第18講 反比例函數(shù)的應(yīng)用-九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義（北師大版）教師版

第18講反比例函數(shù)的應(yīng)用

等目標(biāo)導(dǎo)航

蟹更I識(shí)精講

*知識(shí)點(diǎn)

一、利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題

1.基本思路：建立函數(shù)模型，即在實(shí)際問(wèn)題中求得函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)解決問(wèn)

題.

2.一般步驟如下：（1）審清題意，根據(jù)常量、變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系

數(shù)用字母表示.

（2）由題目中的已知條件，列出方程，求出待定系數(shù).

（3）寫(xiě)出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍.

（4）利用函數(shù)解析式、函數(shù)的圖象和性質(zhì)等去解決問(wèn)題.

二、反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用

1.當(dāng)圓柱體的體積一定時(shí)，圓柱的底面積是高的反比例函數(shù)；

2.當(dāng)工程總量一定時(shí)，做工時(shí)間是做工速度的反比例函數(shù)；

3.在使用杠桿時(shí)，如果阻力和阻力臂不變，則動(dòng)力是動(dòng)力臂的反比例函數(shù)；

4.電壓一定，輸出功率是電路中電阻的反比例函數(shù).

【知識(shí)拓展1］反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合

例1.如圖，直線乂=1+1與雙曲線必』（k為常數(shù)，k^O）交于A,D兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于B,

X

C兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m,2）.

（1）求反比例函數(shù)的解析式.

（2）結(jié)合圖象直接寫(xiě)出當(dāng)%時(shí)，x的取值范圍.

2

【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為必=一；(2)當(dāng)時(shí)，xV-2或OVxVl

x

【分析】(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,2)代入一次函數(shù)解析式中，即可求出m,從而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后將

點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中即可得出結(jié)論；

(2)結(jié)合圖象即可得出結(jié)論.

解：(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,2)代入一次函數(shù)解析式M=x+1中，得2=m+l

解得：m=l

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式必=&中，得2=§

解得：k=2

2

反比例函數(shù)的解析式為為=一；

x

y=x+\

(2)聯(lián)立，2

y=-

X

X=-2fv=1

解得：?或一,(此時(shí)符合點(diǎn)A的坐標(biāo)，故舍去)

j=-l[y=2

，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,-1)

由函數(shù)圖象可知：在點(diǎn)D的右側(cè)和y軸與點(diǎn)A之間，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方

???當(dāng))1vK時(shí)，xV-2或OVxVl.

【點(diǎn)撥】此題考查的是反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合題型，掌握利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式和利

用圖象和函數(shù)值的大小關(guān)系，求自變量的取值范圍是解題關(guān)鍵.

【變式】.已知A(?4,2)、B(n,-4)兩點(diǎn)是一次函數(shù)尸kx+b和反比例函數(shù)產(chǎn)”圖象的兩個(gè)交點(diǎn).

x

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

(2)求AAOB的面積;

Q

【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為y=-2,一次函數(shù)的解析式為y=-x?2；(2)6：(3)xV?4或OVxV

x

2.

試題分析：(1)先把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可得到nF?8,再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)

解析式，即可求出n=2,然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；(2)先求出直線y二?x?2與x軸交

點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用Sz\AOB=SzuW)c+SaBOC進(jìn)行計(jì)算：

(3)觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)XV-4或0VXV2時(shí)，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上方，據(jù)此可得不等

式的解集.

解：⑴把A(?4,2)代入/=巴，得m=2X(-4)=-8,所以反比例函數(shù)解析式為y=一烏，把B(n,

XX

8Hi+Z?=2

-4)代入1y----，得-4n=-8,解得n=2,把A(-4,2)和B(2,-4)代入y=kx+b,得：,

x2k+b=-4

[i=-l

解得：V…所以一次函數(shù)的解析式為y二?x-2；

b=-2

(2)尸-x-2中，令y=0,則x=-2,即直線y=-x-2與x軸交于點(diǎn)C(-2,0),AS△AOB=SAAOC+SABOC=-X

2

2X2+iX2X4=6；

2

(3)由圖可得，不等式h+b—巴>0的解集為：*<-4或0<*<2.

x

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.

【知識(shí)拓展2】反比例函數(shù)的幾何綜合

例2.如圖，A(4,3)是反比例函數(shù)y二與在第一象限圖象上一點(diǎn)，連接0A,過(guò)A作AB〃x軸，截取AB=OA

x

(B在A右側(cè))，連接0B,交反比例函數(shù)y=上的圖象于點(diǎn)P.

x

(1)求反比例函數(shù)y=&的表達(dá)式；

x

(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)：

(3)求△OAP的面積.

