第二十三章 旋轉（知識歸納+題型突破）（八大題型134題）（解析版）-2023-2024學年九年級數(shù)學上冊單元速記·巧練（人教版）

第二十三章旋轉（知識歸納+題型突破）

課標要求

基礎知識歸納

題■一旋轉三要素_

、題型二圖形旋轉性質的應用,

題型三圖形旋轉的規(guī)律探究

題型四坐標系內的圖形旋轉

、題型五圖形中心對稱的性質應用,

題型六中心對稱圖形

題型七坐標系內的關于原點的對稱問題

題型八一的綜

考點9:雌上

1.通過具體實例認識平面圖形關于旋轉中心的旋轉。探索它的基本性質:一個圖形和旋轉得到的圖形中，對

應點到旋轉中心距離相等，兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等.

2.了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它們的基本性質;成中心對稱的兩個圖形中，對應點的連線經

過M稱中心，且被對稱中心平分.

3.探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質.

4.認識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的中心對稱圖形.

基礎知識歸納

1、旋轉

把一個平面圖形繞著平面內的一點O轉動一個角度。（旋轉中心：。點，旋轉角：轉動的角度）

2、性質

①對應點到旋轉中心的距離相等

②對應點到旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角

③旋轉前后的圖形全等

3、中心對稱

把一個圖形繞著某一點0旋轉180度，如果它能夠與另一個圖形重合，這兩個圖形關于這個點對稱或中心

對稱

4、性質①對稱點所連線段都經過時稱中心，且被對稱中心所平分

②中心對稱的圖形是全等圖形

5、中心對稱

把一個圖形繞著某一點。旋轉180度后能與原圖形重合，主體：一個圖形，而中心對稱指的是兩個

4、關于原點對稱的坐標P(x,y)-P(-x,-y)

重要題型

題型一旋轉三要素

【例1】如圖，AA8C和A4OC都是等邊三角形.

(1)AA4C沿著所在的直線翻折能與AAOC重合；

(2)如果AA3C旋轉后能與AAZX?重合，則在圖形所在的平面上可以作為旋轉中心的點是

(3)請說出2中一種旋轉的旋轉角的度數(shù).

【答案】(1)AC；(2).點A、點C或者線段AC的中點；(3)60°

【分析】(1)因為A48C和A4OC有公共邊AC,翻折后重合，所以沿著直線AC翻折即可：(2)將△ABC

旋轉后與A4OC重合，可以以點A、點C或AC的中點為旋轉中心；(3)以點A、點C為旋轉中心時都旋

轉60。，以AC中點旋轉時旋轉180。.

【詳解】(1)???MBC和AAQC都是等邊三角形，

???MBC和MDC是全等三角形，

???△ABC沿著AC所在的直線翻折能與△ADC重合.

故填AC;

(2)4AABC旋轉后與AADC重合，則可以以點A為旋轉中心逆時針旋轉60?；蛞渣cC為旋轉中心順時針旋

轉60。,或以AC的中點為旋轉中心旋轉180。即可；

（3）以點A、點C為旋轉中心時都旋轉60。，以AC中點旋轉時旋轉180。.

【點睛】此題考查平移的對稱軸確定的方法、旋轉中心確定的方法，依照平移、旋轉的性質來確定即可.

鞏固訓練:

1.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，在正方形網格中，圖中陰影部分的兩個圖形是一個經過旋轉變換得

)

C.點CD.點、D

【分析】根據(jù)旋轉的性質，作兩組對■應點所連線段的垂宜平分線，交點即為旋轉中心，即可得.

【詳解】解：如圖所示，兩組對應點所連線段的垂直平分線的交點4即為旋轉中心,

故選:B.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，解題的關鍵是掌握旋轉的性質.

2.《2023春?福建漳州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在7x5方格紙中，格點三角形甲經過旋轉后得到格點三角形

乙，則其旋轉中心是（）

A.點、MB.點NC.點、PD.點。

【答案】A

【分析】先確定點A與點￡為對應點，點4和點廠為對應點，則根據(jù)旋轉的性質得旋轉中心在的垂直平

分線上，也在質的垂直平分線上，所以作AE的垂直平分線和斯的垂直平分線，它們的交點即為旋轉中心.

【洋解】解：???甲經過旋轉后得到乙，

，點A與點E為對應點，點8和點尸為對應點，

???旋轉中心在A左的垂直平分線上，也在M的垂直平分線上，

作AE的垂直平分線和所的垂直平分線，它們的交點為M點，如圖，

即旋轉中心為M點.

故選：A.

【點睛】本題考查了旋轉的性質：對■應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于

旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.

3.（2023春泗川成都?八年級統(tǒng)考期末）如圖，小明蕩秋千，位置從A點運動到了4點，若NO/W=50。,

則秋千旋轉的角度為（）

A.50°B.60°C.80°D.90°

【答案】C

【分析】根據(jù)旋轉角的定義、旋轉的性質、等腰三角形的性質以及三角形內角和定理進行解答.

