第二十三章 旋轉(zhuǎn)（知識(shí)歸納+題型突破）（八大題型134題）（解析版）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記·巧練（人教版）

第二十三章旋轉(zhuǎn)（知識(shí)歸納+題型突破）

課標(biāo)要求

基礎(chǔ)知識(shí)歸納

題■一旋轉(zhuǎn)三要素_

、題型二圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用,

題型三圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律探究

題型四坐標(biāo)系內(nèi)的圖形旋轉(zhuǎn)

、題型五圖形中心對(duì)稱的性質(zhì)應(yīng)用,

題型六中心對(duì)稱圖形

題型七坐標(biāo)系內(nèi)的關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題

題型八一的綜

考點(diǎn)9:雌上

1.通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)。探索它的基本性質(zhì):一個(gè)圖形和旋轉(zhuǎn)得到的圖形中，對(duì)

應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.

2.了解中心對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形的概念，探索它們的基本性質(zhì);成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)

過(guò)M稱中心，且被對(duì)稱中心平分.

3.探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對(duì)稱性質(zhì).

4.認(rèn)識(shí)并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的中心對(duì)稱圖形.

基礎(chǔ)知識(shí)歸納

1、旋轉(zhuǎn)

把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)的一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度。（旋轉(zhuǎn)中心：。點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)動(dòng)的角度）

2、性質(zhì)

①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等

②對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角

③旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等

3、中心對(duì)稱

把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)180度，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心

對(duì)稱

4、性質(zhì)①對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)時(shí)稱中心，且被對(duì)稱中心所平分

②中心對(duì)稱的圖形是全等圖形

5、中心對(duì)稱

把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180度后能與原圖形重合，主體：一個(gè)圖形，而中心對(duì)稱指的是兩個(gè)

4、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的坐標(biāo)P(x,y)-P(-x,-y)

重要題型

題型一旋轉(zhuǎn)三要素

【例1】如圖，AA8C和A4OC都是等邊三角形.

(1)AA4C沿著所在的直線翻折能與AAOC重合；

(2)如果AA3C旋轉(zhuǎn)后能與AAZX?重合，則在圖形所在的平面上可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)是

(3)請(qǐng)說(shuō)出2中一種旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

【答案】(1)AC；(2).點(diǎn)A、點(diǎn)C或者線段AC的中點(diǎn)；(3)60°

【分析】(1)因?yàn)锳48C和A4OC有公共邊AC,翻折后重合，所以沿著直線AC翻折即可：(2)將△ABC

旋轉(zhuǎn)后與A4OC重合，可以以點(diǎn)A、點(diǎn)C或AC的中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心；(3)以點(diǎn)A、點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心時(shí)都旋

轉(zhuǎn)60。，以AC中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)180。.

【詳解】(1)???MBC和AAQC都是等邊三角形，

???MBC和MDC是全等三角形，

???△ABC沿著AC所在的直線翻折能與△ADC重合.

故填A(yù)C;

(2)4AABC旋轉(zhuǎn)后與AADC重合，則可以以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60?；蛞渣c(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)60。,或以AC的中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180。即可；

（3）以點(diǎn)A、點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心時(shí)都旋轉(zhuǎn)60。，以AC中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)180。.

【點(diǎn)睛】此題考查平移的對(duì)稱軸確定的方法、旋轉(zhuǎn)中心確定的方法，依照平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)來(lái)確定即可.

鞏固訓(xùn)練:

1.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，圖中陰影部分的兩個(gè)圖形是一個(gè)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換得

)

C.點(diǎn)CD.點(diǎn)、D

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作兩組對(duì)■應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂宜平分線，交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心，即可得.

【詳解】解：如圖所示，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線的交點(diǎn)4即為旋轉(zhuǎn)中心,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

2.《2023春?福建漳州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在7x5方格紙中，格點(diǎn)三角形甲經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后得到格點(diǎn)三角形

乙，則其旋轉(zhuǎn)中心是（）

A.點(diǎn)、MB.點(diǎn)NC.點(diǎn)、PD.點(diǎn)。

【答案】A

【分析】先確定點(diǎn)A與點(diǎn)￡為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)4和點(diǎn)廠為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得旋轉(zhuǎn)中心在的垂直平

分線上，也在質(zhì)的垂直平分線上，所以作AE的垂直平分線和斯的垂直平分線，它們的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心.

【洋解】解：???甲經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后得到乙，

，點(diǎn)A與點(diǎn)E為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)8和點(diǎn)尸為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

???旋轉(zhuǎn)中心在A左的垂直平分線上，也在M的垂直平分線上，

作AE的垂直平分線和所的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為M點(diǎn)，如圖，

即旋轉(zhuǎn)中心為M點(diǎn).

