2024學(xué)年成都市洛帶中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月考試卷附答案解析

2024學(xué)年成都市洛帶中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月考試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1．已知點(diǎn)，點(diǎn)，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知橢圓上一點(diǎn)到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．3．已知，分別是平面的法向量，若，則（

）A． B． C．1 D．74．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．如圖，在斜棱柱中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，，，，則（

）A．B．C． D．6．圓與圓的公切線共有A．1條 B．2條 C．3條 D．4條7．在直三棱柱中，，M，N分別是，的中點(diǎn)，，則AN與BM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．已知橢圓，A，B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，且AB⊥BF，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)?英語(yǔ)?音樂(lè)3個(gè)課外興趣小組，3個(gè)小組分別有39，32，33個(gè)成員，一些成員參加了不止一個(gè)小組，具體情況如圖所示.現(xiàn)隨機(jī)選取一個(gè)成員，則（

）A．他只屬于音樂(lè)小組的概率為 B．他只屬于英語(yǔ)小組的概率為C．他屬于至少2個(gè)小組的概率為 D．他屬于不超過(guò)2個(gè)小組的概率為10．下列說(shuō)法正確的有（

）A．若直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則在第二象限B．直線過(guò)定點(diǎn)C．過(guò)點(diǎn)斜率為的點(diǎn)斜式方程為D．斜率為，在y軸截距為3的直線方程為．11．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262-前190）發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼奧斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，，動(dòng)點(diǎn)C滿足，直線l：，則（

）A．直線l過(guò)定點(diǎn)B．動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為C．動(dòng)點(diǎn)C到直線l的距離的最大值為D．若直線l與動(dòng)點(diǎn)C的軌跡交于P，Q兩點(diǎn)，且，則12．已知是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，且，則（

