春新北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 全冊(cè)教案

第一章三角形的證明

【單元分析】

本章是八年級(jí)上冊(cè)第七章《平行線的證明》的繼續(xù)，在“平等線的證明”

一章中，我們給出了條基本事實(shí)，并從其中的幾條基本事實(shí)出發(fā)證明了有

關(guān)平行線的一些結(jié)論。運(yùn)用這些基本事實(shí)與已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的定理，我們還可

以證明有關(guān)三角形的一些結(jié)論。

在這之前，學(xué)生已經(jīng)對(duì)圖形的性質(zhì)及其相互關(guān)系進(jìn)行了大量的探索，探

索的同時(shí)也經(jīng)歷過(guò)一些簡(jiǎn)單的推理過(guò)程，已經(jīng)具備了一定的推理能力，樹(shù)

立了初步的推理意識(shí)，從而為本章進(jìn)一步嚴(yán)格證明三角形有關(guān)定理打下了

基礎(chǔ)。

【單元目標(biāo)】

.知識(shí)與技能

0等腰三角形的性質(zhì)與判定定理；

0直角三角形的性質(zhì)定理與判定定理；

.過(guò)程與方法

0會(huì)運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)與判定定理解決相關(guān)問(wèn)題；

0直角三角形的性質(zhì)定理與判定定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；

.情感態(tài)度與價(jià)值觀

0經(jīng)歷由情景引出問(wèn)題，探索掌握有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，再運(yùn)用于實(shí)踐的

過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力；

0感受數(shù)學(xué)文化的價(jià)值與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的成就，激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)祖國(guó)

與熱愛(ài)祖國(guó)悠久文化的思想感情。

【單元重點(diǎn)】

在證明過(guò)程中，進(jìn)一步感受證明過(guò)程，掌握推理證明的基本要求，明

確條件與結(jié)論，能夠借助數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言利用綜合法證明等腰三角形的性質(zhì)

定理與判定定理。

【單元難點(diǎn)】

明確推理證明的基本要求如明確條件與結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確表

達(dá)等。

【教學(xué)思路】

.對(duì)于已有命題的證明，教學(xué)過(guò)程中要注意引導(dǎo)學(xué)生回憶過(guò)去的探索、說(shuō)

理過(guò)程，從中獲取嚴(yán)格證明的思路；對(duì)于新增命題，教學(xué)過(guò)程中要重視學(xué)

生的探索、證明過(guò)程，關(guān)注該命題與其他已有命題之間的關(guān)系；對(duì)于整章

的命題，注意關(guān)注將這些命題納入一個(gè)命題系統(tǒng)，關(guān)注命題之間的關(guān)系，

從而形成對(duì)相關(guān)圖形整體的認(rèn)識(shí)。

.對(duì)于證明的方法，除了注重啟發(fā)與回憶，還應(yīng)注意關(guān)注證明方法的多樣

性，力圖通過(guò)學(xué)生的自主探索，獲得多樣的證明方法，并在比較中選擇適

當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>

.證明過(guò)程中注意揭示蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，如轉(zhuǎn)化、歸納、類(lèi)比等。

.作為初中階段幾何證明的最后階段,教學(xué)中應(yīng)要求學(xué)生掌握綜合法與分

析法證明命題的基本要求，掌握規(guī)范的證明表述過(guò)程，達(dá)成課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)證

明表述的要求。

【單元課時(shí)安排】

課題課時(shí)

等腰三角形課時(shí)

直角三角形課時(shí)

線段的垂直平分線課時(shí)

角平分線課時(shí)

回顧與思考課時(shí)

等腰三角形

【教學(xué)目標(biāo)】

.知識(shí)與技能

理解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容，應(yīng)用這些公理證明等腰三角形

的性質(zhì)定理C

?過(guò)程與方法

經(jīng)歷“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)證明是

探索活動(dòng)的自然延續(xù)與必要發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的

能力。

.情感態(tài)度與價(jià)值觀

啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)探索結(jié)論與證明結(jié)論，及合情推理與演繹的相互依

賴與相互補(bǔ)充的辯證關(guān)系。

【教學(xué)重點(diǎn)】

經(jīng)歷“探索——發(fā)現(xiàn)一一猜想——證明”的過(guò)程。

【教學(xué)難點(diǎn)】

用綜合法證明有關(guān)三角形與等腰三角形的一些結(jié)論。

【教學(xué)方法】

講授法

【課時(shí)安排】

課時(shí)

第一課時(shí)

【教學(xué)目標(biāo)】

?知識(shí)與技能

能夠借助數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言利用綜合法證明等腰三角形的性質(zhì)定理與判

定定理。

.過(guò)程與方法

經(jīng)歷“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)證明是

探索活動(dòng)的自然延續(xù)與必要發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能

力。

.情感態(tài)度與價(jià)值觀

啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)探索結(jié)論與證明結(jié)論,及合情推理與演繹的相互依

賴與相互補(bǔ)充的辯證關(guān)系。

【教學(xué)重點(diǎn)】

探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，掌握證明的基本要求與

方法。

【教學(xué)難點(diǎn)】

明確推理證明的基本要求如明確條件與結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確表

達(dá)等。

【教學(xué)過(guò)程】

教學(xué)過(guò)程教學(xué)隨筆

第一環(huán)節(jié)：回顧舊知導(dǎo)出公理

提請(qǐng)學(xué)生回憶并整理已經(jīng)學(xué)過(guò)的條基本事實(shí)中的條：

.兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩

條直線平行；

.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等；

.兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。；

.兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（）；

.三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。；

在此基礎(chǔ)上回憶全等三角形的另一判別條件：.（推論）

兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（），

并要求學(xué)生利用前面所提到的公理進(jìn)行證明；.回憶全等

三角形的性質(zhì)。

已知：如圖，zz,zz.

求證：△.