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)■應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于

旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

3.（2023春泗川成都?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小明蕩秋千，位置從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了4點(diǎn)，若NO/W=50。,

則秋千旋轉(zhuǎn)的角度為（）

A.50°B.60°C.80°D.90°

【答案】C

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答.

【詳解】???/QVT=50。，小剛的位置從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了A點(diǎn)，

JAO=OAr,

???NQW=NQVA=50。，，

???ZA,OA=\80°-50°-50°=80°,

，秋千旋轉(zhuǎn)的角度為80°

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2021秋廣東江門?九年級(jí)臺(tái)山市新寧中學(xué)?？计谥校┤鐖D，將心48c中，N8=32。，ZC=90°,將其

繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到.4SG的位置，使得。、4媯在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）

B

A.32°B.90°C.122°D.132°

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到=NAC8+N8即可解答.

【詳解】解：:在用ABC中，ZB=32°,ZC=90°,C、A、片在同一條直線上，

ZBABi=ZACB+NB=90°+32c=122°,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平角的定義，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，找到旋轉(zhuǎn)角并掌握三角形外角的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

5.（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，如果將正方形甲旋轉(zhuǎn)到王方形乙的位置，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)有

)

乙

甲

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得出，分別以48,C為旋轉(zhuǎn)中心即可從正方形甲旋轉(zhuǎn)到正方形乙的位置.

【詳解】解：如圖，

乙

甲

繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，可到正方乙的位置；

繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9（）。，可到正方乙的位置；

繞AC的中點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)180。，可到正方乙的位置；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)

角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等：特別注意容易忽略點(diǎn)注

6.（2023春?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，若正方形EFGH由正方形ABCD繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，則可以作為

旋轉(zhuǎn)中心的是（）

A.M或O或NB.E或?；駽C.E或O或ND.M或O或C

【答案】A

【詳解】試題分析：若以M為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABC。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為“，8點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

E,C點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為立。點(diǎn)對(duì)?應(yīng)點(diǎn)為G,則可得到正方形EFG”：

若以。為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形A6CD旋轉(zhuǎn)180。，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G,8點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為“，。點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,。點(diǎn)

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F,則可得到正方形EFG，；

若以N為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABC。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F,B點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G,C點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為”,

D點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,則可得到正方形EFGH.

故選A.

7.（2023春?山東濱州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到A9C,

則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋

轉(zhuǎn)中心.

【詳解】如圖，連接A4'，BB',分別作線段/VT，的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點(diǎn)P（T,T）,

點(diǎn)P（T-l）即為旋轉(zhuǎn)中心.

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，牢記旋轉(zhuǎn)中心的確定方法（對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為

旋轉(zhuǎn)中心）是解題的關(guān)鍵.

8.（2023春?山東荷澤?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A、B都

在格點(diǎn)上.線段A/3繞著某一定點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度。（0。＜。＜180。）后，得到線段A0（點(diǎn)A、4分別

是A、8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也都在格點(diǎn)上），則。的大小是.

【答案】90390度

【分析】首根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)。，即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖，連接町由網(wǎng)格作的垂直平分線，交于點(diǎn)O,

???點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，

:.NAOV=90。，即旋轉(zhuǎn)角為90°，

故答案為：90°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)角度的確定，畫出圖形能快速解決問(wèn)題.

9.（2022秋?廣東汕頭?九年級(jí)汕頭市龍湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，A8C在平面直角坐標(biāo)系中的位置，且

4（5,5）,將其繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到.A7TC,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)是,旋轉(zhuǎn)角是度.

【答案】(4,4)90

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心，據(jù)此可求解.

【詳解】解：如圖，點(diǎn)P(4,4)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角/4%=90。，

2

6

5

4

3A9

2----

1B-

^1~1~2-^~~456攵

故答案為:(4,4),9().

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變換-旋轉(zhuǎn)，解答的關(guān)鍵是熟知對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂宜平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心.

10.(2023春?福建福州?八年級(jí)福州日升中學(xué)?？计谀?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A8C的三個(gè)頂點(diǎn)坐

標(biāo)為4-3,4),B(T,2),C(-2,l),/8C繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到△人片&，△4片&向右平移6個(gè)單

位，再向上平移2個(gè)單位得到△人,為G.

