形？若存在求出點F的坐標，若不存在，請說明理由．

專題14直角三角形中的分類討論模型模型1、直角三角形中的分類討論模型【知識儲備】凡是涉及直角三角形問題，優(yōu)先考慮直角頂點（或斜邊）分類討論，再利用直角三角形的性質(zhì)或勾股定理解題即可。1）無圖需分類討論：①已知邊長度無法確定是直角邊還是斜邊時要分類討論；②已知無法確定是哪個角是直角時要分類討論（常見與折疊、旋轉(zhuǎn)中出現(xiàn)的直角三角形）。2）“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標系綜合出題，后續(xù)會專題進行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構(gòu)成方法：兩線一圓具體圖解：①當時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）②當時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）。③當時，以為直徑作圓，點在該圓上（，除外）。例1．（2023春·江蘇·八年級假期作業(yè)）若三角形的三邊長是6，8，，當?shù)闹禐闀r，該三角形是直角三角形.【答案】100或28【分析】三角形是直角三角形，這里給出三邊的長，只要用兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可求解，所以要分情況討論，當最長邊為8時，和最長邊不是8時，再根據(jù)勾股定理進行計算.【詳解】①最長邊為8時，82-62=，則=28；②最長邊不是8時，82+62=，則=100.【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是分情況討論最長邊.例2．（2023春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，、分別是的高和角平分線，點E為邊上一點，當為直角三角形時，則．

【答案】50或25/25或50【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，由角平分線的定義得，當為直角三角形時，存在兩種情況：分別根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴∵平分∴當為直角三角形時，有以下兩種情況：①當時，如圖1，

∵，∴；②當時，如圖2，

∴，∵，∴，綜上，的度數(shù)為或．故答案為：50或25．【點睛】本題考查的是直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，熟知“三角形的外角的性質(zhì)”是解答此題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谀┤鐖D，在4×4的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A，B，連接AB，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得△ABC是等腰直角三角形，則滿足條件的格點C的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時，符合條件的C點有0個；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有3個．∵，，∴，，，∴，，都是等腰直角三角形，故共有3個點，故選C．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學解題中很重要的解題思想．例4．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標系中，已知，以為一邊在外部作等腰直角．則點的坐標為．

【答案】或或【分析】分三種情形討論求解即可．當時，作軸于，由，推出，可得點坐標，同法可得，當，，，當是等腰直角三角形的斜邊時，是的中點，．【詳解】解：如圖，當時，作軸于，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，同法可得，當，當是等腰直角三角形的斜邊時，是的中點，，綜上所述，滿足條件的點的坐標為或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、中點坐標公式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．例5．（2023春·廣東·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC＝60°，則當△PAB為直角三角形時，AP的長為．【答案】或或1【分析】利用分類討論，當∠ABP=90°時，如圖2，由對頂角的性質(zhì)可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的長，利用勾股定理可得AP的長；當∠APB=90°時，分兩種情況討論，情況一：如圖1，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出PO=BO，易得△BOP為等邊三角形，利用勾股定理可得AP的長；情況二：如圖3，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得結(jié)論．【詳解】當∠ABP=90°時（如圖2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，∴BP=，在直角三角形ABP中，AP=；當∠APB=90°時，分兩種情況，情況一，（如圖1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP為等邊三角形，∴BP=OB=1，∵AB=BC=2，∴AP=；情況二，如圖3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP為等邊三角形，∴AP=AO=1，故答案為：或或1．．【點睛】本題主要考查了勾股定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．例6.（2023春·山東東營·八年級校考階段練習）如圖，長方形中，，，點為射線上的一個動點，若與關(guān)于直線對稱，若為直角三角形，則的長為．【答案】2或18【分析】分點在線段上，點在線段的延長線上兩種情況討論，由題意可得，，，，根據(jù)勾股定理和全等三角形的性質(zhì)，可求的長．【詳解】解：若點在線段上，若與△關(guān)于直線對稱，，，，△為直角三角形，，，，，，點，點，點共線，在中，．，，若點在線段的延長線上，且點在上，若與△關(guān)于直線對稱，，，在△中，，，，，且，，△，，，故答案為：2或18．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵例7.（2023春·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在中，，，是邊上的動點，點關(guān)于直線的對稱點為，連接交于，當為直角三角形時，的長是．【答案】或/5或2【分析】當時，先求出及的長，再在中利用勾股定理求出；當時，作，證明出為等腰直角三角形即可求出即可．【詳解】解：當時，如圖，

