北師版八年級上冊初中數(shù)學(xué)全冊公開課教案

1探索勾股定理（第1課時）

一、學(xué)生起點分析

八年級學(xué)生已經(jīng)具備一定的觀察、歸納、探索和推理的能力.在小學(xué)，他們已學(xué)習(xí)了一

些幾何圖形面積的計算方法（包括割補法），但運用面積法和割補思想解決問題的意識和能

力還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.部分學(xué)生聽說過“勾三股四弦五”，但并沒有真正認(rèn)識什么是“勾股定理”.此

外，學(xué)生普遍學(xué)習(xí)積極性較高，探究意識較強，課堂活動參與較主動，但合作交流能力和探

究能力有待加強.

二、教學(xué)任務(wù)分析

本節(jié)課是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書北師大版八年級（上）第一章《勾股定理》第一節(jié)第1

課時.勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的一種美妙關(guān)系，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來，在數(shù)

學(xué)的發(fā)展和現(xiàn)實世界中有著廣泛的作用.本節(jié)是直角三角形相關(guān)知識的延續(xù)，同時也是學(xué)生

認(rèn)識無理數(shù)的基礎(chǔ)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識承前啟后的緊密相關(guān)性、連續(xù)性.此外，歷史上勾

股定理的發(fā)現(xiàn)反映了人類杰出的智慧，其中蘊涵著豐富的科學(xué)與人文價值.

為此本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

1.用數(shù)格子（或割、補、拼等）的辦法體驗勾股定理的探索過程并理解勾股定理反映

的直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系，會初步運用勾股定理進(jìn)行簡單的計算和實際運用.

2.讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察一猜想一歸納一臉證”的數(shù)學(xué)思想，并體會數(shù)形結(jié)合和從特殊到

一般的思想方法.

3.進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的說理和簡單推理的意識及能力；進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的緊

密聯(lián)系.

4.在探索勾股定理的過程中，體驗獲得成功的快樂；通過介紹勾股定理在中國古代的

研究，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化歷史，激勵學(xué)生發(fā)奮學(xué)習(xí).

三、教學(xué)過程設(shè)計

本節(jié)課設(shè)計了五個教學(xué)環(huán)節(jié).第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課；第二環(huán)節(jié)：探索發(fā)現(xiàn)勾

股定理；第三環(huán)節(jié)：勾股定理的簡單應(yīng)用；第四環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè).

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

內(nèi)容：2002年世界數(shù)學(xué)家大會在我國北京召開，投影顯示本屆世界數(shù)

學(xué)家大會的會標(biāo)：

會標(biāo)中央的圖案是一個與“勾股定理”有關(guān)的圖形，數(shù)學(xué)家曾建議用“勾

股定理”的圖來作為與“外星人”聯(lián)系的信號.今天我們就來一同探索勾股

定理.（板書課題）

意圖：緊扣課題，自然引入，同時滲透愛國主義教育.

效果：激發(fā)起學(xué)生的求知欲和愛國熱情.

第二環(huán)節(jié)：探索發(fā)現(xiàn)勾股定理

1.探究活動一

內(nèi)容：投影顯示如下地板磚示意圖，引導(dǎo)學(xué)生從面積角度觀察圖形:

問：你能發(fā)現(xiàn)分勺面積之間有

學(xué)生通過觀察,

結(jié)論1以等強邊為邊長的儂等于以斜邊為邊長

的正方形的面積.

意圖：從觀察實際生活中常見的地板磚入手，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在我們身邊.通過對

特殊情形的探究得到結(jié)論1,為探究活動二作鋪墊.

效果：1.探究活動一讓學(xué)生獨立觀察，自主探究，培養(yǎng)獨立思考的習(xí)慣和能力；2.通

過探索發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生得到成功體驗，激發(fā)進(jìn)一步探究的熱情和愿望.

2.探究活動二

內(nèi)容：由結(jié)論1我們自然產(chǎn)生聯(lián)想：一般的直角三角形是否也具有該性質(zhì)呢？

A的面積B的面積C的面積

（單位面積）（單位面積）（單位面積）

左圖

右圖

（3）你是怎樣得到正方形C的面積的？與同伴交流.（學(xué)生可能會做出多種方法，教

師應(yīng)給予充分肯定.)

圖1圖2圖3

學(xué)生的方法可能有：

方法一：

如圖1,將正方形C分割為四個全等的直角三角形和一個小正方形，

Sc=4xlx2x3+l=13.

,2

方法二：

如圖2,在正方形C外補四個全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面積減

01

去四個直角三角形的面積，S=5~—4x—x2x3=13.

c2

方法三：

如圖3,正方形C中除去中間5個小正方形外，將周圍部分適當(dāng)拼接可成為正方形，如

圖3中兩塊紅色(或兩塊綠色)部分可拼成一個小正方形，按此拼法，Sc=2x4+5=13.

(4)分析填表的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生通過分析數(shù)據(jù)，歸納出：

結(jié)論2以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正

方形的面積.

意圖：探究活動二意在讓學(xué)生通過觀察、計算、探討、歸納進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)一般直角三角形

的性質(zhì).由于正方形C的面積計算是一個難點，為此設(shè)計了一個交流環(huán)節(jié).

效果：學(xué)生通過充分討論探究，在突破正方形C的面積計笄這一難點后得出結(jié)論2.

3.議一議

內(nèi)容：(1)你能用直角三角形的邊長a,b,c來表示上圖中正方形的面積嗎？

(2)你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間存在什么關(guān)系嗎？

(3)分別以5厘米、12厘米為直角邊作出一個直角三角形，并測量斜邊的長度.2中

發(fā)現(xiàn)的規(guī)律對這個三角形仍然成立嗎？

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用a,b,c分別表示

直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么/+〃=c2.

數(shù)學(xué)小史：勾股定理是我國錄早發(fā)現(xiàn)的，中國古代把直角三角.

形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾勾

股

股定理”因此而得名.（在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理）

意圖：議一議意在讓學(xué)生在紿論2的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊關(guān)系，得到勾

股定理.

效果：1.讓學(xué)生歸納表述結(jié)論，可培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力及語言表達(dá)能力；2.通過

作圖培養(yǎng)學(xué)生的動手實踐能力.