(1)畫出△和△A避2c2;

(2)「(4份是/8C的4c上一點(diǎn)，/8C經(jīng)旋轉(zhuǎn)、平移后點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為鳥，則點(diǎn)6的坐標(biāo)是

(3)若，A8C直接旋轉(zhuǎn)得到△&8C，則旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M坐標(biāo)是

【答案】(1)見解析

(2)「。+6,a+2)

(322.4)

【分析】(1)先根據(jù)點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。坐標(biāo)變換規(guī)律得出點(diǎn)4,耳，C，再順次連接即可得△A4C：

根據(jù)坐標(biāo)平移規(guī)律得出點(diǎn)A?,B?,C2,然后順次連接即可得△A與G；

(2)根據(jù)點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。坐標(biāo)變換規(guī)律、坐標(biāo)平移規(guī)律即可得；

(3)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心.

【詳解】(1)解.：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△A4G，

根據(jù)平移的性質(zhì)得到2c2,女「圖所示:

（2）解：由（1）坐標(biāo)變換規(guī)律得：6（-〃，〃），鳥（-"6,4+2）；

故答案為：（-〃+6,。+2）；

（3）解：若.A8c直接旋轉(zhuǎn)得到如圖,

則旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M坐標(biāo)是（2,4）.

故答案為：（2,4）.

【點(diǎn)睛】本題考查了畫旋轉(zhuǎn)圖形、平移圖形、旋轉(zhuǎn)中心，掌握點(diǎn)坐標(biāo)變換規(guī)律是解題關(guān)鍵.

11.（2022秋?河南周口?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)RtZXABC,且A（-l,3）,

8（3,1）,C（3,3）,已知.AAG是由ABC旋轉(zhuǎn)得到的.

,旋轉(zhuǎn)角是,度;

⑵以（1）中的旋轉(zhuǎn)中心為中心，分別畫出AAG逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。、180。后的三角形;

（3）設(shè)RlZ\A6C兩直角邊8C=a,AC=b,斜邊A8=c,利用變換前后所形成的圖案證明勾股定理.

【答案】（1）0（0,。），90

（2）見解析

（3）見解析

【分析】（1）根據(jù)CG，A3的垂比平分線交于點(diǎn)O,則旋轉(zhuǎn)中心為坐標(biāo)是0（0,0）,勾股定理的逆定理可得

乙408=90。，進(jìn)而即可求解；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出旋轉(zhuǎn)圖形即可求解；

（3）由旋轉(zhuǎn)的過(guò)程可知，四邊形CGGG和四邊形是正方形.根據(jù)S正方M0G=S正方形+4sz5c,

進(jìn)而即可求解.

【洋解】（1）解：如圖所示,

CC?AB的垂直平分線交于點(diǎn)0,則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是。(0,0)，

又；OA2=OB2=12+32=10,^=22+42=2(),

???ZAOB=90。

即旋轉(zhuǎn)角是90度.

故答案為:0(0,0),90.

(3)由旋轉(zhuǎn)的過(guò)程可知，四邊形CGGG和四邊形948是正方形.

,:S正方形cgGJ=S正方形M&B+4S&X,

設(shè)RtZXABC兩直角邊8C=a,AC=b,斜邊A8=c,

2J

:.(?+/?)"=c2+4x-ab,a2+2ab+b2=c2+2ab.

：?a1+lr=c2.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，找旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角，畫旋轉(zhuǎn)圖形，勾股定理的證明，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.確定旋轉(zhuǎn)中心的方法：分別作兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，其交點(diǎn)就為旋轉(zhuǎn)中心.

12.（2023春?廣東梅州?九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，直線〃?、〃相交于點(diǎn)P，且所成的銳角為45。，畫出4ABe

關(guān)于直線，〃的對(duì)稱圖形,A&C,然后畫出..AB'C關(guān)于直線〃的對(duì)稱圖形△4WC〃，你能發(fā)現(xiàn)ABC與

有什么關(guān)系嗎？若是平移，指出平移的方向和距離；若是旋轉(zhuǎn)，指出旋轉(zhuǎn)的中心和角度.

【答案】作圖見解析，.A8C繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到

【分析】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)畫出AEC和△/V7TC",然后根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到Q4=%i,PB=PB：

PC=PC",^APAT==NCPC”=90。,從而可判斷AA5C繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△△"/＜（_；”.

【詳解】解：如圖，A6C和△AWC"為所作.

A8C和A9C關(guān)于直線〃?的對(duì)稱，

PA=PA,%與直線〃?夾角等于P/V與直線機(jī)的夾角，

A'B'C和△4〃ZTC"關(guān)于直線〃的對(duì)稱，

?..PAn=PAf,BT與直線〃夾角等于PA與直線〃的夾角，

APA=PA^Z4PA*=2x45°=90°,

同理得到依二28〃，NBPB"=90。,PC=PC",ZCPC*=90°,

.,“A8C繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AA〃8〃C".