【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為y=一；(2)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(9,3)；(3)AOAP的面積=5.

x

【分析】(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式求解可得；

(2)利用勾股定理求得AB=0A=5,由AB〃x軸即可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(3)先根據(jù)點(diǎn)B坐標(biāo)得出0B所在直線解析式，從而求得直線與雙曲線交點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用割補(bǔ)法求解

可得.

解：(1)將點(diǎn)A(4,3)代入尸人,得：k=12,

X

12

則反比例函數(shù)解析式為尸

X

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC_Lx軸于點(diǎn)C,

則0C=4、AC=3,J0A=J42+32=5,

???AB〃x軸,且AB=0A=5,???點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9,3）；

(3)???點(diǎn)B坐標(biāo)為(9,3),???0B所在直線解析式為y=；x,

1

y=-x

由t可得點(diǎn)P坐標(biāo)為(6,2),(負(fù)值舍去)，

y=—

X

過(guò)點(diǎn)P作PDJLx軸，延長(zhǎng)DP交AB于點(diǎn)E,

則點(diǎn)E坐標(biāo)為(6,3),AAE=2>PE=kPD=2,

則△OAP的面積=^X(2+6)X3-^-X6X2-jX2Xl=5.

【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形綜合，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正確添加輔

助線是解題的關(guān)鍵.

【變式】如圖，已知菱形ABCD的對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)0,四個(gè)頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)y=&(k^O)

x

的圖象與AD邊交于E(-4,^),F(m,2)兩點(diǎn).

(1)求k,m的值；

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題：

(2)根據(jù)函數(shù)圖象，寫(xiě)出反比例函數(shù)的圖象在菱形內(nèi)部的自變量的取值范圍即可；

1L2

解：(1)???點(diǎn)￡(?4,；)在尸土上，???反比例函數(shù)的解析式為尸-一.

2xx

VA(w,2)在尸4上，???止-1.

x

(2)函數(shù)尸&圖象在菱形力筋內(nèi)x的取值范圍為：-4VxV-1或l<x<4.

x

【點(diǎn)撥】本題考杳了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征、菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí),

屬于中考?？碱}型.

【知識(shí)拓展3】反比例函數(shù)實(shí)際問(wèn)題與圖象

例3.某學(xué)校要種植一塊面積為100nl2的長(zhǎng)方形草坪，要求兩邊長(zhǎng)均不小于5m,則草坪的一邊長(zhǎng)為y（單

100

解析：由草坪面積為100/,可知X、y存在關(guān)系尸一，然后根據(jù)兩邊長(zhǎng)均不小于5m,可得x25、y25,

x

則xW20,

故選：C.

【變式1】公元前3世紀(jì)，古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿平衡，后來(lái)人們把它歸納為“杠桿原理”，即:

阻力X阻力唇二動(dòng)力X動(dòng)力臂.小偉欲用撬根撬動(dòng)一塊石頭，已知阻力和阻力臂分別是1200N和0.5m,則動(dòng)

力F（單位：N）關(guān)于動(dòng)力臂1（單位：m）的函數(shù)解析式正確的是（）

A.尸=幽B.尸=罕C.「考

D.F=y

【答案】B

【分析】根據(jù)所給公式列式，整理即可得答案.

解析：???阻力X阻力臂=動(dòng)力X動(dòng)力臂.個(gè)偉欲用撬棍撬動(dòng)一塊石頭，已知阻力和阻力臂分別是1200N和

0.5m,

???動(dòng)力F（單位：N）關(guān)于動(dòng)力臂1（單位：m）的函數(shù)解析式為：1200X0.5=FI,

則尸=挈

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，弄清題意，正確分析各量間的關(guān)系注解題的關(guān)鍵.

【變式2].如圖，市煤氣公司計(jì)劃在地下修建一個(gè)容積為1（//的圓柱形煤氣儲(chǔ)存室，則儲(chǔ)存室的底面積S

（單位：與其深度d（單位：加的函數(shù)圖象大致是（）

【答案】A

1A4

解析：由儲(chǔ)存室的體積公式知：104=5J，故儲(chǔ)存室的底面積S(m?)與其深度d(m)之間的函數(shù)關(guān)系式為5=-^-

(d>0)為反比例函數(shù).故選A.

考點(diǎn)：1.反比例函數(shù)的應(yīng)用；2.反比例函數(shù)的圖象.

例4.如圖，反比例函數(shù)y="(x>0)經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC_Ly軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)B作8￡>_Ly軸于點(diǎn)

【)，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E,連結(jié)AD,已知AC=1、BE=1、SBDOE=4.WIJSAACD

【分析】過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)H,交BD于點(diǎn)F,則四邊形ACOH和四邊形ACDF均為矩形，根據(jù)^“七二七

可得k的值，即可得到矩形ACOH和矩形ACDF的面積，進(jìn)而可求出鼠⑷,.

