北京市海淀區(qū)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page14北京市海淀區(qū)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C.（ D.【答案】A【解析】【分析】要計算，則所得的集合的元素必是兩集合所共有的，然后驗(yàn)證即可.【詳解】將代入，得，所以；將代入，得，所以；將代入，得，所以；將代入，得，所以，所以.故選：A2.若實(shí)數(shù)、滿意，下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用作差法可推斷各選項中不等式的正誤.【詳解】因?yàn)?，則，故，A對B錯；，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，CD都錯.故選：A.3.已知關(guān)于的方程的兩根分別是，且滿意，則的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】依據(jù)韋達(dá)定理求解即可.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程的兩根分別是,故.故,解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)值域.【詳解】因在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，又，故，故的值域?yàn)?故選：C.5.已知，設(shè)，則函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】在同始終角坐標(biāo)系中畫出的函數(shù)圖象，依據(jù)的定義，即可求得其圖象.【詳解】在同始終角坐標(biāo)中畫出的函數(shù)圖象如下所示：依據(jù)的定義，上圖中實(shí)線部分即為的圖象.故選：C.6.已知，假如是的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出不等式的解集，由是的充分不必要條件確定的取值范圍.【詳解】由得，解得或，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以由能推出或，得；當(dāng)時由得不到.綜上：故選：B.7.設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】由f(x)為奇函數(shù)可知，＝<0.而f(1)＝0，則f(－1)＝－f(1)＝0.當(dāng)x>0時，f(x)<0＝f(1)；當(dāng)x<0時，f(x)>0＝f(－1)．又∵f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，∴奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．所以0<x<1，或－1<x<0.選D點(diǎn)睛：解函數(shù)不等式：首先依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為詳細(xì)的不等式(組)，此時要留意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi)8.已知函數(shù)，對一切實(shí)數(shù)，恒成立，則的范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由對一切實(shí)數(shù)恒成立，分，，利用判別式法求解.【詳解】因?yàn)?，對一切?shí)數(shù)，恒成立，當(dāng)時，，成立，當(dāng)時，，解得，綜上：的范圍是，故選：B9.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意可得函數(shù)在各段均是增函數(shù)且在斷點(diǎn)的左側(cè)的函數(shù)值不大于斷點(diǎn)右側(cè)的函數(shù)值，即可得到不等式組，解不等式組即可.【詳解】因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得，即故選：B10.設(shè)是定義在上的函數(shù)，若存在兩個不等實(shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)在上具有性質(zhì)，那么，下列函數(shù)：①；②；③；④具有性質(zhì)函數(shù)的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】依據(jù)性質(zhì)的定義，驗(yàn)證各函數(shù)或利用特別值求解即可.【詳解】任取兩個不等實(shí)數(shù)，①，，對隨意有，①正確；②當(dāng)均不為0且時，，，即存在有，正確；③，，令解得與題目沖突，錯誤；④當(dāng)時，，不妨令可得，故存在不等有，正確；綜上①②④正確，故選：D.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)的定義域?yàn)開___________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，求解分式不等式即可求得結(jié)果.【詳解】要使得函數(shù)有意義，則，即，且，解得，故的定義域?yàn)?故答案為：.12.若，，則的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】干脆依據(jù)不等式的性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，，即的取值范圍是，故答案為?13.我國南北朝數(shù)學(xué)家何承天獨(dú)創(chuàng)的“調(diào)日法”，是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法．其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)的不足近似值和過剩近似值分別為和（其中都是正整數(shù)，即，則是的更精確的不足近似值或過剩近似值，已知，令，則第一次用"“調(diào)日法”后得是的更為精確的過剩近似值，即，若每次都取最簡分?jǐn)?shù)，則第三次用“調(diào)日法"后，的更為精確的過剩近似值是___________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)“調(diào)日法”計算，每次計算出結(jié)果后要比較大小，得更加小的范圍．【詳解】由題意其次次用“調(diào)日法”后得是的更為精確的過剩近似值，即，第三次用“調(diào)日法”后得是的更為精確的過剩近似值，即故答案為：．14.設(shè)函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)，，滿意，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】畫出圖形，依據(jù)圖形分析可得，進(jìn)而求出范圍.【詳解】解：作出函數(shù)圖像如下互不相等的實(shí)數(shù)，，滿意不妨設(shè)，則關(guān)于對稱，所以依據(jù)圖像可得所以，所以的取值范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)或根或相交的狀況求參數(shù)有三種常用方法：（1）干脆法：干脆依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（2）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.15.