證明：???//"/（已知），

又,ZZZ°（三角形內(nèi)角與等于。）,

AZ°（ZZ）,

Z°（ZZ）,

AZZ（等量代換）。

又（已知），

（）o

第二環(huán)節(jié)：折紙活動(dòng)探索新知

在提問(wèn)：“等腰三角形有哪些性質(zhì)？以前是如何探索這

些性質(zhì)的，你能再次通過(guò)折紙活動(dòng)驗(yàn)證這些性質(zhì)嗎？并根

據(jù)折紙過(guò)程，得到這些性質(zhì)的證明嗎？”的基礎(chǔ)上，讓學(xué)

生經(jīng)歷這些定理的活動(dòng)驗(yàn)證與證明過(guò)程。具體操作中，可

以讓學(xué)生先獨(dú)自折紙觀察、探索并寫(xiě)出等腰三角形的性

質(zhì)，然后再以六人為小組進(jìn)行交流，互相彌補(bǔ)不足。

第三環(huán)節(jié)：明晰結(jié)論與證明過(guò)程

在學(xué)生小組合作的基礎(chǔ)上，教師通過(guò)分析、提問(wèn)，與

學(xué)生一起完成以上兩個(gè)個(gè)性質(zhì)定理的證明，注意最好讓兩

至三個(gè)學(xué)生板演證明，其余學(xué)生挑選其一證明.其后，教師

通過(guò)課件匯總各小組的結(jié)果以及具體證明方法，給學(xué)生明

晰證明過(guò)程。

0等腰三角形的兩個(gè)底角相等；

0等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高

三條線重合

第四環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)鞏固新知

學(xué)生自主完成第題：如圖（圖略），在△中是上的一點(diǎn),

且L,

0求證：△是等腰三角形；

0求/的度數(shù)。

第五環(huán)節(jié):課堂小結(jié)

讓學(xué)生暢談收獲，包括具體結(jié)論以及其中的思想方法

等。

第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

課本第頁(yè)習(xí)題第、題

【板書(shū)設(shè)計(jì)】

等腰三角形（一）

證明：???//,//（已知），

又,ZZZ°（三角形內(nèi)角與等于。）,

???//（等量代換）。

又（已知），

【教學(xué)反思】

第二課時(shí)

【教學(xué)目標(biāo)】

.知識(shí)與技能

進(jìn)一步熟悉證明的基本步驟與書(shū)寫(xiě)格式，體會(huì)證明的必要性。

,過(guò)程與方法

讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)證明是探索活動(dòng)的自然延續(xù)與必要發(fā)展，發(fā)展學(xué)生

的初步的演繹

邏輯推理的能力。

.情感態(tài)度與價(jià)值觀

體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

【教學(xué)重點(diǎn)】

用面積法驗(yàn)證勾股定理。

【教學(xué)難點(diǎn)】

用綜合法證明有關(guān)三角形與等腰三角形的一些結(jié)論。

【教學(xué)過(guò)程】

教學(xué)過(guò)程教學(xué)隨筆

第一環(huán)節(jié)：提出問(wèn)題，引入新課

在回憶上節(jié)課等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出問(wèn)題：

在等腰三角形中作出一些線段（如角平分線、中線、高等），

你能發(fā)現(xiàn)其中一

第二環(huán)節(jié):自主探究

在等腰三角形中自主作出一些線段（如角平分線、中

線、高等），觀察其中有哪些相等的線段，并嘗試給出證

明。

你可能得到哪些相等的線段？

你如何驗(yàn)證你的猜測(cè)？

你能證明你的猜測(cè)嗎？試作圖，寫(xiě)出已知、求證與

證明過(guò)程；

還可以有哪些證明方法？

通過(guò)學(xué)生的自主探究與同伴的交流，學(xué)生一般都能在

直觀猜測(cè)、測(cè)量驗(yàn)證的基礎(chǔ)上探究出：

等腰三角形兩個(gè)底角的平分線相等；

等腰三角形腰上的高相等；

等腰三角形腰上的中線相等.

并對(duì)這些命題給予多樣的證明。

如對(duì)于“等腰三角形兩底角的平分線相等“，學(xué)生得到

了下面的證明方法：

已知：如圖，在△中，，、是△的角平分線.

求證：.

證法：???，

???//（等邊對(duì)等角）.

,?22,ZZ,

???//.

在△與△中，

ZZ,,ZZ.

??.（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

證法：證明：???，

???//.

又???//.

在△與△中，

ZZ,,ZZ.

??.（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

第三環(huán)節(jié)：經(jīng)典例題變式練習(xí)

提請(qǐng)學(xué)生思考，除了角平分線、中線、高等特殊的線

段外，還可以有哪些線段相等？并在學(xué)生思考的基礎(chǔ)上，

研究課本“議一議”：

在課本圖一的等腰三角形中，

（）如果//呢？由此，你能得到一個(gè)什么結(jié)論？

（）如果,，那么嗎?如果，呢？由此你得到什么結(jié)論？

第四環(huán)節(jié)：拓展延伸，探索等邊三角形性質(zhì)

提請(qǐng)學(xué)生在上面等要三角形性質(zhì)定理的基礎(chǔ)上，思考

等邊三角形的特殊性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等并且

每個(gè)內(nèi)角都等于0.

已知：在A中，.

求證：ZZZ°.

證明：在A中，???，???//（等邊對(duì)等角）.

同理：ZZ,AZZZ（等量代換）.

又??.NNN=°（三角形內(nèi)角與定理），.??//

Z=°.

學(xué)生一般都能得到這些定理的證明，能規(guī)范地寫(xiě)出對(duì)

于“等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等并且每個(gè)內(nèi)角都等于?！?/p>

的證明過(guò)程：

第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)及時(shí)鞏固

在探索得到了等邊三角形的性質(zhì)的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生獨(dú)

立完成以下練習(xí)。

1.如圖，已知△與△都是等邊三角形.

求證

活動(dòng)意圖：在鞏固等邊三角形的性質(zhì)的同時(shí)，進(jìn)一步掌握

綜合證明法的基本要求與步躲，規(guī)范證明的書(shū)寫(xiě)格式。

第六環(huán)節(jié)：探討收獲課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課我們通過(guò)觀察探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形

中相等的線段，并由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論，

第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

課本第頁(yè)習(xí)題第、題

【板書(shū)設(shè)計(jì)】

等腰三角形（二）

已知：在A中，.

求證：zzz°.

證明：在△中，???，???//（等邊對(duì)等角）.

