第34練空間直線平面的垂直（精練基礎(chǔ)重難點(diǎn)）高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

第34練空間直線、平面的垂直（精練）

刷真題明導(dǎo)向

L（2023?北京?統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐產(chǎn)一力中，P4_L平面48C,PA=AB=BC=1,PC=瓦

⑴求證：8CJ.平面為8；

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

【分析】（1）先由線面垂直的性質(zhì)證得R4_LBC,再利用勾股定理證得8c_LP8,從而利用線面垂直的判

定定理即可得證；

【詳解】（1）因?yàn)槠矫媪C,5Cu平面48C,

所以尸4_LBC,同理

所以△P48為直角三角形，

又因?yàn)镻B=dPA、AB2=6，BC=1,PC=C，

所以尸父+3。2=尸。2,則APBC為直角三角形，故BCtPB,

又因?yàn)?c上PX,PAf}PB=Pt

所以3C工平面P/18.

2.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱44G中，4。，平面48C,N4c8=90。.

（1）證明：平面4CC/~L平面88℃；

【答案】（1）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）由4。，平面48C得4c_L3C,又因?yàn)榭勺C8cl平面4CG4,從而證得平面

/CCM?平面8CC￡；

【詳解】（1）證明：因?yàn)?c■!?平面48C,BCu平面48C,

所以4c

又因?yàn)?/C8=9（r,即4C18C,

4C,/Cu平面ACC/，A{Cr\AC-C,

所以6c人平面4CCM，

又因?yàn)锽Cu平面8CC￡,

所以平面4CG4平面BCC￡.

3.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐人一中，DA=DB=DC,BD1CD,N4DB=N4DC=60°,

E為BC的中點(diǎn)、.

（1）證明：BCLDA；

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

【分析】（1）根據(jù)題意易證8c4平面49E,從而證得8CJ.D4；

【詳解】（1）連接/瓦OE,因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，DB=DC,所以O(shè)￡_L8C①，

因?yàn)镈4=DB=DC,NADB=N4DC=60、所以△4。與△480均為等邊三角形，

；.AC=ABt從而/E_L8C②，由①②，AECDE=E,彳瓦OEu平面4OE,

所以，BC上平面4DE,而AOu平面40E,所以8C_LZM.

4.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）如圖，已知488和C￡＞此尸都是直角梯形，A3//DC,DC//EF,48=5,

DC=3,EF=\,ZBAD=ZCDE=60°,二面角尸一OC-8的平面角為60。.設(shè)M,N分別為的中

點(diǎn).

（1）證明：FN1AD；

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

［分析］（1）過(guò)點(diǎn)E、D分別做直線DC、AB的垂線EG、DH并分別交于點(diǎn)G、"，由平面知識(shí)易得內(nèi)。=BC,

再根據(jù)二面角的定義可知，NBC尸=60',由此可知，F(xiàn)N1BC,/W_LC。，從而可證得FN_L平面MC。，

即得尸N_L4O；

【詳解】（D過(guò)點(diǎn)E、。分別做直線QC、48的垂線EG、并分別交于點(diǎn)G、H.

???四邊形48C。和EFCO都是直角梯形，ABUDC,CDUEF,AB=5,DC=3,EF=\,NBAD=NCDE=60。,

由平面幾何知識(shí)易知，DG=AH=2,ZEFC=ADCF=ADCB=ZABC=90°,則四邊形EFCG和四邊形

DC8H是矩形，?,?在RtaEG。和Rt△。/￡4,EG=DH=郎，

?:DCtCF,DC1CB,且CFcCB=C,

???DC1平面BCF/BCF是二面角F-DC-B的平面角，則NBCF=60°,

???△6CF是正三角形，由OCu平面/BCD,得平面48C。/平面8。/，

??^N是BC的中點(diǎn)，???尸N1BC,又OC_L平面FNu平面BCF,可得在V1CZ）,而B(niǎo)CcCO=C,

???EVJ_平面48C。，而4Ou平面48CZ）.?.尸N_L4O.

5.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體488中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,￡?為力。的中

點(diǎn)?

⑴證明：平面平面4c

【答案】⑴證明詳見(jiàn)解析

【分析】（T）通過(guò)證明4C_L平面片EQ來(lái)證得平面2EOJ■平面/CZ）.

【詳解】（1）由于40=8,E是AC的中點(diǎn)，所以

AD=CD

由于3。=3。,所以AADB=ACDB,

NADB=NCDB

所以AB=CB,故彳C_L6E,

由于DEcBE=E,DE,BEu平面BED,

所以4C_L平面6EO,

由于ACu平面48,所以平面B瓦）_L平面力CD.

6.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在四棱錐尸-48co中，尸。JL底面

ABCD,CD〃AB,AD=DC=CB八AB=2,DP=6.