）A．的周長(zhǎng)為 B．C．點(diǎn)到軸的距離為 D．三．填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．過(guò)點(diǎn)作圓的切線l，求切線l的方程14．已知空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，，，則點(diǎn)P到直線的距離為15．高一某班舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽，其中12名學(xué)生的成績(jī)分別是：82、74、76、90、94、82、87、73、61、67、97、98，則該小組12名學(xué)生成績(jī)的分位數(shù)是．16．如圖，我們把由半橢圓和半橢圓合成的曲線稱作“果圓”．，，是相應(yīng)半橢圓的焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為，直線與“果圓”交于，兩點(diǎn)，且中點(diǎn)為，點(diǎn)的軌跡方程為．四、解答題（本題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；18．已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng).(1)求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡C2的方程：(2)設(shè)圓C1與曲線C2的交點(diǎn)為M、N，求線段MN的長(zhǎng)．19．設(shè)直線y＝x＋b與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)當(dāng)b＝1時(shí)，求|AB|．20．飲用水水源的安全是保障飲用水安全的基礎(chǔ).同時(shí)國(guó)家提倡節(jié)約用水，全民積極維護(hù)飲用水水源安全，保障安全飲水.2021年5月13日下午，正在河南省南陽(yáng)市考察調(diào)研的習(xí)近平總書(shū)記來(lái)到淅川縣，先后考察了陶岔渠首樞紐工程?丹江口水庫(kù)，聽(tīng)取南水北調(diào)中線工程建設(shè)管理運(yùn)行和水源地生態(tài)保護(hù)等情況介紹.為了提高節(jié)約用水意識(shí)，某校開(kāi)展了“節(jié)約用水，從我做起”活動(dòng)，從參賽的學(xué)生中隨機(jī)選取人的成績(jī)作為樣本，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)該校此次參賽學(xué)生成績(jī)的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(2)在該樣本中，若采用分層抽樣方法，從成績(jī)低于分的學(xué)生中隨機(jī)抽取人調(diào)查他們的答題情況，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行深入調(diào)研，求這人中至少有人的成績(jī)低于分的概率.21．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°.(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)若二面角的余弦值為，求點(diǎn)A到平面PBC的距離．22．設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，下頂點(diǎn)為B，過(guò)A、O、B（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為．（1）求橢圓的方程；（2）已知點(diǎn)M在x軸正半軸上，過(guò)點(diǎn)B作BM的垂線與橢圓交于另一點(diǎn)N，若∠BMN=60°，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．．C【分析】由斜率公式可求得直線斜率，由斜率和傾斜角關(guān)系可得直線傾斜角.【詳解】，直線的傾斜角為.故選：C.2．C【解析】先根據(jù)橢圓的方程求出，再利用橢圓的定義即可求解.【詳解】由橢圓的方程可得，設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，由橢圓的定義可得，若，則，故選：C3．B【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解【詳解】因?yàn)?，分別是平面的法向量，且，所以，即，解得故選：B4．A【分析】根據(jù)直線平行的條件和充分必要條件的概念可判斷結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行的充要條件是且，解得或．所以由充分必要條件的概念判斷可知：“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件，故選：A5．A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算用表示出即可得．【詳解】-＝，.故選：A．6．D【分析】把兩個(gè)圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，分別求出兩圓的圓心坐標(biāo)及兩圓的半徑，比較圓心距與兩圓半徑和與差的關(guān)系，判斷出兩圓的位置關(guān)系，進(jìn)而可以判斷出有幾條公切線．【詳解】圓心坐標(biāo)為（2，0）半徑為2；圓心坐標(biāo)為，半徑為1，圓心距為4，兩圓半徑和為3，因?yàn)?>3,所以兩圓的位置關(guān)系是外離，故兩圓的公切線共有4條．故本題選D.【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了圓與圓的位置關(guān)系的判定、公切線的條數(shù)．解決的方法就是利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心坐標(biāo)以及半徑，比較圓心距與兩圓半徑和差的關(guān)系．7．D【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求AN與BM對(duì)應(yīng)的方向向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求AN與BM所成角的余弦值.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，∴，，∴，所以AN與BM所成角的余弦值為.故選：D8．D【解析】根據(jù)，得到斜率之間的關(guān)系從而轉(zhuǎn)變?yōu)橹g的等量關(guān)系，根據(jù)齊次式計(jì)算出對(duì)應(yīng)的離心率.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解，難度一般.（1）圓錐曲線中的垂直問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為直線的斜率關(guān)系或者向量的數(shù)量積為零；（2）通過(guò)構(gòu)造的齊次式求解離心率是一種常用方法.9．CD【分析】由題圖知參加興趣小組的共有6+7+8+8+10+10+11=60人，只屬于數(shù)學(xué)?英語(yǔ)?音樂(lè)小組的人數(shù)分別為10，6，8人，然后利用古典概型的概率公式逐個(gè)分析求解對(duì)應(yīng)的概率即可【詳解】由題圖知參加興趣小組的共有6+7+8+8+10+10+11=60人，只屬于數(shù)學(xué)?英語(yǔ)?音樂(lè)小組的人數(shù)分別為10，6，8人，故只屬于音樂(lè)小組的概率為，只屬于英語(yǔ)小組的概率為，“至少2個(gè)小組”包含“2個(gè)小組”和“3個(gè)小組”兩種情況，故他屬于至少2個(gè)小組的概率為，“不超過(guò)2個(gè)小組”包含“1個(gè)小組”和“2個(gè)小組”，其對(duì)立事件是“3個(gè)小組”.故他屬于不超過(guò)2個(gè)小組的概率是.故選：CD.10．ABC【解析】由直線過(guò)一、二、四象限，得到斜率，截距，可判定A正確；由把直線方程化簡(jiǎn)為，得到點(diǎn)都滿足方程，可判定B正確；由點(diǎn)斜式方程，可判定C正確；由斜截式直線方程可判定D錯(cuò)誤．【詳解】對(duì)于A中，由直線過(guò)一、二、四象限，所以直線的斜率，截距，故點(diǎn)在第二象限，所以A正確；對(duì)于B中，由直線方程，整理得，所以無(wú)論a取何值點(diǎn)都滿足方程，所以B正確；對(duì)于C中，由點(diǎn)斜式方程，可知過(guò)點(diǎn)斜率為的點(diǎn)斜式方程為，所以C正確；由斜截式直線方程得到斜率為，在y軸上的截距為3的直線方程為，所以D錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的方程的形式，以及直線方程的應(yīng)用，其中解答中熟記直線的點(diǎn)斜式的概念及形式，以及直線的斜率與截距的概念是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11．