山東省青島市黃島區(qū)22025屆高三上學期11月期中考試數(shù)學試題含答案

2024－2025學年度第一學期期中考試高三數(shù)學2024.11本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將條形碼粘貼在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，請將答題卡上交.一、單項選擇題：本大題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知為坐標原點，點，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標運算逐一求解，即可求解.【詳解】由題意可得，，，，故，，，，因此，故選：A2.如圖，正方形的邊長為，取正方形各邊的中點，，，，作第個正方形，然后再取正方形各邊的中點，，，，作第個正方形，依此方法一直繼續(xù)下去.則從正方形開始，連續(xù)個正方形面積之和為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，分別求得前個正方形的面積，再結合條件，即可求解.【詳解】由題意得，第一個正方形邊長為，面積為，第二個正方形邊長為，面積為，第三個正方形邊長，面積為，第四個正方形邊長為，面積為，第五個正方形邊長為，面積為，由題有，得到，解得，故選：D.3.已知平面向量滿足，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量垂直及數(shù)量積運算律、定義可得，即可求夾角.【詳解】由題設，而，所以，，所以.故選：B4.設集合，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解不等式得A，根據(jù)集合的基本關系確定a的范圍結合充分、必要條件的定義判定即可.【詳解】由集合，又，所以，所以是的必要不充分條件.故選：B.5.若正數(shù)滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得，利用基本不等式求解.【詳解】由可得，，當且僅當，即時，等號成立，此時符合題意.所以的最小值為.故選：A6.如圖，已知函數(shù)，點，是直線與函數(shù)y=fx的圖象的兩個交點，若，則fπ3=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用的圖象與性質，可求得，結合圖象，利用，可求得，即可求解.【詳解】設，由，得到，當，由，得到，所以，得到，又，結合圖象有，得到，所以，當時，，由，得到，所以，得到，又，結合圖象有，得到，所以，綜上，，所以，故選：C.7.2024年1月1日，第五次全國經濟普查正式啟動.甲、乙、丙、丁、戊5名普查員分別去城東、城南、城西、城北四個小區(qū)進行數(shù)據(jù)采集，每個小區(qū)至少去一名普查員，若甲不去城東，則不同的安排方法共有（）A.36種 B.60種 C.96種 D.180種【答案】D【解析】【分析】按城東去1人和2人分類，再結合分組分配列式計算即得.【詳解】城東去1人，不同安排方法為（種）；城東去2人，不同安排方法是（種），所以不同的安排方法共有（種）.故選：D8.定義在上的函數(shù)滿足：，，，當時，，則（）A.2 B.1 C. D.0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)和，再由當時，，可得時，，再利用條件將逐步轉化到內，代入求解即可．【詳解】由可得中令可得，又因為時，，又，所以時，，由可得，因為，所以，所以,故選：A【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)和，再由當時，，可得時，.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知二項式，則其展開式中（）A.的系數(shù)為15 B.各項系數(shù)之和為1C.二項式系數(shù)最大項是第3項 D.系數(shù)最大項是第3項或第5項【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式計算后可判斷ACD的正誤，利用賦值法可求各項系數(shù)之和，故可判斷B的正誤.【詳解】的展開式的通項為，對于A，取，則，故的系數(shù)為，故A正確；對于B，因為，令，則各項系數(shù)之和為，故B錯誤；對于CD，由展開式的通項可得展開式中各項的系數(shù)依次為：，故二項式系數(shù)最大項是第3項或第5項，故C錯誤，D正確；故選：AD.10.數(shù)列滿足，，則（）A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】選項A，根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的定義，即可判斷選項的正誤；選項B，根據(jù)條件，利用累加法，即可判斷選項的正誤；選項C，由選項B可得，再利用裂項相消法，即可判斷選項的正誤；選項D，構造函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)單調性間的關系，得到在上恒成立，從而有，再利用數(shù)學歸納法，即可判斷選項的正誤.