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-軸對(duì)稱變換：先確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；再利用軸對(duì)稱性質(zhì)作出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；然

后按原圖形中的方式順次連接對(duì)稱點(diǎn).也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

題型二圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用

【例2】（2022秋?湖北荊州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，ABC中，Z5=I5°,ZACB=25°,45=4cm,ABC

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)?定角度后與VADE重合，且點(diǎn)C恰好成為4。的中點(diǎn).

（1）指出能轉(zhuǎn)中心，并求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；

⑵求出NBAE的度數(shù)和AE的長(zhǎng).

【答案】（1）旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A,旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為140。⑵NB4E=80。，AE=2

【分析】（1）根據(jù)圖形可得旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)4根據(jù)一角形的內(nèi)角和定理求出N7MC,結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可

得出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；

（2）

【詳解】（1）解：ZBAC=180°-ZB-ZACB=180o-15o-25o=140°,

即ZBAD=140°,

所以旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A,旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為140。；

（2）解：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與VADE重合，

...N￡4O=N3AC=140°,AE=AC,AD=AB=4,

NBAE=360。-140°-l40。=80°:

???點(diǎn)C恰好成為AD的中點(diǎn)，

AC=—AD=2,

2

.\AE=2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊連線

的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

【例3】如圖I,在等腰RtZXABC中，A8=8C=8,N8=90。，D、E分別為A3、8c上的點(diǎn)，且8D=8E=6,

將」）BE繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（00<a<l80°）.

（2）若a=60。，求A。的長(zhǎng)：

（3）在一旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直接寫HIC。的最大值.

【答案】（1）見解析；（2）人0=2/5；（3）。。的最大值為14.

【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出角度相等，再證明A瓦注C6E即可:

（2）添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，再由勾股定理即可求解：

（3）判斷出點(diǎn)。在C8的延長(zhǎng)線二時(shí)，CO最大，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ZABD=NCBE,

在△48。和△C8E中，

AB=CB

<NABD=Z.CBE,

BD=BE

：.YABD^VCBE（SAS）,

：.AD=CE.

（2）過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)尸，

當(dāng)a=60。，即NABD=60°,

???80=6,ZBFD=90°,ZABD=60°,

???ZBDF=30°,

：?BF=3,DF=3+,

*/AB=8,

，AF=AB-BF=S-3=5,

在Rt4D77中，DF=36,AF=5,

???由勾股定理得：AQ=2jii,

（3）如圖,

則有：CDWDB+BC,

???當(dāng)點(diǎn)。、點(diǎn)/?、點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，CD最大，最大值為3C+6￡）=8+6=14.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，判斷出“以注￡8￡是解本題的

關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

1.（2023秋?山東濟(jì)南?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將ABC繞點(diǎn)4按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)100°,得到VA8C,若

點(diǎn)夕在線段8C的延長(zhǎng)線上，則N3的度數(shù)為（）

A.40°B.60°C.70°D.80°

【答案】A

【分析1由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得N846'=100。.AB=AB\由等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得NB=即可求解.

【詳解】解：???將，/WC繞點(diǎn)4按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)100。，

???/84夕=100。，AB=ABf,

/B=NAB，B=-(180°-100°)=40°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查r旋轉(zhuǎn)，等腰三角形，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

2.(2023秋?遼寧遼陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，正方形。48。的邊長(zhǎng)為2,將正方形O48C繞原點(diǎn)。逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)45，則點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)用的坐標(biāo)為()

y八

----------------C

A'O~x

A.(0,2)B.(-2,0)C.(0,72)D.(-272,0)

【答案】D

【分析】點(diǎn)B繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后落在x軸負(fù)半軸上，根據(jù)08的長(zhǎng)度即可確定點(diǎn)用的坐標(biāo).

【詳解】解：連接。8,如圖，

Bp---------------C

、、

、、

、、

、X

、、、

A~O~x

???正方形。48c的邊長(zhǎng)為2,

：.OA=AB=2,N6L48=90°,ZBOA=45°,

由勾股定理得：06=004=20;

?.*/8Q4=45。，

???點(diǎn)4繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后落在X軸負(fù)半軸上，

：?OB\=OB=2xH,

???點(diǎn)片的坐標(biāo)為(—2立,0),

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵.

3.（2022秋?河北保定?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在矩形A8CO中，AO=3.將矩形ABC。繞點(diǎn)A逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)，得到矩形AEAG.點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)￡落在。。上，且?！?EF.則AB的長(zhǎng)為（）

A.3行B.4C.5D.3

【答案】A

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到石/=AD=3,?D90?,AB=AE，由"七=七〃得到/兄=3,根據(jù)勾股定理得

到A￡=3&，即可得至I」AB的長(zhǎng).