第三環(huán)節(jié)：勾股定理的簡單應(yīng)用

內(nèi)容：

例題如圖所示，一棵大樹在一次強烈臺風(fēng)中于離地面10m處折斷倒下，樹頂落在離

樹根24m處.大樹在折斷之前高多少？

（教師板演解題過程）

練習(xí)：

1.基礎(chǔ)鞏固練習(xí)：

求下列圖形中未知正方形的面積或未知邊的長度（口答）：

2.生活中的應(yīng)用----x

小明媽媽買了《29*聞端&電視機.小明量卜電視堆也贏4,發(fā)現(xiàn)屏幕只有58

cm長和46cm寬，他覺售貨員搞錯了.你同意他的想法嗎？你店解釋這是為什么嗎？

意圖：練習(xí)第1題是勾股定理的直接運用，意在鞏固基礎(chǔ)知識.

效果：例題和練習(xí)第2題是實際應(yīng)用問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活，意

在培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識.運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.

第四環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)

內(nèi)容：

教師提問：

1.這一節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)了哪些知識和思想方法？

2.對這些內(nèi)容你有什么體會？與同伴進(jìn)行交流.

在學(xué)生自由發(fā)言的基礎(chǔ)上，師生共同總結(jié)：

1.知識：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用。力，。分

別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么/+從=/.

2.方法:(1)觀察一探索一猜想一驗證一歸納一應(yīng)用；

(2)“割、補、拼、接”法.

3.思想：(1)特殊一般特殊;

⑵數(shù)形結(jié)合思想.

意圖：鼓勵學(xué)生積極大膽發(fā)言，可增進(jìn)師生、生生之間的交流、互動.

效果：通過暢談收獲和體會，意在培養(yǎng)學(xué)生口頭表達(dá)和交流的能力，增強不斷反思總結(jié)

的意識.

第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

內(nèi)容：布置作業(yè)：1.課本習(xí)題1.1.

2.觀察下圖，探究圖中三角形的三邊長是否滿足"+從=。2?

意圖：課后作業(yè)設(shè)計包括了三個層面：作業(yè)1是為了鞏固基礎(chǔ)知職而設(shè)計；作業(yè)2是為

了擴展學(xué)生的知識面；作業(yè)3是為了拓廣知識，進(jìn)行課后探究而設(shè)計，通過此題可讓學(xué)生進(jìn)

一步認(rèn)識勾股定理的前提條件.

效果：學(xué)生進(jìn)一步加強對本課知識的理解和掌握.

五、教學(xué)設(shè)計反思

(-)設(shè)計理念

依據(jù)“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體”這一理念，在探索勾股定理的整個過程中，本節(jié)課始終采用

學(xué)生自主探索和與同伴合作交流相結(jié)合的方式進(jìn)行主動學(xué)習(xí).教師只在學(xué)生遇到困難時，進(jìn)

行引導(dǎo)或組織學(xué)生通過討論來突破難點.

(―)突出重點、突破難點的策略

為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中自我發(fā)現(xiàn)勾股定理，本節(jié)課首先情景創(chuàng)沒激發(fā)興趣，再通過幾

個探究活動引導(dǎo)學(xué)生從探究等腰直角三角形這一特殊情形入手，自然過渡到探究一般直角三

角形，學(xué)生通過觀察圖形，計算面積，分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的關(guān)系，進(jìn)而得到勾

股定理.

1探索勾股定理（第2課時）

一、學(xué)生起點分析

學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：學(xué)生在七年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的加、減、乘、除運算和等式的基

本性質(zhì)，并能進(jìn)行簡單的恒等變形；上節(jié)課又已經(jīng)通過測量和數(shù)格子的方法，對具體的直角

三角形探索并發(fā)現(xiàn)了勾股定理，但沒有對一般的直角三角形進(jìn)行驗證.

學(xué)生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：學(xué)生在以前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)經(jīng)歷了很多獨立探究和合作學(xué)習(xí)的過

程，具有了一定的自主探究經(jīng)驗和合作學(xué)習(xí)的經(jīng)臉，具備了一定的探究能力和合作與交流的

能力；學(xué)生在七年級《七巧板》及《圖案設(shè)計》的學(xué)習(xí)中已經(jīng)具備了一定的拼圖活動經(jīng)臉.

二、教學(xué)任務(wù)分析

本節(jié)課是八（上）勾股定理第1節(jié)第2課時，是在上節(jié)課已探索得到勾股定理之后的內(nèi)

容，具體學(xué)習(xí)任務(wù)：通過拼圖驗證勾股定理并體會其中數(shù)形結(jié)合的思想；應(yīng)用勾股定理解決

一些實際問題，體會勾股定理的應(yīng)用價值并逐步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題意識和能

力，為后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).為此本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

1.掌握勾股定理及其臉證，并能應(yīng)用勾股定理解決一些實際問題.

2.在上節(jié)課對具體的直角三角形探索發(fā)現(xiàn)了勾股定理的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷勾股定理的驗證過

程，體會數(shù)形結(jié)合的思想和從特殊到一般的思想.

3.在勾股定理的險證活動中，培養(yǎng)探究能力和合作精神；通過對句股定理歷史的了解，

感受數(shù)學(xué)文化，增強愛國情感，并通過應(yīng)用勾股定理解決實際問題，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.

用面積法驗■證勾股定理，應(yīng)用勾股定理解決簡單的實際問題是本節(jié)課的重點.

三、教學(xué)過程

本節(jié)課設(shè)計了七個教學(xué)環(huán)節(jié)：（一）復(fù)習(xí)設(shè)疑，激趣引入；（二）小組活動，拼圖臉證；

（三）延伸拓展，能力提升（四）例題講解，初步應(yīng)用；（五）追溯歷史，激發(fā)情感；；（六）

回顧反思，提煉升華；（七）布置作業(yè)，課堂延伸.

第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)設(shè)疑，激趣引入

內(nèi)容：教師提出問題：

（1）勾股定理的內(nèi)容是什么？（請一名學(xué)生回答）

（2）上節(jié)課我們僅僅是通過測量和數(shù)格子，對具體的直角三角形探索發(fā)現(xiàn)了勾股定理，

對一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？這需要進(jìn)一步臉證，如何驗證勾股定理呢？事

實上，現(xiàn)在已經(jīng)有幾百種勾股定理的驗證方法，這節(jié)課我們也將去驗證勾股定理.

意圖：（1）復(fù)習(xí)勾股定理內(nèi)容；（2）回顧上節(jié)課探索過程，強調(diào)仍需對一般的直角三角

形進(jìn)行臉證，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度；（3）介紹世界上有數(shù)百種臉證方法，激發(fā)學(xué)生興趣.

