專(zhuān)題15勾股定理中的最短路徑模型(原卷版+解析)

專(zhuān)題15勾股定理中的最短路徑模型勾股定理中的最短路線問(wèn)題通常是以“兩點(diǎn)之間，線段最短”為基本原理推出的。人們?cè)谏a(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問(wèn)題。對(duì)于數(shù)學(xué)中的最短路線問(wèn)題可以分為兩大類(lèi)：第一類(lèi)為在同一平面內(nèi)；第二類(lèi)為空間幾何體中的最短路線問(wèn)題，對(duì)于平面內(nèi)的最短路線問(wèn)題可先畫(huà)出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對(duì)于幾何題內(nèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。模型1.圓柱中的最短路徑模型【模型解讀】圓柱體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟圓柱有關(guān)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，要注意圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意展開(kāi)后兩個(gè)端點(diǎn)的位置，有時(shí)候需要用底面圓的周長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，有時(shí)候需要用底面圓周長(zhǎng)的一半進(jìn)行計(jì)算。注意：1）運(yùn)用勾股定理計(jì)算最短路徑時(shí)，按照展開(kāi)—定點(diǎn)—連線—勾股定理的步驟進(jìn)行計(jì)算；2）纏繞類(lèi)題型可以求出一圈的最短長(zhǎng)度后乘以圈數(shù)?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為32cm，高為24cm，從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞一圈絲線到頂部B處做裝飾（點(diǎn)B在點(diǎn)A的正上方），則這條絲線的最小長(zhǎng)度為（

）A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm例2．（2023·重慶·八年級(jí)期末）如圖，圓柱形玻璃杯高，底面周長(zhǎng)為，在外側(cè)距下底處有一只蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上端距開(kāi)口處的外側(cè)點(diǎn)處有一只蒼蠅，蜘蛛捕到蒼蠅的最短路線長(zhǎng)是______．例3．（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)新鄉(xiāng)市第十中學(xué)?？计谀┤鐖D，小冰想用一條彩帶纏繞圓柱4圈，正好從A點(diǎn)繞到正上方的B點(diǎn)，已知知圓柱底面周長(zhǎng)是3m，高為16m，則所需彩帶最短是（）m．

A．8 B．5 C．20 D．10模型2.長(zhǎng)方體中的最短路徑模型【模型解讀】長(zhǎng)方體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟長(zhǎng)方體有關(guān)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，要熟悉長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意長(zhǎng)方體展開(kāi)圖的多種情況和分類(lèi)討論。注意：1）長(zhǎng)方體展開(kāi)圖分類(lèi)討論時(shí)可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進(jìn)行討論；2）兩個(gè)端點(diǎn)中有一個(gè)不在定點(diǎn)時(shí)討論方法跟第一類(lèi)相同。【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·四川樂(lè)山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高為．如果從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞2圈到達(dá)點(diǎn)，那么所用細(xì)線最短需要cm．例2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）小南同學(xué)報(bào)名參加了學(xué)校的攀巖選修課，攀巖墻近似一個(gè)長(zhǎng)方體的兩個(gè)側(cè)面，如圖所示，他根據(jù)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)準(zhǔn)確地判斷出：從點(diǎn)A攀爬到點(diǎn)B的最短路徑為_(kāi)_______米．例3．（2023春·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）棱長(zhǎng)分別為兩個(gè)正方體如圖放置，點(diǎn)P在上，且，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P，需要爬行的最短距離是______．例4．（2023春·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個(gè)長(zhǎng)方體木柜（木柜與墻面和地面均沒(méi)有縫腺），一只螞蟻從柜角處沿著木柜表面爬到柜角處．若，，，則螞蟻爬行的最短路程是（

）A． B． C． D．12模型3.階梯中的最短路徑模型【模型解讀】階梯中最短路徑基本模型如下：注意：展開(kāi)—定點(diǎn)—連線—勾股定理【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023秋·山東棗莊·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬高分別是5，3和1，和是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)上有一只螞蟻，想到點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到點(diǎn)的最短路程長(zhǎng)為（