【詳解】???將矩形A8CD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AE/P,

/.EF=BC=AD=3,?。90?,AB=AE.

?：DE=EF,

：.DE=3,

：?AEHALP+ED?=打+32=3拉，

，A8=AE=3&，

故選：A

【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理計(jì)算是

解決本題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?遼寧鞍山?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在RtzMBC中，ZACT=90°,N8=30。,AC=1,將叢8c

繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'8'C,此時(shí)點(diǎn)A恰好在邊上，Ab與BC交于點(diǎn)。，則9。長(zhǎng)為（）

D

H

3

A.2B.2\/3C.—D.5/3

【答案】C

【分析】首先證明.ACA'是等邊三角形，再證明CD4'是直角三角形，求出4。即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：???在RtZ^ABC中，乙4c6=90。，AC=\,ZB=30°,

???AB=2AC=2,

'BC=\IAB?-AC27展=R,

???將C/WC繞點(diǎn)c逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,

/.AC=CA,A8=A3'，

VZ4=90°-Z^=60°,

???，4CA是等邊三角形，

/.AA,=AC=A,C=l,

：.A'C=A'8=1,

JZA'C8=N8=30°,

???NC47T=NA=60。，

/.NCAA'=180。-ZACD-NC4'O=90°,

???A!D=-A!C=-

22

*/A,B,=AB=2,

13

???B'D=2--=-.

22

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形30度角的性質(zhì)、勾股定理.、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

5.（2023?寧夏?統(tǒng)考中考真題）如圖，在A8C中，N84C=90。，AB=AC,BC=2.點(diǎn)、D在BC上,且

BD.CD=\.3.連接A。，將線段A。繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AE,連接8￡,DE.則一比應(yīng)的面

積是（）

E

BDC

13a彳

A.-B.：C.二D.-

4842

【答案】B

【分析】證明“0。絲△AE8,得到3E=CDNA5E=NC,推出D8E為直角三角形，利用sRM的面積

等于^BDBE,進(jìn)行求解即可.

2

【詳解】解：VZBAC=90°,AB=AC,

???ZABC=ZC=45°,/BAD+ZC4D=90。，

,:將線段AO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,

/.AD=AE,/BAD+4BAE=ZDAE=90°,

ZCAD=ZBAE,

在AADC和AAES中,

AD=AE

<ACAD=NBAE,

AB=AC

^ADC^/XAEB,

???BE=CD./LABE=ZC=45°,

???ZEBD=ZABE+ZABC=90。，

???BC=2,BD:CD=1:3,

]133

???BD=2x-=-,BE=CD=2x-=-,

4242

??一ADE的面積等于=

22228

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得

到三角形全等是解題的關(guān)鍵.本題蘊(yùn)含手拉手全等模型，平時(shí)要多歸納，多總結(jié)，便于快速解題.

6.（2023春?河北保定?八年級(jí)保定市笫十七中學(xué)校聯(lián)考期末）在《數(shù)學(xué)知識(shí)PK賽》上，天逸同學(xué)給競(jìng)爭(zhēng)對(duì)

手拋出了一道旋轉(zhuǎn)題，做為觀賽選手，請(qǐng)大家都來(lái)挑戰(zhàn)一下：如圖，將/WC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)70。，得到

NADE,若點(diǎn)。在線段4c的延長(zhǎng)線上，則N8的大小是()

A.45°B.55°C.60°D.100°

【答案】B

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得=/BAD=70。，再利用等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得A8="＞，/BAD=7。。,

：.=1(180°-ZBAD)=55°,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題

的關(guān)鍵.

7.(2023秋?新疆和田?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，/4C是等邊三角形，點(diǎn)。在“3C內(nèi)，PA=2,將繞

點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△QAC,則PQ的長(zhǎng)等于()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出AC=A8,NC4B=60。.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，CQAg.B/%,推出

AQ=AP,ZCAQ=ZBAP,求出NPAQ=60。,得出aAP。是等邊三角形，即可求出答案.

【詳解】解：是等邊三角形，

.\AC=AB,ZC4B=6O°,

???將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△Q4C

CQ噲BPA,

/.AQ=AP,NCAQ=NBAP,

/.ZCAB=ZCAP+ZBAP=NCAP+ZCAQ=60°,

即Z^4g=60°,

??.△AP。是等邊三角形，

:.QP=PA=2,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是

得出/XAP。是等邊三角形，注意“有一個(gè)角等于60。的等腰三角形是等邊三角形，等邊三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，

每個(gè)角都等于60。.