【詳解】對于選項A，因為，則不為常數(shù)，由等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列不為等差數(shù)列，故選項A錯誤，對于選項B，由，得到，當時，，又當時，，滿足，所以，故選項B正確，對于選項C，由選項B知，得到，所以，故選項C正確，對于選項D，由選項B知，，即，整理得到，下面用數(shù)學歸納法證明成立，當，不等式左邊等于，不等式右邊等于，所以時，等式成立，假設時，成立，則時，因為，令，則在區(qū)間上恒立，即在區(qū)間上單調遞減，所以，得到在上恒成立，所以，即時，也成立，綜上，對任意的成立，故選項D正確，故選：BCD.【點睛】本題的關鍵在于選項D，通過構造函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)單調性間的關系得在上恒成立，從而有，再利用數(shù)學歸納法來證明即可.11.在中，角，，所對的邊分別為，，，，，已知點是所在平面內一點，點在上，點為中點，，則（）A.若，則的面積為2B.若在方向上的投影向量為，則的最小值為C.若點為中點，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律可判斷為等腰三角形，故可判斷AD的正誤，結合投影向量的性質可判斷為直角三角形，故可判斷B的正誤，根據(jù)向量的線性運算可判斷C的正誤.【詳解】對于A，因為，故，所以即即，故的面積為，故A正確；對于B，若在方向上的投影向量為，則，當時取最小值，此時，故為的中點，故此時，故B錯誤；對于C，因為，故，則即，故C正確；對于D，設，因為均為單位向量，故在的角平分線上，而，故的角平分線與垂直，故，取的中點為，連接，則，且，故，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)為上增函數(shù)，寫出一個滿足要求的的解析式______【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用分段函數(shù)、一次函數(shù)的性質，結合條件，即可求解.【詳解】的解析式為（答案不唯一），理由如下，因為時，在區(qū)間上單調遞增，當時，在區(qū)間上單調遞增，且，所以時，函數(shù)為上的增函數(shù)，故答案為：（答案不唯一）13.記為正項數(shù)列的前項積，，則______.【答案】2025【解析】【分析】由數(shù)列的前項積，利用賦值法令可求得，將表達式化簡可得數(shù)列是等差數(shù)列，求出通項即可.【詳解】數(shù)列的各項均為正，當時，，解得，由，得當時，，即，因此，數(shù)列是以為首項，公差為等差數(shù)列，，所以.故答案為：202514.某警察學院體育比賽包括“射擊”、“游泳”、“折返跑”、“百米接力”、“傷員搬運”、“400米障礙”六個項目，規(guī)定：每個項目前三名得分依次為，，，其中，選手的最終得分為各場得分之和.最終甲、乙、丙三人包攬了每個項目的前三名，在六個項目中，已知甲最終得分為26分，乙最終得分為12分，丙最終得分為10分，且丙在“射擊”這個項目中獲得了第一名，那么______，“游泳”這個項目的第二名是______.【答案】①.②.乙【解析】【分析】根據(jù)得分總和可得，結合反證法可得，再就甲在除射擊外的5個項目中的得分分類討論后可得游泳中的第二名.【詳解】因為甲乙丙包攬了每個項目的前三名，故它們的得分總和為，故，若，則，此時，與矛盾；故，故，故或，若，則丙在除射擊外的5個項目共拿6分，但其余5個項目丙拿5分或7分以上，矛盾；故，所以丙在除射擊外的5個項目中每個項目均拿1分，共計5分；甲共計分，則甲在除射擊外的5個項目中拿分或分，若甲在除“射擊”外的5個項目中拿分，則甲在射擊項目中拿1分，其余5個項目中每個項目都拿5分，此時乙在6個項目中的分數(shù)為，符合題意；若甲在除“射擊”外的5個項目中拿分，故甲在射擊中拿2分，乙拿1分，則其余5個項目中，甲在4個項目中每個項目拿5分，1個項目中拿2分，此時甲的總分達不到分，故，游泳的第二名為乙，故答案為：，乙.【點睛】思路點睛：對于邏輯推理題，我們需從題設條件中挖掘一些等量關系，而且要結合數(shù)據(jù)的特征作出合理的分類.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的最大值及相應的取值集合；（2）設函數(shù)，若在區(qū)間上單調遞增，求的取值范圍.【答案】（1），的取值集合為（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡，再利用正弦函數(shù)性質求解即得.