上海市市北高級中學(xué)2025屆高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷含解析

上海市市北高級中學(xué)2025屆高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在直角坐標系中，已知A（1，0），B（4，0），若直線x+my﹣1=0上存在點P，使得|PA|=2|PB|，則正實數(shù)m的最小值是()A． B．3 C． D．2．木匠師傅對一個圓錐形木件進行加工后得到一個三視圖如圖所示的新木件，則該木件的體積（）A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)滿足，則的值為（）A． B． C． D．24．設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減，則（）A． B．C． D．5．已知函數(shù),關(guān)于的方程R)有四個相異的實數(shù)根,則的取值范圍是(

)A． B． C． D．6．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A． B．6 C．4 D．57．如圖所示，直三棱柱的高為4，底面邊長分別是5，12，13，當球與上底面三條棱都相切時球心到下底面距離為8，則球的體積為()A．1605π3 B．6428．已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)的值域是；②函數(shù)為奇函數(shù)；③函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；④若對任意，都有成立，則的最小值為；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象恒在軸的上方，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．等比數(shù)列的前項和為，若，，，，則（）A． B． C． D．11．設(shè)點，P為曲線上動點，若點A，P間距離的最小值為，則實數(shù)t的值為（）A． B． C． D．12．是虛數(shù)單位，則（）A．1 B．2 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，ABC＝120，四邊形BCC1B1為正方形，且AB＝BC＝2，則異面直線BC1與AC所成角的余弦值為_____．14．平行四邊形中，，為邊上一點（不與重合），將平行四邊形沿折起，使五點均在一個球面上，當四棱錐體積最大時，球的表面積為________.15．若函數(shù)，則的值為______.16．變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值是____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2019年是五四運動100周年.五四運動以來的100年，是中國青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年，是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚五四精神在青年節(jié)到來之際，學(xué)校組織“五四運動100周年”知識競賽，競賽的一個環(huán)節(jié)由10道題目組成，其中6道A類題、4道B類題，參賽者需從10道題目中隨機抽取3道作答，現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.（1）求甲同學(xué)至少抽到2道B類題的概率；（2）若甲同學(xué)答對每道A類題的概率都是，答對每道B類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2道A類題和1道B類題，用X表示甲同學(xué)答對題目的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．（12分）底面為菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若，.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.19．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且存在不相等的正實數(shù)，使得，證明：.20．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若對任意成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來，電子購物平臺成為人們的熱門選擇.為提高市場銷售業(yè)績，某公司設(shè)計了一套產(chǎn)品促銷方案，并在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點進行試點.運作一年后，對“采用促銷”和“沒有采用促銷”的營銷網(wǎng)點各選取了50個，對比上一年度的銷售情況，分別統(tǒng)計了它們的年銷售總額，并按年銷售總額增長的百分點分成5組：，分別統(tǒng)計后制成如圖所示的頻率分布直方圖，并規(guī)定年銷售總額增長10個百分點及以上的營銷網(wǎng)點為“精英店”.（1）請你根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“精英店與采用促銷活動有關(guān)”；采用促銷沒有采用促銷合計精英店非精英店合計5050100（2）某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤，通過分析上一年度的售價(單位：元)和日銷量(單位：件)的一組數(shù)據(jù)后決定選擇作為回歸模型進行擬合.具體數(shù)據(jù)如下表，表中的：①根據(jù)上表數(shù)據(jù)計算的值；②已知該公司成本為10元/件，促銷費用平均5元/件，根據(jù)所求出的回歸模型，分析售價定為多少時日利潤可以達到最大.附①：附②：對應(yīng)一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為.22．（10分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）若，求曲線與的交點坐標；（2）過曲線上任意一點作與夾角為45°的直線，交于點，且的最大值為，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

設(shè)點，由，得關(guān)于的方程.由題意，該方程有解，則，求出正實數(shù)m的取值范圍，即求正實數(shù)m的最小值.【詳解】由題意，設(shè)點.，即，整理得，則，解得或..故選：.【點睛】本題考查直線與方程，考查平面內(nèi)兩點間距離公式，屬于中檔題.2、C【解析】