解：過(guò)點(diǎn)A作A”_Lx軸于點(diǎn)H,交BD于點(diǎn)F,則四邊形ACOH和四邊形ACDF均為矩形，如圖:

??k=4.?SACOH=4，

???AC=\

，OC=4+1=4

，CD=OC-OD=OC-BE=4-\=3

故答案為

【點(diǎn)撥】此題主要考查的知識(shí)有：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義和性質(zhì)，通過(guò)矩形的面積求出k的值是解

本題的關(guān)鍵.

4-1

【變式1】圖，點(diǎn)P是雙曲線C：y=-(x>0)上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線48：y=-x-2f

x2

點(diǎn)。，連結(jié)OP,Q2.當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)尸在。的上方時(shí)，△尸。。面積的最大值是_____.

【分析】令PQ與x軸的交點(diǎn)為E,根據(jù)雙曲線的解析式可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，由于點(diǎn)P在雙曲線上，由雙

曲線解析式中k的幾何意義可知AOPE的面積恒為2,故當(dāng)AOEQ面積最大時(shí)也尸。。的面積最大.設(shè)Q(a,

)則SAOEQ=3XaX(—a—2)=—a2—1?=(-fl—I)2+1,可知當(dāng)a=2時(shí)S/^Q最大為1,即當(dāng)Q為AB中

點(diǎn)時(shí)40EQ為1,則求得△POQ面積的最大值是是3.

交y軸于點(diǎn)A,

AA(0,-2),B(4,0)

即0B=4,0A=2

令PQ與x軸的交點(diǎn)為E

???P在曲線C上

/.△0?E的面積恒為2

???當(dāng)AOEQ面積最大時(shí)△POQ的面枳最大

設(shè)Q(a,-2)

22

則SAO-Q=XaX(—fl-2)=-a-a-a-\)+\

242

當(dāng)a=2時(shí)S△瞰最大為1

即當(dāng)Q為AB中點(diǎn)時(shí)AOEQ為1

故ap。。面積的最大值是是3.

【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)幾何圖形面枳問(wèn)題，二次函數(shù)求最大值，解本題的關(guān)鍵是掌握

反比例函數(shù)中k的幾何意義，并且建立二次函數(shù)模型求最大值.

【變式2】.如圖，D是矩形AOBC的對(duì)稱中心，A(0,4),B(6,0),若一個(gè)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,交

【分析】如圖，連接AB,作DE_LOB于E,根據(jù)矩形是中心對(duì)稱圖形可得D是AB的中點(diǎn)，繼而求出點(diǎn)D的

坐標(biāo)，D(3,2),設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=L,利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，然后根據(jù)點(diǎn)MM

x

的縱坐標(biāo)和A的縱坐標(biāo)相同，繼而可求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，由此即可得答案.

解：如圖，連接AB,作DE_LOB于E,

???DE〃y軸，

???D是矩形AOBC的中心,

???D是AB的中點(diǎn),

ADE是AAOB的中位線，

VOA=4,0B=6,

ADE=|OA=2,OE=jOB=3,

AD(3.2),

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=

X

k=3x2=6，

...反比例函數(shù)的解析式為y=g,

X

???AM〃x軸,

AM的縱坐標(biāo)和A的縱坐標(biāo)相等為4,

把y=4代入y=得4=￡,解得：x=1,

xx2

3

:.M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為—,

3

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為(5,4),

故答案為(宗4).

【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的對(duì)稱性，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的中位線等知識(shí)，熟練掌握

和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

【知識(shí)拓展4】利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題

3

例5.某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓p(kPa)是氣體體積V(m)

的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示，當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于120kPa時(shí)，氣球?qū)?huì)爆炸，為了安全起見(jiàn)，氣球的

體積應(yīng)（）

C.不小于2m3D.小于2m3

44

【答案】C

【分析】由題意設(shè)設(shè)P與L（丫>0），把（L6,60）代入得到k=96,推出，哼96（V>0）,當(dāng)P=120時(shí)，V..41,

由此即可判斷.

解：因?yàn)闅馇騼?nèi)氣體的氣壓p（kPa）是氣體體積V（??）的反比例函數(shù)，所以可設(shè)P=9（V>0）,由題圖

96

可知，當(dāng)V=1.6時(shí)，P=60,所以k=1.6x60=96,所以p=>0）.為了安全起見(jiàn)，氣球內(nèi)的氣壓應(yīng)不

964

大于120kPa,即歹”120,所以％..不

故選C.