（1）證明：BD1PA；

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

【分析】（1）作于￡,CFJ.AB于F,利用勾股定理證明4。［8。，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得

PDA.BDf從而可得8。4平面H4O,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

【詳解】（1）證明：在四邊形48CQ中，作OE/45于E,CF工4B于F,

因?yàn)镃DI/AB,AD=CD=CB=T,AB=2,

所以囚邊形488為等腰梯形，

所以4E=BF=；,

故DE=2,BD=<DE'+BE?=百，

2

ffi^AD2+BD2=AB2，

所以ADJ.BD,

因?yàn)槭_平面488,8Z）u平面48CD,

所以尸。J_80,

又PDcAD=D,

所以301平面0力0,

又因?yàn)镻4u平面尸4）,

所以8O1E4；

7.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體9中，ADICDyAD=CDy/ADR=/RDC,K為4c的中

點(diǎn).

⑴證明：平面8￡O_L平面NCZ）；

【答案】⑴證明過(guò)程見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)己知關(guān)系證明得到力〃=。8,結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，

結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；

【詳解】（1）因?yàn)榱Α?。，E為4C的中點(diǎn)，所以"_LQE；

在AABD和△C8。中，因?yàn)锳D=CD,NADB=ZCDB,DB=DB,

所以△ABDqACBD,所以4B=CB,又因?yàn)镋為力C的中點(diǎn)，所以4CJ_BE；

又因?yàn)槠矫鍰EcBE=E,所以力C_L平面BE。，

因?yàn)锳Cu平面力。，所以平面8E0_L平面力CO.

8.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在四楂錐。-48。。中，底面48。。是正方形，若40=2,。。=04=石,0。=3.

（1）證明：平面平面46C。；

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

【分析】（1）取力。的中點(diǎn)為O,連接。。,。。，可證。。，平面力8CO,從而得到面。力。，面力8CQ.

Q

（1）取4。的中點(diǎn)為。，連接。。,。。.

因?yàn)?4=。。，OA=ODf則。

而AD=2,QA=后,故00=7^1=2.

在正方形力8C。中，因?yàn)榱Α?2,故。0=1,故8=亞,

222

因?yàn)?c=3,^QC=QO+OCf故40。。為直角三角形且。。，0C,

因?yàn)?。。/。=。，故。。，平面ZBC。，

因?yàn)?Ou平面Q4。，故平面_L平面48。.

9.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，AB=BC=2,E,F

分別為4c和CG的中點(diǎn)，。為棱4片上的點(diǎn).BF1

（1）證明：BFIDEi

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

【分析】（D方法二：通過(guò)已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間

向量證明線線垂直；

【詳解】（1）［方法一］:幾何法

因?yàn)镸_L44,44〃四，所以8尸_148.

又因?yàn)楣E】，BFcBBi=B，所以4B上平面8CC￡.又因?yàn)?8=BC=2,構(gòu)造正方體ABCG,

如圖所示，

過(guò)E作彳8的平行線分別與4G,BC交于其中點(diǎn)M,N,連接再N,

因?yàn)镋,F分別為/C和CG的中點(diǎn)，所以N是BC的中點(diǎn)，

易證RL8C產(chǎn)=Rt^gBN,則ZCBF=ZBB、N.

又因?yàn)閆BRN+4NB=XP,所以ZCBF+ZB\NB=YP,BF1B、N.

又因?yàn)樗?4,4義「144=4,所以8/，平面4MN4.

又因?yàn)镋Ou平面4MMJL所以BF工DE.

［方法二］【最優(yōu)解】：向量法

因?yàn)槿庵侵比庵?.831底面48C,??.回_1_期

???AB/AB,BFLAxB.t..BFLAB,又BBqBF=B,二4B上平面BCgB-所以848c,8片兩兩垂直.

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以848c,5以所在直線為XJ,N軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

.?.8（0,0,0）,4（2,0,0）0（0,2,0）,5,（0,0,2）,J,（2,0,2）,C,（0,2,2）,￡（l,l,0）,F（0,2,1）.

由題設(shè)。（凡0,2）（0<a<2）.

因?yàn)殪?（0,2,1）,52=（1-。,1,-2）,

所以麗.詼=0x（l-a）+2xl+lx（-2）=0,所以BFLDE.

［方法三］:因?yàn)?尸_144，ABJ/AB,所以故南方福=0,BF-AB=Q，所以

酢?麗=麗.（而+西+麗）mF?麗上療（而+網(wǎng)=麗.麗+而函

=研.軻一海＞旃麗“凈由一）翦麗麗.凈反+而.西

COSZF5C+|5F||^|COSZF^.="1XX^X2X-^+^-X2X-^.=0,所以BFJ.ED.

10.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖，四棱錐2-48co的底面是矩形，PO_L底面48。。，M為BC的中

點(diǎn)，且尸8JL4W.

（1）證明：平面P/M_L平面尸80；

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）立.

3

（分析］（1）由尸。1底面4BCD可得PDJ.AM,又PB1AM,由線面垂直的判定定理可得AM1平面PBD,

再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面PAM1平面PBD;

【詳解】（1）因?yàn)镻Q_L底面力8CO,4Mu平面”CO,

所以PDJ.4M,

又PBtAM,PBf］PD=P,

所以AM工平面尸80,

而4Wu平面RM/,

所以平面PAM1平面PBD.