效果：通過這一環(huán)節(jié)，學(xué)生明確：僅僅探索得到勾股定理還不夠，還需進(jìn)行驗證.當(dāng)學(xué)

生聽到有數(shù)百種險證方法時，馬上就有了去尋求屬于自己的方法的渴望.

第二環(huán)節(jié)：小組活動，拼圖驗證

內(nèi)容：活動1：教師導(dǎo)入，小組拼圖.

教師：今天我們將研究利用拼圖的方法臉證勾股定理，請你利用自己準(zhǔn)備的四個全等的

直角三角形，拼出一個以斜邊為邊長的正方形.（請每位同學(xué)用2分鐘時間獨立拼圖，然后4

人小組討論.）

活動2:層層設(shè)問，完成驗證一.

學(xué)生通過自主探究，小組討論得到兩個圖形：

在此基礎(chǔ)上教師提問：

（1）如圖1你能表示大正方形的面積嗎？能用兩種方法嗎？（學(xué)生先獨立思考，再4

人小組交流）；

（2）你能由此得到勾股定理嗎？為什么？（在學(xué)生回答的慰礎(chǔ)上板書（。+匕）2=4x」"+c2,并

2

得到。?+從=c2）

從而利用圖1臉證了勾股定理.

活動3:自主探究，完成驗證二.

教師小結(jié)：我們利用耕圖的方法，將形的問題與數(shù)的問題結(jié)合起來，聯(lián)系整式運算的有關(guān)知識，從理

論上臉證了勾股定理，你還能利用圖2臉證勾股定理嗎？

（學(xué)生先獨立探究，再小組交流，放后請一個小組同學(xué)上臺講解臉證方法二）

意圖：設(shè)計活動1的目的是為了讓學(xué)生在活動中體會圖形的構(gòu)成，既為勾股定理的驗

證作鋪墊，同時也培養(yǎng)學(xué)生的動手、創(chuàng)新能力.在活動2中，學(xué)生在教師的層層設(shè)問引導(dǎo)下

完成對勾股定理的臉證，完成本節(jié)課的一個重點內(nèi)容.設(shè)計活動3,讓學(xué)生利用另一個拼圖獨

立驗證勾股定理的目的是讓學(xué)生再次體會教形結(jié)合的思想并體會成功的快樂.

效果：學(xué)生通過先拼圖從形上感知，再分析面積驗證，比較容易地掌握了本節(jié)課的重

點內(nèi)容之一，并突破了本節(jié)課的難點.

第三環(huán)節(jié)：延伸拓展，能力提升

1.議一議:觀察下圖，用數(shù)格子的方法判斷圖中三角形的三邊長是否滿足^+從=02

2.一個直角三角形的斜邊為20cm,且兩直角邊長度比為3:4,求兩直角邊的長.

意圖：在前面已經(jīng)討論了直角三角形三邊滿足的關(guān)系，那么銳角三角形或鈍角三角

形的三邊是否也滿足這一關(guān)系呢？學(xué)生通過數(shù)格子的方法可以得出：如果一個三角形不是直

角三角形，那么它的三邊a,b,c不滿足/+從=。2通過這個結(jié)論，學(xué)生將對直角三角形三

邊的關(guān)系有進(jìn)一步的認(rèn)識，并為后續(xù)直角三角形的判別打下基礎(chǔ).

第四環(huán)節(jié)：例題講解，初步應(yīng)用

內(nèi)容：例題：飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩子頭頂上方4000米

處，過了20秒，飛機距離這個男孩子頭頂5000米，飛機每小時飛行多少千米？

意圖：（1）初步運用勾股定理解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力；（2）體

會勾股定理的應(yīng)用價值.

效果：學(xué)生對這樣的實際問題很感興趣，基本能把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并順利解決.

第五環(huán)節(jié)：追溯歷史，激發(fā)情感

活動內(nèi)容：由學(xué)生利用所搜集的與勾股定理相關(guān)的資料進(jìn)行介紹.

國內(nèi)調(diào)查組報告：用圖2驗證勾股定理的方法，據(jù)載最早是三國時期數(shù)學(xué)家趙爽在為

《周髀算經(jīng)》作注時給出的，我國歷史上將圖2弦上的正方形稱為弦圖.2002年的數(shù)學(xué)家大

會（ICM-2OO2）在北京召開，這屆大會會標(biāo)的中央圖案正是經(jīng)過藝術(shù)處理的弦圖，這既標(biāo)志

著中國古代的數(shù)學(xué)成就，又像一只轉(zhuǎn)動的風(fēng)車，歡迎來自世界各地的數(shù)學(xué)家們！

國際調(diào)查組報告：勾股定理與第一次數(shù)學(xué)危機.

約公元前500年，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希帕索斯(Hippasus)發(fā)現(xiàn)了一個驚人的事實，

一個正方形的對角線的長度是不可公度的.按照畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形邊長是

1,則對角線的長不是一個有理數(shù)，它不能表示成兩個整數(shù)之比，這一事實不但與畢氏學(xué)派

的哲學(xué)信念大相徑庭，而且建立在任何兩個線段都可以公度基礎(chǔ)上的幾何學(xué)面臨被推翻的威

脅，第一次數(shù)學(xué)危機由此爆發(fā).據(jù)說，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對希帕索斯的發(fā)現(xiàn)十分惶恐、惱怒，

為了保守秘密，最后將希帕索斯投入大海.

不能表示成兩個整數(shù)之比的數(shù)，15世紀(jì)意大利著名畫家達(dá)?芬奇稱之為“無理的數(shù)”，

無理數(shù)的英文“irrational”原義就是“不可比”.第一次數(shù)學(xué)危機一直持續(xù)到19世紀(jì)實數(shù)的

基礎(chǔ)建立以后才圓滿解決.我們將在下一章學(xué)習(xí)有關(guān)實數(shù)的知識.

趣聞?wù){(diào)查組報告：勾股定理的總統(tǒng)證法.

在1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位9年人正在散步，欣賞

黃昏的美景……他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談

論著什么，時而大聲爭論，時而小聲探討.由于好奇心驅(qū)使他循聲向兩個小孩走去，想搞清

楚兩個小孩到底在干什么.只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角

形

于是這位中年人不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題.他經(jīng)過反復(fù)的

思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法.