【詳解】???/QVT=50。，小剛的位置從A點運動到了A點，

JAO=OAr,

???NQW=NQVA=50。，，

???ZA,OA=\80°-50°-50°=80°,

，秋千旋轉的角度為80°

故選C.

【點睛】本題考查了旋轉的性質、等腰三角形的性質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵.

4.（2021秋廣東江門?九年級臺山市新寧中學?？计谥校┤鐖D，將心48c中，N8=32。，ZC=90°,將其

繞點A順時針方向旋轉到.4SG的位置，使得。、4媯在同一條直線上，那么旋轉角的度數(shù)為（）

B

A.32°B.90°C.122°D.132°

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的外角的性質得到=NAC8+N8即可解答.

【詳解】解：:在用ABC中，ZB=32°,ZC=90°,C、A、片在同一條直線上，

ZBABi=ZACB+NB=90°+32c=122°,

故選C.

【點睛】本題考查了平角的定義，旋轉性質、三角形外角的性質，找到旋轉角并掌握三角形外角的性質是

解題的關鍵.

5.（2023?江蘇?八年級假期作業(yè)）如圖，如果將正方形甲旋轉到王方形乙的位置，可以作為旋轉中心的點有

)

乙

甲

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)旋轉的性質，即可得出，分別以48,C為旋轉中心即可從正方形甲旋轉到正方形乙的位置.

【詳解】解：如圖，

乙

甲

繞A點逆時針旋轉90。，可到正方乙的位置；

繞C點順時針旋轉9（）。，可到正方乙的位置；

繞AC的中點8旋轉180。，可到正方乙的位置；

故選：C.

【點睛】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉

角，對應點到旋轉中心的距離相等：特別注意容易忽略點注

6.（2023春?江蘇?八年級專題練習）如圖，若正方形EFGH由正方形ABCD繞某點旋轉得到，則可以作為

旋轉中心的是（）

A.M或O或NB.E或?；駽C.E或O或ND.M或O或C

【答案】A

【詳解】試題分析：若以M為旋轉中心，把正方形ABC。順時針旋轉90。，A點對應點為“，8點對應點為

E,C點對應點為立。點對?應點為G,則可得到正方形EFG”：

若以。為旋轉中心，把正方形A6CD旋轉180。，A點對應點為G,8點對應點為“，。點對應點為E,。點

對應點為F,則可得到正方形EFG，；

若以N為旋轉中心，把正方形ABC。逆時針旋轉90。，A點對應點為F,B點對應點為G,C點對應點為”,

D點對應點為E,則可得到正方形EFGH.

故選A.

7.（2023春?山東濱州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網格中，繞某點旋轉一定的角度得到A9C,

則旋轉中心的坐標是.

【分析】根據(jù)旋轉的性質可知，對應點到旋轉中心的距離相等，則對應點連線的垂直平分線的交點即為旋

轉中心.

【詳解】如圖，連接A4'，BB',分別作線段/VT，的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點P（T,T）,

點P（T-l）即為旋轉中心.

故答案為：

【點睛】本題主要考查圖形旋轉的性質，牢記旋轉中心的確定方法（對應點連線的垂直平分線的交點即為

旋轉中心）是解題的關鍵.

8.（2023春?山東荷澤?八年級統(tǒng)考期末）如圖，網格中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點A、B都

在格點上.線段A/3繞著某一定點順時針旋轉一個角度。（0。＜。＜180。）后，得到線段A0（點A、4分別

是A、8的對應點，也都在格點上），則。的大小是.

【答案】90390度

【分析】首根據(jù)旋轉的性質確定旋轉中心為點。，即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接町由網格作的垂直平分線，交于點O,

???點。為旋轉中心，

:.NAOV=90。，即旋轉角為90°，

故答案為：90°.

【點睛】本題主要考查了旋轉角度的確定，畫出圖形能快速解決問題.

9.（2022秋?廣東汕頭?九年級汕頭市龍湖實驗中學校考期中）如圖，A8C在平面直角坐標系中的位置，且

4（5,5）,將其繞點P順時針旋轉得到.A7TC,則點尸的坐標是,旋轉角是度.

【答案】(4,4)90

【分析】根據(jù)旋轉性質，對應點的連線的垂直平分線的交點即為旋轉中心，據(jù)此可求解.

【詳解】解：如圖，點P(4,4)為旋轉中心，旋轉角/4%=90。，

2

6

5

4

3A9

2----

1B-

^1~1~2-^~~456攵

故答案為:(4,4),9().

【點睛】本題考查坐標與圖形變換-旋轉，解答的關鍵是熟知對應點連線的垂宜平分線的交點即為旋轉中心.

10.(2023春?福建福州?八年級福州日升中學?？计谀?如圖，在平面直角坐標系中，A8C的三個頂點坐

標為4-3,4),B(T,2),C(-2,l),/8C繞原點逆時針旋轉90。，得到△人片&，△4片&向右平移6個單

位，再向上平移2個單位得到△人,為G.