11.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐力-8C。中，平面450_L平面BCD,AB=AD,0為80的

中點(diǎn).

（1）證明：OALCDx

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；（2）3.

6

【分析】⑴由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可;

【詳解】（1）因?yàn)樵翨=AD,。是8。中點(diǎn)，所以O(shè)/_L8O,

因?yàn)?4u平面/80,平面力8。平面8CD,

且平面/3。1n平面88=8￡>,所以。41平面BCD.

因?yàn)镃Ou平面8c。，所以。4_LC0.

【A組在基礎(chǔ)中考查功底】

一、單選題

1.己知〃?，〃是不同的直線，a,B是不同的平而，則下列條件能使〃_La成立的是（）

A.a±p.B.a〃B.〃_LB

C.a_L0,〃〃BD.m//a.,nA.m

【答案】B

【分析】〃J_a必有〃平行a的垂線，或者〃垂直a的平行平面，依次判定選項(xiàng)即可.

【詳解】a_LB，mcp,不能說(shuō)明〃與a的關(guān)系，A錯(cuò)誤；

a〃B，〃_LB能夠推出〃_La,B正確；

a±p,〃〃?？梢缘玫健ㄅc平面a平行、相交或在平面a內(nèi)，所以C不正確；

m//at〃_L〃i則〃與平面a可能平行，所以D不正確.

故選:B.

2.設(shè)〃?，〃是兩條不同的直線，a,B，/是三個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）

A.若a〃6,mua,nu。,則

B.若aA.0,mua,nu0,則

C.若nA.J3ta_L夕，則

D.若a_Ly,0M,則夕

【答案】C

【分析】ABD選項(xiàng)，可以舉出反例，C選項(xiàng)，可以利用面面垂直的性質(zhì)進(jìn)行證明

【詳解】A選項(xiàng)，若ai/,mua,〃u〃，則故〃〃或肛〃異面，A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，如圖，

滿(mǎn)足a_L〃，機(jī)ua,nu°,而加〃〃，故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，因?yàn)閍_L/7,設(shè)ac夕=a,bua,6_L〃，

所以人,夕，因?yàn)椤?，夕，所以b"n,

因?yàn)榧觃La,bua,所以/w_Lb,則加_L〃，

C正確；

D選項(xiàng)，如圖，

滿(mǎn)足a_Ly,0工y,而a_L￡,D錯(cuò)誤.

故選：C

3.已知直線/上平面。，有以下幾個(gè)判斷：

①若冽1/,則"?〃a；

②若加_La,則m/〃；

③若mMa.則±/：

④若用/〃，則〃?_La；

上述判斷中正確的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】B

【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系，線面垂直的性質(zhì)定理，線面平行的性質(zhì)定理及線面垂直的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即

得.

【詳解】對(duì)于①，當(dāng)〃?u平面a也可以有小_U,但m不平行于平面a,故①錯(cuò)；

對(duì)于②，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知②正確；

對(duì)于③，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得存在〃<=a且"〃〃.而直線//平面a,故可根據(jù)線面垂直的性質(zhì)

得出/_!_〃，故/J■加正確；

對(duì)于④，根據(jù)直線/1平面。，可在平面a內(nèi)找到兩條相交直線p,n,且/又相〃，，所以〃?_Lp,

加_L〃，故根據(jù)線面垂直的判定定理可知，機(jī)_La正確.

即②③④正確.

故選：B.

4.己知直線加、〃，平面a、B,滿(mǎn)足=〃且。，夕，則“〃?_L夕"是"陽(yáng)J.〃〃的（）條件

A.充分非必要B.必要非充分條C.充要D.既非充分又非必要

【答案】A

【分析】利用空間中的垂直關(guān)系和充分條件、必要條件的定義進(jìn)行判定.

【詳解】因?yàn)閍n/=〃，所以〃u〃，

又因?yàn)殛?yáng)所以m_L〃，

即“加J.夕”是“加”的充分條件；

如圖，在長(zhǎng)方體中，設(shè)面48CO為面面BCEF為面0,

則〃?1〃，且〃?與面夕不垂直，

即“J■夕"不是"刑1的必要條件；

所以_LQ〃是“加1〃”的充分不必要條件.

故選：A.

5.設(shè)〃?，〃是兩條不同的直線，。是一個(gè)平面，則下列命題中正確的是（）

A.若陽(yáng)_La,〃ua,則機(jī)_[.〃B.若m//a,nila,則機(jī)_L〃

C.若m_La.mln,則n//aD.若mJ/a.ni1n,則"_La

【答案】A

【分析】根據(jù)空間線線、線面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)線面垂直的定義可知，若〃?_La,〃ua,則機(jī)，〃，A選項(xiàng)正確.

B選項(xiàng)，若nila,則叫"可能平行，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)，若加"La,m_L〃，則〃可能含于平面。，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，若m//a,m_L〃，則〃可能含于平面a,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A

6.已知加，〃是兩條不同的直線，%人/是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）

A.mJ/a,n//a,則〃

B.m//n,m//a,貝!]〃〃a

C.mVa.mLp,則a//p

D.aA-Y.p1/,則a〃夕

【答案】C

【分析】根據(jù)孫〃的關(guān)系可判斷A,根據(jù)直線與平面的關(guān)系可判斷B,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷C,根據(jù)面

面垂直的概念判斷D.

