湖南省部分重點(diǎn)高中2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題含答案

高三年級一輪復(fù)習(xí)中期質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：解答題按高考范圍，其他題側(cè)重考查集合與常用邏輯用語?不等式?函數(shù)與導(dǎo)數(shù)?三角函數(shù)與解三角形?平面向量?數(shù)列.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求得集合，根據(jù)交集定義可得結(jié)果.【詳解】由得：，即；由得：，即，.故選：A.2.在中國傳統(tǒng)的十二生肖中，馬?牛?羊?雞?狗?豬為六畜，則“甲的生肖不是馬”是“甲的生肖不屬于六畜”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分性和必要性的概念判斷即可.【詳解】若甲的生肖不是馬，則甲的生肖未必不屬于六畜；若甲的生肖不屬于六畜，則甲的生肖一定不是馬，所以“甲的生肖不是馬”是“甲的生肖不屬于六畜”的必要不充分條件，故選：B3.為了讓自己漸漸養(yǎng)成愛運(yùn)動的習(xí)慣，小張11月1日運(yùn)動了2分鐘，從第二天開始，每天運(yùn)動的時(shí)長比前一天多2分鐘，則從11月1日到11月15日，小張運(yùn)動的總時(shí)長為（）A.3.5小時(shí) B.246分鐘C.4小時(shí) D.250分鐘【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】依題意可得，小張從11月1日開始，第1天?第2天??第15天的運(yùn)動時(shí)長依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公差為2，所以從11月1日到11月15日，小張運(yùn)動的總時(shí)長為分鐘小時(shí).故選：C4.在梯形中，，與BD交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相似可得，即可由向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】由于，故，進(jìn)而，故.故選：A.5.將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移可得，即可根據(jù)對稱得求解.【詳解】由題意可得，由于的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故，故,解得，取，為最小值，故選：A6.已知，則最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意知，然后根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最大值為.故選：A.7.若，，則的最小值為（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，從而得出答案.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.故選：A.8.若，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二倍角的正切公式以及弦切互化可得，進(jìn)而得，即可求解.【詳解】由于，，故由可得，故,則，取，取，因此只有符合要求，故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若與分別為定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，則函數(shù)的部分圖象可能為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)榕c分別為定義在上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.故選：AC.10.如圖，在中，，，點(diǎn)，分別邊，上，點(diǎn)，均在邊上，設(shè)，矩形的面積為，且關(guān)于的函數(shù)為，則（）A.內(nèi)切圓的半徑為 B.C.先增后減 D.的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，利用等面積法可求出內(nèi)切圓的半徑；對于B、C、D，由得到，進(jìn)而可求出的長，所以可求出矩形的面積為，進(jìn)而判斷B、C、D.【詳解】對于A，取的中點(diǎn)，連接，則，且，所以的面積為，假設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，所以，解得，故A正確；對于B、C、D，過作，垂足為，設(shè)與交于點(diǎn)，由等面積法可得，則.由，得，則，所以，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，故B錯(cuò)誤，C，D均正確.故選：ACD.11.已知向量，，滿足，，，，則（）A. B.的最大值為C.最小值為 D.的最大值為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)向量的模長及夾角，不妨設(shè)，，，通過，可求出是以原點(diǎn)為起點(diǎn)，終點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上的向量.根據(jù)向量模長的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷項(xiàng)；根據(jù)圓上一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最大值為直徑可判斷項(xiàng)，根據(jù)圓內(nèi)一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的范圍為可判斷，項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意不妨設(shè)，，，則，，所以，化簡得，記為圓，即是以原點(diǎn)為起點(diǎn)，終點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上的向量.對于，，所以，故錯(cuò)誤；對于，表示原點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離，因?yàn)樵c(diǎn)在圓上，所以的最大值為圓的直徑，即，故正確；對于，，表示點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離，因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，所以的最小值為,的最大值為，故正確，錯(cuò)誤.故選：.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.__________.【答案】【解析】【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：.13.將一副三角板按如圖所示的位置拼接：含角的三角板的長直角邊與含角的三角板的斜邊恰好重合.與相交于點(diǎn).若，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角板的內(nèi)角以及邊長利用三角恒等變換和等面積法即可得.【詳解】由題可知.由可得：，則，解得故答案為：14.已知函數(shù)，，若與的零點(diǎn)構(gòu)成的集合的元素個(gè)數(shù)為3，則m的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)零點(diǎn)的定義轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象共有3個(gè)交點(diǎn)求解.