(1)畫出△和△A避2c2;

(2)「(4份是/8C的4c上一點，/8C經旋轉、平移后點。的對應點為鳥，則點6的坐標是

(3)若，A8C直接旋轉得到△&8C，則旋轉點M坐標是

【答案】(1)見解析

(2)「。+6,a+2)

(322.4)

【分析】(1)先根據(jù)點繞原點逆時針旋轉90。坐標變換規(guī)律得出點4,耳，C，再順次連接即可得△A4C：

根據(jù)坐標平移規(guī)律得出點A?,B?,C2,然后順次連接即可得△A與G；

(2)根據(jù)點繞原點逆時針旋轉90。坐標變換規(guī)律、坐標平移規(guī)律即可得；

(3)對應點連線的垂直平分線的交點即為旋轉中心.

【詳解】(1)解.：根據(jù)旋轉的性質得到△A4G，

根據(jù)平移的性質得到2c2,女「圖所示:

（2）解：由（1）坐標變換規(guī)律得：6（-〃，〃），鳥（-"6,4+2）；

故答案為：（-〃+6,。+2）；

（3）解：若.A8c直接旋轉得到如圖,

則旋轉點M坐標是（2,4）.

故答案為：（2,4）.

【點睛】本題考查了畫旋轉圖形、平移圖形、旋轉中心，掌握點坐標變換規(guī)律是解題關鍵.

11.（2022秋?河南周口?九年級統(tǒng)考期中）如圖所示，在平面直角坐標系中，有一個RtZXABC,且A（-l,3）,

8（3,1）,C（3,3）,已知.AAG是由ABC旋轉得到的.

,旋轉角是,度;

⑵以（1）中的旋轉中心為中心，分別畫出AAG逆時針旋轉90。、180。后的三角形;

（3）設RlZ\A6C兩直角邊8C=a,AC=b,斜邊A8=c,利用變換前后所形成的圖案證明勾股定理.

【答案】（1）0（0,。），90

（2）見解析

（3）見解析

【分析】（1）根據(jù)CG，A3的垂比平分線交于點O,則旋轉中心為坐標是0（0,0）,勾股定理的逆定理可得

乙408=90。，進而即可求解；

（2）根據(jù)旋轉的性質畫出旋轉圖形即可求解；

（3）由旋轉的過程可知，四邊形CGGG和四邊形是正方形.根據(jù)S正方M0G=S正方形+4sz5c,

進而即可求解.

【洋解】（1）解：如圖所示,

CC?AB的垂直平分線交于點0,則旋轉中心的坐標是。(0,0)，

又；OA2=OB2=12+32=10,^=22+42=2(),

???ZAOB=90。

即旋轉角是90度.

故答案為:0(0,0),90.

(3)由旋轉的過程可知，四邊形CGGG和四邊形948是正方形.

,:S正方形cgGJ=S正方形M&B+4S&X,

設RtZXABC兩直角邊8C=a,AC=b,斜邊A8=c,

2J

:.(?+/?)"=c2+4x-ab,a2+2ab+b2=c2+2ab.

：?a1+lr=c2.

【點睛】本題考查了勾股定理，找旋轉中心，旋轉角，畫旋轉圖形，勾股定理的證明，熟練掌握旋轉的性

質是解題的關鍵.確定旋轉中心的方法：分別作兩組對應點所連線段的垂直平分線，其交點就為旋轉中心.

12.（2023春?廣東梅州?九年級校考開學考試）如圖，直線〃?、〃相交于點P，且所成的銳角為45。，畫出4ABe

關于直線，〃的對稱圖形,A&C,然后畫出..AB'C關于直線〃的對稱圖形△4WC〃，你能發(fā)現(xiàn)ABC與

有什么關系嗎？若是平移，指出平移的方向和距離；若是旋轉，指出旋轉的中心和角度.

【答案】作圖見解析，.A8C繞點P逆時針旋轉90。得到

【分析】利用軸對稱的性質畫出AEC和△/V7TC",然后根據(jù)軸對稱的性質得到Q4=%i,PB=PB：

PC=PC",^APAT==NCPC”=90。,從而可判斷AA5C繞點P逆時針旋轉90。得到△△"/＜（_；”.

【詳解】解：如圖，A6C和△AWC"為所作.

A8C和A9C關于直線〃?的對稱，

PA=PA,%與直線〃?夾角等于P/V與直線機的夾角，

A'B'C和△4〃ZTC"關于直線〃的對稱，

?..PAn=PAf,BT與直線〃夾角等于PA與直線〃的夾角，

APA=PA^Z4PA*=2x45°=90°,

同理得到依二28〃，NBPB"=90。,PC=PC",ZCPC*=90°,

.,“A8C繞點。逆時針旋轉90。得到AA〃8〃C".

【點睛】本題考查了作圖-軸對稱變換：先確定圖形的關鍵點；再利用軸對稱性質作出關鍵點的對稱點；然

后按原圖形中的方式順次連接對稱點.也考查了旋轉的性質.

題型二圖形旋轉性質的應用

【例2】（2022秋?湖北荊州?九年級統(tǒng)考期中）如圖，ABC中，Z5=I5°,ZACB=25°,45=4cm,ABC

逆時針旋轉?定角度后與VADE重合，且點C恰好成為4。的中點.