）

A．10 B．11 C．12 D．13例2．（2023春·四川成都·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示，是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)，寬．中間豎有一堵磚墻高．一只螞蚱從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它必須翻過(guò)中間那堵墻，則它要走的路程s取值范圍是________．例3．（2023春·重慶八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)長(zhǎng)為米,寬為米的長(zhǎng)方形草地上,如圖堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長(zhǎng)平行且大于場(chǎng)地寬，木塊的主視圖是邊長(zhǎng)為1米的正三角形，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是______米．模型4.將軍飲馬與最短路徑模型【模型解讀】將軍飲馬與最短路徑基本模型如下：解決線段之和最小值問(wèn)題：對(duì)稱(chēng)+連線，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決。注意：立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問(wèn)題需要先作對(duì)稱(chēng)，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短的原理結(jié)合勾股定理求解。【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為_(kāi)__________．（杯壁厚度不計(jì)）

例2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，開(kāi)口玻璃罐長(zhǎng)、寬、高分別為16、6和6，在罐內(nèi)點(diǎn)E處有一小塊餅干碎末，此時(shí)一只螞蟻正好在罐外長(zhǎng)方形的中心H處，螞蟻到達(dá)餅干的最短距離是多少（）A． B． C． D．17例3．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一個(gè)圓柱體水晶杯（容器厚度忽略不計(jì)），其底面圓的周長(zhǎng)為，高為，在杯子內(nèi)壁離容器底部的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，與蜂蜜相對(duì)，此時(shí)一只螞蟻正好在杯子外壁，離容器上沿的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為（

）

A． B． C． D．2．（2022秋·福建寧德·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，是側(cè)面正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，一只螞蟻在正方體的表面上爬行，從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路徑是（

）A． B． C． D．3．（2023·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬和高分別為20、3、2，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是（

）

A．20 B．15 C．25 D．274．（2023秋·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，一只螞蟻想從盒底的點(diǎn)沿盒的表面爬到點(diǎn)，螞蟻爬行的最短路程是（

）

A． B． C． D．5．（2023春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，圓柱形玻璃容器高18cm，底面圓的周長(zhǎng)為48cm，在外側(cè)底部點(diǎn)A處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)頂端的點(diǎn)B處有一只蒼蠅，則蜘蛛捕獲蒼蠅所走的最短路線長(zhǎng)度（

）

A．52cm B．30cm C．cm D．60cm6．（2022秋·河南鶴壁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在長(zhǎng)為3，寬為2，高為1的長(zhǎng)方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著長(zhǎng)方體的表面爬行到頂點(diǎn)B，那么它爬行的最短路程是．7．（2023春·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圓柱的底面半徑為，高為，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是．

8．（2023春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，圓柱的底面直徑為，高，按如圖所示的方式纏繞細(xì)線，纏繞一周（不記接頭）至少需要長(zhǎng)的細(xì)線．

9．（2022秋·黑龍江大慶·七年級(jí)大慶市第三十六中學(xué)?？计谀┰诘酌嬷睆綖?cm，高為3cm的圓柱體側(cè)面上，用一條無(wú)彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長(zhǎng)度為（π取3）10．（2023·四川成都·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖一只螞蟻從長(zhǎng)為4cm，寬為3cm，高為2cm的長(zhǎng)方體紙箱A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它爬行的最短路線的長(zhǎng)是_________cm11．（2023·四川成都·八年級(jí)校考階段練習(xí)）一個(gè)長(zhǎng)方體形盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為8cm，8cm，12cm，一只螞蟻想從盒底的點(diǎn)爬到盒頂?shù)狞c(diǎn)，螞蟻要爬行的最短行程是______cm．12．（2023·四川成都·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處的最短距離為_(kāi)______（杯壁厚度不計(jì)）．13．（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的U形池，該U形池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為的半圓，其邊緣，點(diǎn)E在上，，一滑板愛(ài)好者從U形池內(nèi)側(cè)的點(diǎn)A滑到點(diǎn)E，則他滑行的最短距離約為m．（取3）