【詳解】對(duì)A,m//a,n//af則小〃〃，相交，異面和平行都有可能，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,tn//n,m//a,則可能〃ua,〃〃a,故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知相_La,〃?_LP時(shí)，a//pt故C正確；

對(duì)D,?!/,/?!/,則可能a1相交，也可能平行，故D錯(cuò)誤.

故選：C

7.已知/是直線，a,尸是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是（）

A.若/〃a,〃/,則a〃/?

B.若a工0,I"a,則/?）?萬(wàn)

C.若/_La,H/,則萬(wàn)

D.若/_La,a10,則〃/

【答案】C

【分析】根據(jù)空間中線面的位置關(guān)系一一判定即可.

【詳解】

如圖所示正方體力8C。-EFGH中，

對(duì)于A項(xiàng)，若/=EG,a為平面力BCO,￡為￥面4DHE,符合A條件，但兩平面不平行，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，若/=FG,a為平面4BCD,0為平面4DHE,符合B條件，但線與面夕不垂直，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于D項(xiàng)，若/=力瓦。為平面48CZ）,0為平面ADHE,符合D條件，但1u￡,故D錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)/在月上的投影為加，貝1“〃叫〃?uQ,由線面垂直的性質(zhì)可知陽(yáng)_L。，

再由面面垂直的判定可得a_L4,即C正確.

故選：C

8.a6,表示平面，/為直線，下列命題中為真命題的是（）

A.a工丫,。上y=aH。B.a1/

C.aLy,aIy?=/=>/±/D.a〃八夕//5,a_L￡

【答案】C

【分析】借助長(zhǎng)方體模型，結(jié)合線面垂直的判定定理、面面平行的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】A：在長(zhǎng)方體44GA中，設(shè)/表示平面/8CQ,

a,夕分別表示平面ARDA和平面D￡CD,顯然滿(mǎn)足a_L八/_L九

但是a_L〃，因此本選項(xiàng)不正確；

B：在長(zhǎng)方體力次a-48cA中，設(shè)/表示平面8CCM，

a,6分別表示平面gDA和平面ABCD,顯然滿(mǎn)足aA.0,/3工7,

但是。//，，因此本選項(xiàng)不正確；

C：設(shè)。07=帆,夕口7=〃，

設(shè)點(diǎn)0是平面V任意一點(diǎn)，在平面7內(nèi)過(guò)O做。41〃?,。81〃，垂足為48,

因?yàn)閍_Ly,aA/=m,OALm.OA^yt

所以。4J_a,而所以CM_L/,同理O8_L/,

而0力0。8=0。408匚7,所以/_Ly,因此本選項(xiàng)正確；

D：在長(zhǎng)方體48CO—48cA中,

。/，九6分別表示平面4￡GA、平面44。彳、平面力8C。、平面BCC4,

顯然滿(mǎn)足a//y,/〃b,a_L/?,但是因此本選項(xiàng)不正確，

故選：C

二、多選題

9.設(shè)機(jī)，〃為不重合的兩條直線，a,夕為不重合的兩個(gè)平面，下列命題正確的是（）

A.若加//0且〃//a,則機(jī)〃〃；B.若〃?_La且〃_La,則機(jī)//〃；

C.若m//a且機(jī)/R,則。///?；D.若〃?J_a且/〃則a//￡.

【答案】BD

【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系和面面的位置關(guān)系可以得出答案.

【詳解】解：A：若且〃〃a,則m,〃可能相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；

B：若小J_。且〃J_a,根據(jù)垂直于同一平面的兩直線互相平行，故B正確；

C：若m//a且加〃夕，根據(jù)面面的位置關(guān)系定義可得。與夕可能平行也可能用交，故C錯(cuò)誤；

D：若〃?_La且小，夕，根據(jù)面面平行的判定可知垂直于同一直線的兩平面互相平行，故D正確.

故選：BD

10.已知直線/和不重合的兩個(gè)平面。，夕，且/ua,下列命題正確的是（）

A.若/〃則a〃￡B.若?！▌t/〃/

C.若U0,則戶(hù)D.若a工0,貝心，夕

【答案】BC

【分析】結(jié)合面面平行的判定定理、面面平行的定義、面面垂直的判定定理和面面垂直的性質(zhì)定理可分別

判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A,由/〃夕可得a與夕平行或相交，故錯(cuò)誤;對(duì)于B,若?！ㄏΓ瑒t由面面平行的定義可得/〃）,

故正確；對(duì)于C,若",則由面面垂直的判定定理可得故正確；對(duì)于D,當(dāng)al■夕時(shí)，I可能在尸

內(nèi)，可能與夕平行，也可能與尸相交，所以不一定有■夕，故錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.設(shè)有三條不重合直線a,b,c和三個(gè)不重合平面民丁,則下列命題中正確的有（）