同理：ZZ,AZZZ（等量代換）.

又?..///=°（三角形內(nèi)角與定理），??.///=0?

【教學(xué)反思】

第三課時(shí)

【教學(xué)目標(biāo)】

.知識(shí)與技能

探索等腰三角形判定定理。

.過(guò)程與方法

理解等腰三角形的判定定理，并會(huì)運(yùn)用其進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明。

.情感態(tài)度與價(jià)值觀

培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。

【教學(xué)重點(diǎn)】

理解等腰三角形的判定定理。

【教學(xué)難點(diǎn)】

了解反證法的基本證明思路，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用。

【教學(xué)過(guò)程】

教學(xué)過(guò)程教學(xué)隨筆

第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)引入

通過(guò)問(wèn)題串回顧等腰三角形的性質(zhì)定理以及證明的

思路，要求學(xué)生獨(dú)立思考后再進(jìn)交流。

問(wèn)題.等腰三角形性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？這個(gè)命

題的題設(shè)與結(jié)論分別是什么？

問(wèn)題?我們是如何證明上述定理的？

問(wèn)題.我們把性質(zhì)定理的條件與結(jié)論反過(guò)來(lái)還成立

么？如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的

邊也相等？

第二環(huán)節(jié)：逆向思考，定理證明

教師：上面，我們改變問(wèn)題條件，得出了很多類(lèi)似的

結(jié)論，這是研究問(wèn)題的一種常用方法，除此之外，我們還

可以“反過(guò)來(lái)”思考問(wèn)題，這也是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的一條途

徑.例如“等邊對(duì)等角”，反過(guò)來(lái)成立嗎?也就是：有兩個(gè)

角相等的三角形是等腰三角形嗎？

［生］如圖，在△中，ZZ,要想證明，只久

要構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形，使與成為對(duì)應(yīng)邊/\

就可以了./\

BC

［師］你是如何想到的？

［生］由前面定理的證明獲得啟發(fā)，比如作的中線，或作

的平分線，或作上的高，都可以把△分成兩個(gè)全等的三角

形.

［師］很好.同學(xué)們可在練習(xí)本上嘗試一下是否如此，然

后分組討論.

［生］我們組發(fā)現(xiàn)，如果作的中線，雖然把△分成了兩個(gè)

三角形，但無(wú)法用公理與已證明的定理證明它們?nèi)?因

為我們得到的條件是兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)兩邊及其一邊的對(duì)

角分別相等，是不能夠判斷兩個(gè)三角形全等的.后兩種方

法是可行的.

［師］那么就請(qǐng)同學(xué)們?nèi)芜x一種方法按要求將推理證明

過(guò)程書(shū)寫(xiě)出來(lái).（教師可讓兩個(gè)同學(xué)在黑板上演示，并對(duì)

推理證明過(guò)程講評(píng)）

（證明略）

［師］我們用“反過(guò)來(lái)”思考問(wèn)題，獲得并證明了一個(gè)非

常重要的定理——等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等

的三角形是等腰三角形.這一定理可以簡(jiǎn)單敘述為：等角

對(duì)等邊.我們不僅發(fā)現(xiàn)了幾何圖形的對(duì)稱(chēng)美，也發(fā)現(xiàn)了數(shù)

學(xué)語(yǔ)言的對(duì)稱(chēng)美.

第三環(huán)節(jié)：鞏固練習(xí)

將書(shū)中的隨堂練習(xí)提前到此，是為了及時(shí)鞏固判定定

理。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析。

已知：如圖，/是△的外角，//且

求證：./

證明：???//,W一0

???//（兩直線平行，同位角相等），/\

Bc

NN（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

又「NN,???//.

??.（等角對(duì)等邊）.

第四環(huán)節(jié)：適時(shí)提問(wèn)導(dǎo)出反證法

我們類(lèi)比歸納獲得一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，“反過(guò)來(lái)”思考問(wèn)題

也獲得了一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論.如果否定命題的條件，是否也可

獲得一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論嗎?我們一起來(lái)“想一想”：

小明說(shuō)，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么

這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等.你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎？如

果成立，你能證明它嗎？

有學(xué)生提出：“我認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的.因?yàn)槲耶?huà)了

幾個(gè)三角形，觀察并測(cè)量發(fā)現(xiàn)，如果兩個(gè)角不相等，它們

所對(duì)的邊也不相等.但要像證明“等A

角對(duì)等邊”那樣卻很難證明，因?yàn)樗?A

的條件與結(jié)論都是否定的."的確如/\

此.像這種從正面人手很難證明的結(jié)

論，我們有沒(méi)有別的證明思路與方法呢？

我們來(lái)看一位同學(xué)的想法：

如圖，在△中，已知NWN,此時(shí)與要么相等，要么

不相等.

假設(shè)，那么根據(jù)“等邊對(duì)等角”定理可得但已

知條件是與已知條件相矛盾，

因此美

你能理解他的推理過(guò)程嗎？

再例如，我們要證明△中不可能有兩個(gè)直角，也可以

采用這位同學(xué)的證法，假設(shè)有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)N°,

2°,可得,但”與

Z°”相矛盾，因此△中不可能有兩個(gè)直角.

引導(dǎo)學(xué)生思考：上一道面的證法有什么共同的特點(diǎn)呢？

引出反證法。

都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與

已知或公理或已證明過(guò)的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)

論一定成立.這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做

反證法.

接著用“反過(guò)來(lái)”思考問(wèn)題的方法獲得并證明了等腰

三角形的判定定理“等角對(duì)等邊“，最后結(jié)笊例了解了

反證法的含義.

第五環(huán)節(jié)：拓展延伸

活動(dòng)過(guò)程與效果：在一節(jié)課結(jié)束之際，為思

維的綜合性、靈活性特安排了個(gè)練習(xí)。一個(gè)

角平分線判定三角形的形狀，再通過(guò)線段的轉(zhuǎn)換求圖形的

周長(zhǎng)。另一個(gè)是一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題，考察學(xué)生多角度多維

度思考問(wèn)題的能力。學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上再小組交

流。

.如圖，平分N,平分N,且//,設(shè)，，求△的周

長(zhǎng)?.