【點(diǎn)撥】此題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于把己知點(diǎn)代入解析式.

【變式I】教室里的飲水機(jī)接通電源就進(jìn)入自動(dòng)程序，開(kāi)機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升10℃,加熱到100℃,停止加

熱，水溫開(kāi)始下降，此時(shí)水溫（℃）與開(kāi)機(jī)后用時(shí)（min）成反比例關(guān)系.直至水溫降至30℃,飲水機(jī)關(guān)機(jī).飲

水機(jī)美機(jī)后即刻自動(dòng)開(kāi)機(jī)，重復(fù)上述自動(dòng)程序.若在水溫為30℃時(shí)，接通電源后，水溫y（C）和時(shí)間（min）

的關(guān)系如圖，為了在上午第一節(jié)下課時(shí)（8：45）能喝到不超過(guò)50℃的水，則接通電源的時(shí)間可以是當(dāng)天上

午的

A.7：20B.7：30C.7：45D,7：50

【答案】A

【詳解】???開(kāi)機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升10℃,???從30℃到100℃需要7分鐘.

設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為：y=Lx+b,

將(0,30),(7,100)代入產(chǎn)Lx+b得kk10,h=30.

Ay=10x+30(0Wx(7).

令y=50,解得x=2；

k

設(shè)反比例函數(shù)關(guān)系式為：y=-,

X

k700

將(7,100)代入y=一得k=700,/.y=—.

xx

將y=30代入y=獨(dú)，解得x=?..??丫=獨(dú)(74W與).

x3x3

逐一分析如下：

選項(xiàng)A：7：20至8：45之間有85分鐘.85-yX3=15,位于MWxW與時(shí)間段內(nèi)，故可行；

選項(xiàng)B：7：30至8：45之間有75分鐘.75-X3=5,不在0WxW2及14WxW與時(shí)間段內(nèi)，故不可行；

選項(xiàng)C：7：45至8：45之間有60分鐘.60-yX2=y?=13.3,不在0WxW2及14WxW與時(shí)間段內(nèi)，

故不可行；

選項(xiàng)D：7：50至8：45之間有55分鐘.55-yX2=y^8.3,不在0WxW2及14WxW與時(shí)間段內(nèi)，故

不可行.

綜上所述，四個(gè)選項(xiàng)中，唯有7：20符合題意.故選A.

【變式2】.某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時(shí)，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜.如圖是試驗(yàn)階段

的某天恒溫系統(tǒng)從開(kāi)啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度yCC)與時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段AB、BC

表示恒溫系統(tǒng)開(kāi)啟階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段.

請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問(wèn)題：

(1)求這天的溫度y與時(shí)間x(0WxW24)的函數(shù)關(guān)系式;

(2)求恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度：

(3)若大棚內(nèi)的溫度低于10℃時(shí)，蔬菜會(huì)受到傷害.問(wèn)這天內(nèi)，恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時(shí)，才能使

蔬菜避免受到傷害？

2x+10(0<x<5)

【答案】(1)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為＞=20(5<x<10)；(2)恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒溫為20°C；(3)恒溫系

200

——(10<x<24)

x

統(tǒng)最多關(guān)閉10小時(shí)，蔬菜才能避免受到傷害.

分析：(1)應(yīng)用待定系數(shù)法分段求函數(shù)解析式;

(2)觀察圖象可得;

(3)代入臨界值y=10即可.

解：(1)設(shè)線段AB解析式為y=hx+b(kHO)

丁線段AB過(guò)點(diǎn)(0,10),(2,14)

6=10k=2

代入得《解得，

24+6=14b=\0

???AB解析式為:y=2x+10(0WxV5)

???B在線段AB上當(dāng)x=5時(shí),y=20

???B坐標(biāo)為(5,20)

???線段BC的解析式為：y=20(5WxV10)

設(shè)雙曲線CD解析式為：y=k(k2^0)

x

VC(10,20)

Ak2=200

200

???雙曲線CD解析式為:y=(10WxW24)

2x+10(0<x<5)

???y關(guān)Tx的函數(shù)解析式為：y=-20(510)

—(10^x<24)

(2)由(1)恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒溫為20°C

(3)把y=10代入y二迎中，解得，x=20

x

.*.20-10=10

答：恒溫系統(tǒng)最多關(guān)閉10小時(shí)，蔬菜才能避免受到傷害.

點(diǎn)撥：本題為實(shí)際應(yīng)用背景的函數(shù)綜合題，考查求得一次函數(shù)、反比例函數(shù)和常函數(shù)關(guān)系式.解答時(shí)應(yīng)注

意臨界點(diǎn)的應(yīng)用.