，，，，，由折疊得，，，設，，在中，，，即；當時，如圖，作，

，，，，，．故答案為：5或2．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，勾股定理的應用及等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．例8．（2023秋·廣東·八年級專題練習）如圖，，點A是延長線上的一點，，動點P從點A出發(fā)沿以的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿以的速度移動，如果點同時出發(fā)，用表示移動的時間，當s時，是等腰三角形；當s時，是直角三角形．【答案】或54或10【分析】根據(jù)是等腰三角形，分兩種情況進行討論：點在上，或點在上；根據(jù)是直角三角形，分兩種情況進行討論：，或，據(jù)此進行計算即可．【詳解】解：如圖，當時，是等腰三角形，，，當時，，解得；如圖，當時，是等腰三角形，，，當時，，解得；如圖，當時，是直角三角形，且，，，當時，，解得；如圖，當時，是直角三角形，且，，，當時，，解得：t=10．故答案為：或5；4或10．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是進行分類討論，分類時注意不能遺漏，也不能重復．例9．（2023秋·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）在中，，是邊上的動點，過點作交于點，將沿折疊，點的對應點為點．

(1)如圖1，若點恰好落在邊上，判斷的形狀，并證明；(2)如圖2，若點落在內(nèi)，且的延長線恰好經(jīng)過點，，求的度數(shù)；(3)若，當是直角三角形時，直接寫出的長．【答案】(1)是等邊三角形；見解析(2)；(3)的長是或【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出相等的角，再根據(jù)等邊三角形的判定即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知角相等，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意分兩種情況，再根據(jù)圖形以及折疊的性質(zhì)得到的長度．【詳解】（1）解：是等邊三角形，理由如下：∵，∴，由折疊可得，∴，∴，∴是等邊三角形；（2）解：由折疊可得，∵，∴，∵，∴，設，則，在中，，即，解得，∴；（3）解：的長是或，理由如下：當時，點在內(nèi)（如圖所示）

∵，∴，∴由折疊得，∴，∴，∴；當時，點在外，同理可得，∴．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵．例10．（2023秋·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線經(jīng)過點，交x軸于點，直線交直線于點B．(1)求直線的函數(shù)表達式和點B的坐標；(2)求的面積；(3)在x軸上是否存在點C，使得是直角三角形？若存在，求出點C的坐標：若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)求出直線的函數(shù)表達式，再聯(lián)立直線，的函數(shù)表達式，可得點B的坐標；（2）根據(jù)，即可求解；（3）根據(jù)題意可得當是直角三角形時，需分和兩種情況，即可求解．【詳解】（1）解：設直線的函數(shù)表達式為．∵圖象經(jīng)過點，，∴，解得，∴直線的函數(shù)表達式為．聯(lián)立，解得，∴點B的坐標為；（2）解：∵，∴；（3）解：∵點C在x軸上，∴，∴當是直角三角形時，需分和兩種情況．①當時，點C在圖中的位置：∵點A和點均在x軸上，∴軸．∵，∴；②當時，點C在圖中的位置：設∵，∴，∴．在中，，在中，，∴，即，解得，∴．綜上可知，在x軸上存在點C，使得是直角三角形，點C的坐標為或．【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想解答是解題關(guān)鍵．例11．（2022秋·江蘇連云港·八年級?？茧A段練習）（1）【模型建立】如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過A作AD⊥ED于點D，過B作BE⊥ED于點E．求證：△BEC≌△CDA；（2）【模型應用】①已知直線l1：y＝x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，將直線l1繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°至直線l2，如圖2，求直線l2的函數(shù)表達式；②如圖3，在平面直角坐標系中，點B（8，6），作BA⊥y軸于點A，作BC⊥x軸于點C，P是線段BC上的一個動點，點Q是直線y＝2x﹣6上的動點且在第一象限內(nèi)．問點A、P、Q能否構(gòu)成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，若能，請直接寫出此時點Q的坐標，若不能，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）①；②或．【分析】（1）：利用角的數(shù)量關(guān)系可求得，，然后根據(jù)AAS即可證明結(jié)論；（2）①：過點B作交于C，過C作軸于D，由（1）同理可得，利用全等三角形的性質(zhì)求出C的坐標，再利用待定系數(shù)法求的解析式即可；②：設點，由第一題同理可得：，利用全等三角形的性質(zhì)建立關(guān)系式求解即可．【詳解】（1）證明：∵為等腰直角三角形，∴，．又∵，，∴，又∵，∴．在和中，，，，∴；（2）①：過點B作交于C，過C作軸于D，∵，∴為等腰，由（1）同理可證：，∴，，∵，令，則，∴，令，則，∴，∴，，∴．∴，設直線的解析式為，將點，代入中，得解得，，，則的解析式：；②：如下圖，設點，當時，由（1）同理可證：，∴，即，解得：或，故：或．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識點，靈活運用全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．課后專項訓練1．（2023春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，，，若動點以的速度從點出發(fā)，沿著的方向運動，設點的運動時間為秒（），連接，當是直角三角形時，的值為（