ABD【分析】設(shè),由題意求出點(diǎn)的軌跡以及軌跡方程,利用直線與圓的位置關(guān)系,依次判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A,直線l：，，，直線l過(guò)定點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確;對(duì)于B,設(shè),因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足,所以,整理可得,即,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓,動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為,故選項(xiàng)B正確;對(duì)于C,當(dāng)直線與垂直時(shí),動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最大,且最大值為,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于D,記圓心到直線的距離為,則,因?yàn)?則,因?yàn)?所以,即,解得,故選項(xiàng)D正確.故選:ABD.12．BCD【分析】A．根據(jù)橢圓定義分析的周長(zhǎng)并判斷；B．根據(jù)橢圓定義以及已知條件先求解出的值，結(jié)合三角形的面積公式求解出并判斷；C．根據(jù)三角形等面積法求解出點(diǎn)到軸的距離并判斷；D．根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算以及的值求解出結(jié)果并判斷.【詳解】A．因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤；B．因?yàn)?，，所以，所以，所以，故正確；C．設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，所以，所以，故正確；D．因?yàn)?，故正確；故選：BCD.13．【分析】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為：，由圓心到直線的距離等于半徑判斷；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)：設(shè)直線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑求解.【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為：，圓心到直線的距離為，不成立；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)：設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離等于半徑為：，解得，所以直線方程為：，即.故答案為：.14．##【分析】應(yīng)用向量法求余弦值，再由點(diǎn)線距離的向量求法求P到直線的距離.【詳解】由題設(shè)，所以，則P到直線的距離為.故答案為：15．92【分析】利用百分位數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】從小到大排列數(shù)據(jù)為：61、67、73、74、76、82、82、87、90、94、97、98，由，故選取第9個(gè)和第10個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為分位數(shù)，即，所以該小組12名學(xué)生成績(jī)的分位數(shù)是.故答案為：92.16．【分析】根據(jù)各半橢圓方程可得，，的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得距離及周長(zhǎng)；分別表示點(diǎn)，的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)公式表示，消參即可得到點(diǎn)，得軌跡方程.【詳解】由，，是相應(yīng)半橢圓的焦點(diǎn)，可得，，，所以，，，故所求周長(zhǎng)為；設(shè)，聯(lián)立直線與，得，即點(diǎn)，聯(lián)立直線與，得，即點(diǎn)，且不重合，即，又為中點(diǎn)，所以，即，，整理可得，，故答案為：，.17．(1)(2)或.【分析】（1）設(shè)出橢圓方程，待定系數(shù)法求出，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分焦點(diǎn)位于x軸和軸兩種情況，設(shè)出橢圓方程，求出，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由解得：.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位于x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，故，此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位于軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，故，此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.綜上所述：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.18．(1)(2)【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)B的坐標(biāo)為，利用點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，求出，，通過(guò)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)化求解中點(diǎn)P的軌跡的方程即可；（2）將圓與圓的方程相減得，求出圓的圓心到直線的距離d，即可求解；【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)B的坐標(biāo)為，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，所以，，于是有①，因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，即：②，把①代入②，得，整理，得，所以點(diǎn)P的軌跡的方程為．（2）將圓與圓的方程相減得：，由圓的圓心為，半徑為1，且到直線的距離，則.19．(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用判別式可求出；（2）利用弦長(zhǎng)公式可求出.【詳解】（1）將代入，消去y并整理，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0．①因?yàn)橹本€y＝x＋b與橢圓相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以，解得．所以b的取值范圍為．（2）設(shè)，當(dāng)b＝1時(shí)，方程①為3x2＋4x＝0．解得．所以．所以．20．(1)，；(2).【分析】（1）根據(jù)小矩形的面積之和等于列方程即可得的值，利用平均數(shù)的計(jì)算公式即可得平均分；（2）先根據(jù)分層抽樣求出成績(jī)低于分的有人，成績(jī)位于區(qū)間的有人，求出基本事件的總數(shù)以及這人中至少有人的成績(jī)低于分包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由古典概率公式即可求解.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖得到，解得.這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以.（2）根據(jù)頻率分布直方圖得到成績(jī)?cè)?，?nèi)的頻率分別為，，所以采用分層抽樣的方法從樣本中抽取的人，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有人，記為，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有人，分別記為，，，，，從這人中隨機(jī)抽取人，所有可能的結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共種.這人中至少有人的成績(jī)?cè)趦?nèi)的有，，，，，，，，，，共種.所以這人中至少有人的成績(jī)低于分的概率為.21．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)，可得平面．（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面，平面，平面的法向量，由條件求得，再求點(diǎn)A到平面的距離．【詳解】（1）底面