1876年4月1日，他在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的這一證法.

1881年，這位中年人——伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng).后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾

股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)證法”.

說明：這個環(huán)節(jié)完全由學(xué)生來組織開展，教師可在兩天前布置任務(wù)，讓部分同學(xué)收集

勾股定理的資料，并在上課前拷貝到教師用的課件中便于展示，內(nèi)容可靈活安排.

意圖：（1）介紹與勾股定理有關(guān)的歷史，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情；（2）學(xué)生加強了對數(shù)

學(xué)史的了解，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；（3）通過讓部分學(xué)生搜集材料，展示材料，既讓學(xué)生得

到充分的鍛煉，同時也活躍了課堂氣氛.

效果：學(xué)生熱情高漲，對勾股定理的歷史充滿了濃厚的興趣，同時也為中國古代數(shù)學(xué)

的成就感到自豪.也有同學(xué)提出：當(dāng)代中國數(shù)學(xué)成就不夠強，還應(yīng)發(fā)奮努力.有同學(xué)能意識這

一點，這讓我喜出望外.

第六環(huán)節(jié)：回顧反思，提煉升華

內(nèi)容：教師提問：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你為什么樣的收獲？師生共同暢談收獲.

目的：（1）歸納出本節(jié)課的知識要點，數(shù)形結(jié)合的思想方法；（2）教師了解學(xué)生對本節(jié)

課的感受并進(jìn)行總結(jié)；（3）培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力.

效果：由于這節(jié)課自始至終都注意了調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，所以學(xué)生談的收獲很多，

包括利用拼圖驗證勾股定理中蘊含的數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生對勾股定理的歷史的感悟及對勾股

定理應(yīng)用的認(rèn)識等等.

第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)，課堂延伸

內(nèi)容：教師布置作業(yè)

1.課本習(xí)題1.21,2,3

2.上網(wǎng)或查閱有關(guān)書籍，搜集至少1種勾股定理的其它證法，至少1個勾股定理的應(yīng)

用問題，一周后進(jìn)行展評.

意圖：（1）鞏固本節(jié)課的內(nèi)容.（2）充分發(fā)揮勾股定理的育人價值.

六、教學(xué)設(shè)計反思

1.設(shè)計說明

勾股定理作為“千古第一定理”其魅力在于其歷史價值和應(yīng)用價值，因此我注意充分挖

掘了其內(nèi)涵.特別是讓學(xué)生事先進(jìn)行調(diào)查，再在課堂上進(jìn)行展示，這極大地調(diào)動了學(xué)生，既

加深了對勾股定理文化的理解，又培養(yǎng)了他們收集、整理資料的能力.勾股定理的驗證既是

本節(jié)課的重點，也是本節(jié)課的難點，為了突破這一難點，我設(shè)計了拼圖活動，先讓學(xué)生從形

上感知，再層層設(shè)問，從面積（數(shù)）入手，師生共同探究得到方法1,最后由學(xué)生獨立探究

得到方法2.這樣學(xué)生較容易地突破了本節(jié)課的難點.

2.教學(xué)建議

如果學(xué)生的程度較好可以按照本教學(xué)設(shè)計進(jìn)行教學(xué)，并且可以把分層練習(xí)中“知識拓展”作

為課堂教學(xué)內(nèi)容.如果學(xué)生程度稍差，可以舍棄第三環(huán)節(jié)以及第五環(huán)節(jié)中的（2）（3）.而把

分層練習(xí)中“基礎(chǔ)訓(xùn)練”作為課堂過關(guān)使用.2一定是直角三角形嗎

一、學(xué)生知識狀況分析

學(xué)生已經(jīng)了解勾股定理，并在先前其他內(nèi)容學(xué)習(xí)中已經(jīng)積累了一定的逆向思維、逆向研

究的經(jīng)驗，如：已知兩直線平行，有什么樣的結(jié)論？反之，滿足什么條件的兩直線是平行？

因而，本課時由勾股定理出發(fā)逆向思考獲得逆命題，學(xué)生應(yīng)該已經(jīng)具備這樣的意識，但具體

研究中，可能要用到反證等思路，對現(xiàn)階段學(xué)生而言可能還具有一定困難，需要教師適時的

引導(dǎo).

二、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

本節(jié)課是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書北師大版數(shù)學(xué)八年級（上）第一幸《勾股定理》第2節(jié).

教學(xué)任務(wù)有：探索勾股定理的逆定理，并利用該定理根據(jù)邊長判斷一人三角形是否是直角三

角形，利用該定理解決一些簡單的實際問題；通過具體的數(shù)，增加對勾股數(shù)的直觀體驗.本

節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

1.理解勾股定理逆定理的具體內(nèi)容及勾股數(shù)的概念；

2.能根據(jù)所給三角形三邊的條件判斷三角形是否是直角三角形；

3.經(jīng)歷一般規(guī)律的探索過程，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力、歸納能力；

4.體臉生活中的數(shù)學(xué)的應(yīng)用分值，感受數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、

用數(shù)學(xué)的興趣.

教學(xué)重點

理解勾股定理逆定理的具體內(nèi)容.

三、教法學(xué)法

1.教學(xué)方法：實臉一猜想一歸納一論證

本節(jié)課的教學(xué)對象是初二學(xué)生，他們的參與意識較強，思維活躍，對通過實驗獲得數(shù)學(xué)

結(jié)論已有一定的體驗，但數(shù)學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐瑢W(xué)總是心存疑慮，利用邏輯推理的方式，讓同學(xué)

心服口服顯得非常迫切，為了實現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，我力求從以下三個方面對學(xué)生進(jìn)行引

導(dǎo)：

⑴從創(chuàng)設(shè)問題情景入手，通過知識再現(xiàn)，孕育教學(xué)過程;

⑵從學(xué)生活動出發(fā)，通過以舊引新，順勢教學(xué)過程；

(3)利用探索，研究手段，通it思維深入，領(lǐng)悟教學(xué)過程.

2.課前準(zhǔn)備

教具：教材、電腦、多媒體課件.

學(xué)具：教材、筆記本、課堂練習(xí)本、文具.

四、教學(xué)過程設(shè)計

本節(jié)課設(shè)計了七個環(huán)節(jié).第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：合作探究；第三環(huán)節(jié)：小試

牛刀；第四環(huán)節(jié)：量高望遠(yuǎn)；第五環(huán)節(jié)：鞏固提高；第六環(huán)節(jié)：交流小結(jié)；第七環(huán)節(jié)：布置

作業(yè).