14．（2023春·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在圓柱的截面中，，，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到的中點(diǎn)S的最短距離為．15．（2023春·福建福州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，，則周長(zhǎng)的最小值為．16．（2023春·湖南永州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，則它爬行的最短距離為．

17．（2023春·安徽六安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別是，在的中點(diǎn)處有一滴蜜糖，一只小蟲(chóng)從處沿盒子表面爬到處去吃，求小蟲(chóng)爬行的最短路程．

18．（2023秋·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，一只螞蟻要從圓柱的下底面的點(diǎn)A爬到上底面的點(diǎn)B處，求它爬行的最短距離.已知圓柱底面半徑為R，高度為h.小明同學(xué)在研究這個(gè)問(wèn)題時(shí)，提出了兩種可供選擇的方案，方案1：沿ACB爬行；方案2：沿圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的線段AB爬行，如圖2.（取3）(1)當(dāng)，時(shí)，哪種方式的爬行距離更近？(2)當(dāng)，時(shí)，哪種方式的爬行距離更近？(3)當(dāng)與滿足什么條件時(shí)，兩種方式的爬行距離同樣遠(yuǎn)？

19．（2023春·安徽蚌埠·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，A，B兩個(gè)村莊在河CD的同側(cè)，兩村莊的距離為a千米，，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個(gè)村莊的飲水問(wèn)題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，B兩村輸送水．(1)在圖上作出向A，B兩村鋪設(shè)水管所用材料最省時(shí)的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）；(2)經(jīng)預(yù)算，修建水廠需20萬(wàn)元，鋪設(shè)水管的所有費(fèi)用平均每千米為3萬(wàn)元，其他費(fèi)用需5萬(wàn)元，求完成這項(xiàng)工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬(wàn)元．20．（2023春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作，，連接、．已知，，，設(shè)．(1)用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)為_(kāi)_______；(2)求的最小值________；(3)根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)模仿圖1在網(wǎng)格中（圖2）構(gòu)圖并求代數(shù)式的最小值．

專(zhuān)題15勾股定理中的最短路徑模型勾股定理中的最短路線問(wèn)題通常是以“兩點(diǎn)之間，線段最短”為基本原理推出的。人們?cè)谏a(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問(wèn)題。對(duì)于數(shù)學(xué)中的最短路線問(wèn)題可以分為兩大類(lèi)：第一類(lèi)為在同一平面內(nèi)；第二類(lèi)為空間幾何體中的最短路線問(wèn)題，對(duì)于平面內(nèi)的最短路線問(wèn)題可先畫(huà)出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對(duì)于幾何題內(nèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。模型1.圓柱中的最短路徑模型【模型解讀】圓柱體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟圓柱有關(guān)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，要注意圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意展開(kāi)后兩個(gè)端點(diǎn)的位置，有時(shí)候需要用底面圓的周長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，有時(shí)候需要用底面圓周長(zhǎng)的一半進(jìn)行計(jì)算。注意：1）運(yùn)用勾股定理計(jì)算最短路徑時(shí)，按照展開(kāi)—定點(diǎn)—連線—勾股定理的步驟進(jìn)行計(jì)算；2）纏繞類(lèi)題型可以求出一圈的最短長(zhǎng)度后乘以圈數(shù)?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為32cm，高為24cm，從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞一圈絲線到頂部B處做裝飾（點(diǎn)B在點(diǎn)A的正上方），則這條絲線的最小長(zhǎng)度為（