例6.如圖，某反比例函數(shù)圖象的一支經(jīng)過(guò)點(diǎn)力(2,3)和點(diǎn)笈(點(diǎn)4在點(diǎn)1的右側(cè))，作比軸，垂足

為點(diǎn)C,連結(jié)AB,AC.

(1)求該反比例函數(shù)的解析式；

(2)若△/a'的面積為6,求直線4?的表達(dá)式.

【分析】(1)把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求得；

(2)作ADJ_BC于D,則D(2,b),即可利用a表示出AD的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式即可得到一個(gè)關(guān)

于b的方程，求得b的值，進(jìn)而求得a的值，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案.

解：⑴由題意得：k=xy=2X3=6,

???反比例函數(shù)的解析式為y=9；

x

(2)設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b),如圖，作AD_LBC于D,則D(2,b),

b=9

AD=3—,

ASAlv?'=-BC*AD=-a(3--)=6,

22a

解得a=6,

6

/.b=-=L；.B(6,1),

設(shè)AB的解析式為y=kx+b,將A(2,3),B(6,1)代入函數(shù)解析式，得

1

2k+b=3,=---

6kg'解得：2,

b=4

所以直線AB的解析式為y=-gx+4.

【點(diǎn)撥】本題考查了利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)以及一次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法以及正確表

示出BC,AD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

【變式1】一次函數(shù)丫=1?+1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,12),B(8,-3).

(1)求該一次函數(shù)的解析式;

(2)如圖，該一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)y=?(m>0)的圖象相交于點(diǎn)C[x"yj,D(x2,y2),與>軸交

于點(diǎn)E,且CD=CE,求m的值.

【答案】(1)y=-|x+9；(2)12.

【分析】

（1）將A,B點(diǎn)代入式子即可求出k,b,隨之可得出解析式.

（2）分別過(guò)點(diǎn)C、。做CA_Ly軸于點(diǎn)A,軸于點(diǎn)8,設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（a,b）,根據(jù)條件求出a,b,隨之

即可解答.

解:⑴把點(diǎn)4（-2,12）,8（8,-3）代入〉="+匕

3

\2=-2k+b,?=------

得：―理h律2

b=9

工一次函數(shù)解析式為：j=-|x+9

（2）分別過(guò)點(diǎn)C、。做CA_Ly軸于點(diǎn)A,O3_L），軸于點(diǎn)8

設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（。力），由已知ab=m

It!(1)點(diǎn)E坐標(biāo)為(0,9),則AE=9-b

\-ACUBD,CD=CE

:.BD=2a,EB=2(9-b)

:.OB=9-2(9-b)=2b-9

???點(diǎn)O坐標(biāo)為(加勸-9)

:.2d^b-)=m

整理得7M=6a

,/ab=m

:.b=6

則點(diǎn)。坐標(biāo)化為（2a,3）

3

???點(diǎn)。在y=—'X+9圖象上

a=2

:.m=ab=\2

【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用，學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法求解析式是解答本題的

關(guān)鍵.

【變式2】.如圖，矩形ABC。的兩邊A。、A8的長(zhǎng)分別為3、8,E是。。的中點(diǎn)，反比例函數(shù)），二生的圖

x

象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,與A8交于點(diǎn)尸.

（1）若點(diǎn)3坐標(biāo)為（-6,0）,求〃，的值及圖象經(jīng)過(guò)A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)的表達(dá)式;

（2）若A產(chǎn)-AE=2,求反比例函數(shù)的表達(dá)式.

44

【答案】（1）m=-12,y=--x；（2）尸一一.

3x

分析：（1）由已知求出力、￡的坐標(biāo)，即可得出勿的值和一次函數(shù)函數(shù)的解析式；

(2)由AO=3,DE=4,得至|JAE=5,^AF-AE=2,得到A尸=7,BF=l.設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(。，4),則點(diǎn)尸

坐標(biāo)為（。-3,1）,代入反比例函數(shù)解析式即可得到結(jié)論.

解：(1)VB(-6,0),AD=3,48=8,E為CD的中點(diǎn),

AE(-3,4),A(-6,8).

???反比例函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)E（-3M）,

w=—3x4=-12.

設(shè)圖象經(jīng)過(guò)A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+bt

.J—6k+b=S

**|-3^+Z?=4,

4

:=—

解得:3,

h=0

.4

(2)VA￡>=3,DE=4,

:.AE=5.

*/AF-AE=2,

：.AF=1,

???BF=\.

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(。，4),則點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為(a-34).