（1）指出能轉中心，并求出旋轉的度數(shù)；

⑵求出NBAE的度數(shù)和AE的長.

【答案】（1）旋轉中心為點A,旋轉的度數(shù)為140。⑵NB4E=80。，AE=2

【分析】（1）根據(jù)圖形可得旋轉中心為點4根據(jù)一角形的內角和定理求出N7MC,結合旋轉的性質即可

得出旋轉角的度數(shù)；

（2）

【詳解】（1）解：ZBAC=180°-ZB-ZACB=180o-15o-25o=140°,

即ZBAD=140°,

所以旋轉中心為點A,旋轉的度數(shù)為140。；

（2）解：逆時針旋轉一定角度后與VADE重合，

...N￡4O=N3AC=140°,AE=AC,AD=AB=4,

NBAE=360。-140°-l40。=80°:

???點C恰好成為AD的中點，

AC=—AD=2,

2

.\AE=2.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，解題的關鍵是掌握旋轉前后對應邊相等，對應角相等，對應邊連線

的夾角等于旋轉角.

【例3】如圖I,在等腰RtZXABC中，A8=8C=8,N8=90。，D、E分別為A3、8c上的點，且8D=8E=6,

將」）BE繞B點逆時針旋轉a（00<a<l80°）.

（2）若a=60。，求A。的長：

（3）在一旋轉過程中，直接寫HIC。的最大值.

【答案】（1）見解析；（2）人0=2/5；（3）。。的最大值為14.

【分析】（1）利用旋轉的性質得出角度相等，再證明A瓦注C6E即可:

（2）添加輔助線，構造直角三角形，再由勾股定理即可求解：

（3）判斷出點。在C8的延長線二時，CO最大，即可得出結論.

【詳解】（1）證明：由旋轉的性質可知，ZABD=NCBE,

在△48。和△C8E中，

AB=CB

<NABD=Z.CBE,

BD=BE

：.YABD^VCBE（SAS）,

：.AD=CE.

（2）過點。作于點尸，

當a=60。，即NABD=60°,

???80=6,ZBFD=90°,ZABD=60°,

???ZBDF=30°,

：?BF=3,DF=3+,

*/AB=8,

，AF=AB-BF=S-3=5,

在Rt4D77中，DF=36,AF=5,

???由勾股定理得：AQ=2jii,

（3）如圖,

則有：CDWDB+BC,

???當點。、點/?、點C三點共線時，CD最大，最大值為3C+6￡）=8+6=14.

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，旋轉的性質，判斷出“以注￡8￡是解本題的

關鍵.

鞏固訓練

1.（2023秋?山東濟南?八年級統(tǒng)考期末）如圖，將ABC繞點4按逆時針方向旋轉100°,得到VA8C,若

點夕在線段8C的延長線上，則N3的度數(shù)為（）

A.40°B.60°C.70°D.80°

【答案】A

【分析1由旋轉的性質可得N846'=100。.AB=AB\由等邊對等角的性質可得NB=即可求解.

【詳解】解：???將，/WC繞點4按逆時針方向旋轉100。，

???/84夕=100。，AB=ABf,

/B=NAB，B=-(180°-100°)=40°,

故選：A.

【點睛】本題主要考查r旋轉，等腰三角形，熟練掌握旋轉的性質，等腰三角形的性質，是解題的關鍵.

2.(2023秋?遼寧遼陽?九年級統(tǒng)考期末)如圖，正方形。48。的邊長為2,將正方形O48C繞原點。逆時針

旋轉45，則點8的對應點用的坐標為()

y八

----------------C

A'O~x

A.(0,2)B.(-2,0)C.(0,72)D.(-272,0)

【答案】D

【分析】點B繞原點。逆時針旋轉45后落在x軸負半軸上，根據(jù)08的長度即可確定點用的坐標.

【詳解】解：連接。8,如圖，

Bp---------------C

、、

、、

、、

、X

、、、

A~O~x

???正方形。48c的邊長為2,

：.OA=AB=2,N6L48=90°,ZBOA=45°,

由勾股定理得：06=004=20;

?.*/8Q4=45。，

???點4繞原點。逆時針旋轉45后落在X軸負半軸上，

：?OB\=OB=2xH,

???點片的坐標為(—2立,0),

故選：D.

【點睛】本題考查了坐標與圖形，正方形的性質，旋轉的性質，掌握旋轉的性質是關鍵.

3.（2022秋?河北保定?九年級校聯(lián)考期中）如圖，在矩形A8CO中，AO=3.將矩形ABC。繞點A逆時針

旋轉，得到矩形AEAG.點8的對應點￡落在。。上，且?！?EF.則AB的長為（）

A.3行B.4C.5D.3

【答案】A

【分析】由旋轉的性質得到石/=AD=3,?D90?,AB=AE，由"七=七〃得到/兄=3,根據(jù)勾股定理得

到A￡=3&，即可得至I」AB的長.

【詳解】???將矩形A8CD繞點A逆時針旋轉，得到矩形AE/P,

/.EF=BC=AD=3,?。90?,AB=AE.

