山東省青島市黃島區(qū)22025屆高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

2024－2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)2024.11本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將條形碼粘貼在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算逐一求解，即可求解.【詳解】由題意可得，，，，故，，，，因此，故選：A2.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，取正方形各邊的中點(diǎn)，，，，作第個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的中點(diǎn)，，，，作第個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去.則從正方形開始，連續(xù)個(gè)正方形面積之和為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，分別求得前個(gè)正方形的面積，再結(jié)合條件，即可求解.【詳解】由題意得，第一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為，面積為，第二個(gè)正方形邊長(zhǎng)為，面積為，第三個(gè)正方形邊長(zhǎng)，面積為，第四個(gè)正方形邊長(zhǎng)為，面積為，第五個(gè)正方形邊長(zhǎng)為，面積為，由題有，得到，解得，故選：D.3.已知平面向量滿足，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量垂直及數(shù)量積運(yùn)算律、定義可得，即可求夾角.【詳解】由題設(shè)，而，所以，，所以.故選：B4.設(shè)集合，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解不等式得A，根據(jù)集合的基本關(guān)系確定a的范圍結(jié)合充分、必要條件的定義判定即可.【詳解】由集合，又，所以，所以是的必要不充分條件.故選：B.5.若正數(shù)滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得，利用基本不等式求解.【詳解】由可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)符合題意.所以的最小值為.故選：A6.如圖，已知函數(shù)，點(diǎn)，是直線與函數(shù)y=fx的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則fπ3=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用的圖象與性質(zhì)，可求得，結(jié)合圖象，利用，可求得，即可求解.【詳解】設(shè)，由，得到，當(dāng)，由，得到，所以，得到，又，結(jié)合圖象有，得到，所以，當(dāng)時(shí)，，由，得到，所以，得到，又，結(jié)合圖象有，得到，所以，綜上，，所以，故選：C.7.2024年1月1日，第五次全國(guó)經(jīng)濟(jì)普查正式啟動(dòng).甲、乙、丙、丁、戊5名普查員分別去城東、城南、城西、城北四個(gè)小區(qū)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，每個(gè)小區(qū)至少去一名普查員，若甲不去城東，則不同的安排方法共有（）A.36種 B.60種 C.96種 D.180種【答案】D【解析】【分析】按城東去1人和2人分類，再結(jié)合分組分配列式計(jì)算即得.【詳解】城東去1人，不同安排方法為（種）；城東去2人，不同安排方法是（種），所以不同的安排方法共有（種）.故選：D8.定義在上的函數(shù)滿足：，，，當(dāng)時(shí)，，則（）A.2 B.1 C. D.0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)和，再由當(dāng)時(shí)，，可得時(shí)，，再利用條件將逐步轉(zhuǎn)化到內(nèi)，代入求解即可．【詳解】由可得中令可得，又因?yàn)闀r(shí)，，又，所以時(shí)，，由可得，因?yàn)?，所以，所?故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)和，再由當(dāng)時(shí)，，可得時(shí)，.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知二項(xiàng)式，則其展開式中（）A.的系數(shù)為15 B.各項(xiàng)系數(shù)之和為1C.二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第3項(xiàng) D.系數(shù)最大項(xiàng)是第3項(xiàng)或第5項(xiàng)【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算后可判斷ACD的正誤，利用賦值法可求各項(xiàng)系數(shù)之和，故可判斷B的正誤.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，對(duì)于A，取，則，故的系數(shù)為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，令，則各項(xiàng)系數(shù)之和為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，由展開式的通項(xiàng)可得展開式中各項(xiàng)的系數(shù)依次為：，故二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第3項(xiàng)或第5項(xiàng)，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：AD.10.