/>>

,:E,尸兩點(diǎn)在丫二一圖象上，

x

46f=a—3,

解得：a=—1>

???E(-l,4),

/n=-4,

”-土

x

點(diǎn)撥：本題考查了矩形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)一次函數(shù)的解析式.解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)兒￡、〃的坐標(biāo).

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

一、單選題

1.（2021?山東省泰安第十五中學(xué)九年級(jí)月考?）若反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,2）,則k的值

是（）

A.1B.-2C.-1D.3

【答案】C

【分析】解答此題時(shí)，借用了“反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征”這一知識(shí)點(diǎn).根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐

標(biāo)特征，將(-1,-2)代入已知反比例函數(shù)的解析式，列出關(guān)于系數(shù)A的方程，通過(guò)解方程即可求得k的值.

【詳解】根據(jù)題意，得-2=k-l,即一2=匕1,

解得,k=?l.

故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查的是用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，是中學(xué)階段的重點(diǎn).

2.(2021?安徽淮北?九年級(jí)月考)下列各點(diǎn)中，不在雙曲線y=-色上的點(diǎn)是()

x

A.(-2,-4)B.(-2,4)C.(1,-8)D.(-4,2)

【答案】A

【分析】直接把各點(diǎn)代入直線y=-色進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

x

【詳解】解:A、當(dāng)％=-2時(shí)，y=~=4,此點(diǎn)不在直線上，故本選項(xiàng)正確；

Q

B、當(dāng)穴=-2時(shí)-，y=-=4,此點(diǎn)在直線上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

Q

C、當(dāng)x=l時(shí)，y=-y=-8,此點(diǎn)在直線上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

Q

D、當(dāng)x=T時(shí)，y=--=2,此點(diǎn)在直線上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，

-4

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)定適合此函數(shù)

的解析式是解答此題的關(guān)鍵.

3

3.(2021?全國(guó))下列各點(diǎn)中，在函數(shù)y=—-的圖象上的是().

x

A.(3.1)B.(Tl)C.件3)D.卜,一；)

【答案】B

【分析】將各選項(xiàng)的點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式計(jì)算可求解.

3

【詳解】解：將x=3代入y=得y=-l,A、D選項(xiàng)不符合題意；

x

3

將％=-3代入y=得y=l,B選項(xiàng)符合題意；

x

13

將代入)，=一±得y=-9,C選項(xiàng)不符合題意；

3x

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將各點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

4.（2321?安慶市第四中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，反比例函數(shù)y=&的圖象過(guò)矩形048c的頂點(diǎn)8,040C分

x

別在x軸、y軸的正半軸上，矩形048c的對(duì)角線。8,AC交于點(diǎn)￡（1,2）,則A的值為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)，可得出點(diǎn)8的坐標(biāo)，代入y=上求解即可.

x

【詳解】解：由題意得：A的橫坐標(biāo)為1x2=2,C的縱坐標(biāo)為2x2=4,

：8的坐標(biāo)為（2,4）,

?.8在反比例函數(shù)圖象上，

?4=￡

2

k=8,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握矩形性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解

題的美鍵.

5.（2021?全國(guó)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)），=&+左與y=的圖象大致為（）.

【答案】B

【分析】由直線*kx+k恒過(guò)定點(diǎn)（-1,0）排除A、D,再由直線過(guò)一、二、三象限可得A大于0,由此得到

片?與過(guò)二、四象限得答案.

X

【詳解】解：直線y=Ax+k恒過(guò)定點(diǎn)（-1,0）,可知A、D錯(cuò)誤,

由B、C可知,k>Qf

???片-士的圖象在第二、第四象限，

X

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，重

點(diǎn)是注意系數(shù)A的取值.

6.（2021?包鋼第三中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，一次函數(shù)（止0）的圖象分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)小

B,與反比例函數(shù)％=4伏2工。）的圖象交于C（-4,-2）,。（2,4）.當(dāng)乂為（）時(shí)，兇<必.

A.x>-2B.x<-4

C.x<-4或0VxV2D.-2<x<2

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象寫(xiě)出直線在雙曲線下方部分的x的取值范圍即可.

【詳解】解：如圖由題意可知，反比例函數(shù)必=4伏，。0）和一次函數(shù)（自/0）的圖象相交于C（-

x-

4,-2）,D（2,4）.

所以，不等式&的解集是xV-4或DVxV2

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題及不等式，數(shù)形結(jié)合是解決此題的關(guān)鍵.

二、填空題

7.（2021?全國(guó)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知經(jīng)過(guò)閉合電路的電流/（單位：A）與電路的電阻R（單位：C）是反

比例函數(shù)關(guān)系，請(qǐng)?zhí)畋砀瘢ńY(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）：

I/A12345

R/C120253050658090

【答案】100；50；33.33；25；4；3.33；2；1.54；1.25；1.11.