.現(xiàn)有等腰三角形紙片，如果能從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，將

原紙片一次剪開(kāi)成兩塊等腰三角形紙片，問(wèn)此時(shí)的等腰三

角形的頂角的度數(shù)？

第六環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)

()本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？

0等腰三角形的判定方法有哪幾種？

0結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)劦妊切涡再|(zhì)與判定的區(qū)

別與聯(lián)系.

（）舉例談?wù)動(dòng)梅醋C法說(shuō)理的基本思路

第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

【板書(shū)設(shè)計(jì)】

等腰三角形（三）

已知：如圖，/是△的外角，//且—。

求證：./\

證明：???//,8c

???//（兩直線平行，同位角相等），

NN（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

又???//,???//.

???（等角對(duì)等邊）.

【教學(xué)反思】

第四課時(shí)

【教學(xué)目標(biāo)】

.知識(shí)與技能

理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有。角的直角三角形性

質(zhì)及其證明，并能利用這兩個(gè)定理解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

.過(guò)程與方法

經(jīng)歷運(yùn)用幾何符號(hào)與圖形描述命題的條件與結(jié)論的過(guò)程，建立初步的

符號(hào)感，發(fā)展抽象思維。

.情感態(tài)度與價(jià)值觀

在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。

【教學(xué)重點(diǎn)】

等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明。

【教學(xué)難點(diǎn)】

了解反證法的基本證明思路，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用。

【教學(xué)過(guò)程】

教學(xué)過(guò)程教學(xué)隨筆

第一環(huán)節(jié)：提問(wèn)問(wèn)題，引入新課

教師回顧前面等腰三角形的性質(zhì)與判定定理的基礎(chǔ)

上，直接提出問(wèn)題：等邊三角形作為一種特殊的等腰三角

形，具有哪些性質(zhì)呢？又如何判別一個(gè)三角形是等腰三角

形呢？從而引入新課。

開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，引入新課，同時(shí)回顧，也為后續(xù)探索提供

了鋪墊。

（教師應(yīng)給學(xué)生自主探索、思考的時(shí)間）

第二環(huán)節(jié)：自主探索

學(xué)生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并

交流匯報(bào)各自的結(jié)論，教師適時(shí)要求學(xué)生給出相對(duì)規(guī)范的

證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出

卜表:

性質(zhì)判定的條件

等腰三等邊對(duì)等角等角對(duì)等邊

角形（含“三線合一”有一角是。

等邊三即等腰三角形

角形）頂角平分線，

底邊上的中

線、高互相重

合

等邊三角形三三個(gè)角都相

個(gè)角都相等，等的三角形

且每個(gè)角都是等邊三角

是。形

經(jīng)歷定理的探究過(guò)程，即明確有關(guān)定理，同時(shí)提高學(xué)

生的自主探究能力。

第三環(huán)節(jié)：實(shí)際操作提出問(wèn)題

活動(dòng)內(nèi)容：教師直接提出問(wèn)題：我們還學(xué)習(xí)過(guò)直角三

角形，今天我們研究一個(gè)特殊的直角三角形：含。角的直

角三角形。拿出三角板，做一做：

用含。角的兩個(gè)三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形?

能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？

在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關(guān)

系，有哪些線段存在倍數(shù)關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？說(shuō)說(shuō)

你的理由.

讓學(xué)生經(jīng)歷拼擺三角尺的活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：在直角三

角形中，如果一個(gè)銳角等于°,那么它所對(duì)的直角邊等于

斜邊的一半.

定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于°,那么

它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

已知：如圖，在△中，z°,z°.

求證：,

分析：從三角尺的拼擺過(guò)程中得到啟發(fā)，延長(zhǎng)至，使,

連接.

證明：在△中，z°,z°z°.

延長(zhǎng)至，使，連接（如圖所示）.

??二。???/。4

???，???△里△（）?/

??.（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）./

△是等邊三角形（有一個(gè)角一ID

是。的等腰三角形是等邊三角

形）?

第四環(huán)節(jié)：變式訓(xùn)練鞏固新知

直接提請(qǐng)學(xué)生思考剛才命題的逆命題：在直角三角形

所對(duì)的銳角等于。嗎？如果

是，請(qǐng)你證明它.

在師生分析的基礎(chǔ)上，給出證明:

已知：如圖，在△中，zc

求證：z°

證明：延長(zhǎng)至，使，連接.

又????

「?△里△().

又丁

即△是等邊三角形.

???/°.在△中,z°.

呈現(xiàn)例題，在師生分析的基礎(chǔ)上，運(yùn)用所學(xué)的新定理

解答例題。

等腰三角形的底角為°,腰長(zhǎng)為，求腰上的高的長(zhǎng).

分析：觀察圖形D

可以發(fā)現(xiàn)在△中，

而/是△的一個(gè)外角，而Nx°°,根據(jù)在直角三角形

中，。角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可求出.

解：???//°

.-.zzz°°°

???x（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于。，那么它

所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）.

第五環(huán)節(jié)：暢談收獲課時(shí)小結(jié)

讓學(xué)生對(duì)課堂學(xué)習(xí)進(jìn)行小結(jié)，注意總結(jié)具體的知識(shí)、

結(jié)論，以及解決問(wèn)題的方法與蘊(yùn)含其中的思想，如分類(lèi)討

論思想、逆向思維等。

第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

【板書(shū)設(shè)計(jì)】

等腰三角形（四）

已知：如圖，在△中，Z

求證：z°

證明：延長(zhǎng)至，使，連接.

又????

又

即△是等邊三角形.

.?.N°.在△中,z°.

【教學(xué)反思】

直角三角形

【教學(xué)目標(biāo)】

.知識(shí)與技能

0掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法,

并能應(yīng)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題。

0結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道

原命題成立，其逆命題不一定成立。

,過(guò)程與方法

0進(jìn)一步經(jīng)歷用幾何符號(hào)與圖形描述命題的條件與結(jié)論的過(guò)程，建立

初步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維.