數(shù)列滿足，，則（）A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的定義，即可判斷選項(xiàng)的正誤；選項(xiàng)B，根據(jù)條件，利用累加法，即可判斷選項(xiàng)的正誤；選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B可得，再利用裂項(xiàng)相消法，即可判斷選項(xiàng)的正誤；選項(xiàng)D，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到在上恒成立，從而有，再利用數(shù)學(xué)歸納法，即可判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，則不為常數(shù)，由等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列不為等差數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，由，得到，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，滿足，所以，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B知，得到，所以，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)B知，，即，整理得到，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明成立，當(dāng)，不等式左邊等于，不等式右邊等于，所以時(shí)，等式成立，假設(shè)時(shí)，成立，則時(shí)，因?yàn)?，令，則在區(qū)間上恒立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，得到在上恒成立，所以，即時(shí)，也成立，綜上，對(duì)任意的成立，故選項(xiàng)D正確，故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)D，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系得在上恒成立，從而有，再利用數(shù)學(xué)歸納法來證明即可.11.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)為中點(diǎn)，，則（）A.若，則的面積為2B.若在方向上的投影向量為，則的最小值為C.若點(diǎn)為中點(diǎn)，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可判斷為等腰三角形，故可判斷AD的正誤，結(jié)合投影向量的性質(zhì)可判斷為直角三角形，故可判斷B的正誤，根據(jù)向量的線性運(yùn)算可判斷C的正誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，故，所以即即，故的面積為，故A正確；對(duì)于B，若在方向上的投影向量為，則，當(dāng)時(shí)取最小值，此時(shí)，故為的中點(diǎn)，故此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，故，則即，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，因?yàn)榫鶠閱挝幌蛄?，故在的角平分線上，而，故的角平分線與垂直，故，取的中點(diǎn)為，連接，則，且，故，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)為上增函數(shù)，寫出一個(gè)滿足要求的的解析式______【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用分段函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合條件，即可求解.【詳解】的解析式為（答案不唯一），理由如下，因?yàn)闀r(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以時(shí)，函數(shù)為上的增函數(shù)，故答案為：（答案不唯一）13.記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，，則______.【答案】2025【解析】【分析】由數(shù)列的前項(xiàng)積，利用賦值法令可求得，將表達(dá)式化簡(jiǎn)可得數(shù)列是等差數(shù)列，求出通項(xiàng)即可.【詳解】數(shù)列的各項(xiàng)均為正，當(dāng)時(shí)，，解得，由，得當(dāng)時(shí)，，即，因此，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為等差數(shù)列，，所以.故答案為：202514.某警察學(xué)院體育比賽包括“射擊”、“游泳”、“折返跑”、“百米接力”、“傷員搬運(yùn)”、“400米障礙”六個(gè)項(xiàng)目，規(guī)定：每個(gè)項(xiàng)目前三名得分依次為，，，其中，選手的最終得分為各場(chǎng)得分之和.最終甲、乙、丙三人包攬了每個(gè)項(xiàng)目的前三名，在六個(gè)項(xiàng)目中，已知甲最終得分為26分，乙最終得分為12分，丙最終得分為10分，且丙在“射擊”這個(gè)項(xiàng)目中獲得了第一名，那么______，“游泳”這個(gè)項(xiàng)目的第二名是______.【答案】①.②.乙【解析】【分析】根據(jù)得分總和可得，結(jié)合反證法可得，再就甲在除射擊外的5個(gè)項(xiàng)目中的得分分類討論后可得游泳中的第二名.【詳解】因?yàn)榧滓冶鼣埩嗣總€(gè)項(xiàng)目的前三名，故它們的得分總和為，故，若，則，此時(shí)，與矛盾；故，故，故或，若，則丙在除射擊外的5個(gè)項(xiàng)目共拿6分，但其余5個(gè)項(xiàng)目丙拿5分或7分以上，矛盾；故，所以丙在除射擊外的5個(gè)項(xiàng)目中每個(gè)項(xiàng)目均拿1分，共計(jì)5分；甲共計(jì)分，則甲在除射擊外的5個(gè)項(xiàng)目中拿分或分，若甲在除“射擊”外的5個(gè)項(xiàng)目中拿分，則甲在射擊項(xiàng)目中拿1分，其余5個(gè)項(xiàng)目中每個(gè)項(xiàng)目都拿5分，此時(shí)乙在6個(gè)項(xiàng)目中的分?jǐn)?shù)為，符合題意；若甲在除“射擊”外的5個(gè)項(xiàng)目中拿分，故甲在射擊中拿2分，乙拿1分，則其余5個(gè)項(xiàng)目中，甲在4個(gè)項(xiàng)目中每個(gè)項(xiàng)目拿5分，1個(gè)項(xiàng)目中拿2分，此時(shí)甲的總分達(dá)不到分，故，游泳的第二名為乙，故答案為：，乙.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于邏輯推理題，我們需從題設(shè)條件中挖掘一些等量關(guān)系，而且要結(jié)合數(shù)據(jù)的特征作出合理的分類.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的最大值及相應(yīng)的取值集合；（2）設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍.【答案】（1），的取值集合為（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解即得.（2）求出函數(shù)解析式，確定相位的范圍，再結(jié)正弦函數(shù)的單調(diào)性列式求解即得.【小問1詳解】依題意，，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，的取值集合為．