【分析】先根據(jù)等量關(guān)系小名“，把（5,20）代入求得固定電壓，也就求得了/與網(wǎng)的函數(shù)解析式，再將

A

表格中/與R的值分別代入，求出對(duì)應(yīng)的R與/的值，即可求解.

【詳解】解：依題意設(shè)/=2,

A

把/=5,月=20代入得：5=^,

解得a=ioo,

-100

所以上一丁.

A

當(dāng)/=1,2,3,4,時(shí)，代入七竽.分別取得R=100：50：33.33；25：

R

當(dāng)/?=25,30,50,65,80,90時(shí)，代入仁—，分別求得/=4；3.33；2；1.54；1.25；1.11.

R

HA1234543.3321.541.251.11

R/Q1005033.332520253050658090

故答案為：100；50；33.33；25；4；3.33；2：1.54；1.25；1.11.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解決此題的關(guān)鍵.

8.（2021?山東省泰安第十五中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=-的圖象交于

2x

A（l,l）,B（-l-I）兩點(diǎn).（1）若y=則x=：（2）若v.>y2,則x的取值范圍是

；（3）若ax<-貝ijx的取值范圍是

xt

【答案】1或-1-l<x<0或x>lx<-\或0<x<l

【分析】先根據(jù)48兩點(diǎn)確定兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)反比例函數(shù)、一次函數(shù)性質(zhì)逐一求解.

【詳解】由反比例函數(shù)過(guò)A點(diǎn)得出k=l，所以）

一次函數(shù)過(guò)4、8點(diǎn)，所以有a=l,所以片x

（1）兩函數(shù)值相等時(shí)由方程x=L,解得x=±l

X

（2）A（1,1）B（-1,-1）當(dāng)y>為時(shí)，取A點(diǎn)右邊或。到B點(diǎn)，所以取-l<x<0或%>1

（3）當(dāng)atvK時(shí)，取8點(diǎn)左邊或。到八點(diǎn)，所以取x—1或0<x<l

X

故答案為：①1或-l0-l<x<0或x>l?x<-l或0<x<l

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式求法、性質(zhì)，掌握解析式求法與這兩種函數(shù)的性質(zhì)是本

題解題關(guān)鍵.

9.（2021?全國(guó)）一個(gè)水池裝水12m3,如果從水管中每小時(shí)流出x的水，經(jīng)過(guò)>h可以把水放完，那么》與

”的函數(shù)關(guān)系式是,自變量x的取值范圍是.

12

【答案】y=-">0

x

【分析】根據(jù)等量關(guān)系“工作時(shí)間=工作總量+工作效率”即可列出關(guān)系式即可，注意x>0.

【詳解】解：根據(jù)題意，則

12

y=-（x>0）；

x

12

故答案為：y=—:x>0.

x

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，找出等量關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵.

10.（2021?全國(guó)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知4是直線y=2x與曲線丁=竺二（m為常數(shù)）一支的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)4

x

作x粕的垂線，垂足為8,且08=2,則m的值為.

【答案】9

【分析】由題干可以知道A點(diǎn)的坐標(biāo)，該點(diǎn)在反比例函數(shù)上，代入故能求出m.

【詳解】解：由題意，可知08=2,即點(diǎn)4的橫坐標(biāo)是2或-2,由點(diǎn)4在正比例函數(shù)*2x的圖象上，

二點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,4）或（-2,?4）,

m—I

又.??點(diǎn)4在反比例函數(shù)片生」的圖象上，

x

m-\—tn-1

4=——或-4=——,即c1nm=9.

2-2

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.先由點(diǎn)的坐標(biāo)求函數(shù)解析式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)

合的思想.

11.（2021?全國(guó)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）填空：

(1)反比例函數(shù)"&的圖象如圖(1)所示，則k0,在圖象的每一支上，y隨X的增大而

x

(2)反比例函數(shù)的圖象如圖(2)所示，則k0,在圖象的每一支匕y隨x的增大而

x

【分析】(1)根據(jù)圖像所在象限確定k>0,正確根據(jù)k>0確定函數(shù)的增減性即可；

(2)根據(jù)圖像所在象限確定左V0,正確根據(jù)左V0確定函數(shù)的增減性即可；

k

(3)點(diǎn)(1,3)在反比例函數(shù)y=2的圖象上，代入求出A=3,由％=3>0,在圖象的每一支上，y隨x的增大

x

而減小；

【詳解】解：(1)???反比例函數(shù)y="的圖象在一三象限，

x

：.k>0,

???圖像在每個(gè)象限內(nèi)有左上到右下下降，

??.在圖象的每一支上，y隨x的增大而減?。?/p>

故答案為V；減??；

(2).?反比例函數(shù)y=&的圖象在二四象限,

x

二k<i)

V圖像在每個(gè)象限內(nèi)有左下到右上上升，

在圖象的每一支上，y隨x的增大而增大；

故答案為V；增大；

(3)?.?點(diǎn)(1,3)在反比例函數(shù))，=與的圖象上,

x

k

3=-,即&=3,

?"=3>0,

??.在圖象的每一支上，y隨x的增大而減小;

故答案為3；減小.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，以

及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式方法是解題關(guān)鍵.