（2）求出函數(shù)解析式，確定相位的范圍，再結正弦函數(shù)的單調性列式求解即得.【小問1詳解】依題意，，當，即時，，此時，的取值集合為．【小問2詳解】由（1）知，，當時，，由在區(qū)間上單調遞增，可得：，解得：，所以的取值范圍是16.記數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且是和的等比中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足：，，，（?。┣笞C：為等比數(shù)列；（ⅱ）求取最大值時的值.【答案】（1）（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）利用基本量法求得公差為4，從而可求的通項公式.（2）根據(jù)（1）求出，判斷其符號后可得取最大值時的值.【小問1詳解】設的公差為，則，所以即，而，故，故.【小問2詳解】（ⅰ），,而，故，而，，所以所以為等比數(shù)列且公比為2，首項為.（ⅱ）由（?。┛傻?，所以，故當時，，當時，，故，故取最大值時.17.在中，記角，，所對的邊分別為，，，.（1）求；（2）若，為中點，，分別在線段，上，且，，求面積的最小值及此時對應的的值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理邊轉角，再利用三角形的性質和正弦的和角公式，得到，結合輔助角公式求解；（2）由正弦定理可得出，DE，再利用三角形的面積公式和兩角和與差的正弦公式化簡即可求得結果.【小問1詳解】由，得到，又，所以，又，得到，即，又，所以，得到.【小問2詳解】由（1）知，如圖，因為，所以．在中，因為，所以，在中，因為，所以，所以，設，，所以化簡可得：所以當時，取得最小值．18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）求證：當時，函數(shù)只有兩個零點；（3）若對任意的實數(shù)，，曲線與直線總相切，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.當時，若函數(shù)是“函數(shù)”，求.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用導數(shù)與函數(shù)單調性間的關系，分類討論求的單調區(qū)間即可；（2）根據(jù)條件，將的零點問題化成的零點問題，再結合條件，利用函數(shù)的單調性即可證明結果；（3）利用“函數(shù)”的定義，結合導數(shù)的幾何意義得，然后結合是方程的根，構造函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)單調性間的關系得到，即可求解.【小問1詳解】易知函數(shù)定義域為，因為，則，當時，，所以在區(qū)間上單調遞減，當時，由，得到，即，得到，又易知為增函數(shù)，所以當時，f'x>0，即在區(qū)間單調遞增，當時，f'x<0，即在區(qū)間單調遞減，綜上得：當時，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.【小問2詳解】令，得到，當時，，方程無解，即無零點，所以有零點，則零點只能在區(qū)間上，當時，由，得到，設，，則零點可以轉化為的零點，因為，設hx=ax+a-1(x>-1)因為，則hx在上單調遞增，又，時，，則，使得，當時，hx<0，當，hx即在上遞減，在上遞增，又，所以，又由于時，，故在內存在唯一零點，又時，，故在內存在唯一零點，所以當時，只有兩個零點，故當時，函數(shù)只有兩個零點.【小問3詳解】當時，函數(shù)是“函數(shù)”，且，設函數(shù)與直線切點，又，則，故，由，得到，又，所以，因為，所以是方程的根，設，，易知，且是增函數(shù)，當時，h'x>0，hx單調遞增，當時，h'所以，所以是方程的根，且唯一，所以.【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵是第三問的處理，先需要讀懂新定義，然后根據(jù)新定義找到所滿足的關系式，利用導數(shù)的工具，零點存在定理，進一步確定的取值.19.給定正整數(shù)，設，，…，是1，2，…，中任取個互不相同的數(shù)構成的一個遞增數(shù)列.對，如果是奇數(shù)，則是奇數(shù)，如果是偶數(shù)，則是偶數(shù)，就稱，，…，為“數(shù)列”.（1）若，，寫出所有“數(shù)列”；（2）對任意“數(shù)列”，，…，，，證明：.（注：表示不超過的最大整數(shù)）；（3）確定“數(shù)列”的個數(shù).【答案】（1）；；；；（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)“數(shù)列”的定義直接寫出；（2）首先分析得，再結合得到，即，則原命題證明；（3）定義數(shù)列，分析出是“數(shù)列”，再記表示中任取項構成的單調遞增