8.（2022秋?廣東深圳?九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，正方形A8CD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E、尸分別在ABAD上，

若CE=3小,且NEC〃=45。，則CF的長(zhǎng)為（）

A.25/loB.3x/5C.D.—>/5

J0

【答案】A

【分析】將,CDF繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到CBM,易證△（?所與CEM全等得到儀=￡例，利用勾股定

理求出8￡=3,則4E=3,設(shè)OF=x,利用勾股定理建立方程求解工，再通過(guò)勾股定理求算CF.

【詳解】解：???四邊形A8CO是正方形，

：.CD=CB=AB=AD,ZD=ZA=ZABC=90°,

將,CDF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到.C8M,如圖所示，

:.CF=CM,DF=BM,/D=NCBM=驕,ZDCF=ZBCM,

/CBE+NCBM=90。，

：.E、3、M三點(diǎn)共線，

*/ZECF=45°,

/./DCF+/BCE=45。,

???/ECM=/BCE+/BCM=45°=ZECF,

又?：CE=CE,

二.CEF包CEM(SAS),

，EF=EM,

/.AE=3,

DF-BM-x,則E/7=ME=x+3,AF=6-x?

在Rt-AM中，由勾股定理得：AE2+AF2=EF2,

:.32+(6-X)2=(X+3)2

解得：x=2,

，DF=2,

**-CF=Vctf+BF=2x/io

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理等等.正確作出輔助

線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

9.（2023春?江蘇南通?八年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形A8CO中，AB=2,ND48=60°,

把菱形ABCD繞點(diǎn)、A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)3（）。得到菱形ABCD，則圖中陰影部分的面積為（）

A.1+>/3B.1—\/3C.3D.3-\/3

【答案】D

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得=4）=2,A,C三點(diǎn)共線，根據(jù)S用影部分=5a瓦.-SgEc,可得S陰影部分.

【詳解】解：如圖,

DC

連接AC,6。相交「。，BC與CDJE點(diǎn).

.??四邊形A8c。是菱形，ZDAB=60°,

.■.zCAB=300=ZCAZ),AC1BD,AO=CO,BO=DO,

人4=2,

:.DO=\,AO=ADO=Q,

/.AC=2x/3,

.?菱形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到菱形ABCD，

.?.N￡M3=30°,AD=Aiy=2,

「.A,/%,。三點(diǎn)共線，

:.Cry=CA-AD'=243-2

XvZACB=30°,

:.D,E=y/3-\?CE=6D'E=3-B

'''Spj影部分=^AAflC-1yl,

?'與影部分=耳入2"'1-耳入（#-1卜（3-/）=3-百,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題.

10.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將.ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到VAO￡1，點(diǎn)C和點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若

ZG4E=90°,AB=4i，則。。的長(zhǎng)為（）

Ey------D

B.2&D.4夜

【答案】A

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NE4C=ND4B=90°,AD=AB，進(jìn)而勾股定理即可求解.

【詳解】解：將A8C繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ZC4E=90°,

AZ￡4C=ZZMB=90o,AD=AB^

在RtZ\AB0中，AB=4i，

???BDZADRAB?=2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出N￡4C=ND44=90。，AD=AB,是解

題的關(guān)鍵.

II.（2023春?天津北辰?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將ABC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OEC,使點(diǎn)A的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)。恰好落在邊A8上，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,連接席.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.ABVEBB.CA=CDC.BC=CED.ZA=NEBC

【答案】A

【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=CO,BC=EC,ZACD=NBCE,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出

Z4=ZEBC,再根據(jù)ZEBC=ZEBC+ZABC=ZA+ZABC=180°-ZACB即可求解.

【詳解】解：ABC繞點(diǎn)、C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,DEC,

:.AC=CD,BC=EC,ZACD=NBCE,

180°—NACOI8()o—N5CE

:.ZA=ZCDA=NEBC=/BEC=

~2~~1~

???選項(xiàng)B、C正確,

/.ZA=NEBC,

二選項(xiàng)D正確.

?/ZEBA=Z.EBC+ZABC=ZA+ZABC=180°—NAC8不一定等于90。，

二?選項(xiàng)A不一定正確；

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于

旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等腰三角形的性質(zhì).

12.（2022秋?黑龍江大慶?八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，"C繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度得到VAOE.已知

ZZMC=60°,ZBAE=100°,BC、OE相交于點(diǎn)F,BC、AO相交于點(diǎn)G,則NZMB的度數(shù)為.