第一環(huán)節(jié)：情境引入

內(nèi)容：

情境：1.直角三角形中，三邊長度之間滿足什么樣的關(guān)系？

2.如果一個三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是否

就是直角三角形呢？

意圖：通過情境的創(chuàng)設(shè)引入新課，激發(fā)學(xué)生探究熱情.

效果：從勾股定理逆向思維這一情景引入，提出問題，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，為下一環(huán)

節(jié)奠定了良好的基礎(chǔ).

第二環(huán)節(jié)：合作探究

內(nèi)容1：探究

下面有三組數(shù)，分別是一個三角形的三邊長a,b,c①5,12,13;②7,24,25;③8,

15,17;并回答這樣兩個問題：

1,這三組數(shù)都滿足/+從=/嗎？

2.分別以每組數(shù)為三邊作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？學(xué)生

分為4人活動小組，每個小組可以任選其中的一組數(shù).

意圖：通過學(xué)生的合作探究，得出“若一個三角形的三邊長〃,b,c,滿足從=/,

則這個三角形是直角三角形”這一結(jié)論；在活劫中體臉出數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)總是要經(jīng)歷觀察、

歸納、猜想和驗證的過程，同時遵循由“特殊-一般-特殊”的發(fā)展規(guī)律.

效果：經(jīng)過學(xué)生充分討論后，匯總各小組實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)：①5,12,13滿足/+從=°2,

可以構(gòu)成直角三角形；②7,24,25滿足/+從=百，可以構(gòu)成直角三角形；③8,15,17滿

足/+從=1,可以構(gòu)成直角三角形.

從上面的分組實驗很容易得乜如下結(jié)論：

如果一個三角形的三邊長4,b,C,滿足/+32=,2,那么這個三角形是直角三角形.

內(nèi)容2:說理

提問：有同學(xué)認(rèn)為測量結(jié)果可能有誤差，不同意這個發(fā)現(xiàn).你認(rèn)為這個發(fā)現(xiàn)正確嗎？你

能給出一個更有說服力的理由嗎？

意圖：讓學(xué)生明確，僅僅基于測量結(jié)果得到的結(jié)論未必可靠，需要進(jìn)一步通過說理等方

式使學(xué)生確信結(jié)論的可靠性，同葉明啪結(jié)論：

如果一個三角形的三邊長。，b,c,滿足/+/=。2,那么這個三角形是直角三角形.

滿足/+/=/的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

注意事項：為了讓學(xué)生確認(rèn)該結(jié)論，需要進(jìn)行說理，有條件的班級，還可利用幾何畫板

動畫演示，讓同學(xué)有一個直觀的認(rèn)識.

活動3:反思總結(jié)

提問：

1.同學(xué)們還能找出哪些勾股數(shù)呢？

2.今天的結(jié)論與前面學(xué)習(xí)勾股定理有哪些異同呢？

3.到今天為止，你能用哪些方法判斷一個三角形是直角三角形呢？

4.通過今天同學(xué)們合作探究，你能體驗出一個數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)要經(jīng)歷哪些過程呢？

意圖：進(jìn)一步讓學(xué)生認(rèn)識該定理與勾股定理之間的關(guān)系

第三環(huán)節(jié)：小試牛刀

內(nèi)容：

1.下列哪幾組數(shù)據(jù)能作為直角三角形的三邊長？請說明理由.

①9,12,15;②15,36,39;③12,35,36;④12,13,22

解答：①②

2.一個三角形的三邊長分別是Hcm,20cm,25cm,則這個三角形的面積是（）

A.250cm2B.150cm2C.200cm2D.不能確定

解答：B

3.如圖，在△/15C中，ADLBC于點、D,BD=9,AD=\2,AC=20,則△4灰?是（）

A.等腰三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.鈍角三角形

解答：C

BDC

4.將直角三角形的三邊擴大相同的倍數(shù)后，得到的三角形是()

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.不能確定

解答：A

意圖：通過練習(xí)，加強對勾股定理及勾股定理逆定理認(rèn)識及應(yīng)用.

效果：每題都要求學(xué)生獨立完成(5分鐘)，并指出各題分別用了哪些知識.

第四環(huán)節(jié)：登高望遠(yuǎn)

內(nèi)容：

1.一個零件的形狀如圖2步示，按規(guī)定這個零件中以NQBC都應(yīng)是直角.工人師傅量

得這個零件各邊尺寸如圖3所示，這個零件符合要求嗎？

圖2圖3

解答：符合要求.

V32+42=52,:.ZDAB=90°.又?.F2+12?=13?,ZDBC=90°.

2.一艘在海上朝正北方向航行的輪船，航行240海里時方位儀壞了，憑經(jīng)驗，船長指

揮船左傳90°,繼續(xù)航行70海里，則距出發(fā)地250海里，你能判斷船轉(zhuǎn)彎后，是否沿正西

解答：由題意畫出相應(yīng)的圖形，45=240海里，3。=70海里，40=250海里.

在AABC中，AC2-AB2=2502-2402=(250+240)(250-240)=

4900=702=BC2,AB2+BC2=AC2.

.??△46C是直角三角形.

答:船轉(zhuǎn)彎后，是沿正西方向航行的.

意圖：利用勾股定理的逆定理解決實際問題，進(jìn)一步鞏固該定理.

效果：學(xué)生能用自己的語言表達(dá)清楚解決問題的過程即可；利用三角形三邊數(shù)量關(guān)系

"+62=。2判斷一個三角形是直角三角形時，當(dāng)遇見數(shù)據(jù)較大時，要懂得將°2+從=02作適

當(dāng)變形（。2-從=/）,以便于計算.

第五環(huán)節(jié)：鞏固提高

內(nèi)容：

1.如圖4,在正方形中，AB=4tAE=2,DR=1,圖中有幾個直角三角形，你

是如何判斷的？與你的同伴交流.

解答：4個直角三角形，它們分別是△dHE、4DEF、XBCF、l\BEF.

2.如圖5,哪些是直角三角形，哪些不是，說說你的理由？

第一題考查學(xué)生充分利用所學(xué)知識解決問題時，考慮問題要全面，不要漏解；第二題在

于考查學(xué)生如何利用網(wǎng)格進(jìn)行計算，從而解決問題.