0進(jìn)一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理的能力。

.情感態(tài)度與價(jià)值觀

體驗(yàn)生活中的數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受數(shù)學(xué)與人類(lèi)生活的密切聯(lián)系，

激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣。

【教學(xué)重點(diǎn)】

掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法。

【教學(xué)難點(diǎn)】

應(yīng)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題。

【教學(xué)方法】

講授法

【課時(shí)安排】

課時(shí)

第一課時(shí)

【教學(xué)目標(biāo)】

.知識(shí)與技能

掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法。

,過(guò)程與方法

進(jìn)一步經(jīng)歷用幾何符號(hào)與圖形描述命題的條件與結(jié)論的過(guò)程，建立初

步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維。

.情感態(tài)度與價(jià)值觀

在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。

【教學(xué)重點(diǎn)】

掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法。

【教學(xué)難點(diǎn)】

結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道原命題

成立，其逆命題不一定成立。

【教學(xué)過(guò)程】

教學(xué)過(guò)程教學(xué)隨筆

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

通過(guò)問(wèn)題，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí)，回顧直角三角

形的一般性質(zhì)。

［問(wèn)題］一個(gè)直角三角形房梁如圖所示，其中1,20,,

1,1,垂足分別是、，那么的長(zhǎng)是多少？呢？

解：在△中，z°,,

又?.?NN=°

???/=N=°

在△中，==X==?.

???===—=().

二在△中，Z=°

???==x=().

解決這個(gè)問(wèn)題，主要利用了上節(jié)課已經(jīng)證明的角

的直角三角形的性質(zhì)”.由此提問(wèn)：“一般的直角三角形具

有什么樣的性質(zhì)呢?”從而引入勾股定理及其證明。

教材中曾利用數(shù)方格與割補(bǔ)圖形的方法得到了勾股定

理.如果利用公理及由其推導(dǎo)出的定理，能夠證明勾股定

理嗎？

請(qǐng)同學(xué)們打開(kāi)課本，閱讀“讀一讀”，了解一下利用

教科書(shū)給出的公理與推導(dǎo)出的定理，證明勾股定理的方

法.

第二環(huán)節(jié)：講述新課

閱讀完畢后，針對(duì)“讀一讀”中使用的兩種證明方法,

著重討論第一種，第二種方法請(qǐng)有興趣的同學(xué)課后閱讀.

().勾股定理及其逆定理的證明.

已知：如圖，在△中，Z=°,=,=,=.

求證：=?

證明：延長(zhǎng)至，使=,作/=/,并取=,連接、(如

圖),則△刑△.

???/=。，=(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相

等，對(duì)應(yīng)邊相等).

???四邊形是直角梯形.

二梯形=0()=().

."=。-（z+z）=°-

教師用多媒體顯示勾股定理內(nèi)容，用課件演示勾股定

理的條件與結(jié)論，并強(qiáng)調(diào).具體如下：勾股定理：直角三

角形兩直角邊的平方與等于斜邊的平方.

反過(guò)來(lái)，如果在一個(gè)三角形中，當(dāng)兩邊的平方與等于

第三邊的平方時(shí)，我們?cè)枚攘康姆椒ǖ贸觥斑@個(gè)三角形

是直角三角形”的結(jié)論.你能證明此結(jié)論嗎？

師生共同來(lái)完成.

已知：如圖：在△中，=

求證：△是直角三角形.

分析：要從邊的關(guān)系，推出/

=°是不容易的，如果能借助于△與一個(gè)直角三角形全

等，而得到/與對(duì)應(yīng)角（構(gòu)造的三角形的直角）相等，可證.

證明：作,使=°,''、（如

圖），

貝勾股定理）.人

,??+=,，，=,，，/

c

???_/，

???_/，

???/=/'=°（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

因此，△是直角三角形.

總結(jié)得勾股逆定理：如果三角形兩邊的平方與等于第

三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

（）.互逆命題與互逆定理.

觀察上面兩個(gè)命題，它們的條件與結(jié)論之間有怎樣的

關(guān)系?在前面的學(xué)習(xí)中還有類(lèi)似的命題嗎？

通過(guò)觀察，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：

上面兩個(gè)定理的條件與結(jié)論互換了位置，即勾股定理

的條件是第二個(gè)定理的結(jié)論，結(jié)論是第二個(gè)定理的條件.

這樣的情況，在前面也曾遇到過(guò).例如“兩直線平行,

內(nèi)錯(cuò)角相等“，交換條件與結(jié)論，就得到“內(nèi)錯(cuò)角相等，

兩直線平行”.又如“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等

于。，那么它所對(duì)的直角邊就等于斜邊的一半”.交換此

定理的條件與結(jié)論就可得“在直角三角形中，如果一條直

角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等

于。

第三環(huán)節(jié)：議一議

觀察下面三組命題：學(xué)生以分組討論形式進(jìn)行，最后

在教師的引導(dǎo)下得出命題與逆命題的區(qū)別與聯(lián)系。

讓學(xué)生暢所欲言，體會(huì)逆命題與命題之間的區(qū)別與聯(lián)

系，要能夠清晰地分別出一個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論，能夠?qū)?/p>

一個(gè)命題寫(xiě)出“如果……；那么……”的形式，以及能夠

寫(xiě)出一個(gè)命題的逆命題。

活動(dòng)中，教師應(yīng)注意給予適度的引導(dǎo)，學(xué)生若出現(xiàn)語(yǔ)

言上不嚴(yán)謹(jǐn)時(shí)，要先讓這個(gè)疑問(wèn)交給學(xué)生來(lái)剖析，然后再

總結(jié)。活動(dòng)時(shí)可以先讓學(xué)生觀察下面三組命題：

如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么它們相等.

如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂角.

如果小明患了肺炎，那么他一定發(fā)燒.

如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎.

三角形中相等的邊所對(duì)的角相等.

三角形中相等的角所對(duì)的邊相等.

上面每組中兩個(gè)命題的條件與結(jié)論也有類(lèi)似的關(guān)系

嗎？與同伴交流.

不難發(fā)現(xiàn)，每組第二個(gè)命題的條件是第一個(gè)命題的結(jié)

論，第二個(gè)命題的結(jié)論是第一個(gè)命題的條件.