【答案】20。/20度

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得N8AD=NC4E,求出NB4O+NC4E=40。即可得出答案.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NBAO=NC4￡,

VZZ^4C=60°,ZBAE=100°,

???/BAD+ZC4E=/BAE-Z1DAC=1（X）°-60°=40°,

：.ZBAD=ZCAE=20°,

故答案為：20°.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟知對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角且旋轉(zhuǎn)角相等是解題

的關(guān)鍵.

13.（2023?吉林松原?校聯(lián)考二模）如圖，在矩形A8CO中，A8=3,/3C=4.將矩形沿施翻折，使點(diǎn)A恰好

落在邊8C上的A處，再將四邊形。。圖繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到四邊形CR交BE于點(diǎn)、F,則

△EFC1的面積為

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得四邊形入網(wǎng)E是正方形，4BE是等腰直角三角形，四邊形

ACOE是矩形，四邊形GRKA是矩形，由此可得.GEQ是等腰直角三角形，由此即可求出G￡=GE=2,

根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】解：?.?四邊形468是矩形，將矩形沿的翻折，使點(diǎn)八恰好落在辿3C上的A處,

???四邊形八網(wǎng)后是正方形,

???A8==4E=AE=3,且a%BE是等腰直角三角形，

.??必4￡=“七8=45。，AC=6C—44=4—3=1,

VED=AD-AE,\C=BC-\B,CD=AyE,

??.￡O=AC.ED//A.C.ZC=90°.

???四邊形ACQE是矩形，

???將四邊形SEA、繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到四邊形C.D.E.A，

???四邊形是矩形，CQ〃A4，

...AG=AC=I,ZEC1F=Z￡4）E,=90°,ZC.FE=ZC.EF=45°,

???C￡=AE-AG=3-I=2,戶是等腰直角三角形,

CtE=CF=2,

?**S&C、EF=/C[尸?C[E=-x2x2=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形與折疊，等腰三角形的性質(zhì)的綜合，掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，正方形的

性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

14.（2022秋?河北保定?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，將RI/XA8C繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到Rt^AOE,

（1）△ABO是等腰三角形嗎?（選填“是”或“否”）；

（2）若48=百,/8=60。，則C￡>=.

【答案】是6

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，口1可達(dá)到答案；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得=由/8=60。，于是可判斷二4）8為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)

得BD=AB=B然后利用8=3C—進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知：AD=AB,

???△45。是等腰三角形，

故答案為：是；

（2）VZ2?=6O°,ZZMC=90°,

???ZC=90°-60°=30°,

，BC=2AB=2逐,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，AI3=AD,

???△A3。是等邊三角形，

***BD=AB=\/5，

則。。=8。-8。=2癢6=技

故答案為：73.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；

對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì).

15.（2023秋?陜西安康?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在A8C中，AB=AC,。是BC的中點(diǎn)，將八4￡心繞點(diǎn)A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得瓦'，點(diǎn)。，C分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)E,F,連接CG若NBAC=62。，則NC正的度數(shù)為

【答案】14

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得80=0ZACB=Z4BC=59°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得■=AC,

ZG4F=90°,ZAFE=ZACD=59°,即可求解.

【詳解】解：???A8=AC,。是BC的中點(diǎn)，NE4C=62。，

:?BD=CD,ZACB=ZABC=59°,ADJ.BC,

■:將AADC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得八AEF,

AAF=AC,ZC4F=90°,ZAFE=ZACD=59°,

???ZAFC=ZACF=45°,

/.ZCFE=59°-45°=14°,

故答案為：14.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵.

16.(2022秋?遼寧鞍山?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，A3C中，BC=AC,NAC8=90。；CH1AB,ABC繞

點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，點(diǎn)A,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，，C',過(guò)H作C”的垂線，垂足為。，若。。=6+1,

【答案】V2

【分析】如圖，設(shè)C"=x,延長(zhǎng)A8,交。。延長(zhǎng)線與E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角

形外角性質(zhì)可得出NE=30。，AB=AB=2x,BH=CH=AH=x,根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)可用x

分別表示出AZ、4。、DE、日/的長(zhǎng)，利用線段的和差關(guān)系，結(jié)合OC=G+1列方程求出x的值，根據(jù)

勾股定理即可得答案.