）

A．2 B．2或7 C．2或5 D．2或5或7【答案】D【分析】由條件可求得，再求出點從點運動到點所需的時間為6秒，然后根據(jù)和兩種情況，根據(jù)當為直角三角形時，只有或，利用含角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：在中，，，，，∴，∵點以的速度從點出發(fā)，沿著的方向運動，點從點運動到點所需的時間為秒，則分以下兩種情況：①當時，，，當時，∵，∴，∴，即，解得，符合題設；當時，∵，∴，∴，即，解得，符合題設；②當時，，當時，∵，∴，∴，即，解得，不符合題設，舍去；當時，∵，∴，∴，即，解得，符合題設；綜上，的值為2或5或7，故選：D．【點睛】本題主要考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，正確分情況討論是解題關(guān)鍵．2．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB=2，AO=BO，P是直線CO上的一個動點，∠AOC=60°，當△PAB是以BP為直角邊的直角三角形時，AP的長為（

）A．,1,2 B．,,2 C．,,1 D．，2【答案】C【分析】利用分類討論，分當∠ABP=90°時和當∠APB=90°時兩種情況討論即可．【詳解】當∠APB=90°時,情況一：（如圖），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP為等邊三角形，∴BP=1，在Rt△APB中，AP=；情況二：如圖2，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP為等邊三角形，∴AP=AO=1；當∠ABP=90°時（如圖3），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OA=2，∴BP=，在直角三角形ABP中，AP=；故選C．【點睛】本題主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023秋·山東·八年級專題練習）如圖，已知，點是射線上一動點，當為直角三角形時，．

【答案】或【分析】分當時，當時，兩種情況討論求解即可．【詳解】解：當時，滿足為直角三角形；當時，∵，∴；綜上所述，的度數(shù)為或故答案為：或【點睛】題考查了直角三角形的兩銳角互余，分類討論是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·廣東八年級課時練習）如圖，等邊三角形中，，于點D，點E、F分別是、上的動點，沿所在直線折疊，使點C落在上的點處，當是直角三角形時，的值為．【答案】或【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得，由是直角三角形，分兩種情況討論，由含的直角三角形的性質(zhì)可求的長．【詳解】解：∵是等邊三角形，，∴，，由折疊可得，分兩種情況：①若，∵，∴，則：，又∵∴，∴，∴，②若，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，綜上所述，的值為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了翻折變換，等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)的運用，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．6．（2023春·江西南昌·八年級校考階段練習）如圖，在中，，，，點P，Q分別是邊AB，BC上的一個動點，點P從以每秒3個單位長度的速度運動，同時點Q從以每秒1個單位長度的速度運動，當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．在運動過程中，設運動時間為t秒，若為直角三角形，則t的值為．【答案】或或【分析】先利用直角三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)點P，Q的運動路徑和速度求出的取值范圍為，然后分和兩種情況，分別利用直角三角形的性質(zhì)求解即可得出答案．【詳解】解：在中，，，，，，點從點運動到點所需時間為（秒），最后返回到點所需時間為（秒）；點從點運動到點所需時間為（秒），當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，，由題意，分以下兩種情況：（1）如圖，當時，為直角三角形，①當時，，，，，在中，，即，解得，符合題設；②當時，，在中，，即，解得，不符題設，舍去；（2）如圖，當時，為直角三角形，①當時，，，，，在中，，即，解得，符合題設；②當時，，在中，，即，解得，符合題設；綜上，的值是或或，故答案為：或或．【點睛】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余等知識點，正確判斷出的取值范圍，并分情況討論是解題關(guān)鍵．7．（2023春·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在中，，，，，點是邊上一動點．連接，將沿折疊，得到，其中點落在處，交于點，當為直角三角形時，長度是．