由三視圖知幾何體是一個從圓錐中截出來的錐體,圓錐底面半徑為,圓錐的高,截去的底面劣弧的圓心角為，底面剩余部分的面積為,利用錐體的體積公式即可求得.【詳解】由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為，圓錐的高，圓錐母線，截去的底面弧的圓心角為120°，底面剩余部分的面積為，故幾何體的體積為：.故選C.【點睛】本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題,考查了學(xué)生空間想象,數(shù)學(xué)運算能力,難度一般.3、C【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運算整理已知求得復(fù)數(shù)z，進而求得其模.【詳解】因為，所以故選：C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算與求復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

利用是偶函數(shù)化簡，結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性，比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù)，，而，因為在上遞減，，即．故選:D【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】=,當時時,單調(diào)遞減，時,單調(diào)遞增,且當,當,

當時，恒成立，時,單調(diào)遞增且,方程R)有四個相異的實數(shù)根.令=則,,即.6、D【解析】

由對數(shù)運算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計算．【詳解】由題意．故選：D．【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)的運算法則．掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7、A【解析】

設(shè)球心為O，三棱柱的上底面ΔA1B1C1的內(nèi)切圓的圓心為O1，該圓與邊B【詳解】如圖，設(shè)三棱柱為ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1為斜邊是A1C1則圓O1的半徑為O設(shè)球心為O，則由球的幾何知識得ΔOO1M所以O(shè)M=2即球O的半徑為25所以球O的體積為43故選A．【點睛】本題考查與球有關(guān)的組合體的問題，解答本題的關(guān)鍵有兩個：（1）構(gòu)造以球半徑R、球心到小圓圓心的距離d和小圓半徑r為三邊的直角三角形，并在此三角形內(nèi)求出球的半徑，這是解決與球有關(guān)的問題時常用的方法．（2）若直角三角形的兩直角邊為a,b，斜邊為c，則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=a+b-c8、C【解析】

化的解析式為可判斷①，求出的解析式可判斷②，由得，結(jié)合正弦函數(shù)得圖象即可判斷③，由得可判斷④.【詳解】由題意，，所以，故①正確；為偶函數(shù)，故②錯誤；當時，，單調(diào)遞減，故③正確；若對任意，都有成立，則為最小值點，為最大值點，則的最小值為，故④正確.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的綜合運用，涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性及函數(shù)最值等內(nèi)容，是一道較為綜合的問題.9、B【解析】

函數(shù)的圖象恒在軸的上方，在上恒成立.即，即函數(shù)的圖象在直線上方，先求出兩者相切時的值，然后根據(jù)變化時，函數(shù)的變化趨勢，從而得的范圍．【詳解】由題在上恒成立.即，的圖象永遠在的上方，設(shè)與的切點，則，解得，易知越小，圖象越靠上，所以.故選：B．【點睛】本題考查函數(shù)圖象與不等式恒成立的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，首先函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，然后不等式恒成立再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象，最后由極限位置直線與函數(shù)圖象相切得出參數(shù)的值，然后得出參數(shù)范圍．10、D【解析】試題分析：由于在等比數(shù)列中，由可得：，又因為，所以有：是方程的二實根，又，，所以，故解得：，從而公比；那么，故選D．考點：等比數(shù)列．11、C【解析】

設(shè)，求，作為的函數(shù)，其最小值是6，利用導(dǎo)數(shù)知識求的最小值．【詳解】設(shè)，則，記，，易知是增函數(shù)，且的值域是，∴的唯一解，且時，，時，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查用導(dǎo)數(shù)求最值．解題時對和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵．12、C【解析】

由復(fù)數(shù)除法的運算法則求出，再由模長公式，即可求解.【詳解】由.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法和模，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將平移到和相交的位置，解三角形求得線線角的余弦值.【詳解】過作，過作，畫出圖像如下圖所示，由于四邊形是平行四邊形，故，所以是所求線線角或其補角.在三角形中，，故.【點睛】本小題主要考查空間兩條直線所成角的余弦值的計算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.14、【解析】

依題意可得、、、四點共圓，即可得到，從而得到三角形為正三角形，利用余弦定理可得，且，要使四棱錐體積最大，當且僅當面面時體積取得最大值，利用正弦定理求出的外接圓的半徑，再又可證面，則外接球的半徑，即可求出球的表面積；【詳解】解：依題意可得、、、四點共圓，所以因為，所以，，所以三角形為正三角形，則，，利用余弦定理得即，解得，則所以，當面面時，取得最大，所以的外接圓的半徑，又面面，，且面面，面所以面，所以外接球的半徑所以故答案為：【點睛】本題考查多面體的外接球的相關(guān)計算，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.15、【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出的值，進而計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，則，則；故答案為：.【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)運算法則的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力．16、5【解析】