在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題條件與結(jié)論分別是另一

個(gè)命題的結(jié)論與條件，那么這兩個(gè)命題稱(chēng)為互逆命題，其

中一個(gè)命題稱(chēng)為另一個(gè)命題的逆命題，相對(duì)于逆命題來(lái)

說(shuō)，另一個(gè)就為原命題.

再來(lái)看“議一議”中的三組命題，它們就稱(chēng)為互逆命

題，如果稱(chēng)每組的第一個(gè)命題為原命題，另一個(gè)則為逆命

題.請(qǐng)同學(xué)們判斷每組原命題的真假.逆命題呢？

在第一組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題.

在第二組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題.

在第三組中，原命題與逆命題都是真命題.

由此我們可以發(fā)現(xiàn)：原命題是真命題，而逆命題不一

定是真命題.

第四環(huán)節(jié)：想一想

要寫(xiě)出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件與

結(jié)論，然后把結(jié)論變換成條件，條件變換成結(jié)論，就得到

了逆命題.

請(qǐng)學(xué)生寫(xiě)出命題“如果兩個(gè)有理數(shù)相等，那么它們的

平方相等”的逆命題嗎?它們都是真命題嗎？

從而引導(dǎo)學(xué)生思考:原命題是真命題嗎?逆命題一定是

真命題嗎？并通過(guò)具體的實(shí)例說(shuō)明。

如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題,

那么我們稱(chēng)它們?yōu)榛ツ娑ɡ?

其中逆命題成為原命題(即原定理)的逆定理.

能舉例說(shuō)出我們已學(xué)過(guò)的互逆定理？

如我們剛證過(guò)的勾股定理及其逆定理，“兩直線平行,

內(nèi)錯(cuò)角相等”與“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”.“全等三

角形對(duì)應(yīng)邊相等”與“三邊對(duì)應(yīng)相等的三角形全等”、

“等邊對(duì)等角”與“等角對(duì)等邊”等.

第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)

說(shuō)出下列命題的逆命題，并判斷每對(duì)命題的真假；

()四邊形是多邊形；

()兩直線平行，內(nèi)旁內(nèi)角互補(bǔ)；

()如果=,那么=,=

［分析］互逆命題與互逆定理的概念，學(xué)生接受起來(lái)應(yīng)不

會(huì)有什么困難，尤其是對(duì)以“如果……那么……”形式給

出的命題，寫(xiě)出其逆命題較為容易，但對(duì)于那些不是以這

種形式給出的命題，敘述其逆命題有一定困難.可先分析

命題的條件與結(jié)論，然后寫(xiě)出逆命題.

解：()多邊形是四邊形.原命題是真命題，而逆命題是

假命題.

()同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行.原命題與逆命題同為正.

()如果=,=,那么=.原命題是假命題，而逆命題是

真命題.

第六環(huán)節(jié)：課時(shí)小結(jié)

這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并

結(jié)合數(shù)學(xué)與生活中的例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)

互逆命題，知道，原命題成立，其逆命題不一定成立，掌

握了證明方法，進(jìn)一步發(fā)展了演繹推理能力.

第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)

習(xí)題.第、、、題

【板書(shū)設(shè)計(jì)】

直角三角形（一）

已知：如圖，在△中，Z=°,=,=,=.

求證：=.

證明：延長(zhǎng)至，使=,作/=/,并取=,連接、（如圖），則

.?./=°,=（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等）.

???四邊形是直角梯形.

..?梯形=（）（）=0.

.?梯形=4。，

即=,

【教學(xué)反思】

第二課時(shí)

【教學(xué)目標(biāo)】

.知識(shí)與技能

能夠證明直角三角形全等的的判定定理，進(jìn)一步理解證明的必要

性。

,過(guò)程與方法

進(jìn)一步經(jīng)歷用幾何符號(hào)與圖形描述命題的條件與結(jié)論的過(guò)程，建立初

步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維。

.情感態(tài)度與價(jià)值觀

進(jìn)一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力。

【教學(xué)重點(diǎn)】

能夠證明直角三角形全等的“"的判定定理。

【教學(xué)難點(diǎn)】

進(jìn)一步理解證明的必要性。

【教學(xué)過(guò)程】

教學(xué)過(guò)程教學(xué)隨筆

第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)提問(wèn)

.判斷兩個(gè)三角形全等的方法有哪幾種？

.已知一條邊與斜邊，求作一個(gè)直角二角形。想一想，

怎么畫(huà)？同學(xué)們相互交流。

、有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全

等嗎？如果其中一個(gè)角是直角呢？請(qǐng)證明你的結(jié)論。

我們?cè)鴱恼奂埖倪^(guò)程中得到啟示，作了等腰三角形底

邊上的中線或頂角的角平分線，運(yùn)用公理，證明三角形全

等，從而得出“等邊對(duì)等角“。那么我們能否通過(guò)作等腰

三角形底邊的高來(lái)證明“等邊對(duì)等角”.

要求學(xué)生完成，一位學(xué)生的過(guò)程如下：

已知：在△中，.

求證：NN?

證明：過(guò)作1,垂足為，

ZZ°

又

?二△絲△?

AZZ（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）

在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，有學(xué)生對(duì)上述證明方法產(chǎn)生了

質(zhì)疑。質(zhì)疑點(diǎn)在于“在證明△時(shí)，用了“兩邊及其中

一邊的對(duì)角對(duì)相等的兩個(gè)三角形全等”.而我們?cè)谇懊鎸W(xué)

習(xí)全等的時(shí)候知道，兩個(gè)三角形，如果有兩邊及其一邊的

對(duì)角相等，這兩個(gè)三角形是不一定全等的.可以畫(huà)圖說(shuō)

明.（如圖所示在與△中-ZZ,,但△與△不全等）”.

也有學(xué)生認(rèn)同上述的證明。

教師順?biāo)浦?，詢?wèn)能否證明：“在兩個(gè)直角三角形中,

直角所對(duì)的邊即斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角

三角形全等從而引入新課。

第二環(huán)節(jié)：引入新課

（）.定理.由師生共析完成

已知：在△與△'''中，。.

求證：

證明：在△中，一(勾股定

理).

又???在△一中，一”

(勾股定理).

???△絲().

教師用多媒體演示:

定理斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全

等.