?：DE=EF,

：.DE=3,

：?AEHALP+ED?=打+32=3拉，

，A8=AE=3&，

故選：A

【點睛】此題考查了旋轉的性質、矩形的性質、勾股定理等知識，熟練掌握旋轉的性質和勾股定理計算是

解決本題的關鍵.

4.（2022秋?遼寧鞍山?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在RtzMBC中，ZACT=90°,N8=30。,AC=1,將叢8c

繞點。逆時針旋轉得到△A'8'C,此時點A恰好在邊上，Ab與BC交于點。，則9。長為（）

D

H

3

A.2B.2\/3C.—D.5/3

【答案】C

【分析】首先證明.ACA'是等邊三角形，再證明CD4'是直角三角形，求出4。即可解決問題.

【詳解】解：???在RtZ^ABC中，乙4c6=90。，AC=\,ZB=30°,

???AB=2AC=2,

'BC=\IAB?-AC27展=R,

???將C/WC繞點c逆時針旋轉得到,

/.AC=CA,A8=A3'，

VZ4=90°-Z^=60°,

???，4CA是等邊三角形，

/.AA,=AC=A,C=l,

：.A'C=A'8=1,

JZA'C8=N8=30°,

???NC47T=NA=60。，

/.NCAA'=180。-ZACD-NC4'O=90°,

???A!D=-A!C=-

22

*/A,B,=AB=2,

13

???B'D=2--=-.

22

故選：C

【點睛】本題考查直角三角形30度角的性質、勾股定理.、等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是

靈活運用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

5.（2023?寧夏?統(tǒng)考中考真題）如圖，在A8C中，N84C=90。，AB=AC,BC=2.點、D在BC上,且

BD.CD=\.3.連接A。，將線段A。繞點A順時針旋轉90。得到線段AE,連接8￡,DE.則一比應的面

積是（）

E

BDC

13a彳

A.-B.：C.二D.-

4842

【答案】B

【分析】證明“0。絲△AE8,得到3E=CDNA5E=NC,推出D8E為直角三角形，利用sRM的面積

等于^BDBE,進行求解即可.

2

【詳解】解：VZBAC=90°,AB=AC,

???ZABC=ZC=45°,/BAD+ZC4D=90。，

,:將線段AO繞點A順時針旋轉90°得到線段AE,

/.AD=AE,/BAD+4BAE=ZDAE=90°,

ZCAD=ZBAE,

在AADC和AAES中,

AD=AE

<ACAD=NBAE,

AB=AC

^ADC^/XAEB,

???BE=CD./LABE=ZC=45°,

???ZEBD=ZABE+ZABC=90。，

???BC=2,BD:CD=1:3,

]133

???BD=2x-=-,BE=CD=2x-=-,

4242

??一ADE的面積等于=

22228

故選B.

【點睛】本題考查旋轉的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質.熟練掌握旋轉的性質，得

到三角形全等是解題的關鍵.本題蘊含手拉手全等模型，平時要多歸納，多總結，便于快速解題.

6.（2023春?河北保定?八年級保定市笫十七中學校聯(lián)考期末）在《數(shù)學知識PK賽》上，天逸同學給競爭對

手拋出了一道旋轉題，做為觀賽選手，請大家都來挑戰(zhàn)一下：如圖，將/WC繞點A逆時針旋轉70。，得到

NADE,若點。在線段4c的延長線上，則N8的大小是()

A.45°B.55°C.60°D.100°

【答案】B

【分析】根據(jù)旋轉的性質得=/BAD=70。，再利用等邊對等角以及三角形內角和定理即可求解.

【詳解】解：由旋轉的性質得A8="＞，/BAD=7。。,

：.=1(180°-ZBAD)=55°,

故選:B.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊對等角，三角形內角和定理，熟記各圖形的性質并準確識圖是解題

的關鍵.

7.(2023秋?新疆和田?九年級統(tǒng)考期末)如圖，/4C是等邊三角形，點。在“3C內，PA=2,將繞

點A逆時針旋轉得到△QAC,則PQ的長等于()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質推出AC=A8,NC4B=60。.根據(jù)旋轉的性質得出，CQAg.B/%,推出

AQ=AP,ZCAQ=ZBAP,求出NPAQ=60。,得出aAP。是等邊三角形，即可求出答案.

【詳解】解：是等邊三角形，

.\AC=AB,ZC4B=6O°,

???將繞點A逆時針旋轉得到△Q4C

CQ噲BPA,

/.AQ=AP,NCAQ=NBAP,

/.ZCAB=ZCAP+ZBAP=NCAP+ZCAQ=60°,

即Z^4g=60°,

??.△AP。是等邊三角形，

:.QP=PA=2,

故選：B.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，旋轉的性質等知識點，關鍵是

得出/XAP。是等邊三角形，注意“有一個角等于60。的等腰三角形是等邊三角形，等邊三角形的對應邊相等，

每個角都等于60。.