【答案】或【分析】分兩種情況：當時，可證得是等邊三角形，得出，再由，即可求得；當時，利用直角三角形性質(zhì)可得，再由，即可求得．【詳解】解：，，，，，由折疊得：，，當時，，，是等邊三角形，，；當時，，在中，，，；綜上所述，的長度為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了直角三角形性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，折疊變換的性質(zhì)等，熟練掌握“直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半”是解題關(guān)鍵．8．（2023秋·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在等邊三角形ABC中，．如果點M，N都以的速度運動，點在線段上由點向點運動，點在線段上由點向點運動，它們同時出發(fā)，當兩點運動時間為秒時，是一個直角三角形，則秒．

【答案】或【分析】分、兩種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列式計算，得到答案．【詳解】解：由題意得，，，則，當時，，，，即，解得，，當時，，即，解得，，綜上所述，當或時，是一個直角三角形，故答案為：或．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的性質(zhì)、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·江蘇蘇州·八年級?？计谀┤鐖D，中，，，cm，為的中點，若動點以1cm/s的速度從點出發(fā)，沿著的方向運動，設點的運動時間為秒（），連接，當是直角三角形時，的值為．【答案】2或3.5或4.5或6【分析】先求出AB的長，再分①∠BDE＝90°時，DE是△ABC的中位線，然后求出AE的長度，再分點E在AB上和在BA上兩種情況列出方程求解即可；②∠BED＝90°時，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求出BE，然后分點E在AB上和在BA上兩種情況列出方程求解即可．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm,∴，AB＝2BC＝4（cm），①∠BDE＝90°時，∵，∴，∴∴AE＝（cm），點E在AB上時，t＝2÷1＝2（秒），點E在BA上時，點E運動的路程為4×2?2＝6（cm），∴t＝6÷1＝6（秒）；②∠BED＝90°時，BE＝＝0.5（cm），點E在AB上時，t＝（4?0.5）÷1＝3.5（秒），點E在BA上時，點E運動的路程為4＋0.5＝4.5（cm），t＝4.5÷1＝4.5（秒），∵綜上所述，t的值為2或3.5或4.5或6，故答案為：2或3.5或4.5或6．【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分情況討論．10．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，點D是BC邊上的一點，連接AD，將△ACD沿AD折疊，使點C落在點E處，當△BDE是直角三角形時，∠CAD的度數(shù)為．【答案】或【分析】分兩種情況：當點在上時，有直角三角形的性質(zhì)可得，當時，即在外時，由折疊可得：，，，平分，即．【詳解】解：分兩種情況：如圖，①當時，點在上時，②當時，即在外時，如圖，由折疊可得：，，，平分，，不可能為直角．故答案為或．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，解本題要注意分類討論．熟練掌握折疊的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和等基本知識點．11．（2023秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，現(xiàn)將BC延長到點D，使△ABD為等腰三角形，則CD的長為．【答案】4，6或【分析】由題意分AD=BD、AB=BD、AB=AD這三種情況進行討論求解即可.【詳解】解：如圖，當AD=BD時，∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，∴,設，由，可得，解得：，即；如圖，當AB=BD時，∵AB=BD，∴;如圖，當AB=AD時，∵AB=BD，∠C=90°，∴；綜上可得CD的長為4，6或.故答案為：4，6或．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應用，熟練掌握利用方程根據(jù)勾股定理建立方程求解以及進行全面思考、分類討論是解題的關(guān)鍵.12．（2023春·江蘇·八年級期末）在中，，，的角平分線BD交AC于D，E為線段AB上的動點，當是直角三角形時，的度數(shù)是．（寫出所有的正確結(jié)果）【答案】69°或11°【分析】分情況討論，當∠AED=90°時，利用直角三角形兩銳角互余即可求出的度數(shù)；當∠ADE=90°時，通過三角形內(nèi)角和求出∠ADB的度數(shù)，然后減去∠ADE即可求出答案．【詳解】∵，，∴∠A=180°-80°-42°=58°，當是直角三角形時，如圖，當∠AED=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE=∠ABC=，∴∠BDE=90°-21°=69°；如圖，當∠ADE=90°時，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=，∴∠ADB=∠DBC+∠C=21°+80°=101°，∴∠BDE=∠ADB-∠ADE=101°-90°=11°，故答案為：69°或11°．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形注意分情況討論．13．（2023秋·重慶·八年級課堂例題）已知點A和點，以點A和點為兩個頂點作等腰直角三角形，一共可以作出個．【答案】6【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，分點是直角邊和斜邊兩種情況作出圖形即可得解．【詳解】解：如圖，以點和點為兩個頂點作等腰直角三角形，