這一定理可以簡(jiǎn)單地用“斜邊、直角邊”或表示.

從而肯定了第一位同學(xué)通過(guò)作底

邊的高證明兩個(gè)三角形全等，從

而得到“等邊對(duì)等角”的證法是

正確的.

練習(xí)：判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由：

()兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

()斜邊及一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

()兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

()一條直角邊與另一條直角邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩

個(gè)直角三角形全等.

對(duì)于()、()、()一般可順利通過(guò)，這里教師將講解

的重心放在了問(wèn)題（），學(xué)生感覺(jué)是真命題，一時(shí)有無(wú)法

直接利用已知的定理支持，教師引導(dǎo)學(xué)生證明.

已知：△與△"，ZZ,°,“分別是、”邊上的中

線且一”（如圖）.

求證：△四A夕

證明：在△與△“中，/八/L

?—'一（定理）.

11

T7??一11?H

?，，???

在△與△一，中，

「?△絲△”（）.

通過(guò)上述師生共同活動(dòng)，學(xué)生板書(shū)推理過(guò)程之后可發(fā)

動(dòng)學(xué)生去糾錯(cuò)，教師最后再總結(jié)。

第三環(huán)節(jié)：做一做

問(wèn)題你能用三角尺平分一個(gè)已知角嗎？請(qǐng)同學(xué)們用

手中的三角尺操作完成，并在小組內(nèi)交流，用自己的語(yǔ)言

清楚表達(dá)自己的想法.

（設(shè)計(jì)做一做的目的為了讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)結(jié)論在實(shí)

際中的應(yīng)用，教學(xué)中就要求學(xué)生能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言清楚地表

達(dá)自己的想法，并能按要求將推理證明過(guò)程寫(xiě)出來(lái)。）

第四環(huán)節(jié)：議一議

如圖，已知,要使△0，還需要什么條件？把它

們分別寫(xiě)出來(lái).

這是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，答案不唯一，需要我們靈活地

運(yùn)用公理與已學(xué)過(guò)的定理，觀察圖形，積極思考，并在獨(dú)

立思考的基礎(chǔ)上，通過(guò)同學(xué)之間的交流，獲得各種不同的

答案.

（教師一定要提供時(shí)間與空間，讓同學(xué)們認(rèn)真思考，勇

于向困難提出挑戰(zhàn)）

第五環(huán)節(jié)：例題學(xué)習(xí)

求證：△四

分析：要證△燈△”'，由已知中找到條件：一組邊”，

一組角如果尋求就可用證明全等；也可以

尋求么N這樣就有；還可尋求"，那么就可根據(jù).……

注意到題目中，通有、”是三角形的高，二觀察圖形，這

里有三對(duì)三角形應(yīng)該是全等的，且題目中具備了定理的條

件，可證的△絲因此證明就可行.

證明：???、”分別是△△”的高（已知），

在△與△"中，

”（已知）,

”（已知），

「?△里（）.

ZZ1,（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

在△與△"中，

（已證），

”（已知）,

NN"’（已知），

（）.

第六環(huán)節(jié)：課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課我們討論了在一般三角形中兩邊及其一邊對(duì)角

對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.而當(dāng)一邊的對(duì)角是直

角時(shí)，這兩個(gè)三角形是全等的，從而得出判定直角三角形

全等的特殊方法——定理，并用此定理安排了一系列具體

的、開(kāi)放性的問(wèn)題，不僅進(jìn)一步掌握了推理證明的方法，

而且發(fā)展了同學(xué)們演繹推理的能力.同學(xué)們這一節(jié)課的表

現(xiàn)，很值得繼續(xù)發(fā)揚(yáng)廣大.

第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

習(xí)題.第、、題

【板書(shū)設(shè)計(jì)】

直角三角形（二）

已知：△與△…，“分別是、”邊上的中線且一”（如圖）.

求證：△且

證明：在△與△”中,

??.△0△'''（定理）.

T7???r11???

?，，一?

???在△與△一中，

【教學(xué)反思】

線段的垂直平分線

【教學(xué)目標(biāo)】

.知識(shí)與技能

證明線段垂直平分線的性質(zhì)定里與判定定理.

.過(guò)程與方法

經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明能力.豐

富對(duì)幾何圖形

的認(rèn)識(shí)。

.情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)小組活動(dòng)，學(xué)會(huì)與人合作，并能與他人交流思維的過(guò)程與結(jié)果。

【教學(xué)重點(diǎn)】

運(yùn)用幾何符號(hào)語(yǔ)言證明垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆命題。

【教學(xué)難點(diǎn)】

垂直平分線的性質(zhì)定理在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用。

【教學(xué)方法】

講授法

【課時(shí)安排】

課時(shí)

第一課時(shí)

【教學(xué)目標(biāo)】

?知識(shí)與技能

能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)。

.過(guò)程與方法

經(jīng)歷猜想、探索，能夠作出符合條件的三角形。

.情感態(tài)度與價(jià)值觀

學(xué)會(huì)與他人合作，并能與他人交流思維的過(guò)程與結(jié)果。

【教學(xué)重點(diǎn)】

探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，掌握證明的基本要求與

方法。

【教學(xué)難點(diǎn)】

明確推理證明的基本要求如明確條件與結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確表

達(dá)等。

【教學(xué)過(guò)程】

教學(xué)過(guò)程教學(xué)隨筆

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

教師用多媒體演示：

如圖,、表示兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)，要在、一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)

碼頭,使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置？

其中“到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相

等“，要強(qiáng)調(diào)這幾個(gè)字在題中有很”.

重要的作用.〈一^I一

線段是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，其中‘一~———

線段的垂直平分線就是它的對(duì)稱(chēng)/~----

軸.我們用折紙的方法，根據(jù)折疊過(guò)程中線段重合說(shuō)明了

線段垂直平分線的一個(gè)性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線

段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.所以在這個(gè)問(wèn)題中，要求在“、

一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相

等”利用此性質(zhì)就能完成.