效果：

學(xué)生在對所學(xué)知識有一定的熟悉度后，能夠快速做答并能簡要說明理由即可.注意防漏

解及網(wǎng)格的應(yīng)用.

第六環(huán)節(jié)：交流小結(jié)

內(nèi)容：

師生相互交流總結(jié)出：

1.今天所學(xué)內(nèi)容①會利用三角形三邊數(shù)量關(guān)系/+從=/判斷一個三角形是直角三角

形；②滿足/+從=百的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)；

2.從今天所學(xué)內(nèi)容及所作練習(xí)中總結(jié)出的經(jīng)驗與方法：①數(shù)學(xué)是源于生活又服務(wù)于生

活的；②數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)總是要經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和險證的過程，同時遵循由“特殊一

一般T特殊”的發(fā)展規(guī)律；③利用三角形三邊數(shù)量關(guān)系"+從=。2判斷一個三角形是直角三

角形時，當(dāng)遇見數(shù)據(jù)較大時，要懂得將。2+從=c?作適當(dāng)變形，便于計算.

意圖:

鼓勵學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談自己的收獲和感想，體會到勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)

用及它們的悠久歷史；敢于面對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的困難，并有獨立克服困難和運用知識解決問題

的成功經(jīng)臉，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，發(fā)展運用教學(xué)的信心和能力，初步形成積極參與

數(shù)學(xué)活動的意識.

效果：

學(xué)生暢所欲言自己的切身感受與實際收獲，總結(jié)出利用三角形三邊數(shù)量關(guān)系

判斷一個三角形是直角三角形從古至今在實際生活中的廣泛應(yīng)用.

第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

課本習(xí)題1.3第1,2,4題.

五、教學(xué)反思：

1.充分尊重教材，以勾股定理的逆向思維模式引入“如果一個三角形的三邊長a,by

C,滿足"+/=C2,是否能得到這個三角形是直角三角形”的問題；充分引用教材中出現(xiàn)

的例題和練習(xí).

2.注重引導(dǎo)學(xué)生積極參與實驗活動，從中體驗任何一個數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)總是要經(jīng)歷觀

察、歸納、猜想和臉證的過程，同時遵循由“特殊-一般T特殊”的發(fā)展規(guī)律.

3.在利用今天所學(xué)知識解決實際問題時，引導(dǎo)學(xué)生善于對公式變形，便于簡便計算.

4.注重對學(xué)習(xí)新知理解應(yīng)用偏困難的學(xué)生的進(jìn)一步關(guān)注.

5.對于勾股定理的逆定理的論證可根據(jù)學(xué)生的實際情況做適當(dāng)調(diào)整，不做要求.

由于本班學(xué)生整體水平較高，因而本設(shè)計教學(xué)容量相對校大，教學(xué)中，應(yīng)注意根據(jù)自

己班級學(xué)生的狀況進(jìn)行適當(dāng)?shù)膭h減或調(diào)整.

附：板書設(shè)計

能得到直角三角形嗎

情景引入一小試牛刀：鰲高望----------

11

合作探究一1.1.

L.L0.

2

3.煤后1乍.

3勾股定理的應(yīng)用

一、學(xué)生知識狀況分析

本節(jié)將利用勾股定理及其逆定理解決一些具體的實際問題，其中需要學(xué)生了解空間圖

形、對一些空間圖形進(jìn)行展開、折疊等活動.學(xué)生在學(xué)習(xí)七年級上第一章時對生活中的立體

圖形已經(jīng)有了一定的認(rèn)識，并從事過相應(yīng)的實踐活動，因而學(xué)生已經(jīng)具備解決本課問題所需

的知識基礎(chǔ)和活動經(jīng)驗基礎(chǔ).

二、教學(xué)任務(wù)分析

本節(jié)課是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書北師大版八年級(上)第一章《勾股定理》第3節(jié).具

體內(nèi)容是運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題.當(dāng)然，在這些具體問題的解決過程

中，需要經(jīng)歷幾何圖形的抽象過程，需要借助觀察、操作等實踐活動，這些都有助于發(fā)展學(xué)

生的分析問題、解決問題能力和應(yīng)用意識；一些探究活動具體一定的難度，需要學(xué)生相互間

的合作交流，有助于發(fā)展學(xué)生合作交流的能力.

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

1.通過觀察圖形，探索圖形間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念.

2.在將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)

建模的思想.

3.在利用勾股定理解決實際問題的過程中，體臉數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實用性.

利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實際問題是本節(jié)課的

重點也是難點.

三、教法學(xué)法

1.教學(xué)方法

引導(dǎo)一探究一歸納

本節(jié)課的教學(xué)對象是初二學(xué)生，他們的參與意識教強，思維活躍，為了實現(xiàn)本節(jié)課的教

學(xué)目標(biāo)，我力求以下三個方面對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)：

(1)從創(chuàng)設(shè)問題情景入手，通過知識再現(xiàn)，孕育教學(xué)過程；

(2)從學(xué)生活動出發(fā)，順勢教學(xué)過程；

(3)利用探索研究手段，通過思維深入，領(lǐng)悟教學(xué)過程.

2.課前準(zhǔn)備

教具：教材、電腦、多媒體課件.

學(xué)具：用矩形紙片做成的圓柱、剪刀、教材、筆記本、課堂練習(xí)本、文具.

四、教學(xué)過程分析

本節(jié)課設(shè)計了七個環(huán)節(jié).第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：合作探究；第三環(huán)節(jié)：做一

做；第四環(huán)節(jié)：小試牛刀；第五環(huán)節(jié)：舉一反三；第六環(huán)節(jié)：交流小結(jié)；第七環(huán)節(jié)：布置作

業(yè).

第一環(huán)節(jié)：情境引入

內(nèi)容：

情景1:多媒體展示：

提出問題：從二鼓樓到綜合樓怎樣走最近？

情景2:

如圖：在一個圓柱石髡上，若小明在吃東西時留下了一點食物

在8處，恰好一只在力處的螞蟻，前捉到這一信息，于是它想從?!處

爬向方處，你們想一想，螞蟻怎么走馥近？

意圖：4ALi

通過情景1復(fù)習(xí)公理：兩點之間線段最短；情景2的創(chuàng)設(shè)引入

新課，激發(fā)學(xué)生探究熱情.

效果：

從學(xué)生熟悉的生活場景引入，提出問題，學(xué)生探究熱情高漲，為下一環(huán)節(jié)奠定了良好

基礎(chǔ).