8.（2022秋?廣東深圳?九年級?？奸_學考試）如圖，正方形A8CD的邊長為6,點E、尸分別在ABAD上，

若CE=3小,且NEC〃=45。，則CF的長為（）

A.25/loB.3x/5C.D.—>/5

J0

【答案】A

【分析】將,CDF繞點。逆時針旋轉90。到CBM,易證△（?所與CEM全等得到儀=￡例，利用勾股定

理求出8￡=3,則4E=3,設OF=x,利用勾股定理建立方程求解工，再通過勾股定理求算CF.

【詳解】解：???四邊形A8CO是正方形，

：.CD=CB=AB=AD,ZD=ZA=ZABC=90°,

將,CDF繞點C逆時針旋轉90。到.C8M,如圖所示，

:.CF=CM,DF=BM,/D=NCBM=驕,ZDCF=ZBCM,

/CBE+NCBM=90。，

：.E、3、M三點共線，

*/ZECF=45°,

/./DCF+/BCE=45。,

???/ECM=/BCE+/BCM=45°=ZECF,

又?：CE=CE,

二.CEF包CEM(SAS),

，EF=EM,

/.AE=3,

DF-BM-x,則E/7=ME=x+3,AF=6-x?

在Rt-AM中，由勾股定理得：AE2+AF2=EF2,

:.32+(6-X)2=(X+3)2

解得：x=2,

，DF=2,

**-CF=Vctf+BF=2x/io

故選：A.

【點睛】本題考查正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的性質與判定、勾股定理等等.正確作出輔助

線構造全等三角形是解題的關鍵.

9.（2023春?江蘇南通?八年級南通田家炳中學?？茧A段練習）如圖，在菱形A8CO中，AB=2,ND48=60°,

把菱形ABCD繞點、A順時針旋轉3（）。得到菱形ABCD，則圖中陰影部分的面積為（）

A.1+>/3B.1—\/3C.3D.3-\/3

【答案】D

【分析】根據(jù)菱形的性質可得=4）=2,A,C三點共線，根據(jù)S用影部分=5a瓦.-SgEc,可得S陰影部分.

【詳解】解：如圖,

DC

連接AC,6。相交「。，BC與CDJE點.

.??四邊形A8c。是菱形，ZDAB=60°,

.■.zCAB=300=ZCAZ),AC1BD,AO=CO,BO=DO,

人4=2,

:.DO=\,AO=ADO=Q,

/.AC=2x/3,

.?菱形ABCD繞點A順時針旋轉30。得到菱形ABCD，

.?.N￡M3=30°,AD=Aiy=2,

「.A,/%,。三點共線，

:.Cry=CA-AD'=243-2

XvZACB=30°,

:.D,E=y/3-\?CE=6D'E=3-B

'''Spj影部分=^AAflC-1yl,

?'與影部分=耳入2"'1-耳入（#-1卜（3-/）=3-百,

故選：D.

【點睛】本題考查了菱形的性質，旋轉的性質，關鍵是靈活運用這些性質解決問題.

10.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，將.ABC繞點A逆時針旋轉得到VAO￡1，點C和點E是對應點，若

ZG4E=90°,AB=4i，則。。的長為（）

Ey------D

B.2&D.4夜

【答案】A

【分析】根據(jù)旋轉的性質可得NE4C=ND4B=90°,AD=AB，進而勾股定理即可求解.

【詳解】解：將A8C繞點A逆時針旋轉得到ZC4E=90°,

AZ￡4C=ZZMB=90o,AD=AB^

在RtZ\AB0中，AB=4i，

???BDZADRAB?=2,

故選：A.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，根據(jù)旋轉的性質得出N￡4C=ND44=90。，AD=AB,是解

題的關鍵.

II.（2023春?天津北辰?九年級?？茧A段練習）如圖，將ABC繞點。順時針旋轉得到OEC,使點A的對

應點。恰好落在邊A8上，點8的對應點為E,連接席.下列結論錯誤的是（）

A.ABVEBB.CA=CDC.BC=CED.ZA=NEBC

【答案】A

【分析】利用旋轉的性質得AC=CO,BC=EC,ZACD=NBCE,再根據(jù)等腰三角形的性質即可得出

Z4=ZEBC,再根據(jù)ZEBC=ZEBC+ZABC=ZA+ZABC=180°-ZACB即可求解.

【詳解】解：ABC繞點、C順時針旋轉得到,DEC,

:.AC=CD,BC=EC,ZACD=NBCE,

180°—NACOI8()o—N5CE

:.ZA=ZCDA=NEBC=/BEC=

~2~~1~

???選項B、C正確,

/.ZA=NEBC,

二選項D正確.

?/ZEBA=Z.EBC+ZABC=ZA+ZABC=180°—NAC8不一定等于90。，

二?選項A不一定正確；

故選A.

【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于

旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.也考查了等腰三角形的性質.

12.（2022秋?黑龍江大慶?八年級校聯(lián)考期中）如圖，"C繞點A順時針旋轉某個角度得到VAOE.已知

ZZMC=60°,ZBAE=100°,BC、OE相交于點F,BC、AO相交于點G,則NZMB的度數(shù)為.