【詳解】如圖，延長(zhǎng)AB，交QC延長(zhǎng)線與七，設(shè)C"=x，

VBC=AC,NAC8=90。，CHLAB,

/.ZA=ZABC=ZBCH=45°,BH=CH=AH=x,

*/A8C繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)12()。，點(diǎn)A,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4,C,

，NC4C=120°,ZCBA=ZABC=45°,AB=AB=2x,

，Z.CBE=180°-ZCBA-ZCTC=15°,

???ZE=ZBCH-NCBE=30°,

??BE=2BH=2x?HE=VBE2—BH1=0x,

，AE=4x，

;AD±CD，

AAD=^AE=2x,DE7AE2-Alf=2瓜，

,?，DC=G+1,EH=DE-DC+CH,

舊X=2也K-(6+1)+x,

解得：x=l,

???AC=\/CH2+AH2=42x=y/2■

故答案為：O

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、筆腰直角三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)及

勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及30。角所對(duì)直角邊等于斜邊一半的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

17.（2022秋?遼寧鐵嶺?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在正方形ABC。內(nèi)作㈤F=45。，AE交BC于點(diǎn)、E,AF交

CQ于點(diǎn)尸，連接EF,過(guò)點(diǎn)A作AHJ.所，垂足為H,將△4￡中繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得至lj.ABG，若BE=2,

OF=3,則AH的長(zhǎng)為.

【答案】6

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)可知E4G絲E4*SAS）,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知A8=〃/,

最后利用勾股定理解答即可.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：^ABG^ADF,

：.AG=AF,ZBAG=ZDAF,DF=BG,

???四邊形A8CO是正方形，

r.AB\D=AECF=ZABC=90°,AB=AD=BC=CD,

???ZE4F=45°,

???ZR4E+NE4O=45。，

AZBA￡+ZBAG=45°,

，ZE4G=NBAE+/BAG=45°,

A_E4G^AE4F（SAS）,

?：AHLEF，ZABC=90°,EF=EG,

:.AB=AH,

???DF=3,

???DF=BG=3,

*/BE=2,

EG=BE+BG=5,

，EF=5,

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,則EC=x-2,FC=x-3,

???在Rt.EFC中，EF2=EC2+FC2,

:.（X-2）2+（X-3）?=25,

解得：百=6,x2=-1（舍去），

即AB=6,

??AU—AD=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握正方形的性

質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形A8CO中，4B=8,AD=4,將矩形48co繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)一定

角度后得矩形48C。，A'B交CD于點(diǎn)、E,且庭=4E，則CE的長(zhǎng)為.

Dr

【答案】3

【分析】設(shè)CE=AE=x,則BE=3-x,在Rt/CE中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可得到

答案.

【詳解】解：設(shè)CE=AE=x,

AB=8,AO=4,將矩形A8CQ繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)一定角度后得矩形A'8C'。'，

.e.BE=8-x,BC=AD=4,

在RtBCE中,CE?+BC?=啥，

/.（8-x）2=x2+42,

解得：x=3,

???CE的長(zhǎng)為：3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是解

題的關(guān)鍵.

19.（2023春?河北保定?八年級(jí)保定十三中?？计谀﹫D中48c和VAOE是兩個(gè)等邊三角形，其中A8=6,

⑴將兩三角形按圖1放置（點(diǎn)A,D,C在同一條直線上），連接線段8。，CE,求線段CE的長(zhǎng):

⑵洛VAOE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋儀，如圖2所示，直線80,C￡相交于點(diǎn)尸，連接AF.求證：

ZBFC=ZA/'B=ZAFE；

(3)以圖1的位置為起點(diǎn)，將V4OE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)儀0。＜。＜360。)，當(dāng)點(diǎn)用,。，E恰好在一條直線上

時(shí)，直接寫出線段a1的長(zhǎng)度.

【答案】(1)36；

⑵見詳解；

,.、3\/?3±3

2

【分析】(I)由.48。是等邊三角形，AC=6,A0=3,得到8O_LAC,求出8。，再證明AAB原△ACE,

得到C￡=8O=3G即可；

(2)分別過(guò)點(diǎn)A作AN_L8O于點(diǎn)N,AM_LEC于點(diǎn)M,先證明AABZ運(yùn)△ACE,得到CE=8O,

48。=NACE,由三角形內(nèi)角和定理得到N8bC=N84C=60。，再證明△ABNgAACM,得到4V=AM,

則可證明"平分N區(qū)在，故可知44。=44產(chǎn)E=g/B"石=60。則問(wèn)題可證；

(3)當(dāng)A,D,E共線時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作A〃_LOE于點(diǎn)，，分別求出AH=—,在利用勾股定理

22

求;II4”,從而求出B。，由CE=80問(wèn)題可解.

【詳解】(1)VAC=6,AD=3,

???BD1AC

/.ZADB=90°

,BD=ylAB2-AD2=762-32=343

???48c和VAOE是兩個(gè)等邊一角形，

/.AB=AC,AD