）A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm【答案】B【分析】要求絲線的長(zhǎng)，需將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長(zhǎng)時(shí)，借助于勾股定理．【詳解】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，得到矩形，則從圓柱底部處沿側(cè)面纏繞一圈絲線到頂部處做裝飾，這條絲線的最小長(zhǎng)度是長(zhǎng)方形的對(duì)角線的長(zhǎng)．圓柱的底面周長(zhǎng)是，高是，，．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，此矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)，寬等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側(cè)面展開(kāi)成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．例2．（2023·重慶·八年級(jí)期末）如圖，圓柱形玻璃杯高，底面周長(zhǎng)為，在外側(cè)距下底處有一只蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上端距開(kāi)口處的外側(cè)點(diǎn)處有一只蒼蠅，蜘蛛捕到蒼蠅的最短路線長(zhǎng)是______．【答案】15【分析】展開(kāi)后連接，求出的長(zhǎng)就是捕獲蒼蠅的蜘蛛所走的最短路徑，過(guò)S作于E，求出、，根據(jù)勾股定理求出SF即可．【詳解】解：如圖展開(kāi)后連接，求出的長(zhǎng)就是捕獲蒼蠅的蜘蛛所走的最短路徑，過(guò)S作于E，則（），（），在中，由勾股定理得：（），故答案為15．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、平面展開(kāi)-最短路線問(wèn)題，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，題目比較典型，難度適中．例3．（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)新鄉(xiāng)市第十中學(xué)?？计谀┤鐖D，小冰想用一條彩帶纏繞圓柱4圈，正好從A點(diǎn)繞到正上方的B點(diǎn)，已知知圓柱底面周長(zhǎng)是3m，高為16m，則所需彩帶最短是（）m．

A．8 B．5 C．20 D．10【答案】C【分析】把曲面展開(kāi)變?yōu)槠矫妫脙牲c(diǎn)間線段最短，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，線段即為所需彩帶最短，由圖可知，，∴由勾股定理得，，故選C．

【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間線段最短和勾股定理在生活中的應(yīng)用．將曲面問(wèn)題變?yōu)槠矫鎲?wèn)題是解答本題關(guān)鍵．模型2.長(zhǎng)方體中的最短路徑模型【模型解讀】長(zhǎng)方體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟長(zhǎng)方體有關(guān)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，要熟悉長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意長(zhǎng)方體展開(kāi)圖的多種情況和分類(lèi)討論。注意：1）長(zhǎng)方體展開(kāi)圖分類(lèi)討論時(shí)可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進(jìn)行討論；2）兩個(gè)端點(diǎn)中有一個(gè)不在定點(diǎn)時(shí)討論方法跟第一類(lèi)相同。【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·四川樂(lè)山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高為．如果從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞2圈到達(dá)點(diǎn)，那么所用細(xì)線最短需要cm．【答案】【分析】根據(jù)從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞2圈到達(dá)點(diǎn)，則展開(kāi)后，，由勾股定理計(jì)算出的長(zhǎng)，即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：，從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞2圈到達(dá)點(diǎn)，展開(kāi)后，，由勾股定理得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)—最短路線問(wèn)題和勾股定理的應(yīng)用，能正確畫(huà)出圖形是此題的關(guān)鍵．例2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）小南同學(xué)報(bào)名參加了學(xué)校的攀巖選修課，攀巖墻近似一個(gè)長(zhǎng)方體的兩個(gè)側(cè)面，如圖所示，他根據(jù)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)準(zhǔn)確地判斷出：從點(diǎn)A攀爬到點(diǎn)B的最短路徑為_(kāi)_______米．【答案】【分析】利用立體圖形路徑最小值為展開(kāi)平面圖的兩點(diǎn)間距離，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：平面展開(kāi)圖為：（米），故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查立體圖形中兩點(diǎn)間最短路徑問(wèn)題，通用辦法是展開(kāi)為平面圖形，兩點(diǎn)間最短路徑為兩點(diǎn)線段長(zhǎng)度，利用水平距離和豎直距離得到直角三角形，勾股定理求出兩點(diǎn)線段長(zhǎng)度．熟悉立體圖形中兩點(diǎn)間最短路徑問(wèn)題的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．例3．（2023春·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）棱長(zhǎng)分別為兩個(gè)正方體如圖放置，點(diǎn)P在上，且，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P，需要爬行的最短距離是______．【答案】cm．【分析】求出兩種展開(kāi)圖的值，比較即可判斷；【詳解】解：如圖，有兩種展開(kāi)方法：方法一∶，方法二∶．故需要爬行的最短距離是cm．故答案為：cm．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開(kāi)-最短問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．例4．（2023春·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個(gè)長(zhǎng)方體木柜（木柜與墻面和地面均沒(méi)有縫腺），一只螞蟻從柜角處沿著木柜表面爬到柜角處．若，，，則螞蟻爬行的最短路程是（