【答案】20。/20度

【分析】根據(jù)旋轉的性質得N8AD=NC4E,求出NB4O+NC4E=40。即可得出答案.

【詳解】解：由旋轉的性質得NBAO=NC4￡,

VZZ^4C=60°,ZBAE=100°,

???/BAD+ZC4E=/BAE-Z1DAC=1（X）°-60°=40°,

：.ZBAD=ZCAE=20°,

故答案為：20°.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，熟知對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角且旋轉角相等是解題

的關鍵.

13.（2023?吉林松原?校聯(lián)考二模）如圖，在矩形A8CO中，A8=3,/3C=4.將矩形沿施翻折，使點A恰好

落在邊8C上的A處，再將四邊形。。圖繞點A逆時針旋轉90。得到四邊形CR交BE于點、F,則

△EFC1的面積為

【分析】根據(jù)矩形的性質和折疊的性質可得四邊形入網E是正方形，4BE是等腰直角三角形，四邊形

ACOE是矩形，四邊形GRKA是矩形，由此可得.GEQ是等腰直角三角形，由此即可求出G￡=GE=2,

根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】解：?.?四邊形468是矩形，將矩形沿的翻折，使點八恰好落在辿3C上的A處,

???四邊形八網后是正方形,

???A8==4E=AE=3,且a%BE是等腰直角三角形，

.??必4￡=“七8=45。，AC=6C—44=4—3=1,

VED=AD-AE,\C=BC-\B,CD=AyE,

??.￡O=AC.ED//A.C.ZC=90°.

???四邊形ACQE是矩形，

???將四邊形SEA、繞點A逆時針旋轉90。得到四邊形C.D.E.A，

???四邊形是矩形，CQ〃A4，

...AG=AC=I,ZEC1F=Z￡4）E,=90°,ZC.FE=ZC.EF=45°,

???C￡=AE-AG=3-I=2,戶是等腰直角三角形,

CtE=CF=2,

?**S&C、EF=/C[尸?C[E=-x2x2=2,

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查矩形與折疊，等腰三角形的性質的綜合，掌握矩形的性質，折疊的性質，正方形的

性質，等腰直角三角形的性質的綜合運用是解題的關鍵.

14.（2022秋?河北保定?九年級校聯(lián)考期中）如圖，將RI/XA8C繞點A按順時針旋轉一定角度得到Rt^AOE,

（1）△ABO是等腰三角形嗎?（選填“是”或“否”）；

（2）若48=百,/8=60。，則C￡>=.

【答案】是6

【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質，口1可達到答案；

（2）根據(jù)旋轉的性質得=由/8=60。，于是可判斷二4）8為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質

得BD=AB=B然后利用8=3C—進行計算.

【詳解】解：（1）由旋轉的性質，可知：AD=AB,

???△45。是等腰三角形，

故答案為：是；

（2）VZ2?=6O°,ZZMC=90°,

???ZC=90°-60°=30°,

，BC=2AB=2逐,

由旋轉的性質知，AI3=AD,

???△A3。是等邊三角形，

***BD=AB=\/5，

則。。=8。-8。=2癢6=技

故答案為：73.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，解題的關鍵是掌握旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；

對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角.也考查了等邊三角形的判定與性質.

15.（2023秋?陜西安康?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在A8C中，AB=AC,。是BC的中點，將八4￡心繞點A

逆時針旋轉90。得瓦'，點。，C分別對應點E,F,連接CG若NBAC=62。，則NC正的度數(shù)為

【答案】14

【分析】由等腰三角形的性質可得80=0ZACB=Z4BC=59°,由旋轉的性質可得■=AC,

ZG4F=90°,ZAFE=ZACD=59°,即可求解.

【詳解】解：???A8=AC,。是BC的中點，NE4C=62。，

:?BD=CD,ZACB=ZABC=59°,ADJ.BC,

■:將AADC繞點A逆時針旋轉90。得八AEF,

AAF=AC,ZC4F=90°,ZAFE=ZACD=59°,

???ZAFC=ZACF=45°,

/.ZCFE=59°-45°=14°,

故答案為：14.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵.

16.(2022秋?遼寧鞍山?九年級統(tǒng)考期中)如圖，A3C中，BC=AC,NAC8=90。；CH1AB,ABC繞

點8順時針旋轉120。，點A,C的對應點分別為A，，C',過H作C”的垂線，垂足為。，若。。=6+1,

【答案】V2

【分析】如圖，設C"=x,延長A8,交。。延長線與E，根據(jù)等腰直角三角形的性質旋轉的性質及三角

形外角性質可得出NE=30。，AB=AB=2x,BH=CH=AH=x,根據(jù)含30。角的直角三角形的性質可用x

分別表示出AZ、4。、DE、日/的長，利用線段的和差關系，結合OC=G+1列方程求出x的值，根據(jù)

勾股定理即可得答案.