12.（2021?北京清華附中朝陽(yáng)學(xué)校）如圖，點(diǎn)P（-3,1）是反比例函數(shù)），=生的圖象上的一點(diǎn)，設(shè)直線），=&與

x

雙曲）=%的兩個(gè)交點(diǎn)分別為P和尸'，當(dāng)場(chǎng)〉"時(shí)，寫(xiě)出X的取值范圍.

【答案】-3VxV0或x>3

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)以及正比例函數(shù)的對(duì)稱性求得產(chǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象即可求得.

【詳解】解：直線片版與雙曲線片畫(huà)的兩個(gè)交點(diǎn)分別為P和產(chǎn)，P（-3,1）,

x

??.7的坐標(biāo)為（3,?1）,

in

當(dāng)一>kx時(shí)，x的取值范圍為-3VxV0或x>3,

x

故答案為：-3VxV0或x>3.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足

兩個(gè)函數(shù)的解析式，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

13.（2021?全國(guó)）已知某品牌顯示器的壽命大約為2xl04h.

（1）這種顯示器可工作的天數(shù)d與平均每日工作的小時(shí)數(shù)t之間具有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

（2）如果平均每天工作10h,那么這種顯示器大約可使用多長(zhǎng)時(shí)間？

【答案】（1）"=茲"；（2）2X103天

t

【分析】（1）根據(jù)日工作時(shí)間乘以天數(shù)=總壽命列式即可；

（2）將t=10代入求得的函數(shù)解析式即可求得使用時(shí)間；

【詳解】解：（1）..dt=2xl（）4,4=衛(wèi)史.

t

（2）當(dāng)t=10時(shí)，d=&JS=2xl（）3,

??.這種顯示器大約可使用2X103天.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用,能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出函數(shù)關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵.

14.（2021?全國(guó)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小艷家月購(gòu)電卡購(gòu)買(mǎi)了lOOOkWh電，這些電能夠使用的天數(shù)m與小艷家

平均每天的用電度數(shù)〃有怎樣的函數(shù)關(guān)系？如果平均每天用4kW-h電，這些電可以用多長(zhǎng)時(shí)間？

一0、1000千

【答案】m=——，250天

【分析】根據(jù)平均每天的用電度數(shù)x使用天數(shù)=總電晟列式，整理即可求出m與。的函數(shù)關(guān)系式，然后將〃=4

代入函數(shù)解析式即可求出使用天數(shù)m.

【詳解】??,〃?〃=1o（x）,

1000

?.m=----

n

當(dāng)〃=4時(shí)，m=")")=250,

4

這些電可用250天.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的定義、性質(zhì)與運(yùn)算，解答此類題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系,

然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式.

15.（2021?全國(guó)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）50kg的氣體裝在體積為的容器中，氣體的密度為pkg/m：寫(xiě)出密度

與體積間的關(guān)系式.

【答案】P=y

【分析】根據(jù)m=pV,結(jié)合條件即可得到反比例函數(shù)的關(guān)系式.

【詳解】解：

50

p~一

V

.”與U的函數(shù)關(guān)系式是。=

故答案為：P=y.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題列反比例函數(shù)解析式，現(xiàn)實(shí)生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個(gè)變量,

解答該類問(wèn)題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式.

16.（2021?全國(guó)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）市煤氣公司要在地下修建一個(gè)容積為104m3的圓柱形煤氣儲(chǔ)存室.

(1)儲(chǔ)存室的底面積S(單位：m2)與其深度d(單位：m)有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

(2)公司決定把儲(chǔ)存室的底面積S定為500m2,施工隊(duì)施工時(shí)應(yīng)該向地下掘進(jìn)多深？

(3)當(dāng)施工隊(duì)按(2)中的計(jì)劃掘進(jìn)到地下15m時(shí)，公司臨時(shí)改變計(jì)劃，把儲(chǔ)存室的深度改為15m,相應(yīng)地,

儲(chǔ)存室的底面積應(yīng)改為多少(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)？