）A． B． C． D．12【答案】A【分析】求出螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到，以及螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到的距離，再進(jìn)行比較即可．【詳解】解：螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到，爬過(guò)的路徑的長(zhǎng)是，螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到，爬過(guò)的路徑的長(zhǎng)是．，最短路徑的長(zhǎng)是．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了長(zhǎng)方體展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)度求法，這種題型經(jīng)常在中考中出現(xiàn)，也是易錯(cuò)題型，希望能引起同學(xué)們的注意．模型3.階梯中的最短路徑模型【模型解讀】階梯中最短路徑基本模型如下：注意：展開(kāi)—定點(diǎn)—連線—勾股定理【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023秋·山東棗莊·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬高分別是5，3和1，和是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)上有一只螞蟻，想到點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到點(diǎn)的最短路程長(zhǎng)為（

）

A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】先將圖形平面展開(kāi)，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】解：如圖所示，

∵三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，寬為5，長(zhǎng)為，∴螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)，由勾股定理得，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到點(diǎn)最短路程是13．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)圖中的最短路徑問(wèn)題，熟練掌握平面展開(kāi)圖及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．例2．（2023春·四川成都·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示，是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)，寬．中間豎有一堵磚墻高．一只螞蚱從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它必須翻過(guò)中間那堵墻，則它要走的路程s取值范圍是________．【答案】【分析】連接，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再把中間的墻平面展開(kāi)，使原來(lái)的長(zhǎng)方形長(zhǎng)度增加而寬度不變，求出新長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)即可得到范圍．【詳解】解：如圖所示，將圖展開(kāi)，圖形長(zhǎng)度增加，原圖長(zhǎng)度增加，則，連接，四邊形是長(zhǎng)方形，，寬，，螞蚱從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它要走的路程．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開(kāi)最短路線問(wèn)題及勾股定理，根據(jù)題意畫(huà)出圖形是解答此題的關(guān)鍵．例3．（2023春·重慶八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)長(zhǎng)為米,寬為米的長(zhǎng)方形草地上,如圖堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長(zhǎng)平行且大于場(chǎng)地寬，木塊的主視圖是邊長(zhǎng)為1米的正三角形，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是______米．【答案】【分析】如圖，將木塊展開(kāi)，相當(dāng)于長(zhǎng)方形草地的長(zhǎng)多了正三角形的一個(gè)邊長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為米，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的寬為3米，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是對(duì)角線，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，將木塊展開(kāi)，相當(dāng)于長(zhǎng)方形草地的長(zhǎng)多了正三角形的一個(gè)邊長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為米，長(zhǎng)方形的寬為3米，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是對(duì)角線，米，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意將木塊展開(kāi)，再利用兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵．模型4.將軍飲馬與最短路徑模型【模型解讀】將軍飲馬與最短路徑基本模型如下：解決線段之和最小值問(wèn)題：對(duì)稱(chēng)+連線，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決。注意：立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問(wèn)題需要先作對(duì)稱(chēng)，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短的原理結(jié)合勾股定理求解。【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為_(kāi)__________．（杯壁厚度不計(jì)）

【答案】10【分析】如圖（見(jiàn)解析），將玻璃杯側(cè)面展開(kāi)，作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長(zhǎng)度即為所求，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，將玻璃杯側(cè)面展開(kāi)，作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，