一共可作出6個．故答案為：6【點睛】本題考查了等腰直角三角形，作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更形象直觀．14．（2023·江蘇興化·八年級期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點D、E在邊BC所在的直線上，且AB=DB，AC=EC，則∠DAE的度數(shù)為________．【答案】45°或135°【分析】分四種情況：若點D、E在線段BC上時；若點D在線段BC上，點E在BC的延長線上時；若點D在CB的延長線上點E在BC的延長線上時；若點D在CB的延長線上，點E在線段BC上時討論，即可求解．【詳解】解：如圖，若點D、E在線段BC上時，∵AB=DB，AC=EC，∴∠BAD=∠ADB，∠CAE=∠AEC，∴∠BAE+∠DAE=∠CAD+∠C，∠CAD+∠DAE=∠BAE+∠B，∴∠BAE+∠CAD+2∠DAE=∠CAD+∠BAE+∠B+∠C，∴2∠DAE=∠B+∠C，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠DAE=45°；如圖，若點D在線段BC上，點E在BC的延長線上時，∵AC=EC，∴可設∠E=∠CAE=x，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2x，∵∠BAC=90°，∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x，∵AB=DB，∴，∵∠ADB=∠DAE+∠E，∴∠DAE=45°；如圖，若點D在CB的延長線上，點E在BC的延長線上時，∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠CAE，∵AB=DB，∴∠D=∠BAD，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠BAD，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∴2∠CAE+2∠BAD=90°，∴∠CAE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CAE+∠BAD+∠BAC=135°；如圖，若點D在CB的延長線上，點E在線段BC上時，∵AB=DB，∴可設∠D=∠BAD=y，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2y，∴∠ABC=2y，∵∠BAC=90°，∴∠C=90°-2y，∵AC=EC，∴∠AEC=∠CAE=，∵∠AEC=∠D+∠DAE，∴∠DAE=45°綜上所述，∠DAE的度數(shù)為45°或135°．故答案為：45°或135°【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．15．（2022·廣東·八年級課時練習）如圖，，點A是延長線上的一點，，動點P從點A出發(fā)沿以的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿以的速度移動，如果點同時出發(fā)，用表示移動的時間，當_________s時，是等腰三角形；當_________s時，是直角三角形．【答案】

或5

4或10【分析】根據(jù)是等腰三角形，分兩種情況進行討論：點在上，或點在上；根據(jù)是直角三角形，分兩種情況進行討論：，或，據(jù)此進行計算即可．【詳解】解：如圖，當時，是等腰三角形，，，當時，，解得；如圖，當時，是等腰三角形，，，當時，，解得；如圖，當時，是直角三角形，且，，，當時，，解得；如圖，當時，是直角三角形，且，，，當時，，解得：t=10．故答案為：或5；4或10．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是進行分類討論，分類時注意不能遺漏，也不能重復．16．（2022·浙江·義烏市八年級期中）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點P是BC邊上的一個動點，點B與B′是關(guān)于直線AP的對稱點，當△CPB'是直角三角形時，BP的長＝_______．【答案】1或【分析】根據(jù)題意分三種情形：①∠PCB′＝90°，②∠CPB′＝90°，進而利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可，③反證法證明的情形不成立．【詳解】解：①如圖1中，當∠PCB′＝90°時，設PB＝PB′＝x．∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，由翻折的性質(zhì)可知，AB＝AB′＝5，在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，∴（4﹣x）2+22＝x2，∴x＝，∴PB＝．②如圖2中，當∠CPB′＝90°，設PB＝y(tǒng)．過點A作AT⊥B′P交B′P的延長線于點T，則四邊形ACPT是矩形，∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，解得y＝1或0（0舍棄），∴PB＝1，③若，如圖點C與C′是關(guān)于直線AP的對稱點，連接由題意可得若，根據(jù)對稱性可得,根據(jù)平行線之間的距離相等，若，則到的距離等于4而不平行假設不成立綜上所述，PB的值為：1或．【點睛】本題考查翻折變換以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題．17．（2022·河北承德·八年級期末）如圖，，，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線運動，嘉琪在研究過程中發(fā)現(xiàn)，隨著點Р運動，形狀在發(fā)生變化，設點P的運動時間為t秒．（1）當是直角三角形時，t的值為______；（2）當是鈍角三角形時，t滿足的條件是__________．【答案】