分析：畫出可行域，平移直線，當直線經(jīng)過時，可得有最大值.詳解：畫出束條件表示的可行性，如圖，由可得，可得，目標函數(shù)變形為，平移直線，當直線經(jīng)過時，可得有最大值，故答案為.點睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標函數(shù)，最先通過或最后通過的定點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）分布列見解析，期望為．【解析】

（1）甲同學(xué)至少抽到2道B類題包含兩個事件：一個抽到2道B類題，一個是抽到3個B類題，計算出抽法數(shù)后可求得概率；（2）的所有可能值分別為，依次計算概率得分布列，再由期望公式計算期望．【詳解】（1）令“甲同學(xué)至少抽到2道B類題”為事件，則抽到2道類題有種取法，抽到3道類題有種取法，∴；（2）的所有可能值分別為，，，，，∴的分布列為：0123【點睛】本題考查古典概型，考查隨機變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．解題關(guān)鍵是掌握相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式．18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）先由線面垂直的判定定理證明平面，再證明線線垂直即可；（2）建立空間直角坐標系，求平面的一個法向量與平面的一個法向量，再利用向量數(shù)量積運算即可.【詳解】（1）證明：連接，由平行且相等，可知四邊形為平行四邊形，所以.由題意易知，，所以，，因為，所以平面，又平面，所以.（2）設(shè)，，由已知可得：平面平面，所以，同理可得：，所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點，為的中點，所以平行且相等，從而平面，又，所以，，兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標系，，，由平面幾何知識，得.則，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，由，可得，令，則，，所以.同理，平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面所成角為，則，所以.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，重點考查了空間向量的應(yīng)用，屬中檔題.19、（1）當時，在上遞增，在上遞減；當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當時，在上遞增；當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；（2）證明見解析【解析】

（1）對求導(dǎo)，分，，進行討論，可得的單調(diào)性；（2）在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由（1）可知，，設(shè)，可得，則，設(shè)，對求導(dǎo)，利用其單調(diào)性可證明.【詳解】解：的定義域為，因為，所以，當時，令，得，令，得；當時，則，令，得，或，令，得；當時，，當時，則，令，得；綜上所述，當時，在上遞增，在上遞減；當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當時，在上遞增；當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；（2）在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由（1）可知，此時，設(shè)，又因為，則，設(shè)，則對于任意成立，所以在上是增函數(shù)，所以對于，有，即，有，因為，所以，即，又在遞增，所以，即.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)在極值點偏移中的應(yīng)用，考查學(xué)生分類討論與轉(zhuǎn)化的思想，綜合性大，屬于難題.20、（1）（2）【解析】

（1）求出及其導(dǎo)函數(shù)，利用研究的單調(diào)性和最值，根據(jù)零點存在定理和零點定義可得的范圍．（2）令，題意說明時，恒成立.同樣求出導(dǎo)函數(shù)，由研究的單調(diào)性，通過分類討論可得的單調(diào)性得出結(jié)論．【詳解】解（1）函數(shù)所以討論：①當時，無零點；②當時，，所以在上單調(diào)遞增.取，則又，所以，此時函數(shù)有且只有一個零點；③當時，令，解得（舍）或當時，，所以在上單調(diào)遞減；當時，所以在上單調(diào)遞增.據(jù)題意，得，所以（舍）或綜上，所求實數(shù)的取值范圍為.（2）令，根據(jù)題意知，當時，恒成立.又討論：①若，則當時，恒成立，所以在上是增函數(shù).又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以存在使，不符合題意.②若，則當時，恒成立，所以在上是增函數(shù)，據(jù)①求解知，不符合題意.③若，則當時，恒有，故在上是減函數(shù)，于是“對任意成立”的充分條件是“”，即，解得，故綜上，所求實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查函數(shù)零點問題，考查不等式恒成立問題，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．解題關(guān)鍵是通過分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性．本題難度較大，考查掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．21、（1）列聯(lián)表見解析，有把握；（2）①；②元時【解析】

（1）直接由題意列出列聯(lián)表，通過計算，可判斷精英店與采用