【小問2詳解】由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得：，解得：，所以的取值范圍是16.記數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且是和的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足：，，，（?。┣笞C：為等比數(shù)列；（ⅱ）求取最大值時(shí)的值.【答案】（1）（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）利用基本量法求得公差為4，從而可求的通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)（1）求出，判斷其符號(hào)后可得取最大值時(shí)的值.【小問1詳解】設(shè)的公差為，則，所以即，而，故，故.【小問2詳解】（?。?，,而，故，而，，所以所以為等比數(shù)列且公比為2，首項(xiàng)為.（ⅱ）由（?。┛傻?，所以，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，故取最大值時(shí).17.在中，記角，，所對(duì)的邊分別為，，，.（1）求；（2）若，為中點(diǎn)，，分別在線段，上，且，，求面積的最小值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的的值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角，再利用三角形的性質(zhì)和正弦的和角公式，得到，結(jié)合輔助角公式求解；（2）由正弦定理可得出，DE，再利用三角形的面積公式和兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)即可求得結(jié)果.【小問1詳解】由，得到，又，所以，又，得到，即，又，所以，得到.【小問2詳解】由（1）知，如圖，因?yàn)?，所以．在中，因?yàn)?，所以，在中，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，，所以化簡(jiǎn)可得：所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)；（3）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，曲線與直線總相切，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.當(dāng)時(shí)，若函數(shù)是“函數(shù)”，求.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，分類討論求的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)條件，將的零點(diǎn)問題化成的零點(diǎn)問題，再結(jié)合條件，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明結(jié)果；（3）利用“函數(shù)”的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，然后結(jié)合是方程的根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系得到，即可求解.【小問1詳解】易知函數(shù)定義域?yàn)?，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由，得到，即，得到，又易知為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，f'x>0，即在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f'x<0，即在區(qū)間單調(diào)遞減，綜上得：當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.【小問2詳解】令，得到，當(dāng)時(shí)，，方程無解，即無零點(diǎn)，所以有零點(diǎn)，則零點(diǎn)只能在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，由，得到，設(shè)，，則零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)，因?yàn)?，設(shè)hx=ax+a-1(x>-1)因?yàn)?，則hx在上單調(diào)遞增，又，時(shí)，，則，使得，當(dāng)時(shí)，hx<0，當(dāng)，hx即在上遞減，在上遞增，又，所以，又由于時(shí)，，故在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，又時(shí)，，故在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，只有兩個(gè)零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn).【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)是“函數(shù)”，且，設(shè)函數(shù)與直線切點(diǎn)，又，則，故，由，得到，又，所以，因?yàn)?，所以是方程的根，設(shè)，，易知，且是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，h'x>0，hx單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，h'所以，所以是方程的根，且唯一，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵是第三問的處理，先需要讀懂新定義，然后根據(jù)新定義找到所滿足的關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)的工具，零點(diǎn)存在定理，進(jìn)一步確定的取值.19.給定正整數(shù)，設(shè)，，…，是1，2，…，中任取個(gè)互不相同的數(shù)構(gòu)成的一個(gè)遞增數(shù)列.對(duì)，如果是奇數(shù)，則是奇數(shù)，如果是偶數(shù)，則是偶數(shù)，就稱，，…，為“數(shù)列”.（1）若，，寫出所有“數(shù)列”；（2）對(duì)任意“數(shù)列”，，…，，，證明：.（注：表示不超過的最大整數(shù)）；（3）確定“數(shù)列”的個(gè)數(shù).【答案】（1）；；；；（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)“數(shù)列”的定義直接寫出；（2）首先分析得，再結(jié)合得到，即，則原命題證明；（3）定義數(shù)列，分析出是“數(shù)列”，再記表示中任取項(xiàng)構(gòu)成的單調(diào)遞增