A,若a//c,b//c則a//bB.若。_1_。，6_Lc,則a_L6

C.若夕///則a//?D.若a_Ly,夕_1_/則。_1_夕

【答案】AC

【分析】根據(jù)平行的傳遞性可判斷A,根據(jù)空間直線的位置關(guān)系可判斷B,根據(jù)平行面的傳遞性可判斷C,

根據(jù)面面之間的位置關(guān)系可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由平行線的傳遞性可知，若a//c,b//c,則所以A正確，

對(duì)于B,若。，。/，。，則。與6可能平行，可能相交，也可能異面，所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,根據(jù)平行面的傳遞性可知，若。*人/?///,則。/力，所以C正確，

對(duì)于D,若。_1八4_1九則可能平行，也可能相交，所以D錯(cuò)誤，

故選：AC.

12.已知空間中兩個(gè)不同的平面a,尸，兩條不同的直線嘰〃滿(mǎn)足mua,〃u￡,則以下結(jié)論正確的是（）

A,若m_L〃，則aJ?夕B.若?！ā?則加〃〃

C.若見(jiàn)〃相交，則相交D.若心0,則夕

【答案】CD

【分析】利用空間中線線、線面關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】A選項(xiàng)，如圖所示：mua,〃u/，mlnf。與尸有可能只是相交，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，如圖所示：若mua/u￡,a〃夕，加與〃有可能異面；

C選項(xiàng)，若川ua,〃up,相交，則￡一定相交，故C正確；

D選項(xiàng)，由面面垂直的判定定理即可得若利mua,則

故D正確.

故選：CD.

13.設(shè)孫〃為兩條不同的直線，。，夕為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.若機(jī)則加_La

B.若小〃〃，m〃a,〃〃/7,則a〃夕

C.若a〃夕，機(jī)ua,〃u/，則

D,若m_L_La,〃/，則a1.p

【答案】ABC

【分析】根據(jù)直線與直線、平面與平面、直線與平面的位置關(guān)系以及面面垂直的判定定理進(jìn)行判斷.

【詳解】對(duì)于A,若小則“與a平行、相交或Mua,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若加〃〃，加〃a,〃〃萬(wàn)，則。與乃相交或平行，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若a〃B,mua、nuB,則機(jī)與〃平行或異面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若加_L〃，機(jī)■夕，則由面面垂直的判定定理得。，夕，故D正確.

故選：ABC.

14.已知直線加、〃，平面a、0,給出下列命題，其中正確的命題是（）

A若膽_La,〃_L￡.且切_L”,則白_L￡

B.若/n||a,afl4=〃，則m//n

C.若機(jī)_La,nl/p,且m_L〃，則a_L/?

D.若m_La,nilp,且m//n,則aA.p

【答案】AD

【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的性質(zhì)定理與判定定理一一判定即可.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，?機(jī)〃。或〃ua,又〃1夕，故A正確；

對(duì)于B項(xiàng)，如圖所示，在正方體4〃中，F(xiàn)H=m,面48c0=a,面BCHG=0,

顯然。口尸=8。，而FH與BC不平行，即B錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，

如上圖所示，在正方體4〃中，GB=m,面48C/）=a,AB=n,面FEHG二p,

顯然符合條件，而a〃尸，不垂宜，即C錯(cuò)誤：

對(duì)于D項(xiàng)，,加_La,/w〃％，”_La,又〃ll￡,Aa1/?,故D正確.

故選：AD

三、填空題

15.已知平面a,尸和直線〃7,給出條件：①“〃a；②機(jī)"La；③機(jī)ua：④a〃6.當(dāng)滿(mǎn)足條件時(shí),

有（選填其中的兩個(gè)條件）

【答案】②④

【分析】由于當(dāng)一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)時(shí)，此直線也垂直于另一個(gè)平面，由此能求出結(jié)果.

【詳解】解：；由于當(dāng)一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)時(shí)，此直線也垂直于另一個(gè)平面，結(jié)合所給

的選項(xiàng)，故由②④可推出小，夕.

即②④是mJ?〃的充分條件，

..滿(mǎn)足條件②④時(shí)，有，〃

故答案為：②④.

16.已知a，尸表示兩個(gè)不同的平面，加為平面a內(nèi)的一條直線，則“a_L夕”是的條件

【答案】必要不充分

【分析】根據(jù)直線和平面的位置關(guān)系以及充分必要條件的定義可判斷.

【詳解】若。_1"，加與面￡不一定垂直，

若m工。,根據(jù)面面垂直的判定定理可得。，夕,

故答案為：必要不充分.

17.已知巴夕是兩個(gè)不同的平面，肛〃是平面a及￡之外的兩條不同的直線，給出下列四個(gè)論斷：

①〃？_L〃；②a_L/；③〃_1_尸；④m_La.

以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：.（用序號(hào)表示）

【答案】①③④二②（或②③④=①）

【分析】已知①③④時(shí)，將叫〃平移到相交位置，根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)以及直二面角的定義可推

出②；已知②③④時(shí)，根據(jù)直二面角的定義可推出①.