第二環(huán)節(jié)：合作探究

內(nèi)容：

學(xué)生分為4人活動小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方

案，在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計算方法，通過具體計算，總結(jié)出最短路線.讓學(xué)生

發(fā)現(xiàn)：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究兩點連線最短

問題，引導(dǎo)學(xué)生體會利用數(shù)學(xué)解決實際問題的方法.

意圖：

通過學(xué)生的合作探究，找到解決“螞蟻怎么走最近”的方法，將曲面最短距離問題轉(zhuǎn)化

為平面最短距離問題并利用勾股定理求解.在活動中體驗數(shù)學(xué)建摸，培養(yǎng)學(xué)生與人合作交流

的能力，增強學(xué)生探究能力，操作能力，分析能力，發(fā)展空間觀念.

效果：

學(xué)生匯總了四種方案:

所以情形（1）的路線比情形（2）要短.

學(xué)生在情形（3）和（4）的比較中出現(xiàn)困難，但還是有學(xué)生提出用剪刀沿母線//!'剪

開圓柱得到矩形，情形（3）4T5是折線，而情形（4）是線段，故根據(jù)兩點之間線段最短

可判斷（4）較短，最后通過計算比較（1）和（4）即可.

如圖：

（1）tA>3的路線長為：AA'+d.

（2）中的路線長為：AA'+A'B>AB.

（3）中力―/的路線長為：AC^OB>AB.

（4）中力-8的路線長為：AB.

得出結(jié)論：利用展開圖中兩點之間，線段最短解決問題.在這個環(huán)節(jié)中，可讓學(xué)生沿母

線剪開圓柱體，具體觀察.接下來后提問：怎樣計算/皮

在氐△?'B中，利用勾股定理可得

+?4'B2,若已知圓柱體高為12cm,底面半徑

為3cm,兀取3,則AB?=12?+（3x3）2,「.A8=15.

注意事項：本環(huán)節(jié)的探究把圓柱側(cè)面尋最短路徑拓展到

了圓柱表面，目的僅僅是讓學(xué)生感知最短路徑的不同存在可能.但這一拓展使學(xué)生無法去論

證最短路徑究竟是哪條.因此教學(xué)時因該在學(xué)生在圓柱表面感知后，把探究集中到對圓柱側(cè)

面最短路徑的探究上.

方法提煉：解決實際問題的關(guān)鍵是根據(jù)實際問題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)璞型，解決這一類幾何

型問題的具體步驟大致可以歸納如下：

1.審題——分析實際問題；

2.建?！⑾鄳?yīng)的數(shù)學(xué)模型；

3.求解——運用勾股定理計算；

4.檢驗——是否符合實際問題的真實性.

第三環(huán)節(jié)：做一做

內(nèi)容：

李叔叔想要檢測雕塑底座正面的月。邊和邊是否分別垂直于底

邊AB,但他隨身只帶了卷尺，

(1)你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？

(2)李叔叔量得力。長是30厘米，長是40厘米，長是50厘

米，/I。邊垂直于/18邊嗎？為什么？

(3)小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢險

邊是否垂直于邊嗎？反7邊與邊呢？

解答：(2)?.-AD2+AB2=302+402=2500,BD2=2500,

AD2+AB2=BD2,

「.7IZ?和力8垂直.

意圖：

運用勾股定理逆定理來解決實際問題，讓學(xué)生學(xué)會分析問題，利月允許的工具靈活處理

問題.

效果：

先鼓勵學(xué)生自己尋找辦法，再讓學(xué)生說明李叔叔的辦法的合理性,當(dāng)刻度尺較短時，學(xué)

生可能會在上面解決問題的基礎(chǔ)上，想出多種辦法，如利用分段相加的方法量出AByAD

和3。的長度，或在力。邊上各量一段較小長度，再去量以它們?yōu)檫叺娜切蔚牡谌?/p>

邊，從而得到結(jié)論.

第四環(huán)節(jié)：小試牛刀

內(nèi)容：

1.甲、乙兩位探險者到沙漠進(jìn)行探險，某日早晨8:00甲先出發(fā)，他以6km/h的速度

向正東行走，1時后乙出發(fā)，他以5km/h的速度向正北行走.上午

10:00,甲、乙兩人相距多遠(yuǎn)？

解答：如圖:已知/是甲、乙的出發(fā)點，10:00甲到達(dá)8點，乙到

達(dá)C點.則：

/氏2X6=12(km),

AC=1X5=5(km),

在中：

BC?=AC2+AB2=52+122=169=132.

：.BC=13(km).

即甲乙兩人相距13km.

2.如圖，臺階4處的螞蟻要爬到6處搬運食物，它怎么走最近？并求出最近距離.

解答：/.AB2=152+202=625=252.

勿

3.有一個高為1.5m,半徑是1m的圓柱形產(chǎn)在衣強寶西沙邊_|的地方有小孔,

入一鐵棒’，已知鐵棒在油桶外的部分為:一0.5n守乩笈長？

解答：設(shè)伸入油桶中的長度為.Vm.tA

X2=1.52+22.

則最長時:

x=2.5.

二.最長是25+0.5=3(m).

最短時：x=1.5.

二.最短是1.5+05=2(m).

答:這根鐵棒的長應(yīng)在2?3m之間.

意圖：

對本節(jié)知識進(jìn)行鞏固練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生根據(jù)實際情形畫出示意圖并計算.

效果：

學(xué)生能獨立地畫出示意圖，將現(xiàn)實情形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并求解.

第五環(huán)節(jié)：舉一反三

內(nèi)容：

1.如圖，在棱長為10cm的正方體的一個頂點?!處有一只螞蟻，現(xiàn)要向頂點3處爬行,

已知螞蟻爬行的速度是1cm/s,且速度保持不變，問螞蟻能否在20s內(nèi)從力爬到皮

2.在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是:

有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出

水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請問這個水池的

深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？

解答：設(shè)水池的水深4C為X尺，則這根蘆葦長為

AD=AB=(.v+1)尺，

在直角三角形力比'中，BC=5尺.

由勾股定理得力^+^^二/疔.

即52+x^=(A-+1)2.

25+A2=A2+2A+1.

2x=24.

廠.戶12,肝1=13.

答：水池的水深12尺，這根蘆葦長13尺.