進(jìn)一步提問(wèn)：“你能用公理或?qū)W過(guò)的定理證明這一結(jié)論

嗎？”

第二環(huán)節(jié)：性質(zhì)探索與證明

教師鼓勵(lì)學(xué)生思考，想辦法來(lái)解決此問(wèn)題。

通過(guò)討論與思考，引導(dǎo)學(xué)生分析并寫(xiě)出已知、求證的

內(nèi)容。

已知：如圖，直線1,垂足是，且，是上的點(diǎn).

求證：.

分析：要想證明，可以考慮包含這兩條線段的兩個(gè)三

角形是否全等.「

證A

??4一守一B

?，，\N

??.（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

教師用多媒體完整演示證明過(guò)程.

第三環(huán)節(jié)：逆向思維，探索判定

你能寫(xiě)出上面這個(gè)定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？

這個(gè)命題不是“如果……那么……”的形式，要寫(xiě)出它的

逆命題，需分析原命題的條件與結(jié)論，將原命題寫(xiě)成“如

果……那么……”的形式，逆命題就容易寫(xiě)出.鼓勵(lì)學(xué)生

找出原命題的條件與結(jié)論。

原命題的條件是“有一個(gè)點(diǎn)是線段垂直平分線上的

點(diǎn)”.結(jié)論是“這個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”.

此時(shí)，逆命題就很容易寫(xiě)出來(lái).“如果有一個(gè)點(diǎn)到線段

兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分

線上

寫(xiě)出逆命題后時(shí)，就想到判斷它的真假.如果真，則

需證明它；如果假，則需用反例說(shuō)明.P

引導(dǎo)學(xué)生分析證明過(guò)程，有如下四種證涔/八\

證法一：/V\

已知：線段，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)且.

求證：點(diǎn)在的垂直平分線上.

證明：過(guò)點(diǎn)作已知線段的垂線一

???△義△（定理）.

即點(diǎn)在的垂直平分線上.

證法二：取的中點(diǎn)，過(guò)作直線.

???NN（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

又，

AZZZ°,即1

???點(diǎn)在的垂直平分線上.

證法三：過(guò)點(diǎn)作N的角平分線.

???，ZZ,,

△會(huì)△（）.

??.，NN（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)外相等）.

又???/N°?,.NN°

???點(diǎn)在線段的垂直平分線上./二、

ATTB

證法四：過(guò)作線段的垂直平分線.

V,ZZ°,

???在的垂直平分線上.

從同學(xué)們的推理證明過(guò)程可知線段垂直平分線的性質(zhì)

定理的逆命題是真命題，

我們把它稱(chēng)做線段垂直平分線的判定定理.

第四環(huán)節(jié)：鞏固應(yīng)用

在做完性質(zhì)定理與判定定理的證明以后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)

行總結(jié)：（）線段的垂直平分線可以看成是到線段兩個(gè)端

點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。

0到?條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等個(gè)點(diǎn)在這條線段

的垂直平分線上.因此只需做出這樣的兩個(gè)點(diǎn)即可做出線

段的垂直平分線。

例題：

已知：如圖，在△中，，是△內(nèi)一點(diǎn)，且

求證：直線垂直平分線段。.

證明：??.,

???點(diǎn)在線段的垂直平分線上

（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，

在這條線段的垂直平分線上）.

同理，點(diǎn)在線段的垂直平分線

上.

???直線是線段的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直

線）.

學(xué)生是第一次證明一條直線是已知線段的垂直平分

線，因此教師要引導(dǎo)學(xué)生理清證明的思路與方法并給出完

整的證明過(guò)程。

第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)

課本；習(xí)題：第、題

第六環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)

通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些新的收獲？還有哪些困惑？

第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)

習(xí)題第、題

【板書(shū)設(shè)計(jì)】

線段的垂直平分線（一

已知：線段，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)且.4C「3

求證：點(diǎn)在的垂直平分線上.

證明：過(guò)點(diǎn)作已知線段的垂線，，

??.△0△（定理）.

【教學(xué)反思】

第二課時(shí)

【教學(xué)目標(biāo)】

.知識(shí)與技能

能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)。

,過(guò)程與方法

經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)與能

力.體驗(yàn)解決問(wèn)題的方法，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新意識(shí)。

.情感態(tài)度與價(jià)值觀

體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

【教學(xué)重點(diǎn)】

能夠證明與線段垂直平分線相關(guān)的結(jié)論。

【教學(xué)難點(diǎn)】

證明三線共點(diǎn)。

【教學(xué)過(guò)程】

教學(xué)過(guò)程教學(xué)隨筆

一、情景引入

教師提問(wèn)：“［利用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線，

當(dāng)作完此題時(shí)你發(fā)現(xiàn)了什么？（教師可用多媒體演示作圖

過(guò)程）”

“三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)."、“這一點(diǎn)到三

角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等等都是學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)的直觀

性質(zhì)。

下面請(qǐng)同學(xué)們剪一個(gè)三角形紙片，通過(guò)折疊找出每條

邊的垂直平分線，觀察這三條垂直平分線，你是否發(fā)現(xiàn)同

樣的結(jié)論?與同伴交流.

教師質(zhì)疑：“這只是用我們的眼睛觀察到的，看到的一

定是真的嗎？我們還需運(yùn)用公理與已學(xué)過(guò)的定理進(jìn)行推

理證明，這樣的發(fā)現(xiàn)才更有意義」

這節(jié)課我們來(lái)學(xué)習(xí)探索與線段垂直平分線有關(guān)的結(jié)

論.

上述活動(dòng)中，教師要注意多畫(huà)幾種特殊的三角形讓學(xué)

生親自體驗(yàn)與觀察結(jié)論的正確性。

二、例題解析

0教師引導(dǎo)學(xué)生分析，尋找證明方法。

我們要從理論上證明這個(gè)結(jié)論，也就是證明“三線共

點(diǎn)”，但這是我們沒(méi)有遇到過(guò)的.不妨我們?cè)賮?lái)看一下演

示過(guò)程，或許你能從中受到啟示.

l\wMA

通過(guò)演示與啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)同：

“兩直線必交于一點(diǎn)，那么要想證明V

'"三線共點(diǎn)‘，只要證第三條直線過(guò)

這個(gè)交點(diǎn)或者說(shuō)這個(gè)點(diǎn)在第三條直線/一rx

上即