和6

或【分析】（1）分兩種情況討論：當∠APB=90°時；當∠BAP=90°時，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）由（1）得，當時，∠APB＞90°；當時，∠BAP＞90°，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，當∠APB=90°時，∵，∴∠BAP=30°，∴AB=2BP，∵，∴，此時；如圖，當∠BAP=90°時，∵，∴∠BPA=30°，∴BP=2AB=6，此時t=6；綜上所述，t的值為和6；故答案為：和6；（2）由（1）得，當時，∠APB＞90°；當時，∠BAP＞90°；∴當是鈍角三角形時，t滿足的條件是或．故答案為：或【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．18．（2023·江蘇無錫·八年級校考期中）已知：如圖1，射線MN⊥AB，AM＝1cm，MB＝4cm．點C從M出發(fā)以2cm/s的速度沿射線MN運動，設點C的運動時間為t（s）（1）當△ABC為等腰三角形時，求t的值；（2）當△ABC為直角三角形時，求t的值；（3）當t滿足條件：__________時，△ABC為鈍角三角形；當_________時，△ABC為銳角三角形．【答案】（1）t=或t=；（2）t=1；（3）0＜t＜1；t＞1【分析】試題分析：（1）當△ABC為等腰三角形時，分三種情況討論，t值可以用勾股定理建立等量關(guān)系求出；（2）當△ABC為直角三角形時，由題意可得，有一種情況：∠ACB＝90°，利用勾股定理求出t值；（3）利用勾股定理可證出銳角三角形三邊關(guān)系是兩邊平方和大于第三邊平方，鈍角三角形三邊關(guān)系是兩短邊平方和小于鈍角所對邊的平方．建立不等關(guān)系式，求出t的取值范圍．【詳解】試題解析：由題意可得：CM=2t，（t>0）．（1）當△ABC為等腰三角形時，分三種情況討論，①當CB＝AB時，在Rt△MCB中，由勾股定理得：BC2＝42＋（2t）2，所以42＋（2t）2=25，解得：t＝；②當AB＝AC時，12＋（2t）2=25，解得：t＝，③當AC＝BC時，C在AB的垂直平分線上，與條件不合，故這種情況不存在；綜上所述t=或t=時△ABC為等腰三角形．（2）當△ABC為直角三角形時，由題意可得，有一種情況：∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，CM＝2t，在Rt△MCB中，由勾股定理得：BC2＝（2t）2＋42，在Rt△MCA中，由勾股定理得：AC2＝（2t）2+12，∴4t2＋42＋4t2＋12＝52，解得：t＝1，所以t的值為1時△ABC為直角三角形．（3）利用勾股定理可證出鈍角三角形三邊關(guān)系是兩短邊平方和小于鈍角所對邊的平方．建立不等關(guān)系式，（2t）2+12+（2t）2＋42<25，解得：t2<1，所以0＜t＜1時，△ABC為鈍角三角形；而銳角三角形三邊關(guān)系是兩邊平方和大于第三邊平方，所以（2t）2+12+（2t）2＋42>25，解得：t2>1，所以t>1時，△ABC為銳角三角形；考點：1．特殊三角形的判定；2．動點問題；3．勾股定理的運用．19．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）點P，Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB，BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都是1cm/s，設運動時間為t秒．（1）連接AQ，CP交于點M，則在P，Q運動的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)；（2）連接PQ．①當△BPQ為等邊三角形時，t＝秒；②當△BPQ為直角三角形時，t＝秒．（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）∠CMQ理由見解析；（2）①2；②或【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可證明△APC≌△BQA，則可求得∠BAQ=∠ACP，再利用三角形外角的性質(zhì)可證得∠CMQ=60°；（2）①由△BPQ為等邊三角形，可得再建立方程求解即可；②當△BPQ為直角三角形時，分兩種情況討論，當而則當時，則再利用含的直角三角形的性質(zhì)列方程求解即可.