【詳解】若m~L〃，zz1/y,m.La,則a_L￡.

證明：過(guò)平面。和平面戶(hù)外一點(diǎn)P,作尸產(chǎn)力交a于A,作尸8//〃，PB交B千B,

則E4J_a,PB>B,PA人PB,

顯然。與￡不平行，設(shè)afl夕=/,則以JJ,PBJJ,

因?yàn)?0尸8=尸，P4PBu平面P4B,所以//平面P48,

延展平面248交/于點(diǎn)A/,連4乩貝!/1t

則NAMB是二面角a-1-p的一個(gè)平面角，

因?yàn)镻/_La,所以414W,同理有

又PA工PB,所以四邊形尸4W3為矩形，貝IJ/

則平面a和平面月形成的二面角的平面角直二面角，故

若aJ■力，〃~L夕，mLaf則/〃_L〃.

證明：因?yàn)閍_L〃，所以a與4所成的二面角為90。，

因?yàn)椤╛1_夕，m_L。，所以直線加，〃所成的角也為90°,即小A.

若m1〃,aA.fl,nLp,則加與a相交或zn//a或〃?ua.

若掰1〃，a工。，mLa,則〃與a相交或〃//a或〃ua.

故答案為：①③④二②（或②③④=①）.

18.已知切、/是直線，a、”是平面，給H下列命題：

①若/垂直于〃內(nèi)兩條相交直線，則/_La；

②若/平行于原則/平行于。內(nèi)所有的直線；

③若mua,/uP且/_!_〃？，則a_L/?；

④若iu夕且/JL。，則■夕：

⑤若掰ua,/u夕且則/〃機(jī).

其中正確命題的序號(hào)是.

【答案】①④

【分析】對(duì)于①，考慮直線與平面垂直的判定定理，符合定理的條件故正確；對(duì)于②⑤，可舉出反例;

對(duì)于③考慮aJ■夕的判定方法，而條件不滿(mǎn)足，故錯(cuò)誤；對(duì)于④符合面面垂直的判定定理，故正確.

【詳解】對(duì)于①，由線面垂直的判斷定理可知，若I垂直于a內(nèi)的兩條相交直線，貝故①正確,

對(duì)于②，若///。，如圖1,

可知，/與。是異面關(guān)系，故②不正確，

對(duì)于③，若mu%且11%無(wú)法得到/_La,故無(wú)法得到。，夕，故③不正確，

對(duì)于④，根據(jù)面面垂直的判斷定理可得，若/u4且/_L。，，則故④正確，

對(duì)于⑤，如圖2,滿(mǎn)足mua,/u"且a〃/，則/，加異面，

故⑤不正確，

故正確命題的序號(hào)是①④.

故答案為：①④

四、解答題

19.已知正方體力88的棱長(zhǎng)為2.

⑴求三棱錐4-G8O的體積；

⑵證明：AC.A.BD,

4

【答案】⑴§

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】（1）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求匕Y8D即可；

（2）根據(jù)線面垂直證明線線垂直.

【詳解】（1）在正方體ABCD44G。］中，易知GCJ?平面ABD,

??匕-，朋=憶-加=（/X2x2）x2=—.

（2）證明：在正方體4BCD-中,易知5O_L/C,

平面ABD,80u平面ABD,ACyC±BD.

又???GCc/C=C,CC、4Cu平面4CG，???BD_L平面/CG.

又％Gu平面/CG，AAC.LBD.

20.如圖，在三棱錐尸一48c中，尸C_L底面力8C,ABJ.BC,D,E分別是48,尸8的中點(diǎn).

⑴求證：OE〃平面R1C；

(2)求證：AB1.PB

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(D根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到OE//H,即可得證；

(2)由線面垂直的性質(zhì)得到PC_L48,再根據(jù)即可得到2平面P8C,即可得證.

【詳解】(1)??,點(diǎn)D、E分別是棱AB、PB的中點(diǎn)，

???DEIIPA,

又???/)￡a平面產(chǎn)Xu平面以C；

????！辍ㄆ矫鍾4c.

(2)???PC_L底面N8C,49u底面45C,

:?PC工AB,

*：ABIBCtPCcBC=C,尸C,BCu平面P8C,

???彳8/平面P8C,

又???P8u平面產(chǎn)力8,

:.ABLPB.

21.如圖，長(zhǎng)方體力BCD-44GA中，底面力8co是正方形.

⑴求證：BQi〃平面BDG；

(2)求證：4。_1_平面4。。/.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)得到四邊形防0⑷為平行四邊形，則BD//BU，即可得證；

(2)依題意可得與A_L4C,再由線面垂直的性質(zhì)得到瓦。144,即可得證.

【詳解】(1)在長(zhǎng)方體48。-44GA中，BBJ/DD總BB、=DD\,

所以四邊形網(wǎng)為平行四邊形，所以BD//BQ、,

因?yàn)?。平面8OG，8Ou平面8OG，所以6a〃平面

(2)因?yàn)榈酌?5CO是正方形，所以42/8。，又BDHB\D\,所以用"_L4C,

又44,，平面4片。14,6Qu平面44CQ,所以用R_L44，

又4。044=彳，4C,44u平面/CC/,所以平面4c。/.