由題意得：，，∵底面周長(zhǎng)為，，，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)——最短路徑問(wèn)題，將圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．例2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，開(kāi)口玻璃罐長(zhǎng)、寬、高分別為16、6和6，在罐內(nèi)點(diǎn)E處有一小塊餅干碎末，此時(shí)一只螞蟻正好在罐外長(zhǎng)方形的中心H處，螞蟻到達(dá)餅干的最短距離是多少（）A． B． C． D．17【答案】C【分析】做此題要把這個(gè)長(zhǎng)方體中螞蟻所走的路線放到一個(gè)平面內(nèi)，在平面內(nèi)線段最短，根據(jù)勾股定理即可計(jì)算．【詳解】解：①若螞蟻從平面和平面經(jīng)過(guò)，螞蟻到達(dá)餅干的最短距離如圖1：，②若螞蟻從平面和下底面平面經(jīng)過(guò)，則螞蟻到達(dá)餅干的最短距離如圖2：∵∴螞蟻到達(dá)餅干的最短距離是，故選：C．【點(diǎn)睛】考查了平面展開(kāi)?最短路徑問(wèn)題，此題的關(guān)鍵是明確兩點(diǎn)之間線段最短這一知識(shí)點(diǎn)，然后把立體的長(zhǎng)方體放到一個(gè)平面內(nèi)，求出最短的線段．例3．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

【答案】【分析】如圖（見(jiàn)詳解），將小河看成直線，由題意先作A關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，構(gòu)建直角三角形，則就是最短路線；在中，，，，利用勾股定理即可求出．【詳解】如圖，做出點(diǎn)A關(guān)于小河的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交MN于點(diǎn)P，則就是牧童要完成這件事情所走的最短路程長(zhǎng)度．

由題意知：，，，在中，由勾股定理求得，則他要完成這件事情所走的最短路程是．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)—最短路線問(wèn)題，掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一個(gè)圓柱體水晶杯（容器厚度忽略不計(jì)），其底面圓的周長(zhǎng)為，高為，在杯子內(nèi)壁離容器底部的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，與蜂蜜相對(duì)，此時(shí)一只螞蟻正好在杯子外壁，離容器上沿的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】將圓柱體水晶杯側(cè)面展開(kāi)，作A關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長(zhǎng)度即為所求．【詳解】解：如圖是柱體水晶杯側(cè)面展開(kāi)圖的一半，

作A關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)F，連接，則，．作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則四邊形是矩形，∴，．∵，∴即為最短距離，∵底面周長(zhǎng)為，∴∵高為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿與一滴蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，將圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·福建寧德·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，是側(cè)面正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，一只螞蟻在正方體的表面上爬行，從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路徑是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意畫(huà)出相鄰的兩個(gè)展開(kāi)圖，過(guò)作于，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，在中，，，（），從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路徑是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路線問(wèn)題，勾股定理，將平面展開(kāi)，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬和高分別為20、3、2，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是（

）

A．20 B．15 C．25 D．27【答案】C【分析】先將圖形平面展開(kāi)，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】解：如圖所示，

∵三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為20，寬為，∴螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)，由勾股定理得：，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是25．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)中的最短路徑問(wèn)題，熟練掌握平面展開(kāi)圖及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023秋·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，一只螞蟻想從盒底的點(diǎn)沿盒的表面爬到點(diǎn)，螞蟻爬行的最短路程是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】將長(zhǎng)方形的盒子按不同方式展開(kāi)，得到不同矩形，求出不同矩形的對(duì)角線，最短者即為正確答案．【詳解】解：①只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成個(gè)長(zhǎng)方形，如圖：

長(zhǎng)方體的寬為，高為點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，，，在直角三角形中,根據(jù)勾股定理得：；②只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形,如圖：

長(zhǎng)方體的寬為，高為點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，，，在直角三角形中,根據(jù)勾股定理得：；③只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開(kāi)與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形,如圖：長(zhǎng)方體的寬為，高為點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，，在直角三角形中,根據(jù)勾股定理得:，．螞蟻爬行的最短距離是．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，根據(jù)題意畫(huà)出長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖，解答時(shí)要進(jìn)行分類(lèi)討論，利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，圓柱形玻璃容器高18cm，底面圓的周長(zhǎng)為48cm，在外側(cè)底部點(diǎn)A處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)頂端的點(diǎn)B處有一只蒼蠅，則蜘蛛捕獲蒼蠅所走的最短路線長(zhǎng)度（

