拋物線基礎(chǔ)知識

拋物線基礎(chǔ)知識一、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及參數(shù)的意義定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．p的意義：焦準(zhǔn)距二、標(biāo)準(zhǔn)方程的求法：1.定義法2.待定系數(shù)法：作判斷（判斷焦點(diǎn)位置）、設(shè)方程（設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px或x2＝2py，p≠0（或y2＝mx與x2＝my(m≠0)））、解方程（求出參數(shù)p或m）、寫答案。三、幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形范圍對稱軸軸軸拋物線的對稱軸叫做頂點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)拋物線叫做拋物線的頂點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程離心率定義：，其值焦半徑焦半徑的最小值為焦點(diǎn)弦通徑在拋物線中通過焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，連結(jié)這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的，長為，它是最短的焦點(diǎn)弦。p參數(shù)表示的距離，越大，開口小結(jié)兩點(diǎn)兩線一率一方向無漸近線、對稱中心注：=1\*GB3①標(biāo)準(zhǔn)方程：頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上=2\*GB3②拋物線的方程：一次變量定位置，開口方向看正負(fù)=3\*GB3③的幾何意義：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，焦點(diǎn)到頂點(diǎn)及頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為。④焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)為一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱。⑤思考與y2＝2px(p＞0)、y2＝mx與x2＝my(m≠0)的焦點(diǎn)位置與準(zhǔn)線方程：四、拋物線的焦點(diǎn)弦常用性質(zhì)拋物線的焦點(diǎn)為F，AB是經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)F的弦，M為線段AB的中點(diǎn)，，過點(diǎn)A,B,M作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，連結(jié)，求證：（1）；（2）以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切；（3）以AF（或BF）為直徑的圓與軸相切；（4）；（5）；（6）；（7）設(shè)與拋物線交于，則是的中點(diǎn)；（8）；（9）（焦點(diǎn)弦長與中點(diǎn)的關(guān)系）（韋達(dá)定理）（為直線AB的傾斜角）；（10）（A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值）；（11）通徑是最短的焦點(diǎn)弦。（12）設(shè)G是拋物線上任意一點(diǎn)，則的最小值為。證明：（1）根據(jù)拋物線的定義，有，從而，所以。（2）由（1）可知成立；（3）設(shè)AF的中點(diǎn)為C，過C作，垂足為，則，得證。（4）法1：由（2）可得。法2：由得，同理，則，所以。（5）由得，從而，同理，，。（6），。（7）連結(jié)，在中，，，所以是的中點(diǎn)（8）當(dāng)時，顯然成立，當(dāng)AB不垂直于軸時，設(shè)其方程為，消去得，由題意，。（9）由（8）知（10）由（8）知。（11）由（10）知，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。（12）設(shè)，則，當(dāng)時，“=”成立。五．其它性質(zhì)：1.過拋物線y2＝