【詳解】如圖，延長AB，交QC延長線與七，設C"=x，

VBC=AC,NAC8=90。，CHLAB,

/.ZA=ZABC=ZBCH=45°,BH=CH=AH=x,

*/A8C繞點8順時針旋轉12()。，點A,C的對應點分別為4,C,

，NC4C=120°,ZCBA=ZABC=45°,AB=AB=2x,

，Z.CBE=180°-ZCBA-ZCTC=15°,

???ZE=ZBCH-NCBE=30°,

??BE=2BH=2x?HE=VBE2—BH1=0x,

，AE=4x，

;AD±CD，

AAD=^AE=2x,DE7AE2-Alf=2瓜，

,?，DC=G+1,EH=DE-DC+CH,

舊X=2也K-(6+1)+x,

解得：x=l,

???AC=\/CH2+AH2=42x=y/2■

故答案為：O

【點睛】本題考查旋轉的性質、筆腰直角三角形的性質、三角形外角性質、含30。角的直角三角形的性質及

勾股定理，熟練掌握旋轉的性質及30。角所對直角邊等于斜邊一半的性質是解題關鍵.

17.（2022秋?遼寧鐵嶺?九年級校聯(lián)考期中）如圖，在正方形ABC。內作㈤F=45。，AE交BC于點、E,AF交

CQ于點尸，連接EF,過點A作AHJ.所，垂足為H,將△4￡中繞點A順時針旋轉90。得至lj.ABG，若BE=2,

OF=3,則AH的長為.

【答案】6

【分析】根據(jù)旋轉的性質及正方形的性質可知E4G絲E4*SAS）,再根據(jù)全等三角形的性質可知A8=〃/,

最后利用勾股定理解答即可.

【詳解】解：由旋轉的性質可知：^ABG^ADF,

：.AG=AF,ZBAG=ZDAF,DF=BG,

???四邊形A8CO是正方形，

r.AB\D=AECF=ZABC=90°,AB=AD=BC=CD,

???ZE4F=45°,

???ZR4E+NE4O=45。，

AZBA￡+ZBAG=45°,

，ZE4G=NBAE+/BAG=45°,

A_E4G^AE4F（SAS）,

?：AHLEF，ZABC=90°,EF=EG,

:.AB=AH,

???DF=3,

???DF=BG=3,

*/BE=2,

EG=BE+BG=5,

，EF=5,

設正方形的邊長為x,則EC=x-2,FC=x-3,

???在Rt.EFC中，EF2=EC2+FC2,

:.（X-2）2+（X-3）?=25,

解得：百=6,x2=-1（舍去），

即AB=6,

??AU—AD=6,

故答案為：6.

【點睛】本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，掌握正方形的性

質及旋轉的性質是解題的關鍵.

18.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，在矩形A8CO中，4B=8,AD=4,將矩形48co繞點8旋轉一定

角度后得矩形48C。，A'B交CD于點、E,且庭=4E，則CE的長為.

Dr

【答案】3

【分析】設CE=AE=x,則BE=3-x,在Rt/CE中，根據(jù)勾股定理列出關于x的方程，解方程即可得到

答案.

【詳解】解：設CE=AE=x,

AB=8,AO=4,將矩形A8CQ繞點8旋轉一定角度后得矩形A'8C'。'，

.e.BE=8-x,BC=AD=4,

在RtBCE中,CE?+BC?=啥，

/.（8-x）2=x2+42,

解得：x=3,

???CE的長為：3,

故答案為：3.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質、旋轉的性質、勾股定理，熟練掌握矩形的性質、旋轉的性質，是解

題的關鍵.

19.（2023春?河北保定?八年級保定十三中?？计谀﹫D中48c和VAOE是兩個等邊三角形，其中A8=6,

⑴將兩三角形按圖1放置（點A,D,C在同一條直線上），連接線段8。，CE,求線段CE的長:

⑵洛VAOE繞點A逆時針旋儀，如圖2所示，直線80,C￡相交于點尸，連接AF.求證：

ZBFC=ZA/'B=ZAFE；

(3)以圖1的位置為起點，將V4OE繞點A逆時針旋轉儀0。＜。＜360。)，當點用,。，E恰好在一條直線上

時，直接寫出線段a1的長度.

【答案】(1)36；

⑵見詳解；

,.、3\/?3±3

2

【分析】(I)由.48。是等邊三角形，AC=6,A0=3,得到8O_LAC,求出8。，再證明AAB原△ACE,

得到C￡=8O=3G即可；

(2)分別過點A作AN_L8O于點N,AM_LEC于點M,先證明AABZ運△ACE,得到CE=8O,

48。=NACE,由三角形內角和定理得到N8bC=N84C=60。，再證明△ABNgAACM,得到4V=AM,

則可證明"平分N區(qū)在，故可知44。=44產E=g/B"石=60。則問題可證；

(3)當A,D,E共線時，過點A作A〃_LOE于點，，分別求出AH=—,在利用勾股定理

22

求;II4”,從而求出B。，由CE=80問題可解.

【詳解】(1)VAC=6,AD=3,

???BD1AC

/.ZADB=90°

,BD=ylAB2-AD2=762-32=343

???48c和VAOE是兩個等邊一角形，

/.AB=AC,AD