意圖:

第1題旨在對“螞蟻怎樣走最近”進(jìn)行拓展，從圓柱側(cè)面到橫柱惻面，都是將空間問題

平面化；第2題，學(xué)生可以進(jìn)一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應(yīng)用，了解我國古代人民

的聰明才智；運用方程的思想并利用勾股定理建立方程.

效果：

學(xué)生能畫出棱柱的側(cè)面展開圖，確定出/18位置，并正確計算.如有可能，還可把正方

體換成長方體進(jìn)行討論.

學(xué)生能畫出示意圖，找等量關(guān)系，設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)建立方程.

注意事項：對于普通班級而言，學(xué)生完成“小試牛刀”，已經(jīng)基本完成課堂教學(xué)任務(wù).因

此本環(huán)節(jié)可以作為教學(xué)中的一個備選環(huán)節(jié)，共老師們根據(jù)學(xué)生狀況選用.

第六環(huán)節(jié)：交流小結(jié)

內(nèi)容：

師生相互交流總結(jié)：

1.解決實際問題的方法是建立數(shù)學(xué)模型求解.

2.在尋求最短路徑時，往往把空間問題平面化，利用勾股定理及其逆定理解決實際問

題.

意圖：

鼓勵學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談自己的收獲和感想，體會到勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)

用及它們的悠久歷史.

效果：

學(xué)生暢所欲言自己的切身感受與實際收獲，總結(jié)出在尋求曲面最短路徑時，往往考慮其

展開圖，利用兩點之間，線段最短進(jìn)行求解.并贊嘆我國古代數(shù)學(xué)的成就.

第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

1.課本習(xí)題1.4第1,2,3題.

2.如圖是學(xué)校的旗桿，旗桿上的繩子垂到了地面，并多出了一段，現(xiàn)

在老師想知道旗桿的高度，你能幫老師想個辦法嗎?請你與同伴交流設(shè)計方

案？

注意事項：作業(yè)2作為學(xué)有余力的學(xué)生的思考題.

五、教學(xué)設(shè)計反思

本節(jié)從生動有趣的問題情景出發(fā)，通過學(xué)生自主探究，運用勾股定理及其逆定理解決簡

單的實際問題，既鞏固了基本知識點，又在將實際問題抽象成幾何圖形過槎中，學(xué)會觀察，

提高分析能力，滲透數(shù)學(xué)建摸思想.在設(shè)計中，我注重以下兩點：

1.要充分利用好教材提供的素材

“螞蟻怎么走最近”是一個生動有趣的問題，讓學(xué)生充滿了探究的欲望，這個問題體現(xiàn)

了二、三維圖形的轉(zhuǎn)化，對發(fā)展學(xué)生的空間觀念很有好處.

2.合理使用教材提供的練習(xí)

本節(jié)課通過“小試牛刀”和‘舉一反三”把教材中的練習(xí)重組，使練習(xí)有梯度，既鞏固

了基本知識點，又訓(xùn)練了學(xué)生的應(yīng)用能力.第一個作業(yè)讓學(xué)生深入理解和應(yīng)用勾股定理及逆

定理.

3.突破重點、突破難點的策略

在教學(xué)過程中教師應(yīng)通過情景創(chuàng)設(shè)，激發(fā)興趣，鼓勵引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索過程，得出結(jié)論,

從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，提高學(xué)生解決實際問題的能力.

4.分層教學(xué)

根據(jù)本班學(xué)生實際情況可在教學(xué)過程中選擇：基礎(chǔ)訓(xùn)練——“小試牛刀”；提高訓(xùn)練一

—“舉一反三”；拓展訓(xùn)練——作業(yè)第2題.

5.評價方式

根據(jù)新課標(biāo)的評價理念，在教學(xué)過程中應(yīng)關(guān)注學(xué)生的參與程度，關(guān)注活動中所反映出的

思維水平，關(guān)注對實際問題的理解水平，關(guān)注學(xué)生對基本知識的掌握情況和應(yīng)用勾股定理及

逆定理解決實際問題的意識和能力.在教學(xué)過程中尊重學(xué)生的個體差異，對于學(xué)生的回答教

師應(yīng)給予恰當(dāng)?shù)脑u價與鼓勵，并幫助學(xué)生樹立學(xué)習(xí)教學(xué)的自信，充分發(fā)揮教育的價值.

附：板書設(shè)計

螞蟻怎樣走最近

情境引入--------小試牛刀：舉一反三-------

1

A口禰1下布卜?zG1?1?

L.L.

3.-課后作業(yè)：

1認(rèn)識無理數(shù)(第1課時)

一、學(xué)生起點分析

通過前一章《勾股定理》的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)明白什么是勾股數(shù)，但也發(fā)現(xiàn)并不是所有的

直角三角形的邊長都是勾股數(shù)，甚至有些直角三角形的邊長連有理數(shù)都不是，例如：①腰長

為1的等腰直角三角形的底邊長不是有理數(shù)，②兩條直角邊分別為1,2的直角三角形的斜

邊長不是有理數(shù)，這為引入“新教”奠定了必要性.

二、教學(xué)任務(wù)分析

《認(rèn)識無理數(shù)》是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書北師大版八年級(上)第二章《實數(shù)》的第

一節(jié).本節(jié)內(nèi)容安排了2個課時完成，第1課時讓學(xué)生感受無理數(shù)的存在，初步建立無理數(shù)

的印象，結(jié)合勾股定理知識，會根據(jù)要求畫線段；第2課時借助計算器感受無理數(shù)是無限不

循環(huán)小數(shù)，會判斷一個數(shù)是無理數(shù).本課是第1課時，學(xué)生將在具體的實例中，通過操作、

估算、分析等活動，感受無理數(shù)的客觀存在性和引入的必要性，并能判斷一個數(shù)是不是有理

數(shù).

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

①通過拼圖活動，讓學(xué)生感受客觀世界中無理數(shù)的存在；

②能判斷三角形的某邊長是否為無理數(shù)；

③學(xué)生親自動手做拼圖活動，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和探索精神；

④能正確地進(jìn)行判斷某些數(shù)是否為有理數(shù)，加深對有理數(shù)和無理數(shù)的理解；

三、教學(xué)過程設(shè)計

本節(jié)課設(shè)計了6個教學(xué)環(huán)節(jié)：

第一環(huán)節(jié)：質(zhì)疑；第二環(huán)節(jié)：課題引入；第三環(huán)節(jié)：獲取新知；第四環(huán)節(jié)：應(yīng)