22.所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐稱(chēng)為正四面體，如圖，在正四面體4—8CO中，求證：ABLCD.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】取C0的中點(diǎn)為M,連接4W,BM，根據(jù)線面垂直可得ABJ_CD.

取CO的中點(diǎn)為連接4M,BM,

因?yàn)樗拿骟w力一"A為正四面體，故△4CD為等邊三角形，

故4WJ.C。，同理8M_LC￡),

而4Wc8M=M,故CZ)_L平面MM,

因?yàn)?Bu平面故CZ)_L48.

23.婦圖，在三棱錐P-ABC中,P8=PC,AB=AC,DfE分別是BC,尸占的中點(diǎn).

⑴求證：DE〃平面P4C;

⑵求證：1平面P4).

【答案】⑴見(jiàn)解析，

(2)見(jiàn)解析.

【分析】⑴根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行；

(2)根據(jù)線面垂直的判定定理證明線面垂直.

【詳解】(1)證明：由題知D,E分別是5cp8的中點(diǎn),.：。號(hào)|尸C,

???OEU平面尸4G尸Cu平面HC,

.?.O￡〃平面R4C,得證；

(2)證明：由題知尸8=PC,48=/C,D是6c的中點(diǎn)，

/.PD1BC.AD1BC,

?/PDu平面PAD,ADu平面PAD且尸￡>cAD=D,

故8。工平面尸得證.

24.如圖所示，在四棱錐P-48C。中，底面488為平行四邊形NCD4=45，AD=AC=\t。為中

點(diǎn)，P0上平面4BCD,P。=2,M為PD中點(diǎn).

⑴證明：尸3〃平面XCM；

⑵證明：平面力1O_L平面4C.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）利用直線和平面平行的判定定理即可證明；

（2）利用平面和平面垂直的判定定理即可證明；

【詳解】（1）證明：連接8。、MO,在平行四邊形力88中，0為AC、8。的中點(diǎn)，

?:M為PD中點(diǎn),:.PBHMO,

又?.,P5a平面/CM,MOu平面力CM,

???P8//平面ZCM；

（2）證明：???/。。4=45°，且40=/C=l,

；?NDAC=90,,即D4JL4C,

,.?尸。工平面彳BC0,4Ou平面48C。，，尸

?：AC[}PO=O,AC.POu平面P4C,???4）_L平面P4C,

又?.?4Ou平面P4O,???平面P4）_L平面4C.

25.如圖，在三棱錐產(chǎn)一48。中，平面48C,PCLAB,O,E分別為BC,4C的中點(diǎn).求證：

⑴初〃平面PQE；

⑵平面48_L平面尸4c

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解

（2）證明見(jiàn)詳解

【分析】（1）根據(jù)條件知，DE//AB,利用線面平行的判定定理即可證明；

（2）首先證明48工平面尸利用面面垂直的判定定理即可證明.

【詳解】（1）在』BC中，。，七分別為8C,4C的中點(diǎn)，

則DE//AB，又AB?平面PDE,DEu平面PDE,

則48〃平面?0瓦

(2)因?yàn)镽4_L平面4SC,/Nu平面48C,

所以P力士4B,又PC上4B,且產(chǎn)力小尸。=2,尸4尸。匚平面尸力。，

所以48工平面PAC,又ABu平面ABC,

所以平面PAB1平面PAC.

26.如圖，在直三棱柱"C-DM中，AC=BC=2,初=2舊彳。=4,M,N分別為4O,C尸的中點(diǎn).

⑴求證：4V工平面BCW；

3

(2)設(shè)G為地上一點(diǎn)，且BG—BE,求點(diǎn)G到平面8cM的距離.

4

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)華

2

【分析】(1)根據(jù)4。2+8。2=482得力C/5C,并且得出四邊形為正方形，進(jìn)而即可求證；(2)利

用等體積法的思想求點(diǎn)到平面的距離.

【詳解】(1)證明：在宜三棱柱彳BC-。即中，AC=BC=2,止26，力。=4,M,N分別為42c戶(hù)的

中點(diǎn)，

221

?：AC=BC=2,AB=2>/2,:.AC+BC=AB,^AClBCt

又力8C-OEF是直三棱柱，

所以4)_L平面48C,8Cu平面48C,所以4O/8C,

力。,力。<=平面彳677),4。04。=彳，

???8。/平面4CED,4Nu平面4CQ,則8cd.4V,

???","分別為4。,。產(chǎn)的中點(diǎn)，且4。=4,"=2,

???四邊形4CMN為正方形，則CM1/N,又8cleM=C,

BC,CMu平面BCM,:.AN1平面BCM；

(2)由(1)知，即4c28C,又”C-OEE是直三棱柱，，力C_L平面8c五E,

:.MA〃FC,則點(diǎn)M到平面GBC的距離即為4c=2,

**?VG-iCM=VM-BCG=8Gze=\x2x3x2=2,

由(1)知，BC工CM,且CM=26，，S.BCM=；x2x24=2m

設(shè)點(diǎn)點(diǎn)G到平面BCM的距離為〃，則曝3cM=？x2向，，!X2V^=2,貝加=逑，

332

即點(diǎn)點(diǎn)G到平面BCM的距離為逆.

