數(shù)列求和(學(xué)案)

22數(shù)列的求和.若數(shù)歹列｛%｝的通項公式為an=2n+2n—1,則數(shù)歹列｛an｝的前n項和為.數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，已知Sn=1—2+3—4+…+(—1)n-ln,則S17=一-一11］、， 3.設(shè)數(shù)歹列｛an｝滿足a1=13.設(shè)數(shù)歹列｛an｝滿足a1=1,且an+1—an=n4.數(shù)歹列｛an｝的前n項和為Sn，若an=麗+亍，則S5等于.常用的一般數(shù)列的求和方法⑴公式法①等差數(shù)列的前n項和公式=n(4+an)_ n(n—1)Sn— 2 —na1+ 2d.②等比數(shù)列的前n項和公式(i)當(dāng)q=1時，S（五）當(dāng)q/1時，Sna1；a"1-qn)_o11—q1—q?⑵分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.⑶裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項.⑷倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.⑸錯位相減法主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.⑹并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和.形如an=(—1)嗔n)類型，可采用兩項合并求解.例如，Sn=1002—992+982—972H——H22—l2=(l00+99)+(98+97)H——H(2+1)=5050..幾種常見類型的處理(1)形如an±bn的形式方法：分組求和法.⑵形如11+初或一?,等形式an(an+dn+n+d+n方法：裂項相消法.⑶形如anbn的形式(其中｛an｝為等差數(shù)列，｛bn｝為等比數(shù)列)方法：錯位相減法.⑷首尾對稱的兩項和為定值的形式方法：倒序相加法.⑸正負(fù)交替出現(xiàn)的數(shù)列形式方法：并項相加法.考點一裂項相消法求和【例1】Sn為數(shù)列｛%｝的前n項和.已知”>0,“2+2an=4Sn+3.⑴求｛an｝的通項公式；⑵設(shè)bn=，求數(shù)歹列｛bj的前n項和.nanan+1 n規(guī)律方法（1）利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項.⑵將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等.【訓(xùn)練1】設(shè)Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項和，已知S3=a7,a8-2a3=3.⑴求a；⑵設(shè)b=S1，求數(shù)歹歹｛b｝的前n項和為T.nSn考點二錯位相減法求和【例2】已知數(shù)歹列｛”｝的前n項和Sn=3n2+8n,｛勾｝是等差數(shù)列，且an=bn+bn.1.⑴求數(shù)歹列｛bn｝的通項公式；（2）令cn=*+號.求數(shù)歹列｛cn｝的前n項和Tn.規(guī)律方法（1）一般地，如果數(shù)列｛a/是等差數(shù)列，｛b/是等比數(shù)列，求數(shù)列｛an?bn｝的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列｛bn｝的公比，然后作差求解；（2）在寫出“5廣與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式.【訓(xùn)練2】已知｛an｝是遞增的等差數(shù)列，a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.⑴求｛an｝的通項公式；⑵求數(shù)歹列卷卜勺前n項和.TOC\o"1-5"\h\z1.數(shù)列1,3t，5：，7tt，…，(2n-1)+(,…的前n項和S= .24816 ' ，2n n f1〕…一 ?-―.若等差數(shù)歹列｛an｝的前n項和為Sn,a4=4,S4=10,則數(shù)歹列］^^一1的前2017項和為.數(shù)歹列｛an｝的通項公式為an=(—1)n-1?(4n—3),則它的前100項之和S100=.已知數(shù)列5,6,1,—5,…，該數(shù)列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數(shù)列的前16項之和S尸 .16.數(shù)歹列｛an｝滿足an+an+1=；(n￡N*),且a1=1,Sn是數(shù)歹列｛an｝的前n項和，則S21=.設(shè)數(shù)歹列｛an｝滿足a1=1,(1—an+1)(1+an)=1(n￡N*),則J0(a4+1)的值為 :.在等差數(shù)列｛叫中，4>0,40?%1<0,若此數(shù)列的前10項和S10=36,前18項和S18=12,則數(shù)列｛%1｝的前18項和T18的值是..已知數(shù)歹列｛%｝中，%=—4n+5,等比數(shù)歹列｛2｝的公比q滿足q=an—an_1（n三2）且b1=a2,則Ib1l+lb2l+lb31+ +1bn\=.［思想方法］非等差、等比數(shù)列的一般數(shù)列求和，主要有兩種思想：.轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相消來完成；.不能轉(zhuǎn)化為等差或等比的特殊數(shù)列，往往通過裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等來求和.［易錯防范］.直接應(yīng)用公式求和時，要注意公式的應(yīng)用范圍，如當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)（字母）時，應(yīng)對其公比是否為1進(jìn)行討論..在應(yīng)用錯位相減法時，要注意觀察未合并項的正負(fù)號..在應(yīng)用裂項相消法時，要注意消項的規(guī)律具有對稱性，即前剩多少項則后剩多少項.課后鞏固已知各項均為正數(shù)的