）

A．52cm B．30cm C．cm D．60cm【答案】B【分析】先把圓柱沿過(guò)B點(diǎn)的母線剪開(kāi)，然后展開(kāi)如圖，點(diǎn)為點(diǎn)A展開(kāi)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到最短路線長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)即可．【詳解】解：把圓柱沿過(guò)B點(diǎn)的母線剪開(kāi)，然后展開(kāi)如圖，點(diǎn)為點(diǎn)A展開(kāi)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，(cm)，cm,∴(cm)，∴蜘蛛捕獲蒼蠅所走的最短路線長(zhǎng)度為30cm，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了平面展開(kāi)中的最短路徑問(wèn)題，畫(huà)出正確的平面展開(kāi)圖，在直角三角形中利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·河南鶴壁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在長(zhǎng)為3，寬為2，高為1的長(zhǎng)方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著長(zhǎng)方體的表面爬行到頂點(diǎn)B，那么它爬行的最短路程是．【答案】【分析】把此長(zhǎng)方體的一面展開(kāi)，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點(diǎn)A和B點(diǎn)間的線段長(zhǎng)，即可得到螞蟻爬行的最短距離．應(yīng)該是前面和上面展開(kāi)，利用勾股定理可求得．【詳解】解：因?yàn)槠矫嬲归_(kāi)圖不唯一，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再?gòu)母鱾€(gè)路線中確定最短的路線．（1）展開(kāi)前面上面，由勾股定理得；（2）展開(kāi)前面右面，由勾股定理得；（3）展開(kāi)前面和左面，由勾股定理得．所以最短路徑的長(zhǎng)為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)-最短路線問(wèn)題，勾股定理應(yīng)用．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．7．（2023春·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圓柱的底面半徑為，高為，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是．

【答案】10【分析】將圓柱側(cè)面展開(kāi)，由圖形可知螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程即為的長(zhǎng)，再由勾股定理求出．【詳解】解：根據(jù)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖，圓柱的底面半徑為，高為，底面圓的周長(zhǎng)為，，，由圖形可知螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程即為的長(zhǎng)，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)最短路線問(wèn)題，勾股定理，將立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形求解是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，圓柱的底面直徑為，高，按如圖所示的方式纏繞細(xì)線，纏繞一周（不記接頭）至少需要長(zhǎng)的細(xì)線．

【答案】/20米【分析】將圓柱體的側(cè)面展開(kāi)，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】解：如圖，將圓柱體的側(cè)面展開(kāi)，