【詳解】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠B=∠PAC=60°，∵點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，∴AP=BQ，在△APC和△BQA中，∴△APC≌△BQA（SAS），∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°，∴在P、Q運動的過程中，∠CMQ不變，∠CMQ=60°；（2）①△BPQ為等邊三角形，由題意得：解得：所以當△BPQ為等邊三角形時，則s②當△BPQ為直角三角形時，當而則解得：當時，則解得：綜上：當s或s時，△BPQ為直角三角形.【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，掌握“利用圖形的性質(zhì)得到邊與邊之間的關(guān)系，再建立方程求解”是解題的關(guān)鍵.20．（2023春·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習）如果三角形的兩個內(nèi)角與滿足2+＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準直角三角形”．(1)如圖①，在RtABC中，∠ACB＝90°，BD是ABC的角平分線．求證：ABD是“準直角三角形”．(2)關(guān)于“準直角三角形”，下列說法：①在ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，則ABC是“準直角三角形”；②若ABC是“準直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，則∠B＝20°；③“準直角三角形”一定是鈍角三角形．其中，正確的是．（填寫序號）(3)如圖②，B、C為直線l上兩點，點A在直線l外，且∠ABC＝50°．若P是l上一點，且ABP是“準直角三角形”，請直接寫出∠APB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)①③(3)當，，，時，ABP滿足條件，是“準直角三角形”．【分析】（1）由角平分線的定義可得∠ABC＝2∠ABD，只要再證明2∠ABD+∠A=90°，即可判斷．（2）根據(jù)“準直角三角形”的定義即可判斷．（3）根據(jù)“準直角三角形”的定義，分類討論即可解決問題．【詳解】（1）證明：如圖①中，∵在RtABC中，∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABC＝2∠ABD，∴2∠ABD+∠A＝90°，∴ABD是“準直角三角形”．（2）解：①∵∠B=70°，∠C=10°，∴∠B+2∠C=90°，∴ABC是“準直角三角形”．故①正確．②∵∠C＞90°，∠A＝60°+2∠B＝100°∴顯然ABC不符合條件，故②錯誤，③∵三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足2α+β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“準直角三角形”，∴α+β＜90°，∴三角形的第三個角大于90°，∴“準直角三角形”一定是鈍角三角形，故③正確．故答案為①③．（3）解：如圖②中，當時，則，此時+2，符合題意；同理可求，，時，ABP滿足條件，是“準直角三角形”．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，“準直角三角形”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題．21．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，中，，現(xiàn)有兩點、分別從點、點同時出發(fā)，沿三角形的邊順時針運動，點的速度為，點的速度為，當點第一次到達點時，，同時停止運動．

(1)點，運動幾秒后，，兩點重合？(2)點，運動時，是否存在以為底邊的等腰三角形？如存在，請求出此時，運動的時間．若不存在，請說明理由．(3)點，運動幾秒后，可得到直角三角形？【答案】(1)12秒(2)存在，4或16(3)或或15或18【分析】（1）設點M，N運動x秒后重合，表示出M，N的路程，N的路程比M多，列出方程求解即可；（2）首先假設是等腰三角形，不難得到在上運動時點N在點M前方，如圖所示，可證出，可得，設出運動時間，表示出的長，列出方程，可解出未知數(shù)的值．（3）分情況討論，利用角所對的直角邊等于斜邊的一半解題即可．【詳解】（1）設點、運動秒后，、兩點重合，由題意可得：，解得：，即當、運動12秒時，，兩點重合；（2）當點、運動4或16秒時，存在以為底的等腰三角形，理由如下：由（1）可知：當、運動12秒時，，兩點重合，當、分別在、上時，，，，成立；如圖，當、都在BC上時，，

，，，是等邊三角形，，，，，，，，解得：，成立；綜上，滿足條件的的值為