2

27.婦圖，在四棱錐尸一”。0中,四邊形48c0是菱形，弘”為P8的中點(diǎn).求證：

⑴尸。〃平面4EC;

(2)平面4EC_L平面PBD.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)設(shè)/Cn8O=。,連接EO,根據(jù)中位線可得00〃EO,再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；

⑵根據(jù)PA=PC可得AC1尸O,根據(jù)四邊形MCD為菱形，可得AC180,再根據(jù)線面垂直的判斷定理可得

ACJ_平面PBD，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得出結(jié)果.

【詳解】(D設(shè)力Cn8O=O,連接￡0,如圖所示：

因?yàn)?,E分別為6。，尸6的中點(diǎn)，所以「?！ā?。，

又因?yàn)槭??？谄矫?EC,EOu平面NEC,

所以PO〃平面/EC.

(2)連接尸0,如圖所示：

因?yàn)镻/=PC,0為4c的中點(diǎn)，所以4C_LP。，

又因?yàn)樗倪呅?8co為菱形，所以4c工8。，

因?yàn)镻Ou平面PBD,BDu平面PBD，且POPlBQ=O,

所以平面P8O,又因?yàn)?Cu平面N￡C,

所以平面AEC1平面PBD.

28.如圖，已知三棱柱4804及G的側(cè)棱垂直于底面，N8力C=90。.求證：AB1AC,.

【答案】證明見(jiàn)解析.

【分析】由題可得力4,44,ABJ.AC,然后根據(jù)空間向量的數(shù)量積結(jié)合條件可得藕?麗=0,進(jìn)而即

得.

【詳解】因?yàn)?4，平面48C,Z5JC=90°,48u平面48C,

所以4%上/B,AB1AC,

因?yàn)槠?四+工，

所以福?刀=(怒+衣)?荏=怒?荏+太?荏=0,

所以，否1方，即4814G.

29.如圖，在直三棱柱4461G中，AC=3tBC=4,48=5,點(diǎn)。是45的中點(diǎn).

(1)證明：ACVBC.,

(2)證明：彳CJ/平面CD4.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)已知條件證明力C_L平面8CC罔，再通過(guò)線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直；

(2)設(shè)CB、CGB=E,根據(jù)條件得到O￡//4G，再結(jié)合線面平行的判定定理證明即可.

【詳解】(1)在直三棱柱4BC-中，CG_L平面力8C,

因?yàn)?Cu平面4BC,所以CG_L4C.

因?yàn)?C=3,BC=4t48=5,

所以=力爐，所以

又CCqBC=C,CG，5Cu平面BCCM，

所以4C_L平面8CG用，

因?yàn)锽C|U平面BCG4,所以4c_L8G

(2)設(shè)C4CG8=E,連接0E,

則E是8G的中點(diǎn)，

又因?yàn)?。是的中點(diǎn)，所以DEHAC,

因?yàn)??！陁平面8功，4&2平面。。4，

所以4CJ/平面84.

30.如圖，在四棱錐尸一力8a＞中，ACQBD=O,底面48co為菱形，邊長(zhǎng)為2,PC上BD,PA=PC,

且N/8C=60'，異面直線尸8與C。所成的角為600.

⑴求證:POJ■平面彳8C。；

⑵若E是線段OC的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線4尸的距離.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理、判定定理證明;

(2)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求點(diǎn)到直線的距離.

【詳解】(T)因?yàn)樗倪呅?BCD為菱形，所以4CU8。，

因?yàn)镻C，8。，尸。0%。=。,尸。,彳。匚平面4尸。，

所以8。/平面APC>

因?yàn)镻Ou平面力PC,所以8OJ.P。，

因?yàn)镻4=PC,。為4c中點(diǎn)，

所以PO_L4C,

又因?yàn)?CcBD=O,AC,BDuABCD,

所以PO1平面ABCD.

(2)以。為原點(diǎn)，方向?yàn)閤,%z軸方向，建系如圖，

因?yàn)锳B//CD,所以NPBA為異面直線PB,CD所成的角，

所以/尸加=60°,在菱形48c。中，48=2,

因?yàn)镹”C=60°,所以。4=1,08=6,

設(shè)尸O=a,則&+1,PB7a2+3,

在△P84中，由余弦定理得，PA2=BA2+BP2-2BA-BP-cos^PBA,

所以4+1=4+"+3-2x//+3,解得。=庭，

所以仰,T,0),8(6,0,0),C(0,l,0),P(0,0,76),￡(0,g,0),

uuriuur廠「iuur.府.uur.

BE=(-V3,-,0),5P=(-GO,向,|叫=號(hào)，網(wǎng)=3,

(uurA2----

JR-鼠商

所以點(diǎn)E到直線BP的距離為

31.