華人數(shù)學(xué)家李天巖和美因數(shù)學(xué)家約克給出了“混沌的數(shù)學(xué)定義，由此發(fā)展的混沌理論在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會學(xué)領(lǐng)域都有重要作用．在混沌理論中，函數(shù)的周期點(diǎn)是一個關(guān)鍵概念，定義如下：設(shè)是定義在上的函數(shù)，對于，令，若存在正整數(shù)使得，且當(dāng)時，，則稱是的一個周期為的周期點(diǎn).給出下列四個結(jié)論：①若，則存在唯一一個周期為1的周期點(diǎn)；②若，則存在周期為2的周期點(diǎn)；③若，則存在周期為3的周期點(diǎn)；④若，則對隨意正整數(shù)，都不是的周期為的周期點(diǎn)．其中全部正確結(jié)論的序號是____________．【答案】①③④【解析】【分析】依據(jù)周期點(diǎn)的定義，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可推斷和選擇.【詳解】對①：，當(dāng)時，，解得，故存在唯一一個周期為1的周期點(diǎn)；對②：，當(dāng)時，，解得，但當(dāng)時，，不滿意題意，故，不存在周期為2的周期點(diǎn)；對③：，不妨取，則，，明顯存在周期為3的周期點(diǎn)；對④：，故對隨意正整數(shù)，都不是的周期為的周期點(diǎn).綜上所述，正確的是：①③④.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)新定義問題，處理問題的關(guān)鍵是充分把握周期點(diǎn)的定義，以及對函數(shù)性質(zhì)的敏捷應(yīng)用，屬綜合中檔題.三、解答題共6道大題，共55分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程，16.已知全集，集合，集合．（1）求集合及；（2）若集合，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1)解一元一次不等式求集合,再應(yīng)用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算求及.（2）由集合的包含關(guān)系可得，結(jié)合已知可得的取值范圍．【小問1詳解】由得：所以,由，所以，,所以.【小問2詳解】因?yàn)榍遥?，解?綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.已知函數(shù)．（1）推斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）單調(diào)遞減，證明見解析；（2）最大值和最小值分別為.【解析】【分析】（1）依據(jù)單調(diào)性的定義，結(jié)合已知條件，推斷并證明即可；（2）依據(jù)函數(shù)的奇偶性以及（1）中所得單調(diào)性，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】是上的單調(diào)減函數(shù)，證明如下：證明：在上任取，且，，因?yàn)?，故可得，，又，則，故，即，故在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，故是偶函數(shù)，依據(jù)（1）中所得在單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，明顯在也單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得最小值為，當(dāng)時，取得最大值為，故的最大值和最小值分別為.18.若二次函數(shù)滿意且.（1）求的解析式；（2）若在區(qū)間上，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)函數(shù)，依據(jù)，求得，再由，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）把不等式在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）設(shè)函數(shù)，因?yàn)?，可得，即，所以，又因?yàn)椋傻?，所以，解得，所?（2）由在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，其對稱軸為，所以在區(qū)間是減函數(shù)，，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.設(shè)，解關(guān)于x的不等式.【答案】答案見解析.【解析】【分析】首先分和兩種狀況探討，再當(dāng)時，不等式所對應(yīng)的一元二次方程的根的大小關(guān)系探討得不等式的解集.【詳解】解：（1）當(dāng)時，不等式可化為，解得，即原不等式的解集為.（2）當(dāng)時，方程的兩個根分別為2和，①當(dāng)時，解不等式得，即原不等式的解集為；②當(dāng)時，不等式無解，即原不等式的解集為；③當(dāng)時，解不等式得，即原不等式的解集為：；④當(dāng)時，解不等式得或，即原不等式的解集為{或}.20.經(jīng)檢測，餐后4小時內(nèi)，正常人身體內(nèi)某微量元素在血液中的濃度與時間滿意關(guān)系式：，服用藥物后，藥物中所含該微量元素在血液中的濃度與時滿意關(guān)系式：，現(xiàn)假定某患者餐后立即服用藥物N，且血液中微量元素總濃度等于為與的和．（1）求4小時內(nèi)血液中微量元素總濃度的最高值；（2）若餐后4小時內(nèi)，血液中微量元素總濃度不低于4的累積時長不少于2.5小時，則認(rèn)定該藥物治療有效，否則調(diào)整治療方案．請你推斷是否須要調(diào)整治療方案．【答案】（1）；（2）須要調(diào)整，理由見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件，求得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求該函數(shù)的最大值即可；（2）依據(jù)（1）中所求，令，求得累計時長，即可推斷.【小問1詳解】依據(jù)題意可得：，故當(dāng)時，，其最大值為；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，其最大值為；又，故當(dāng)時，的最大值為，即4小時內(nèi)血液中微量元素總濃度最高值為.小問2詳解】當(dāng)時，令，解得；當(dāng)時，令，解得；故血液中微量元素總濃度不低于4的累積時長為小時，須要調(diào)整治療方案.21.依據(jù)肯定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．設(shè)數(shù)列，已知，定義數(shù)表，其中列（1）若，寫出：（2）若是不同數(shù)列，求證：數(shù)表滿意“”的充分必要條件為“”；（3）若數(shù)列與中的1共有個，求證數(shù)表中1的個數(shù)不大于．【答案】（1）（2）見詳解（3）見詳解【解析】【分析】依據(jù)已知理解題意即可寫出依據(jù)證明充分性，依據(jù)，的不同取值證明必要性.探討的不同取值計算的第行中的個數(shù)，從而得出中的總數(shù)，利用基本不等式即可證明.【小問1詳解】由已知，，，，，故，故，同理可得，，，，，，，，所以【小問2詳解】若，由于，令：，故數(shù)列：由于從而有若