【詳解】由，得，令函數(shù)，一次函數(shù)在R上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，因此直線與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；由，得，令函數(shù)，依題意，函數(shù)有不同于的兩個(gè)零點(diǎn)，即直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)不能是，由，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而，當(dāng)時(shí)，恒成立，則當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，或，則當(dāng)或時(shí)，與的零點(diǎn)相同，由，得，由，得，因此且，所以m的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：①轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；②列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；③得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.某紅茶批發(fā)地只經(jīng)營甲?乙?丙三種品牌的紅茶，且甲?乙?丙三種品牌的紅茶優(yōu)質(zhì)率分別為.（1）若該紅茶批發(fā)地甲?乙?丙三種品牌的紅茶市場占有量的比例為，小張到該批發(fā)地任意購買一盒紅茶，求他買到的紅茶是優(yōu)質(zhì)品的概率；（2）若小張到該批發(fā)地甲?乙?丙三種品牌店各任意買一盒紅茶，求他恰好買到兩盒優(yōu)質(zhì)紅茶的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出對應(yīng)事件，利用全概率公式完成概率計(jì)算；（2）先分析目標(biāo)事件所包含的事件，然后利用概率乘法公式計(jì)算出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)事件分別表示小張買到的紅茶品牌為甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件表示他買到的紅茶是優(yōu)質(zhì)品，則依據(jù)已知可得，，由全概率公式得，所以他買到的紅茶是優(yōu)質(zhì)品的概率為.【小問2詳解】設(shè)事件表示他恰好買到兩盒優(yōu)質(zhì)紅茶，組成事件的情況有：甲乙優(yōu)質(zhì)紅茶丙非優(yōu)質(zhì)紅茶、甲丙優(yōu)質(zhì)紅茶乙非優(yōu)質(zhì)紅茶，乙丙優(yōu)質(zhì)紅茶甲非優(yōu)質(zhì)紅茶，且優(yōu)質(zhì)與否互相獨(dú)立，則，所以他恰好買到兩盒優(yōu)質(zhì)紅茶的概率為.16.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）由得，相減可得遞推公式，進(jìn)而判斷an為等比數(shù)列，從而可得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)題意計(jì)算可得數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，進(jìn)而通過裂項(xiàng)相消法可得前n【小問1詳解】由，得，兩式相減得，即．因?yàn)椋?，得，滿足．所以an是首項(xiàng)為8，公比為4的等比數(shù)列，，．【小問2詳解】因?yàn)?，所以．所?故數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為，.17.如圖，在體積為的三棱柱中，平面平面，，.（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）先根據(jù)體積為得到，再由線線垂直得到線面垂直；（2）根據(jù)空間向量法求面面角.【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接.由為正三角形，得.因?yàn)槠矫嫫矫媲医挥冢云矫?，即為該三棱柱的?因?yàn)槿庵捏w積，且，所以.因，所以，即.由平面平面且交于，平面，可得平面.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所?在菱形中，.又因，平面，平面，所以平面.【小問2詳解】如圖，過作直線平行于交于，以為原點(diǎn)，以的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?所以令，得.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋粤?，?因?yàn)?，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)到軸的距離為，且，其中，均為常數(shù)，動點(diǎn)的軌跡稱為曲線.（1）判斷曲線為何種圓錐曲線.（2）若曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍.（3）設(shè)曲線為曲線，斜率為的直線過的右焦點(diǎn)，且與交于，兩個(gè)不同的點(diǎn).若點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn).【答案】（1）曲線為雙曲線.（2）.（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)建立可得，即可代入，根據(jù)雙曲線方程的特征求解，（2）根據(jù)焦點(diǎn)在軸上的橢圓的性質(zhì)可得，即可求解。（3）聯(lián)立直線與曲線方程得韋達(dá)定理，根據(jù)點(diǎn)斜式求解方程，即可代入化簡求解.【小問1詳解】設(shè)，由，得.當(dāng)時(shí)，，即，則曲線為雙曲線.【小問2詳解】由和可得，得，若曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，即且，所以可化為，所以，則，故的取值范圍為.【小問3詳解】由得曲線的方程為，則的右焦點(diǎn)為設(shè)聯(lián)立，得，則因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，所以，則直線的方程為，根據(jù)對稱性可知，直線經(jīng)過的定點(diǎn)必在軸上.令，得.當(dāng)時(shí)，，故直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).技巧：若直線方程為,則直線過定點(diǎn);若直線方程為(為定值),則直線過定點(diǎn)19.若存在有限個(gè)，使得，且不是偶函數(shù)，則稱為“缺陷偶函數(shù)”，稱為的偶點(diǎn).（1）證明：為“缺陷偶函數(shù)”，且偶點(diǎn)唯一.（2）對任意x，，函數(shù)，都滿足.①若是“缺陷偶函數(shù)”，證明：函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn).②若，證明：當(dāng)時(shí)，.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)，即可解方程求解，（2）①根據(jù)，取，可得，即可對求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值定義求證，②利用放縮法，先證明故，構(gòu)造，求導(dǎo)，確定函數(shù)的最值即可求解.【小問1詳解】由可得，由可得，解得，所以為“缺陷偶函數(shù)”，且偶點(diǎn)唯一，且為0，【小問2詳解】由可得對任意x，，恒成立，所以存在常數(shù)，使得,令，則，且，解得，①，則，由