∵圓柱的底面直徑為，∴，∴，∵，，∴，∴按如圖所示的方式纏繞細(xì)線，纏繞一周（不記接頭）至少需要繩子長(zhǎng)度為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將圓柱體的側(cè)面展開(kāi)，找出最短距離．9．（2022秋·黑龍江大慶·七年級(jí)大慶市第三十六中學(xué)?？计谀┰诘酌嬷睆綖?cm，高為3cm的圓柱體側(cè)面上，用一條無(wú)彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長(zhǎng)度為（π取3）【答案】cm【分析】將圓柱體側(cè)面展開(kāi)后利用兩點(diǎn)之間線段最短得到最短長(zhǎng)度時(shí)的線段，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：由題意得，絲帶繞圓柱一圈半，側(cè)面展開(kāi)后如圖所示：得到的矩形的長(zhǎng)為圓柱底面周長(zhǎng)的倍，即∴絲帶的最短長(zhǎng)度為cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間最短距離的計(jì)算，熟練掌握勾股定理及兩點(diǎn)之間最短距離的判斷是解決本題的關(guān)鍵．10．（2023·四川成都·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖一只螞蟻從長(zhǎng)為4cm，寬為3cm，高為2cm的長(zhǎng)方體紙箱A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它爬行的最短路線的長(zhǎng)是_________cm【答案】【分析】先將圖形展開(kāi)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，再由勾股定理求解即可．【詳解】解：當(dāng)如圖1所示時(shí)，（cm），當(dāng)如圖2所示時(shí)，（cm），當(dāng)如圖3所示時(shí)，（cm），∵，∴它所行走的最短路徑的長(zhǎng)是cm．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)先根據(jù)題意把立體圖形展開(kāi)成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．11．（2023·四川成都·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)長(zhǎng)方體形盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為8cm，8cm，12cm，一只螞蟻想從盒底的點(diǎn)爬到盒頂?shù)狞c(diǎn)，螞蟻要爬行的最短行程是______cm．【答案】20【分析】如圖所示，將長(zhǎng)方體各個(gè)頂點(diǎn)標(biāo)上字母，然后可分①情況一：經(jīng)過(guò)前側(cè)和右側(cè)，②情況二：經(jīng)過(guò)前側(cè)和上側(cè)，然后根據(jù)長(zhǎng)方體展開(kāi)圖及勾股定理可求解路線長(zhǎng)，最后進(jìn)行比較即可．【詳解】解：如圖所示，將長(zhǎng)方體各個(gè)頂點(diǎn)標(biāo)上字母，①情況一：經(jīng)過(guò)前側(cè)和右側(cè)，如圖所示，∴；②情況二：經(jīng)過(guò)前側(cè)和上側(cè)，如圖所示，∴，∴，故螞蟻爬行的最短路程為20cm；故答案為20．【點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何展開(kāi)圖、實(shí)數(shù)的大小比較及勾股定理，熟練掌握立體幾何展開(kāi)圖、實(shí)數(shù)的大小比較及勾股定理是解題的關(guān)鍵．12．（2023·四川成都·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處的最短距離為_(kāi)______（杯壁厚度不計(jì)）．【答案】【分析】將杯子側(cè)面展開(kāi)，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長(zhǎng)度即為所求．【詳解】解：由題意得，如圖為圓柱體展開(kāi)圖，則作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則螞蟻爬行最短路程為的長(zhǎng)度，，過(guò)作于點(diǎn)，在中由勾股定理得：，，，，即螞蟻爬行最短距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)---最短路徑問(wèn)題，將圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．13．（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的U形池，該U形池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為的半圓，其邊緣，點(diǎn)E在上，，一滑板愛(ài)好者從U形池內(nèi)側(cè)的點(diǎn)A滑到點(diǎn)E，則他滑行的最短距離約為m．（取3）

【答案】【分析】要求滑行的最短距離，需將該U形池的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出結(jié)論．【詳解】解：U形池的側(cè)面展開(kāi)圖如圖：

由題意，，，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問(wèn)題，把U形池的側(cè)面展開(kāi)矩形，化曲面為平面是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在圓柱的截面中，，，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到的中點(diǎn)S的最短距離為．

【答案】20【分析】先把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，連接，利用勾股定理即可求得的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，∵在圓柱的截面中，，，

∴，，∴，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開(kāi)圖?最短路徑問(wèn)題，根據(jù)題意畫(huà)出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·福建福州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，，則周長(zhǎng)的最小值為．【答案】【分析】由題意，，，，推出當(dāng)最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，欲求的最小值，相當(dāng)于在軸上找一點(diǎn)，使得點(diǎn)到，的距離和最?。驹斀狻拷猓?，，，，，，當(dāng)最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，欲求的最小值，相當(dāng)于在軸上找一點(diǎn)，使得點(diǎn)到，的距離和最小，如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，此時(shí)的值最小，，的最小值，的周長(zhǎng)的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)最短問(wèn)題，勾股定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．16．（2023春·湖南永州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，則它爬行的最短距離為．

【答案】13m/13米【分析】先將圖形平面展開(kāi)，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】解：如圖所示，

臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，，，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．由勾股定理得：，即，，故答案為：m．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開(kāi)圖—最短路徑問(wèn)題，用到臺(tái)階的平面展開(kāi)圖，只要根據(jù)題意判斷出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可解答．17．（2023春·安徽六安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別是，在的中點(diǎn)處有一滴蜜糖，一只小蟲(chóng)從處沿盒子表面爬到處去吃，求小蟲(chóng)爬行的最短路程．

【答案】從E處爬到C處的最短路程是．【分析】據(jù)題意易知可分兩種情況進(jìn)行展開(kāi)，如圖所示，然后根據(jù)勾股定理求出最短路程，最